精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年上学期初三年第二次阶段练习数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 4. 如图， 内接于 ，是 的直径，连接 ，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块含 角的直角三角板 绕点顺时针旋转到 ，当在一条直线上时，三角板 的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 中，弦 的长为，点在 上，，． 所在的平面内有一点 ，若，则点 与 的位置关系是（ ） A. 点 在 上 B. 点 在 内 C. 点 在 外 D. 无法确定 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 10. 已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为___________． 11. 若关于 的方程的一个根是 ，则的值为______． 12. 如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ． 13. 如图，与 的相切于点，点是 上的一点，连接， ， 交 于点，若，则的度数是______． 14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心， 的长为半径画弧，得，则的长度为_____． 15. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝___． 16. 如图，正方形中，，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点P，M是线段 上任意一点，则的最小值为_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值，求：，当时的值． 19. 已知关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 20. 在平面内，给定不在同一条直线上的三点，如图所示，点 到点的距离均等于(为常数)，到点 的距离等于的所有点组成图形． （1）画出图形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）连接点 与 的中点，点在 的延长线上，连接，，．依题意补全图形，并求直线与图形的公共点个数． 21. 如图， 是 的外接圆，D是直径 上一点，的平分线交 于点E，交 于另一点F，． （1）求证：； （2）设 ，垂足为M，若，求 的长． 22. 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长 米，宽米，抛物线最高点到地面 的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于 轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架” ，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 23. 在 中，，，为平面内一点． （1）当在线段 上时，将线段绕点顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与 的位置关系并证明； （2）在（1）的条件下，连接交 于，过点作 的垂线交延长线于点，试判断线段与的数量关系并证明； （3）如图2，点位于 上方，且 ， 的面积为9，直接写出的长度． 24. 已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且 的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形 是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线 必过定点． 25. 中，，是 外接圆上的一点，且点是所对的弧的中点． （1）如图1，过点作于点， ①连接，则的度数为______； ②若，，求 外接圆的半径； （2）如图2，连接 ，过点的直线交 于点，交该外接圆于点，交的延长线于点；的延长线交于点．若，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期初三年第二次阶段练习数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷分三个部分，共25题； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3. 正多边形的中心角为 ，则正多边形的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为 ， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 4. 如图， 内接于 ，是 的直径，连接 ，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于 ． 由是 的直径，得 ，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解： 是 的直径， ， ， ， 故选：D． 5. 如图，一块含 角的直角三角板 绕点 顺时针旋转到 ，当在一条直线上时，三角板 的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解答的关键是掌握对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角．根据对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角即可解答． 【详解】 点 与点为对应点， 为旋转角度， 且， 三角板 的旋转角度为， 故选：A． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于 的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 7. 如图， 中，弦 的长为，点 在 上，，． 所在的平面内有一点 ，若，则点 与 的位置关系是（ ） A. 点 在 上 B. 点 在 内 C. 点 在 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出 的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与 的交点为， 为半径， 为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即 的半径为4， ， 点 在 外， 故选：C． 8. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）． 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 10. 已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为___________． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的公式，直接代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线， 故答案为：直线 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴为直线． 11. 若关于 的方程的一个根是 ，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解答此题的关键．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入原方程就可以得到一个关于的方程，解这个方程即可求出的值． 【详解】把代入方程得到， 解得． 故答案为． 12. 如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ． 【答案】∠ABC 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆， ∴， ∵E为CD延长线上一点， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键． 13. 如图， 与 的相切于点，点 是 上的一点，连接， ， 交 于点 ，若，则的度数是______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查圆内的角度求解，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知切线的性质．根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得出的度数，最后由三角形内角和求值即可． 【详解】 与 的相切于点， ， ，， ， ， 在中， ， 故答案为：． 14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心， 的长为半径画弧，得，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过 作于，由等腰三角形的性质和含 直角三角形的性质得到， ，在 中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的弧长公式即可得到结论． 【详解】解： 正六边形的边长为2， ，， ， ， 过 作于， ，， 在 中，， ， 同理可证，， ， 的长度为 故答案为：． 15. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先列出点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，然后表示出，，从而代入得到关于的分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是上述分式方程的解， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例线段的拓展应用，理解题中的新定义，准确根据线段比例列出相应方程并求解是解题关键． 16. 