专题04 直角三角形的边角关系单元过关（培优版）-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题03 直角三角形的边角关单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．计算3tan30°的值等于（　　） A． B． C． D． 2．在中，， ，则的值是（  ） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 4．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（      ） A．1 B． C． D． 5．小明沿着坡角为45°的坡面向下走了5米，那么他竖直方向下降的高度为(   ) A．1米 B．2米 C．米 D．米 6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（    ）． A． B．3 C． D．2 7．如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 9．如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，在中，，，定长线段的端点，分别是边，上的动点，是的中点，连接．设，，与之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知，则图象最低点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 12．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4米，那么相邻两树间的坡面距离为 米． 13．在中，，分别为的对边，若，则的值为 ． 14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，连接AC，BD交于点O，AO＝2，点E为边CD的中点，F，G分别为CD，BD上的点（点F不与点E重合），则EG+FG的最小值是 . 15．将两个直角三角形按如图所示叠放在一起，，则的值是 ． 16．如图，在矩形中，，，M为对角线上的一点（不与点B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．若，则 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： 2tan45°-  -260°+cos30° 18．高铁给我们的出行带来了极大的方便．如图，高铁列车座椅后面的小桌板收起时，小桌板的支架的底端N与桌面顶端的距离，且可以看作与地面垂直．展开小桌板时桌面保持水平，即，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．若，，求展开小桌板时点到的距离（结果精确到，参考数据：，，，，）． 19．为了办人民满意的教育，某校大门口建造了供家长休息的凉亭（如图1）．图2是抽象出的平面几何图形，已知点D，A，E在同一水平线上，测得，，米，米．求凉亭最高点B到地面的距离的长．（，，，，结果精确到0.01米）    20．如图，市交通部门要在宽为米（即）的城北街两边安装路灯（路灯主杆垂直于地面），路灯的灯臂长2米，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中心轴线与灯臂垂直． (1)探索灯臂与灯柱的夹角和灯罩中心轴线与地面所成的夹角之间的数量关系； (2)当灯罩的轴线DO刚好通过街道的中心线（即为的中点）时照明效果最佳，若，试说明当灯柱时，照明效果是否达到最佳？（结果保留一位小数）（参考数据：，，） 21．如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点，连结并延长到点，使，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则______． 22．资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 23．一个周末，小明在文化广场放风筝．如图是小明在放风筝某时段的示意图，他在处时的风筝线（整个过程中风筝线是拉直状态）与水平线构成角，线段表示小明身高1.7米．若小明在往后退6米到达点处时，风筝线与水平线构成角，此时风筝到达点E处，风筝移动的水平距离米，这一过程中风筝线的长度保持不变．（参考数据：）求： (1)求的长度． (2)风筝原来的高度． 24．综合与实践 已知，矩形矩形，如下图所示摆放，点和点重合，其中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与交于点，与直线交于点，，交于点， (1)如图2，旋转过程中与始终相等，请证明该结论； (2)①图2中，延长，，交于点，判断四边形的形状，并说明理由； ②当点落在线段上时（如图3）与交于点，此时=________； (3)继续旋转矩形，当，，三点共线时，连接，将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时的长． 25．如图，在菱形ABCD中，，，过点D作于点E，于点F． (1)如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：； (2)如图2，将以点D为旋转中心顺时针旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当的面积等于时，求旋转角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直角三角形的边角关单元过关（培优版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．计算3tan30°的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】直接根据特殊角三角函数值可得答案． 【详解】解：3tan30°=， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 2．在中，， ，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题主要考查三角函数的定义，由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理可求得b，再利用余弦的定义代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， 设， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，据此求解即可． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴cosA ，∠A+∠B=90°， ∴sinB=cosA=． 故选：A． 【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 4．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（      ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据图形，可以得到的值，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， ， 故选：A． 5．小明沿着坡角为45°的坡面向下走了5米，那么他竖直方向下降的高度为(   ) A．1米 B．2米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】画出图形，利用所给角的正弦值解答即可得答案. 【详解】如图，AB=5米，∠ABC=45°，∠C=90°， ∴AC=AB×sin45°=5×=， 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比.熟练掌握三角函数的定义是解题关键. 6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（    ）． A． B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、求角的正切值 【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解． 【详解】解析  设小正方形的边长为1， 由图形可知，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用． 7．