专题6.1 数据的分析（6大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题6.1 数据的分析（6大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【知识点2】中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 【知识点4】极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 【知识点5】要点五、极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 【知识点6】用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 知识点与题型目录 【考点一】平均数 【题型1】平均数............................................................2 【题型2】加权平均数........................................................4 【考点二】中位数与众数 【题型3】中位数与众数......................................................5 【题型4】中位数、众数与平均数..............................................7 【题型5】中位数、众数与统计图..............................................9 【题型6】中位数、众数与统计图、概率.......................................11 【考点三】数据的离散程度 【题型7】求方差与极差.....................................................13 【题型8】由方差作出判断...................................................14 【题型9】方差与中位数、众数综合...........................................17 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型10】直通中考........................................................19 【题型11】拓展延伸........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平均数 【例1】（24-25六年级上·山东威海·期中）一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组8名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数） 0 0 (1)这个小组男生的达标率为______%； (2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查正负数的意义解决实际问题，读懂题意，理解正负数表示的成绩，由有理数计算法则求解即可得到答案． （1）由成绩记录表，得到百米测验，成绩达标的同学人数为人，计算百分比即可得到答案； （2）由成绩记录表中的数据，计算出平均值，再加上达标成绩即可得到答案． 解：（1）解：成绩记录表中第二个、第三个、第六个、第七个男生的成绩均达到或超过17秒， 百米测验，成绩达标的同学人数为人， 这个小组男生的达标率为， 故答案为：； （2）解：这个小组男生的平均成绩为： （秒）， 答：这个小组男生的平均成绩为秒． 【变式1】（2023七年级上·江苏·专题练习）某小组5名学生一次测试的平均成绩为80分，已知其中4名学生的成绩分别为82分、78分、90分、75分，则另一名学生的成绩是（   ） A．72分 B．75分 C．80分 D．86分 【答案】B 【分析】先求出5名学生的总成绩，再减去其他4名学生的成绩，即可得出答案. 解：5名学生一次测试的平均成绩为80分， 分 故选：B 【点拨】此题考查了算数平均数，掌握算数平均数的计算公式是解答此题的关键. 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知，，，，的平均数是，则，，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数．首先根据：、、、、的平均数是，可得，所以、、、、的平均数为，利用加法交换律和结合律进行计算即可． 解：、、、、的平均数是， ， 则、、、、的平均数为： ． 故答案为： ． 【题型2】加权平均数 【例2】（24-25八年级上·山东威海·期中）单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． (1)已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 【答案】(1)， (2)89.6 【分析】此题考查了加权平均数，二元一次方程组的应用，关键灵活运用有关知识列出算式． （1）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可； （2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，求出其余2号选手的综合成绩，即可得出答案． 解：（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，根据题意得 ， 解得． 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是，． （2）（分）． 答：2号选手的综合成绩是89.6． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面变现进行综合评分，综合评分中笔试占、面试占、实习成绩占．各项成绩如表所示： 应聘者 笔试 面试 实习 甲 85 83 90 乙 80 85 92 则综合评分高的是应聘者 ． 【答案】乙 【分析】计算甲、乙的加权平均数，通过比较加权平均数的大小得出综合评分高的应聘者． 解：甲的平均数， 乙的平均数， ， 综合评分高的是应聘者乙． 故答案为：乙． 【点拨】本题考查加权平均数的定义，熟练掌握加权平均数的计算是解题的关键． 【题型3】中位数与众数 【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）2024年宝安区3月25日至3月31日的气温（℃）如下表： 日期 25日 26日 27日 28日 29日 30日 31日 最低气温 20 21 21 20 20 22 23 最高气温 27 32 27 28 29 29 29 那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（　　） A．20，21 B．20，29 C．29，21 D．29，29 【答案】D 【分析】本题考查了中位数及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据众数和中位数的定义即可解答． 解：∵这组数据中29出现的次数最多，是3次， ∴每天的最高气温的众数是29； 把25日至31日的气温由高到低排列是：， ∴每天的最高气温的中位数是29； ∴每天的最高气温的众数和中位数分别是29、29． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（   ） 时间/小时 人数 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查中位数、众数，解题的关键是掌握：一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数，一组数据中，众数可能不止一个；将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可． 解：抽查学生的人数为：（人）， ∵这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次， ∴众数是小时， ∵将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， ∴中位数是小时． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）某公司销售部有销售人员27人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了这27人某月的销售情况如下表： 销售量/件 500 450 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 5 该公司销售人员这个月销售量的众数是 件，中位数是 件． 【答案】 300 350 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数及众数．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而做错．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据数据是奇数个还是偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可求众数；根据中位数的定义求解，有27个数据，第14个数就是中位数． 解：销售300件的有7人，最多，故众数为300． 27个数据的中位数应是这组数据从小到大依次排列后的第14个数，应是350件． 故答案为：300；350． 【题型4】中位数、众数与平均数 【例4】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是，中位数是，则的值为 ． 成绩（分） 30 25 20 15 人数 2 1 【答案】 【分析】本题考查根据平均数求参数，求中位数和众数，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，进而求出中位数和众数，计算即可． 解：由题意，得：， 解得：， ∴成绩为20分的人数最多，故， 将所有数据排序后，第5个和第6个数据分别为， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】（2023·湖南长沙·三模）《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查众数、中位数和平均数，一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．根据众数、中位数、平均数的定义解答即可． 解：这个数据中出现次数最多的数据是， 这组数据的众数是， 把这组数据按从小到大顺序排为：，，，，，，，位于中间的数据为， 这组数据的中位数为， ， 这组数据的平均数为． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若九年级五名男生的体重（单位：kg）分别为50，53，52，55，55，则这五位男生体重的中位数、众数、平均数的和是 ． 【答案】161 【分析】将这组数据重新排列，根据中位数，众数，平均数的定义，即可求解， 本题考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 解：将这组数据重新排列为：50，52，53， 55，55， 中位数为53，众数为55，平均数为， ， 故答案为：161． 【题型5】中位数、众数与统计图 【例5】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）为了解某校八年级男生在体能测试引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出如下的统计图①和图②、请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的男生人数为____________，图①中的值为____________； (2)本次调查获取的样本数据的众数为____________次，中位数为____________次； (3)若规定引体向上6次及以上（含6次）为该项目良好，根据样本数据，估计该校900名八年级男生中该项目良好的人数． 【答案】(1)40，25 (2)5，6 (3)495人 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图相关联，中位数和众数，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）用测试成绩5次的人数除以所占百分比，可求出男生人数，用1减去其他测试成绩的百分比，即可求出的值； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中良好学生人数的占比，即可求解． 解：（1）解：男生人数为人， ，即， 故答案为：40，25； （2）解：由条形统计图可知，测试成绩为5次的人数最多， 众数为5次， 40名男生测试成绩的中位数为第20、21名成绩的平均数，且测试成绩为4次和5次的人数为人，测试成绩为4次、5次和6次的人数为人， 中位数为6次； 故答案为：5，6 （3）解：人， 答：估计该校900名八年级男生中该项目良好的人数为495人． 【变式1】（23-24八年级下·福建泉州·期末）甲、乙两位同学记录了某一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于甲，乙两位同学该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（    ） A．乙的众数为70分钟 B．甲的中位数为63分钟 C．乙的方差比甲的大 D．甲的平均数比乙的大 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙两人数据的平均数、众数、中位数，再进一步求解即可． 解：A、乙的众数为35分钟和70分钟，故不符合题意； B、甲的数据由小到大排列35、35、56、56、63、70、70，处于最中间的数为56，中位数是56，故不符合题意； C、由折线统计图可得，乙每天校外锻炼的时间比甲的波动大，所以乙的方差比甲的大，故符合题意； D、甲的平均数为，乙的平均数为，因为，所以甲的平均数比乙的小，故不符而题意； 故选：C． 【变式2】（2024·云南·模拟预测）2024年中国足球协会全国女子足球锦标赛1月30日在昆明打响，这是2024年第一项国内成年女足大赛．“铿锵玫瑰”要从校园抓起，某中学抽查了20名女学生上学期参加校园足球活动的次数，并根据数据绘制了如图所示的条形统计图，则这20名女学生上学期参加校园足球活动的次数的中位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中位数的定义和条形统计图，根据中位数的定义和条形统计图中数据解题即可． 解：本次调查抽查了20名女学生上学期参加校园足球活动的次数， 本次调查的中位数为顺序排列的第10、第11名学生数据的平均数， 由图可知：， 本次调查的中位数为， 故答案为：2． 【题型6】中位数、众数与统计图、概率 【例6】（2024·四川乐山·一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定每个学生每天体育锻炼时间不少于1小时．某校为了解学生参加体育锻炼的情况，对初三（5）班学生参加体育锻炼的时间进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，如图甲和图乙． (1)根据图中的信息填空：初三（5）班共有 人；体育锻炼时间的众数是 小时；本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间是 ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)从初三（5）班的学生中随机抽出一个学生进行调查，抽到学生参加体育锻炼时间不少于1小时的概率是多少？ 【答案】(1)50，1，小时； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图信息相关联，求概率； （1）根据体育锻炼的时间为小时的人数和所占的百分比，即可求出这次调查中初三（5）班的学生数，根据众数的定义求得体育锻炼时间的众数，利用加权平均数求得本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间； （2）用50乘以体育锻炼的时间为小时的人数所占的百分比即可求出人数，再补全统计图即可； （3）用参加体育锻炼时间不少于1小时的学生除以学生总数即可． 解：（1）调查人数（名）， ∴初三（5）班共有50人； 体育锻炼的时间为小时的人数（人）， ∵， ∴体育锻炼的时间为1小时的人数最多， ∴众数为1小时， 本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间是（小时）， 故答案为：50，1，小时； （2）体育锻炼的时间为小时的人数（人）， 补全条形统计图： （3）解：抽到学生参加体育锻炼时间不少于1小时的概率：． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）从4，5，1，4，6，2六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的中位数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义和概率公式，涉及中位数的概念，根据概率的意义用概率公式直接求出即可，熟悉相关概念是解题的关键． 解：4，5，1，4，6，2六个数中，中位数是4，有2个， 随机选取一个数，这个数恰为该组数据的中位数的概率为． 故选：B． 【变式2】（2023·河北张家口·一模）有4个乒乓球，价格（单位：元）分别为7，8，9，8． （1）这4个数据的中位数为 （2）从中随机拿出一个球，一次拿到价格为众数的球的概率为 【答案】 8 【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论； （2）根据概率公式即可得到结论． 解：（1）7，8，9，8按从小到大排列为7，8，8，9，可得中位数为8． 故答案为：8； （2）由题意，得众数为8，则一次拿到价格为众数的球的概率为， 故答案为：． 【点拨】本题考查中位数，众数，概率公式，掌握中位数和众数的定义，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 【题型7】求方差与极差 【例7】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）杨洋同学分析了他所在城市去年11月最后5天最高气温的平均值为，方差为2.6，并记录了该市今年11月份最后5天每天的最高气温（）分别为15、17、14、13、16，请你计算该市今年11月份最后5天每天最高气温的方差，并比较去年和今年哪一年11月最后5天的最高气温相对比较稳定？ 【答案】2，今年11月最后5天的最高气温相对比较稳定 【分析】本题考查求方程，利用方差判断稳定性，先根据方差的计算公式求出方差，再比较两个方差的大小即可得出结论． 解：，， 因为， 所以今年11月最后5天的最高气温相对比较稳定． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求方差，先求出小明再跳两次后成绩的平均数，然后根据方差公式进行计算即可． 解：由题意，小明再跳两次后成绩的平均数为：， ∵小明6次成绩的方差为， ∴小明8次跳远成绩的方差为：； 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知数据的方差是4，则一组新数据的方差是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．根据方差的计算方法进行即可求解． 解：数据的方差是4，设数据的平均数为， ∴， ∴， 设一组新数据，，…，的平均数为， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【题型8】由方差作出判断 【例8】（2025九年级下·上海·专题练习）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； (1)将下表填完整： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 0 乙（人数） 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)178；178 (3)甲仪仗队 【分析】本题考查数据的整理，求加权平均数和方差，掌握方差的计算公式是解题的关键 （1）仔细分析表中数据即可得到结果； （2）根据加权平均数公式分别计算即可； （3）先分别计算出两支仪仗队身高的方差，再比较即可判断． 解：（1）填表为： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 3 0 乙（人数） 2 1 4 1 2 （2）甲队队员身高的平均数为：（厘米） ， 乙队队员身高的平均数为：（厘米）； 故答案为：178；178 （3） ∵， ∴甲仪仗队身高更为整齐． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】C 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差公式，结合题中数据代值求解即可得出结论． 解：设这组数据为前9个数分别为，，，，， 由题意可知， ， 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·北京石景山·期末）甲、乙两名同学在相同的情况下，分别进行了五次“引体向上”的考前预测，得到两组成绩（单位：个）数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 观察、比较两组数据，成绩比较稳定的同学为 （填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题主要考查了方差的应用，熟练掌握方差的定义和公式是解题关键．分别求得甲、乙两人成绩数据的方差，比较即可获得答案． 解：甲同学成绩的平均数为， 则甲同学成绩的方差为， 乙同学成绩的平均数为， 则乙同学成绩的方差为， 因为， 所以，成绩比较稳定的同学为乙． 故答案为：乙． 【题型9】方差与中位数、众数综合 【例9】（2024·上海·模拟预测）一组数据共4个数，众数为6，中位数为5，平均数为4，方差为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了方差、众数、中位数、平均数，先根据题意得到该组的四个数据为，再根据方差的定义进行解答即可． 解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，且平均数是4，则这组数总和为， ∴这组数据中有两个6， ∵中位数为5， ∴从小大排列后第三个数据为， ∴最小的数据为， 即这组数据为， ∴方差为 故答案为：6 【变式1】（2022·四川乐山·二模）某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A．平均数是 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数及方差，熟练掌握它们的计算公式是解题的关键；根据平均数、中位数、众数、方差的定义和计算公式，分别进行计算即可得出正确答案． 解：∵一共有10人， ∴平均数为，故A选项错误，不符合题意； 最中间的数是第5个和第6个数的平均数， ∴中位数是；， ∴中位数为3元，故B选项正确，符合题意； ∵每天使用3元零花钱的有4人，最多， ∴众数为3元，故C选项错误，不符合题意； 方差为： ，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）2025年山西中考体育总分为分，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“一分钟跳绳”测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为分． 甲组成绩统计表： 成绩 12 13 14 15 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)_______，甲组成绩的中位数是_______，乙组成绩的众数是_______； (2)参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ 【答案】(1)3；13.5；13 (2)，乙组成绩更稳定 【分析】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出，再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数； （2）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案． 解：（1）解：（人， 把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则中位教是（分， 乙组成绩13分出现的次数最多，出现了9次， 则乙组成绩的众数是13分． 故答案为：3；13.5；13； （2）解：乙组的平均数是（分）， 乙组的方差是： ； ， 乙组的成绩更加稳定． 【点拨】此题考查了平均数、众数、中位数、平均数、方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·江苏南通·中考真题）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 7 B m C n D 6 E 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组； (3)若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？ 【答案】(1)20，15 (2)B (3)648个 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数的定义，以及用样本估计总体等知识． （1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值， 再用50减去其他组别的频数，即可求出m的值． （2）根据中位数的定义即可得出答案． （3）用样本估计总体即可． 解：（1）根据题意可知：， 解得：， ∴， 故答案为：20，15； （2）∵一共有50组用水量数据， ∴50组数据从小到大排列，中位数为第25位和26位的平均数，即中位数在B组． ∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组， 故答案为：B； （3）（个）， 故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个． 【例2】（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【答案】(1)36 (2)14 (3)300 (4)6 【分析】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数； （3）用样本估计总体即可； （4）根据原来的众数是读书册数为5册，且读课外书为5册的人数为14人，根据读课外书册数为6册的人数为9人，与读书册数为5册的人数最接近，再根据补查后众数发生改变，从而得到最少补查的人数． 解：（1）本次调查的学生人数为： （人）； （2）； （3）该校本学期读四册课外书的学生人数约为： （人）； （4）∵补查前读课外书册数最多的是五册， ∴补查前读课外书册数的众数为5， ∵补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另外一个数， ∴补查的人数最少为（人）． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 解：（1）乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： （2）甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； （3）甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 【例2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 【答案】(1) (2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是 【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算， （1）用待定系数法直接计算求出即可； （2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可． 解：（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系， 设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， 把，分别代入， ， 解得：， 则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 设， 把，分别代入， ， 解得：， ， 当时，， 当时，， 解得：， 答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时； ②当时，， ， 又， 从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： ， 当， 将代入得， 即停下时，， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段， 把代入， ， 解得：， ， 当时，， ， 由于休息时心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为， 设最大速度跑步的时间为， 则的时段：， ， 则他以最大速度跑步的时间至少是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 数据的分析（6大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【知识点2】中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 【知识点4】极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 【知识点5】要点五、极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 【知识点6】用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 知识点与题型目录 【考点一】平均数 【题型1】平均数............................................................2 【题型2】加权平均数........................................................3 【考点二】中位数与众数 【题型3】中位数与众数......................................................3 【题型4】中位数、众数与平均数..............................................4 【题型5】中位数、众数与统计图..............................................4 【题型6】中位数、众数与统计图、概率........................................6 【考点三】数据的离散程度 【题型7】求方差与极差......................................................6 【题型8】由方差作出判断....................................................7 【题型9】方差与中位数、众数综合............................................7 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型10】直通中考.........................................................8 【题型11】拓展延伸........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平均数 【例1】（24-25六年级上·山东威海·期中）一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是第一组8名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数） 0 0 (1)这个小组男生的达标率为______%； (2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？ 【变式1】（2023七年级上·江苏·专题练习）某小组5名学生一次测试的平均成绩为80分，已知其中4名学生的成绩分别为82分、78分、90分、75分，则另一名学生的成绩是（   ） A．72分 B．75分 C．80分 D．86分 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知，，，，的平均数是，则，，，的平均数是 ． 【题型2】加权平均数 【例2】（24-25八年级上·山东威海·期中）单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．6名选手得分如下： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． (1)已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·山东威海·期中）一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面变现进行综合评分，综合评分中笔试占、面试占、实习成绩占．各项成绩如表所示： 应聘者 笔试 面试 实习 甲 85 83 90 乙 80 85 92 则综合评分高的是应聘者 ． 【题型3】中位数与众数 【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）2024年宝安区3月25日至3月31日的气温（℃）如下表： 日期 25日 26日 27日 28日 29日 30日 31日 最低气温 20 21 21 20 20 22 23 最高气温 27 32 27 28 29 29 29 那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（　　） A．20，21 B．20，29 C．29，21 D．29，29 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（   ） 时间/小时 人数 A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）某公司销售部有销售人员27人，销售部为了制定某种商品的销售定额，统计了这27人某月的销售情况如下表： 销售量/件 500 450 400 350 300 200 人数 1 4 4 6 7 5 该公司销售人员这个月销售量的众数是 件，中位数是 件． 【题型4】中位数、众数与平均数 【例4】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是，中位数是，则的值为 ． 成绩（分） 30 25 20 15 人数 2 1 【变式1】（2023·湖南长沙·三模）《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若九年级五名男生的体重（单位：kg）分别为50，53，52，55，55，则这五位男生体重的中位数、众数、平均数的和是 ． 【题型5】中位数、众数与统计图 【例5】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）为了解某校八年级男生在体能测试引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出如下的统计图①和图②、请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机抽样调查的男生人数为____________，图①中的值为____________； (2)本次调查获取的样本数据的众数为____________次，中位数为____________次； (3)若规定引体向上6次及以上（含6次）为该项目良好，根据样本数据，估计该校900名八年级男生中该项目良好的人数． 【变式1】（23-24八年级下·福建泉州·期末）甲、乙两位同学记录了某一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于甲，乙两位同学该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（    ） A．乙的众数为70分钟 B．甲的中位数为63分钟 C．乙的方差比甲的大 D．甲的平均数比乙的大 【变式2】（2024·云南·模拟预测）2024年中国足球协会全国女子足球锦标赛1月30日在昆明打响，这是2024年第一项国内成年女足大赛．“铿锵玫瑰”要从校园抓起，某中学抽查了20名女学生上学期参加校园足球活动的次数，并根据数据绘制了如图所示的条形统计图，则这20名女学生上学期参加校园足球活动的次数的中位数是 ． 【题型6】中位数、众数与统计图、概率 【例6】（2024·四川乐山·一模）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定每个学生每天体育锻炼时间不少于1小时．某校为了解学生参加体育锻炼的情况，对初三（5）班学生参加体育锻炼的时间进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，如图甲和图乙． (1)根据图中的信息填空：初三（5）班共有 人；体育锻炼时间的众数是 小时；本次调查的学生参加体育锻炼的平均活动时间是 ； (2)请将条形统计图补充完整； (3)从初三（5）班的学生中随机抽出一个学生进行调查，抽到学生参加体育锻炼时间不少于1小时的概率是多少？ 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）从4，5，1，4，6，2六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的中位数的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·河北张家口·一模）有4个乒乓球，价格（单位：元）分别为7，8，9，8． （1）这4个数据的中位数为 （2）从中随机拿出一个球，一次拿到价格为众数的球的概率为 【题型7】求方差与极差 【例7】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）杨洋同学分析了他所在城市去年11月最后5天最高气温的平均值为，方差为2.6，并记录了该市今年11月份最后5天每天的最高气温（）分别为15、17、14、13、16，请你计算该市今年11月份最后5天每天最高气温的方差，并比较去年和今年哪一年11月最后5天的最高气温相对比较稳定？ 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平均数为7.8，方差为．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知数据的方差是4，则一组新数据的方差是 ． 【题型8】由方差作出判断 【例8】（2025九年级下·上海·专题练习）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； (1)将下表填完整： 身高（厘米） 176 177 178 179 180 甲（人数） 0 3 4 0 乙（人数） 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【变式2】（23-24八年级下·北京石景山·期末）甲、乙两名同学在相同的情况下，分别进行了五次“引体向上”的考前预测，得到两组成绩（单位：个）数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 观察、比较两组数据，成绩比较稳定的同学为 （填“甲”或“乙”）． 【题型9】方差与中位数、众数综合 【例9】（2024·上海·模拟预测）一组数据共4个数，众数为6，中位数为5，平均数为4，方差为 ． 【变式1】（2022·四川乐山·二模）某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 4 1 2 关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（　　） A．平均数是 B．中位数是3 C．众数是2 D．方差是4 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）2025年山西中考体育总分为分，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“一分钟跳绳”测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为分． 甲组成绩统计表： 成绩 12 13 14 15 人数 1 9 5 5 请根据上面的信息，解答下列问题： (1)_______，甲组成绩的中位数是_______，乙组成绩的众数是_______； (2)参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·江苏南通·中考真题）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 7 B m C n D 6 E 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)这50个家庭去年月均用水量的中位数落在______组； (3)若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？ 【例2】（2024·山东德州·中考真题）某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图． 册数 四册 五册 六册 七册 人数 6 a 9 7 (1)本次调查的学生人数为________； (2) ________； (3)已知该校共有1800名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数________； (4)学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同．将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为________． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【例2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示． （单位：秒） 0 5 10 15 20 （单位：次/分钟） 80 90 100 110 120 (1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大， ①请估计小南跑步的最大速度； ②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$