如图，正方形中，，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点P，M是线段 上任意一点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明 ，再作出点D关于 的对称点，从而可知当点P、M、在一条直线上时，路径最短，当点E与点D重合，点F与点C重合时，和均最短，即最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：，，最后由勾股定理即可求得的长，从而可求得的最小值. 【详解】如图， 根据运动可知： ， 正方形中，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 如图，作点D关于 的对称点，连接， 由轴对称的性质可知：，， ∴， 过点P作垂直于C，垂足为G， ∵ ，动点E从点A出发向点D运动，到D点停止运动，同时动点F从点D出发向点C运动，到C点停止运动， ∴可知P的轨迹为以 为直径的四分之一圆弧，当点E与点D重合，点F与点C重合时，和均最短， ∴此时最短． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P的位置是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，利用配方法，即可求解． 【详解】解： ， 解得：，． 18. 先化简，再求值，求：，当时的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 已知关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进而得到，代入，得到，即可得证． 【详解】证明：∵关于 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是非负数． 20. 在平面内，给定不在同一条直线上的三点，如图所示，点 到点的距离均等于(为常数)，到点 的距离等于的所有点组成图形． （1）画出图形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）连接点 与 的中点，点在 的延长线上，连接， ，．依题意补全图形，并求直线 与图形的公共点个数． 【答案】（1）见解析 （2） 个 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，切线的性质与判定； （1）点 到 、 、 的距离均等于则 、 、 三点共圆，可得图形是圆心为 ，半径为的圆； （2）先求得，得到，加上 为半径，得出 为切线，即可得出结论； 【小问1详解】 解： 点 到 、 、 的距离均等于， ， 、 、 三点共圆， 到点 的距离等于的所有点都在圆心为 ，半径为的圆上， 图形是圆心为 ，半径为的圆，如图 【小问2详解】 直线 与图形的公共点个数为 个， 连接 、 ，如图， 在四边形中，， ， ，点为 中点， ， ， ， ， ， 又为半径， 为切线， 直线 与图形公共点个数为 个． 21. 如图， 是 的外接圆，D是直径 上一点，的平分线交 于点E，交 于另一点F，． （1）求证：； （2）设 ，垂足为M，若，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵ 是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 又， ， ∴， ， ∴圆的半径， ∴， 在 中． ， ∴ 即 的长为． 22. 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长 米，宽米，抛物线最高点到地面 的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于 轴对称的支撑柱和，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架” ，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱的高度均为6米，求两根支撑柱，之间的水平距离． 任务3 确定搭建方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁．搭建成一个矩形“脚手架”，求出“脚手架”三根支杆的长度之和的最大值． 【答案】任务1：；任务2：两根支撑柱之间的水平距离为6米；任务3：“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解题关键求出函数的解析式． 任务1：由题意可得出顶点的坐标，设出抛物线解析式为，然后再把点 的坐标代入即可求出； 任务2：根据任务1中解析式可得出当 时对应 的值，两个 值相减即可得出水平距离； 任务3：设点坐标为，列出关于 的解析式，由函数的性质求最大值即可． 【详解】解：任务1： 四边形是矩形， （米， 点，点， 根据题意和图象可得，顶点的坐标为， 可设抛物线的解析式为：， 把点代入解析式可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 任务2：当 时，， 解得 ， （米， 两根支撑柱之间的水平距离为6米； 任务3：设点坐标为，、、的长度之和为 米， 则，， ， ， 当时， 有最大值，最大值为， “脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为米． 23. 在 中，，，为平面内一点． （1）当在线段 上时，将线段 绕点 顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与 的位置关系并证明； （2）在（1）的条件下，连接交 于，过点 作 的垂线交延长线于点，试判断线段与 的数量关系并证明； （3）如图2，点位于 上方，且 ， 的面积为9，直接写出的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意即可完成作图；连接，证明得，即可得 ； （2）在线段上截取，连接 ，先证明，则,再证明，则，证明完成； （3）过点A作交于N，连接 ，证明，得 ，由 的面积为9，即可求得结果． 【小问1详解】 补充作图如下： 与 的位置关系为 ， 连接，如图， ，， 由旋转性质得： ， ， ， 在与中， ， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 ，证明如下： 如图，在线段上截取，连接 ， ，， ， 由（1）知， ， 由（1）知， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【小问3详解】 如图，过点A作交于N，连接 ， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ，， ， 的面积为9， ， 即， ． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，证明全等是本题的关键． 24. 已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且 的面积为6． （1）求抛物线的对称轴和解析式； （2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形 是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； （3）若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线 必过定点． 【答案】（1）直线 , （2） （3） 证明：设，设直线的解析式为： ， 则， 解得：， ∴直线的解析式为： ， ∵直线过定点 ∴ 得： ∵直线 过N点， ∴ ， ， ∴ 令 ， 解得： ∴ 设直线 的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线 的解析式为： ， ∵ ， ∴直线 的解析式为： ， 当时， ， ∴直线 必过定点 【解析】 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据 的面积可得点 的坐标，据此即可求解； （2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解； （3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得 ；结合题意可求出点，即可进一步求出直线 的解析式，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴ 令 ，则 ∴ ∵ 的面积为6． ∴ ， 解得： ∴ ， 将代入得： ， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ 设点， ∵四边形 是平行四边形， ∴ 且 ∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上， ∴ ， 解得： ∴ ∴平移后抛物线的表达式为： 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键． 25. 中，，是 外接圆上的一点，且点是所对的弧的中点． （1）如图1，过点作于点， ①连接，则的度数为______； ②若，，求 外接圆的半径； （2）如图2，连接 ，过点 的直线交 于点，交该外接圆于点，交的延长线于点；的延长线交于点．若，，求证：． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据直角所对的圆周角是直角可得 是直径，进而可得，根据点是所对的弧的中点得出，即可求解； ②过点作 于点 ，证明得出，，进而得出四边形是正方形，求得，进而根据勾股定理，求得 ，即可求解； （2）过点作于点，过点作 于点 ，同（1）得出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，结合已知，得出，根据等边对等角可得，进而得出 是直径，即可得出是圆心，即可得证． 【小问1详解】 解：①∵，是 外接圆上的一点， ∴ 是直径，， 又∵点是所对的弧的中点 ∴ ∴ 故答案为：． ②如图所示，过点作 于点 ， ∵， ∴， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵ ∴， 又∵ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形， ∴ ∴ 在 中， ∵ 是直径， ∴ 外接圆的半径为 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作 于点 ， 由（1）可得四边形是正方形， ∵， 即 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 是直径， 又∵ 是直径， ∴是圆心， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $