数学（上海卷02）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）02·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则 ． 【答案】 【解析】解：因为集合，， 所以 故答案为： 2．直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】 【解析】由可知，直线斜率为， 因为，即， 所以倾斜角的大小为. 故答案为： 3．已知、不共线，向量，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，使得成立，即. 因为、不共线，所以，所以，. 故答案为：. 4．若随机变量，且，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】因为随机变量，且， 所以，解得， 所以， 故答案为：． 5．若且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则， 当，即或时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．已知，方程一个虚根为，则 ． 【答案】 【解析】因为方程一个虚根为， 则其另一个虚根为， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 7．在中，内角的对边分别为，若，且，则 ． 【答案】1 【解析】因为，两边同时乘以得：， 由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，故， 又因为，所以. 故答案为：1 8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 【答案】3 【解析】由题意可知：，，， 因为独立，所以， 即，结合均随n的增大而增大， 故. 故答案为： 9．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 【答案】 【解析】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 10．若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是 ． 【答案】 【解析】由任意点线段上，端点除外，在上存在关于轴对称得两点使得为等边三角形， 即存在点使得，所以存在点使得， 由双曲线的其中一条渐近线方程为， 则满足的斜率大于或等于，即，所以， 又由，所以实数的取值范围为. 故答案为：.    11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 ．    【答案】 【解析】设第层有和球，则，，，，， 所以当时， ， 当时，也适合上式， 故， 所以这层三角垛的球数之和为 ， 因为，所以单调递增， 当时，，剩余球数为个， 当时，， 所以剩余球数的最小值为个. 故答案为：. 12．已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，，， 由三角不等式， 得恒成立， 所以，即， 当或时，等号成立， 此时， 所以要对任意实数都成立，需满足. 同理恒成立， 所以，即， 当时，等号成立， 此时， 所以要对任意实数都成立，需满足. 综上所述，，即的取值集合为. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 14．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，令，得，令，得，所以，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，当时，， 构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 且当时，，所以，函数在上单调递减， 因为， 由可得，即， 所以，，故， 即或，解得或. 故选：C. 16．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】对于①，依题意，设正方体的棱长为， 当为正方体的一条体对角线， 不妨设与线段重合，在正方体各面上的投影长为， 此时， 当平面时，在面、的投影长为， 在面、、、的投影长为，此时， 故不是定值，①错误； 对于②，当与正方体的棱平行时，不妨设平面垂直， 此时与棱、、、、、、、都垂直， 与棱、、、都平行，此时， 当不与正方体的棱平行时，过点、分别作正方体的棱的平行线， 构成长方体， 设与棱、、所成的角分别为、、， 由图可知，，同理可得，， 由长方体的几何性质可得， 所以，此时， 所以为定值，故②正确. 故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以， （4分） 又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. （6分） （2）解法一：因为，即，且异面直线与所成的角为，即， 又平面平面， 又，由三垂线定理可得， 因此是二面角的平面角，，所以， 不妨设，则， 以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（其中， 则， （7分） 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，可得， （9分） 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （14分） 解法二：过作，交的延长线于，连接， 由（1）知： ， 因为，所以， 因为，即， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又是在平面上的射影，由三垂线定理知，， 又，所以平面， 再过作，交于， 因为平面平面，所以， 又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角， 因为平面，由三垂线定理， 因此是二面角的平面角，， 设，则， 因为所以四边形为正方形， 所以， 所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） 由于函数的图像与函数的图像关于轴对称， 设上任一点关于轴对称的点在的图像上， 即，故； （6分） （2）因为， 所以 所以，令， 则等式成立等价为在上成立， （8分） ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故得取值范围是 （14分） 19．某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分） 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 第一次 82 89 78 92 81 第二次 83 90 75 95 76 (1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差． 【解析】（1）表中2人第一次成绩优于第二次成绩,3人第二次成绩优于第一次成绩. 设事件为在5名学生中先抽取2名学生其中至少有1名同学第一次成绩高于第二次成绩,事件为抽取的第三名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩. 则， ， 所以， 则抽一名学生，且该生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 . （6分） （2）共种， ， ， 随机变量可能的取值为0,1,2. ， 则随机变量的分布列为:， （10分） 的数学期望， . （14分） 20．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点.    (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，， ∴,又∵当直线 垂直于 轴时，直线的方程为， 由得，， ∴弦AB的长为. （4分） （2）∵，且直线过点F， ∴，在中，， ∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点, ∴,又由椭圆的定义可得， ∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上， ∴为椭圆的上顶点或下顶点， ∴或. （10分） （3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设， ∴， 故； 当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：，设， 由得，， ∴， ∴， 化简得， （12分） ①当， ，当且仅当时等式成立； ②当，，当且仅当时等式成立； ③当，； 综上所述可得，的取值范围为. （18分） 21．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围． (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【解析】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （4分） （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， 当时，，所以在单调递增， ，不合题意； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减． 若要使恒成立，则需，解得， 故此时； 当时，， 所以在单调递减， 所以，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （10分） （3）①，，故， 构造函数， ，则 函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． （18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）02·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4．/ 5． 6． 7．1 8．3 9． 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 D B C D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）因为为棱的中点， 所以且，所以四边形是平行四边形. 所以， （4分） 又平面不在平面上， 由线面平行的判定定理知，平面. （6分） （2）解法一：因为，即，且异面直线与所成的角为，即， 又平面平面， 又，由三垂线定理可得， 因此是二面角的平面角，，所以， 不妨设，则， 以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，（其中， 则， （7分） 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则，可得， （9分） 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （14分） 解法二：过作，交的延长线于，连接， 由（1）知： ， 因为，所以， 因为，即， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又是在平面上的射影，由三垂线定理知，， 又，所以平面， 再过作，交于， 因为平面平面，所以， 又，所以平面，所以即为直线与平面的所成角， 因为平面，由三垂线定理， 因此是二面角的平面角，， 设，则， 因为所以四边形为正方形， 所以， 所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．（1） 由于函数的图像与函数的图像关于轴对称， 设上任一点关于轴对称的点在的图像上， 即，故； （6分） （2）因为， 所以 所以，令， 则等式成立等价为在上成立， （8分） ， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 故得取值范围是 （14分） 19．（1）表中2人第一次成绩优于第二次成绩,3人第二次成绩优于第一次成绩. 设事件为在5名学生中先抽取2名学生其中至少有1名同学第一次成绩高于第二次成绩,事件为抽取的第三名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩. 则， ， 所以， 则抽一名学生，且该生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 . （6分） （2）共种， ， ， 随机变量可能的取值为0,1,2. ， 则随机变量的分布列为:， （10分） 的数学期望， . （14分） 20．（1）由题意可知，， ∴,又∵当直线 垂直于 轴时，直线的方程为， 由得，， ∴弦AB的长为. （4分） （2）∵，且直线过点F， ∴，在中，， ∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点, ∴,又由椭圆的定义可得， ∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上， ∴为椭圆的上顶点或下顶点， ∴或. （10分） （3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设， ∴， 故； 当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：，设， 由得，， ∴， ∴， 化简得， （12分） ①当， ，当且仅当时等式成立； ②当，，当且仅当时等式成立； ③当，； 综上所述可得，的取值范围为. （18分） 21．（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （4分） （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， 当时，，所以在单调递增， ，不合题意； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减． 若要使恒成立，则需，解得， 故此时； 当时，， 所以在单调递减， 所以，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （10分） （3）①，，故， 构造函数， ，则 函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． （18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则 ． 2．直线的倾斜角的大小为 ． 3．已知、不共线，向量，，且，则 ． 4．若随机变量，且，则的值是 ． 5．若且满足，则的最小值为 ． 6．已知，方程一个虚根为，则 ． 7．在中，内角的对边分别为，若，且，则 ． 8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 9．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 10．若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是 ． 11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 ． 12．已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 14．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 19．某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分） 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 第一次 82 89 78 92 81 第二次 83 90 75 95 76 (1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差． 20．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点. (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 21．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围． (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（上海卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设集合，，则 ． 2．直线的倾斜角的大小为 ． 3．已知、不共线，向量，，且，则 ． 4．若随机变量，且，则的值是 ． 5．若且满足，则的最小值为 ． 6．已知，方程一个虚根为，则 ． 7．在中，内角的对边分别为，若，且，则 ． 8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为 ． 9．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 10．若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是 ． 11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 ． 12．已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 14．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称. （1）求函数的解析式； （2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 19．某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分） 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 第一次 82 89 78 92 81 第二次 83 90 75 95 76 (1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率； (2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差． 20．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点. (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 21．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围． (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． _________ ___________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$