精品解析：福建省龙岩市新罗区龙岩初级中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题(12月份)

2024~2025学年第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列所给的事件中，是必然事件的是（　　） A. 买10注福利彩票会中奖 B. 某校的400名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 C. 连续4次投掷质地均匀的硬币，会有1次硬币正面朝上 D. 2024年的春节假期长沙会下雪 2. 电压为定值，电流与电阻成反比例，其函数图象如图所示，则电流与电阻之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 随的增大而减小 C. 图像不可能和轴相交 D. 图像是轴对称图形但不是中心对称图形 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 9. 如图，的直径为8，P是上一动点，半径，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知扇形的圆心角为，半径是，则扇形的面积为______． 12. 一个盒子中有m个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则______． 13. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 14. 若，则___________． 15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度） 16. 边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于，两点，过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于，两点，连接，，，则__________． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；在其他情况下小明获胜； ． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 19. 如图，在中． （1）尺规作图：以边上一点为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（）的条件下，连接，记与边的另一交点为，，．求的半径． 20. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 21. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 23. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． （1）若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； （2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 24. 【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】 如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，． （1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】 （2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 25. 定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． （1）如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； （2）如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； （3）已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； （4）如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期第二次质量检测 九年级数学试题 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列所给的事件中，是必然事件的是（　　） A. 买10注福利彩票会中奖 B. 某校的400名学生中，至少有2名学生的生日是同一天 C. 连续4次投掷质地均匀的硬币，会有1次硬币正面朝上 D. 2024年的春节假期长沙会下雪 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：A. 买10注福利彩票会中奖是随机事件，不符合题意； B. 某校的400名学生中，至少有2名学生的生日是同一天是必然事件，符合题意； C. 连续4次投掷质地均匀的硬币，会有1次硬币正面朝上是随机事件，不符合题意； D. 2024年的春节假期长沙会下雪是随机事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件是在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件是在一定条件下，不可能发生的事件；随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 2. 电压为定值，电流与电阻成反比例，其函数图象如图所示，则电流与电阻之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题求反比例函数解析式，点在函数图象上，就一定适合这个函数解析式．设函数解析式为，由于点在函数图象上，故代入可求得的值． 【详解】解：设函数解析式为，代入点， 那么有 解得 故选：A． 3. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 随的增大而减小 C. 图像不可能和轴相交 D. 图像是轴对称图形但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟记性质是解题的关键．依据反比例函数的图像与性质逐一判断即可． 【详解】解：A．当时，，故点不在图像上，此选项错误，不符合题意； B．在每一象限内随的增大而减小，故说法错误，不符合题意； C．图像不可能和轴相交，符合题意； D．图像既是轴对称图形又是中心对称图形，说法错误，符合题意； 故选：C． 4. 若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较. 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， 又∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键. 5. 如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列举法求概率；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故选：B． 6. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 7. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．由，，不妨设，，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解． 【详解】解：由，，不妨设，，， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝3，再求出△OCE的面积，即可得出k的值． 【详解】连接OB，如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积， ∵D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴△OAD的面积＝△OCE的面积， ∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝3， ∵BE＝2EC， ∴△OCE的面积＝△OBE的面积＝， ∴k＝3； 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 9. 如图，的直径为8，P是上一动点，半径，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，根据可判断点H在以为直径的圆上运动，则点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径是以为直径的半圆，然后根据勾股定理求出，最后根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 则点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴点H运动的路径长为， 故选：B． 10. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误； 由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即可判断④. 【详解】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z， ∵OD=OB， ∴∠ABD=∠ODB， ∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD， ∵∠AOD=2∠ABC， ∴∠ABC=∠ABD， ∴弧AC=弧AD， ∵AB是直径， ∴CD⊥AB， ∴①正确； ∵CD⊥AB， ∴∠P+∠PCD=90°， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC=∠P， ∴∠PCD+∠OCD=90°， ∴∠PCO=90°， ∴PC是切线，∴②正确； 假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC， ∴3∠ABC=90°， ∴∠ABC=30°， 已知没有给出∠B=30°，∴③错误； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵EF⊥BC， ∴AC∥EF， ∴弧CF=弧AG， ∴AG=CF， ∵OQ⊥CF，OZ⊥BG， ∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG， ∴OZ=CQ， ∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°， ∴△OCQ≌△BOZ， ∴OQ=BZ=BG， ∴④正确． 故选A． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关知识点. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知扇形的圆心角为，半径是，则扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数）是解题的关键． 已知扇形的圆心角，半径，代入公式（是扇形圆心角的度数）计算即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径是， ∴扇形的面积为， 故答案为： ． 12. 一个盒子中有m个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由于取得白球的概率是，故可利用概率公式求出摸到白球的概率列出等式，求出m的值． 【详解】解：， ∴， 经检验是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键． 13. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可． 【详解】解：∵，，， ， 圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，其中代入计算即可得解． 【详解】 设，，其中 故答案为：． 15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度） 【答案】70° 【解析】 【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数． 【详解】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°． 故答案为70°； 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 16. 边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于，两点，过点的双曲线的一支交其中两个正方形的边于，两点，连接，，，则__________． 【答案】． 【解析】 【分析】设，利用面积法得到，求出A点，再求出直线解析式，求出B点，再求出双曲线的解析式，求出D,C的两点，然后用矩形面积减去三个三角形面积即可. 【详解】解：设， 直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ，解得， ， 把代入直线得，解得， 直线解析式为， 当时，，则， 双曲线经过点， ， 双曲线的解析式为， 当时，，解得，则； 当时，，则， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系的综合运用，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键. 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 18. 相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；在其他情况下小明获胜； ． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由． 【答案】（1）此游戏所有可能出现的结果见详解 （2）此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，理解“配成紫色”的转法，掌握列表法或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据随机事件的概率计算公式进行求解是解题的关键． （1）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来即可； （2）根据（1）中的计算结果，再由概率公式计算配成紫色的概率和不能配成紫色的概率，进行判定即可． 【小问1详解】 解：如图所示，运用列表法把所有等可能结果表示出来， 红 蓝 红 黄 红 （红，红） （蓝，红） （红，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝） （黄，蓝） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （红，黄） （黄，黄） 【小问2详解】 解：此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由如下， 根据上述表格可得，共有种等可能结果，其中（红，蓝）或（蓝，红）的结果有种结果， ∴配成紫色的概率为，则不能配成紫色的概率为， ∵，即不能配成紫色的可能性大一些， ∴此游戏对小明、小芳不公平． 19. 如图，在中． （1）尺规作图：以边上一点为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（）的条件下，连接，记与边的另一交点为，，．求的半径． 【答案】（1）作图见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（）作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点； （）设，根据（）的条件知，在中，由勾股定理解即可求解； 本题考查了尺规作图—作角平分线，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 如图，作的角平分线，交边于点，以为圆心，线段的长为半径作，则与边相切于点， 【小问2详解】 如图所示，设， 由（）可知， ∵，， 在中，，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为． 20. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； （2） 证明： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可知，等量代换得，由得，进而得，即，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）得，可得，由得，由等边对等角可得，由余角性质得，由对顶角相等得，等量代换得，等角对等边即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的判定及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1））；（2）的面积为18；（3）或． 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式； （2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点， ∴设直线AB的解析式为， ∵直线AB过点， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为； （2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为， ∴， ∴， 联立，解得或， ∴，， 连接AC，则的面积， 由平行线间的距离处处相等可得与面积相等， ∴的面积为18． （3）∵，， ∴不等式的解集是：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． （1）若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； （2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由如下： ①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【解析】 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【小问1详解】 解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 24. 【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】 如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，． （1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】 （2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此视角最大，站在此处观赏最理想； （2）连接，，，，作于点，利用圆周角定理得到，证明为等边三角形，推出米，结合等边三角形性质得到米，再证明四边形为矩形，利用矩形的性质求解，即可解题； （3）根据等腰三角形性质结合题意得到，由（2）同理可知，四边形为矩形，结合矩形性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）， ， ， ， 视角最大，站在此处观赏最理想． （2）连接，，，，作于点， 由题知，米，， ， ， 为等边三角形， 米， ， 米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 米， 距地面的距离为（米)， 即观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米； （3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米， 米， ，， 米， 米， 由（2）同理可知，四边形为矩形， 米， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理． 25. 定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． （1）如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； （2）如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； （3）已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； （4）如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）的半径为或 （4） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形； （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再根据在圆心位置分类讨论，画出图形求解即可； （4）利用（2）中规律得到，，再设，半径为，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； 【小问4详解】 解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $