精品解析：重庆市开州区德阳教育集团2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

开州区德阳初中教育集团2025届九（上）第二次学业水平测试 数学试卷 范围：考至《九上》结束 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有—个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在，，2，0这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 初三（1）班王同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第8个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A. 33 B. 25 C. 24 D. 17 8. 在中，直径弦，连接，且，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于正整数a、b定义一种新运算如下：等于由a开始的连续b个正整数的和，比如：，，．给出如下结论：①；②对任意正整数n，的运算结果一定是3的倍数；③对任意正整数n，；④对任意正整数m，n，代数式的值都大于1．在上述结论中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11 计算：______． 12. 若正多边形一个内角是，则该正多边形的边数是______． 13. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，1，把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张记下数字为a（不放回），在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则的和为0的概率为______． 14. 如图，在中，，，，以边上一点O为圆心作，恰与边，分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为______． 15. 将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线BC上，连接BE，若，，，则AD的长为______． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 17. 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为______米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为______米． 18. 对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“玖贰数”则符合条件的A的最大数为______，，，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为______． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. “感受数学魅力，提升数学素养”，我校在数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：； 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 a 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 21. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 22. 如图，在中，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． （1）请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； （3）若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是______． 23. 2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东方向上，且米（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到1）； （2）已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到） 24. 近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600千米，由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的，这样甲队比乙队晚2天到达营地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ （2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求m的值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． （3）将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 26. 在中，，为边上的中点，连接． （1）如图1，若时，，求的面积； （2）如图2，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：． （3）如图3，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开州区德阳初中教育集团2025届九（上）第二次学业水平测试 数学试卷 范围：考至《九上》结束 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有—个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在，，2，0这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数即可得． 【详解】解：在，，2，0这四个数中，大小关系为， 则最小的数是， 故选：D． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 初三（1）班王同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室门，只有A能开门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．直接利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵四把钥匙去开教室门，只有能开门， ∴任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是， 故选：D． 4. 已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先求出，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∵， ∴， 故选：C． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求二次函数的顶点坐标方法是解题关键．直接根据抛物线的顶点式求解即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 7. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图中有3张黑色正方形纸片，第2个图中有5张黑色正方形纸片，第3个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第8个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A. 33 B. 25 C. 24 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，从已有的图形中，概括出相应的数字规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：后一个图形比前一个图形多2个图形， ∴第n个图形有：张黑色正方形纸片， ∴第8个图中黑色正方形纸片的张数为． 故选：D． 8. 在中，直径弦，连接，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题关键是根据垂径定理得出两条弧相等，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：连接，在中，直径， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交于点G，先根据矩形的性质证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质证明，所以，继而证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长，交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 对于正整数a、b定义一种新运算如下：等于由a开始连续b个正整数的和，比如：，，．给出如下结论：①；②对任意正整数n，的运算结果一定是3的倍数；③对任意正整数n，；④对任意正整数m，n，代数式的值都大于1．在上述结论中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算．根据新定义的运算逐项进行计算即可解答． 【详解】解：①由题意可得，， ∴ 故①正确； ∵， ∴对任意正整数n，的运算结果一定是3的倍数； 故②正确； ∵ ， 故③正确； ④∵ ∵ ∵m是正整数， ∴， ∴， ∴对任意正整数m，n，代数式的值都小于1． 故④错误； 综上可知正确的是①②③， 故选：C 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值和零次幂，熟练掌握绝对值和零次幂的运算法则是解题的关键． 首先化简绝对值和计算零次幂，然后相加即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 若正多边形一个内角是，则该正多边形的边数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．设该正多边形的边数是，根据多边形的内角和建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该正多边形的边数是， 则， 解得， 所以该正多边形的边数是5， 故答案为：5． 13. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，1，把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张记下数字为a（不放回），在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则的和为0的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得随机抽取两张卡片的所有等可能的结果，再找出的和为0的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机抽取两张卡片共有6种等可能的结果，其中，的和为0的结果有2种， 则的和为0的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，以边上一点O为圆心作，恰与边，分别相切于点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、圆的切线的性质、切线长定理、解直角三角形等知识，熟练掌握扇形的面积公式和解直角三角形的方法是解题关键．先解直角三角形可得，再根据圆的切线的性质和切线长定理可得，，从而可得的长，然后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵边，分别与相切于点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 则阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 15. 