如图，中，，BD、AC相交于点D，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，可得，可得，由，可求出的长，再由，可得，由此在中可分别求出和的长，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点， 则， ，， ，， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，， ，， ， ∴在中，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等相关知识，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键． 8．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【详解】解：如图：连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键 9．如图，矩形ABCD长与宽的比为5：3，点E、F分别在边BC、CD上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cos（∠1+∠2）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a，可求CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，由“SAS”可证△ABE≌△ECF，可得AE＝EF，∠1＝∠FEC，可求∠EAF＝45°，即可求cos（∠1+∠2）的值． 【详解】连接EF ∵矩形ABCD长与宽的比为5：3， ∴设AB＝3a＝CD，AD＝BC＝5a， ∵， ∴BE＝2a，DF＝a， ∴CF＝2a＝BE，EC＝AB＝3a，且∠B＝∠C＝90° ∴△ABE≌△ECF（SAS） ∴AE＝EF，∠1＝∠FEC ∵∠1+∠AEB＝90° ∴∠AEB+∠FEC＝90° ∴∠AEF＝90°，且AE＝EF ∴∠EAF＝45° ∴∠1+∠2＝45° ∴cos（∠1+∠2）＝. 故选B． 【点睛】考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，证明△ABE≌△ECF是本题的关键． 10．如图所示，在中，，，定长线段的端点，分别是边，上的动点，是的中点，连接．设，，与之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知，则图象最低点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、根据特殊角三角函数值求角的度数、用勾股定理解三角形 【分析】先根据特殊角的三角函数值判断出的度数，从而得到三边2的数量关系，再根据图象得到函数取最大值时即的最大值，求出、、，最后根据点的运动轨迹得出最小时的图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题中图可知，当点与点重合时，最大， 即最大，为． 如图所示， ，， ， ， ． 设，， 是的中点， ， ， 解得， ，． 当点与点重合时，如图所示， 此时最小，即最小，为， 是中点， ， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是动点问题的函数图象、根据特殊角三角函数值求角的度数、勾股定理，解题关键是根据题中条件算出、、的长度． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 【答案】2 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案． 【详解】解： =2 故答案为：2． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 12．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4米，那么相邻两树间的坡面距离为 米． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据题意画出图形，如图，根据坡度的概念求出米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∵AB的坡度为0.5， ∴, ∵米, ∴米， 在中，米． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意画出图形，熟知坡度的概念是解题的关键． 13．在中，，分别为的对边，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法、求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理可知：， ， ， ， ，， ，即：， 求出或（舍去）， 在中：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，． 14．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，连接AC，BD交于点O，AO＝2，点E为边CD的中点，F，G分别为CD，BD上的点（点F不与点E重合），则EG+FG的最小值是 . 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长、特殊三角形的三角函数、全等三角形综合问题 【分析】在AD边上找一点H使得DH=DF，则易证得HG=GF，则，要求其最小值，即使得H、G、E三点共线，且HE⊥AD，此时就有最小值，通过已知的长度和角度条件，问题得解． 【详解】如图，在AD上取一点H，使得DH=DF， 在菱形ABCD中，有∠BAD=120°， ∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=∠BAD=120°，AC⊥BD，∠ADC=∠ABC=60°， ∴∠ADO=∠CDO=30°， ∴∠OAD=60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴DC=AC=2AO=4， ∵DH=DF，DG=DG， ∴， ∴HG=GF， ∴， 可知当H、G、E三点共线，且HE⊥AD时，最小，且为HE的长度， 如下图所示， ∵HE⊥AD， ∴∠DHE=90°， 又∵∠ADC=60°， ∴在Rt△HED中，又， 又∵E为DC中点，DC=4， ∴，即最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形、菱形的性质、锐角三角函数以及最短路径问题，找到H、G、E三点共线，且HE⊥AD时，最小是解答本题的关键． 15．将两个直角三角形按如图所示叠放在一起，，则的值是 ． 【答案】 【知识点】三角函数综合 【分析】根据直角三角形的性质利用三角函数值计算即可； 【详解】由题可知， 所以， ∴， ∴， ∴， ∴， 再根据， ∴， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，根据特殊角的三角函数值计算是关键． 16．如图，在矩形中，，，M为对角线上的一点（不与点B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．若，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键．过点作于，延长交于，则，根据矩形的性质，可证，从而得出，，，，再根据可得，进而可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于，延长交于，则， 四边形为矩形， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ， ∴ 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： 2tan45°-  -260°+cos30° 【答案】0． 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】直接代入特殊角三角函数值，根据实数运算法则计算可得答案． 【详解】2tan45 60 cos30°         ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 18．高铁给我们的出行带来了极大的方便．如图，高铁列车座椅后面的小桌板收起时，小桌板的支架的底端N与桌面顶端的距离，且可以看作与地面垂直．展开小桌板时桌面保持水平，即，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．若，，求展开小桌板时点到的距离（结果精确到，参考数据：，，，，）． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，构造和，设，则，利用直角三角形的边角间关系分别用含的代数式表示出，根据线段的和差关系得到关于的方程，求解后代入计算即可得到点到的距离，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：点到的距离约为． 19．为了办人民满意的教育，某校大门口建造了供家长休息的凉亭（如图1）．图2是抽象出的平面几何图形，已知点D，A，E在同一水平线上，测得，，米，米．求凉亭最高点B到地面的距离的长．（，，，，结果精确到0.01米）    【答案】米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点C作于点E，于点F，利用三角函数，分别计算的长，根据矩形，计算即可．熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】过点C作于点E，于点F，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴米 ∵米， ∴米， ∴米， ∴米， 故凉亭最高点B到地面的距离的长米． 20．如图，市交通部门要在宽为米（即）的城北街两边安装路灯（路灯主杆垂直于地面），路灯的灯臂长2米，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中心轴线与灯臂垂直． (1)探索灯臂与灯柱的夹角和灯罩中心轴线与地面所成的夹角之间的数量关系； (2)当灯罩的轴线DO刚好通过街道的中心线（即为的中点）时照明效果最佳，若，试说明当灯柱时，照明效果是否达到最佳？（结果保留一位小数）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)不能达到最佳 【知识点】多边形内角和问题、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据四边形内角和是计算； （2）过点作于点H，过点作于点E，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，进而求出，比较大小得出结论． 【详解】（1）解：\在四边形中，， ∴； （2）过点作于点，过点作于点，    ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴时，照明效果不能达到最佳． 21．如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点，连结并延长到点，使，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、求角的正弦值、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识； （1）由题意易证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得出，即证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质可得出，，根据矩形的性质可得出，，，最后由锐角三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ，，， ． 故答案为． 22．资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 【答案】（1）5米；（2）19.25米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）过点D作DE⊥CM，根据坡度及勾股定理求DE的长度； （2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形 【详解】解：（1）过点D作DE⊥CM ∵斜坡的坡度为 ∴设DE=x，则CE=2.4x 在Rt△CDE中， 解得：x=±5（负值舍去） ∴DE=5 即D处的竖直高度为5米； （2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形 ∴GF=DE=5，CE=2.4DE=12， 由题意可得：∠ACF=45°，∠ADG=53° 设AF=CF=a，则DG=EF=a-12，AG=AF-GF=a-5 ∴在Rt△ADG中，， 解得：a=33 经检验：符合题意， ∴DG=33-12=21， 又∵斜坡的坡度为 ∴， 解得：BG=8.75 ∴AB=AF-GF-BG=19.25 即基站塔的高为19.25米． 【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型． 23．一个周末，小明在文化广场放风筝．如图是小明在放风筝某时段的示意图，他在处时的风筝线（整个过程中风筝线是拉直状态）与水平线构成角，线段表示小明身高1.7米．若小明在往后退6米到达点处时，风筝线与水平线构成角，此时风筝到达点E处，风筝移动的水平距离米，这一过程中风筝线的长度保持不变．（参考数据：）求： (1)求的长度． (2)风筝原来的高度． 【答案】(1)的长度为6米 (2)风筝原来的高度为20.9米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）设米，则米；米，根据三角函数可以表示出BE、AD，根据BE＝AD列出等量关系式，即可求出AF； （2）根据CD所在位置，根据三角函数正切关系，可以得出结论． 【详解】（1）设米，则米；米 在中，（米）     在中，（米） 由题知，可得 解得 即的长度为6米 （2）在中， 米 ∴米 答：风筝原来的高度为20.9米． 【点睛】本题考查三角函数的知识点，理解并灵活运用三角函数相关知识点是解题的关键． 24．综合与实践 已知，矩形矩形，如下图所示摆放，点和点重合，其中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，直线与交于点，与直线交于点，，交于点， (1)如图2，旋转过程中与始终相等，请证明该结论； (2)①图2中，延长，，交于点，判断四边形的形状，并说明理由； ②当点落在线段上时（如图3）与交于点，此时=________； (3)继续旋转矩形，当，，三点共线时，连接，将图形补全，标注相应的字母，并直接写出此时的长． 【答案】(1)见详解 (2)①菱形，理由见详解，② (3)的长为． 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，由矩形的性质结合，证明即可； （2）①先证明四边形为平行四边形，由“平行线+角平分线”得等腰，即可得，即可得证； ②由矩形矩形，求得，设，则，则在中，由勾股定理列式，计算即可求解； （3）过点Q作的垂线交于点R，于点K，先证明，则可求，由，，得，由，可求得，则，由，得，代入求得，在中，由勾股定理求得，因此，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形，为矩形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解①：如图， ∵四边形，为矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②如图， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：补全图形如图： 过点Q作的垂线交于点R，于点K， ∵四边形，为矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 25．如图，在菱形ABCD中，，，过点D作于点E，于点F． (1)如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：； (2)如图2，将以点D为旋转中心顺时针旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当的面积等于时，求旋转角的大小． 【答案】(1)见解析 (2)当顺时针旋转时，的面积等于 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）连接BD，先证为等边三角形，推出，再通过平行线分线段成比例推出，即可证明； （2）根据旋转变换的性质以及全等三角形的判定定理可得，再利用等边三角形的判定定理推出为等边三角形，结合面积即可求出DG的长，再利用三角函数即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接BD，交AC于O， 在菱形ABCD中，，， 为等边三角形， ， ， ， ，同理，， ； （2）解：，， ， 又， ， 由旋转的性质可知，，， 在和中，， ， ， 为等边三角形， 的面积， 解得，， 则， ， ∴当顺时针旋转时，的面积等于． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、锐角三角函数、等边三角形的面积等知识，有一定难度，能够根据综合运用上述知识进行推理论证是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$