将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线BC上，连接BE，若，，，则AD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和勾股定理． 过作于，因为，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，． 【详解】解：过作于，如图： 由旋转可知， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 17. 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为______米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为______米． 【答案】 ① 5 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，解题关键是矩形判定定理和垂径定理的应用． 根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．，求出．根据四边形为矩形即可得到答案． 【详解】解：垂直，点C是弧中点， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米． ， 即， 解得． 过点作于点，连接． 米， （米． ， 四边形为矩形， ，， （米． 米， 米． 米． 故答案为：5；1． 18. 对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“玖贰数”则符合条件的A的最大数为______，，，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式的应用等知识，根据题意求出当时，A的最大数为，根据题意求出当，则或，当，则或，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的四位正整数A的和． 【详解】解：∵四位正整数是“玖贰数”． ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴，，， 可得到A为， 当时，A的最大数为； ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∵能被7整除， ∴当，则或， 当，则或， 当时，，不符合题意； 当时， ∴ 当时，或1， ∴此时或 ∴此时四位正整数A为3576或1578； 当时，，和b重复，应舍去，或（舍去）， 综上所述，所有满足条件的四位正整数A为或， ∴所有满足条件的四位正整数A的和为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. “感受数学魅力，提升数学素养”，我校在数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：； 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 a 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1） （2）七年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于于八年级，所以七年级的成绩更好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，分别比较中位数，众数和方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好． 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数450人． 21. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③；④两交点到顶点的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是解题的关键．用尺规作图作出过A与垂直的垂线；由菱形的性质易证，则可得；由此可归纳出结论． 【详解】解：作图如下： 证明：四边形是菱形， ，，； ， ； ， ， ， ； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 22. 如图，在中，，，点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． （1）请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； （3）若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据运动路径和速度确定的取值范围，再分和两种情况，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据二次函数和一次函数的图象的画法即可得； （3）结合函数图象，找到两个临界位置，将点和代入求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为；点从点运动到点所需时间为， 当时，则，， 此时的面积为； 当时，则，， ∴， 此时的面积为， 综上，与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：在平面直角坐标系中，画出的函数图象如下： 这个函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：如图，有两个临界位置： 将点代入得：， 解得， 将点代入得：， 解得， 所以若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 23. 2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东方向上，且米（参考数据：，，） （1）求的长度（精确到1）； （2）已知空中缆车速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到） 【答案】（1）620米 （2）应选择乘坐观光车 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后根据求解即可得； （2）先利用勾股定理求出的长，再根据时间等于路程除以速度求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 由题意可知，， 则四边形是矩形， ∴， ∵，米， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∴（米）， 答：的长度为620米． 【小问2详解】 解：∵，米，米， ∴米， ∵空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米， ∴乘坐空中缆车所需时间为（分钟）， 乘坐观光车所需时间为（分钟）， ∵， ∴应选择乘坐观光车． 24. 近日，气温骤降，阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪，两队登山爱好者计划同一天出发，沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合。甲队走A路线，全程1200千米，乙队走B路线，全程1600千米，由于A路线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队的，这样甲队比乙队晚2天到达营地． （1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？ （2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元．甲队最开始计划有8个人同行，计划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费18720元，求m的值． 【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，利用速度路程时间，结合乙队平均每天行驶的路程是甲队的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队计划到达目的地的时间，再将其代入中，即可求出甲队计划到达目的地的时间； （2）根据两队共需花费18720元，可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴， 答：甲队计划6天到达目的地，乙队计划4天到达目的地； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为5． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． （3）将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2），周长的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，，再由可得点B的坐标，将点B的坐标代入可得出b的值，即可得抛物线的解析式； （2）由，得直线解析式为，证明是等腰直角三角形，知，设，，则，根据二次函数性质可得答案； （3）先由抛物线y的解析式得到新抛物线的解析式，再得出新抛物线的对称轴和点N的坐标，再由已知得，进而得，画出满足条件的点M，分两种情况，分别求出点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：令，则， ∴，， ∵， ∴， 将，代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴周长， ∴当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， 当时，有最大值，为2，此时，， ∴当时，的周长有最大值，为； 【小问3详解】 解：∵， ∴将抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，，即， ∴， 令，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，分以下两种情况： 当时，， ∴， ∴； 当时，和y轴交于点F，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ∴． 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，全等三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 26. 在中，，为边上的中点，连接． （1）如图1，若时，，求的面积； （2）如图2，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：． （3）如图3，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，得出，，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）连接，，利用等边三角形的判断方法判定出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，，由全等的性质得到，利用四点共圆，证出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到为等腰直角三角形后即可解答； （3）同（2）可得，得出在的角平分线上运动，根据，当在上时，最大，进而得出，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵为边上的中点， ∴ 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， ∵，为边上的中点， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵已知 ∴ 又∵， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【小问3详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∴是等边三角形 如图所示，同（2）可得， ∴ ∴在的角平分线上运动， ∴当时，最小， ∴在上， 如图所示，连接 ∵，是等边三角形 ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵将沿翻折得， ∴，当在上时，最大 ∵为边上的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$