第03讲 一次函数的性质(四类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第03讲 一次函数的性质（十一大题型） 学习目标 1、 根据一次函数的图像了解一次函数的性质； 2、 由一次函数的性质会判断x或y的大小问题，根据一次函数的图像、性质会解参数； 3、 掌握一次函数与一元一次不等式的关系； 4、 灵活运用一次函数的增减性求参、求取值范围等. 一、一次函数的性质 1、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正、负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； k b 经过的象限 Y随x的变化 图象 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＞0 一二三 Y随x的增大而增大   y=kx+b (b≠0) k＞0 b＜0 一三四 Y随x的增大而增大   y=kx+b (b≠0) k＜0 b＞0 一二四 Y随x的增大而减小   y=kx+b (b≠0) k＜0 b＜0 二三四 Y随x的增大而减小   注：判断一次函数图形的变化趋势是顺着x轴正方向看 （5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 二、一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 三、一次函数与一元一次不等式 　　 认真阅读、思考、并理解教材P9-10 问题1-问题2. 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 四、如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【即学即练1】请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数的图像，并指出当x增大时，y如何变化． 【答案】画图见解析；y随x的增大而减小． 【分析】先画出一次函数的图像，接着观察图像可得出结果． 【解析】解：一次函数的图像如下图所示： 观察图像可知x越大y越小， y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查画一次函数图像以及一次函数的增减性，属于基础题，比较简单，能够画出一次函数的图像是解题的关键． 【即学即练2】若点（2，y1）和（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1y2 B．y1＝y2 C．y1y2 D．无法确定 【答案】A 【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合2＞﹣2即可得出y1＜y2． 【解析】解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵2＞﹣2， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【即学即练3】已知一次函数，随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】一次函数，当时，随的增大而减小．据此列式解答即可． 【解析】解：一次函数，随的增大而减小， ， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【即学即练4】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是 ． 【答案】x≤2 【分析】利用函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解析】不等式ax+b≥0的解集为x≤2． 故答案为：x≤2． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于利用函数图象进行解答. 【即学即练5】一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，则k ． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质进行求解即可． 【解析】解：∵一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 题型1：根据一次函数图像判断增减性 【典例1】．已知：一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)在直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (3)函数值y随着x值的增大而________．（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)增大 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线即可； （3）根据一次函数的性质即可作答． 【解析】（1）解：把点代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）解：如图所示： （3）解：∵， ∴函数值y随着x值的增大而增大， 故答案为：增大． 【典例2】．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变化． 【答案】图见解析，随x增大而增大，随x增大而减小． 【分析】令x=0，y=0分别求出函数与与坐标轴的交点，根据一次函数的图象是一条直线画出它们的图象，再利用一次函数的增减性得出两个函数中当x增大时y的变化即可． 【解析】解：函数与两个坐标轴的交点为（-2，0），（0，4），与两个坐标轴的交点为（2，0），（0，4）． 图象如下： 中y随x增大而增大，中y随x增大而减小． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 【典例3】．画出函数的图象，根据图象回答下列问题： （1）的值随值的增大而______； （2）图象与轴的交点坐标是______与轴的交点坐标是______； （3）当______时，． 【答案】图见解析；（1）减小；（2），（0，3）；（3） 【分析】（1）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案； （2）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案； （3）先画出函数y＝3−2x的图象，根据图象即可得出答案． 【解析】解：函数y＝3−2x的图象为： （1）由图象可知：y值随x的增大而减小； （2）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点的坐标是（0，3）； （3）由图象可得：当x时，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，属于基础题，关键是正确画出函数的图象再根据图象求解． 【典例4】．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】A．当时，，则它的图象与轴交于点，故本选项符合题意；B．随的增大而增大，故本选项不符合题意；C．当时，，故本选项不符合题意；D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意． 【典例5】．在下列函数中：①；②；③；④．随的增大而减小的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质进行判断． 【解析】解：①，，则随的增大而增大； ②，，则随的增大而减小； ③，，则随的增大而减小； ④，，则在自变量范围内，随的增大而减小； ∴随的增大而减小的共有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．也考查了一次函数的性质． 题型2：根据一次函数性质比较y值大小 【典例6】．，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意，，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出． 【解析】解：∵，是一次函数的图象上的两个点， 又∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【典例7】．若点在函数的图象上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由一次函数可知，，所以y随x的增大而减小，由此即可得出答案． 【解析】解：∵一次函数解析式为，即， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数，当时y随x的增大而减小是解答此题的关键． 【典例8】．已知点都在直线（a为实数）上，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【解析】解：直线，， 随的增大而增大， 又， ． 故答案为：． 题型3：根据一次函数性质比较x值大小 【典例9】．已知一次函数的图象经过，两点，则 （填“”“”或“”） 【答案】＜ 【分析】由k＝2＞0，可得出y随x的增大而增大，结合1＜3，即可得出＜． 【解析】解：∵一次函数中k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． 又∵1＜3， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”． 【典例10】．若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小． 由得y随着x的增大而减小，而，故． 【解析】解：∵， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【典例11】．点和都在直线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．大小关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据一次函数的增减性即可作出判断． 【解析】解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵，即， ∴， 故选：A． 【典例12】．已知是直线（b为常数）上的三个点，则的大小关系是 ．（用“＞”表示）． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质，根据一次函数判断出y随x的增大而减小．即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型4：根据一次函数性质求参数范围 【典例13】．若一次函数的函数值y随x的值增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质．根据比例系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可． 【解析】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典例14】．已知一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质，根据y随着自变量x的值的增大而增大，得到，求解即可． 【解析】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例15】．若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质得，进而可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：依题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【典例16】．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解； （2）直线y=kx+b中，y随x的增大而减小可得，即可求解； （3）根据图象第一，三，四象限，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【解析】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， 解得：； （2）解：∵这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象经过第一，三，四象限， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够熟练运用待定系数法确定待定系数的值，还要熟悉在直线y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小、能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限． 【典例17】．已知一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为．由题意得出，，求解即可得出答案． 【解析】解：一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ，， 解得：， 故答案为：． 题型5：一次函数自变量和函数值增加量问题 【典例18】．若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据自变量和函数值的变化关系可得，将代入进而得到2，再解方程即可． 【解析】解：函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2， ， 将代入中， 解得： 故答案为：． 【典例19】．已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将 ． 【答案】增加 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量的变化，先利用待定系数法求出一次函数解析式为，则可得到，据此可得答案． 【解析】解：把、代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， ∴， ∴当y的值增加1时，x的值将增加， 故答案为：增加． 题型6：一次函数与一元一次不等式 【典例20】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，只需要找出函数图象在点的对应的自变量的取值范围即可． 【解析】解：∵直线经过两点，函数图象y随x的增大而增大， ∴的解集是， 故选：A． 【典例21】．如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【解析】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 【典例22】．一次函数的图像经过点，那么关于x的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一次函数图像解不等式，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题意画出函数的图像，根据图像得出当时，，据此即可获得答案． 【解析】解：一次函数的图像经过点，如图所示：    由图像可知，当时，， ∴当时，， ∴一元一次不等式的解集是． 故答案为：． 题型7：一次函数与二元一次不等式组 【典例23】．如图，直线与相交于点，则方程组的解为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求得点的坐标；根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标．根据图象交点坐标直接判断即可． 【解析】解：∵直线与相交于点， ∴， 解得： ∴ ∴方程组的解为， 故选：A 【典例24】．如图，直线与交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元一次不等式． 【解析】解：∵直线与的交点的横坐标为， ∴由图象可知，当时， ； 当时， 的图象在直线的上方， 此时，； 当时， 的图象在直线的下方， 此时，， ∴的解集为： ． 故选：A． 【典例25】．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，根据函数图象直接得到结论；根据、的符号即可判断；当时，；当时，根据图象得不等式，利用数形结合是解题的关键． 【解析】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确； 由于，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，即，故正确； 当时，，，由图象可知， ∴，故错误； 综上都正确，故选：． 题型8：一次函数与正比例函数、反比例函数 【典例26】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围． 【答案】(1)，一次函数解析式为； (2)自变量x的取值范围是． 【分析】（1）先把代入正比例函数解析式可计算出，然后把代入计算出k的值，从而得到一次函数解析式为； （2）观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值． 【解析】（1）解：把代入得， 则点A的坐标为， 把代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：观察函数图象得到当时，直线都在的上方，即函数的值大于函数的值． 所以自变量x的取值范围是． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键． 【典例27】．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【解析】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数为， 将点代入得： ∴点的坐标是， ∴要使得不等式，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点，可得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 【典例28】．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求，的解析式． (2)观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，，再用待定系数法求出一次函数的系数即可； （2）根据图象直接写出时x的取值范围即可． 【解析】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ，则，， ， 一次函数的图象点，， ∴， 解得，； ∴，； （2）解：根据图象，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， 当时，的取值范围为或． 题型9：根据一次函数的增减性求x或y的取值范围、最值问题等 【典例29】．对于函数，当时， ． 【答案】 1 7 【分析】根据函数，y随x增大而减小，即x越大，y越小，由此规律可易得 【解析】当时，；当时，； 根据函数，y随x增大而减小，即x越大，y越小， 因此当时， 故答案为1，7 【点睛】本题主要考查了一次函数的变化，y随x增大而减小，即x越大，y越小是解决问题的关键 【典例30】．当时，一次函数的最小值为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数上点的坐标特征，先由得y随x的增大而减小，继而判断出当时，，代入计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解析】∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， 当时，一次函数的最小值为， ∴当时，， ∴， 故答案为：3． 【典例31】．对于一次函数，当时，，则一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，待定系数法，由于k的符号不能确定，故应对和两种情况进行解答． 【解析】解：当时，一次函数是增函数， ∵当时，， ∴当时，；当时，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式：； 当时，此函数是减函数， ∵当时，， ∴当时，；当时，， ∴，解得 ∴一次函数解析式：． 故答案为：或． 【典例32】．已知y关于x的一次函数，函数图象经过点，则 ；当时，y的最大值是 ． 【答案】 2 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解析】解：把代入得， ， 所以， 中，y随x的增大而增大， 所以在范围内，当时，y的最大值是． 故答案为：2，． 【点睛】此题考查一次函数图象上的坐标特点，解题关键在于熟练掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式，对于一次函数求极值问题可通过增减性求，也可以代特殊值求出． 【典例33】．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题． 【解析】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 【典例34】．已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性求最值，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，当时，取得最大值；当时，取得最大值；由此即可求解． 【解析】解：当时，y随x的增大而增大， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 当时，y随x的增大而减小， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【典例35】．已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则b的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数解析式，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x随的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果． 【解析】解：分两种情况： 当时，y随x的增大而增大， 当时，对应的函数值y的取值范围是， 当时，，时，， ，解得； 当时，y随x的增大而减小， 当时，对应的函数值y的取值范围是， 当时，，时，， ，解得， 综上可知，b的值为或． 题型10：根据一次函数的增减性判断代数式的符号 【典例36】．在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的图像与性质即可求解． 【解析】解：， 随的增大而减小， 当时，， ， 故选：A． 【典例37】．已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交轴于，交轴于，画出图象，结合一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】解：当时，，则此直线交轴于， 当时，，解得：，则此直线交轴于， 画出一次函数的图象如图所示： ， 若，且， ，， 此时，但的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意； 若，且， ，， 此时，，故，故B选项正确，符合题意； 若，且， 或， 当时，，此时的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意； 若，且， ，，此时，但的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型11：一次函数的综合应用（含参） 【典例38】．如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图像经过的象限可得到，推出随x的增大而减小，从而得到结果． 【解析】解：直线不经过第三象限， ， 随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【典例39】．一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论中一定正确的是 （填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，； ③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 【答案】①②③ 【分析】将点、代入，求出、关于的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函数与轴的交点的坐标及即可判断④；分与两种情况讨论，根据即可求解，从而判断④． 【解析】解：依题得：， 解得：，， 时，， ，①正确； 当随着的值增大而增大时，， 即，， ②正确； ， ， 直线与轴相交于点， 即， ④错误； 当时，， ， ， 即，解得， 时，, , ， 即，解得， ③正确． 综上，结论中一定正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形面积的求法． 【典例40】．如图，是一次函数的图象，则下列说法：①；②若点与点都在该直线上，则；③图象与x轴的交点坐标是正确的说法有（　　）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据图象经过第一，第二，第三象限，则，，则y随x增大而增大，进而求解． 【解析】解：①∵图象过第一，第二，第三象限， ∴，， ∴正确，符合题意； ②由①知，y随x增大而增大， ∵，故， 故②正确，符合题意； ③当时，． 此时 ． 即图象与x轴的交点坐标为． 故③错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数图象的性质，关键是灵活运用一次函数图象的性质． 【典例41】．已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可． 【解析】解： ， ， 故答案为：． 【典例42】．取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【解析】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 故选：C 【典例43】．已知直线l：（其中），下列说法不正确的是（    ） A．直线l必经过点 B．直线l与函数的图象最少有个交点 C．不等式的解集为 D．若点，在直线上，且，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【解析】解：当时，， ∴直线l必经过点，故正确； ∵直线经过点，，画出大致图象如下： 由图象可知，直线与函数的图象最少有个交点，故正确； 由不等式可得，， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴随的增大而减小， ∴，则，故正确； 故选：． 一、单选题 1．下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得． 【解析】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意； B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意； C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意； D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意； 故选：A． 2．如果一次函数的图像过点、，且，那么与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【解析】 随x的增大而减小 又 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握时，y随x的增大而减小是解题的关键． 3．已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．图像必经过点 B．图像经过第一．二．三象限 C．当时， D．的值随的值增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数的图像上点的特征对选项A进行判断；根据一次函数的性质对选项B、D进行判断；利用时，函数图像的特征对选项C进行判断；即可得出答案． 【解析】解：A、当时，，则点不在函数图像上，故此选项不符合题意； B、， 此函数的图像经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； C、∵函数与轴的交点横坐标是，函数函数值随的增大而减小， ∴交点的右边， 即：当时，，故此选项符合题意； D、， y随x的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质、学会用数形结合的思想方法是解此题的关键． 4．若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，先根据函数的增减性判断出的符号，再根据图象与轴的负半轴相交判断出的符号即可得到答案．当，，函数的图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大；当，，函数的图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小；当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，随的增大而减小． 【解析】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ； 图象与轴的负半轴相交， ． 故选：． 5．下表中，y是x的一次函数，则下列结论正确的是（    ） x … 0 1 … y … 5 3 1 … A．随的增大而增大 B．该一次函数的图象经过第二、三、四象限 C．该一次函数的图象与轴的交点是 D．该一次函数的表达式为 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，以及待定系数法求一次函数的表达式，逐项判断即可． 【解析】由表格可知：函数经过． 设一次函数表达式为：． 将代入表达式得： 解得： 所以：一次函数的表达式为． A、随的增大而减小，故A错误； B、该一次函数的图象经过第二、三、四象限，故B正确； C、该一次函数的图象与轴的交点是，故C错误； D、该一次函数的表达式为，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数的表达式、一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟知一次函数的性质与表达式是解题的关键． 6．若点A、B、C在一次函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【解析】解：∵， 随着的增大而减小， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练掌握当k<0时，y随x的增大而减小，当k>0时，y随x的增大而增大是解题的关键． 7．已知一次函数的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出，由此可以得到，由此判断出一次函数的图象经过的象限，即可得出答案． 【解析】解：∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴， ∴的图象经过一、二、四象限， 结合函数图象得到C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数的图象在第一、二、四象限是解答此题的关键． 8．、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质可得当时，，即可求解． 【解析】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴与异号， ∴， 故选：A 9．如图，下列结论中错误的是（    ）    A．方程的解为， B．当时，有 C．，， D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】B 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，函数图象与方程组的解的关系，体现了数形结合的思想．观察直线和反比例函数的图象的交点坐标，即可判定A；观察直线位于反比例函数的图象上方的部分对应的x的取值，即可判断B．利用待定系数法分别求出直线位于反比例函数的解析式，从而可知与0的关系；根据直线的解析式，首先求出它与两坐标轴的交点，然后由三角形的面积公式可求出结果． 【解析】解：观察图象，发现直线直线和反比例函数的图象交于点， 则方程组方程的解为，，故A正确； 观察图象，可知当或时，有，故B错误； ∵反比例函数，的图象经过点， ， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴，，，故C正确； ④∵， 直线的解析式为， ∴当时，， ∴此直线与x轴交点的坐标是， 当时，， ∴此直线与y轴交点的坐标是． ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故D正确． 故选：B． 10．已知一次函数，下列说法正确的有（    ）个 （1）当时，它的图像经过原点； （2）当时，它的图像随增大而增大； （3）当时，此图像必过点； （4）当时，它的图像平行于直线； （5）当函数图像过第一、二、四象限时， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】（1）把代入解析式即可判断； （2）当时，得，即可判断； （3）把点(，)代入解析式，即可判断； （4）根据两条直线平行的条件得出可求出k的值即可判断； （5）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、四象限时，，且，求出k的范围即可判断 【解析】（1）当时，一次函数为，它的图像不经过原点， ∴当时，它的图像经过原点，该说法错误； （2）当时，得，它的图像随增大而增大， ∴当时，它的图像随增大而增大，该说法正确； （3）把代入解析式得， ∴当时，它的图像必过点(，) ， ∴当时，此图像必过点(，) ，该说法正确； （4）∵一次函数的图象平行于直线， ∴，解得， ∴当时，它的图像平行于直线，说法正确； （5）∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，且， 解得， ∴当函数图像过第一、二、四象限时，，说法正确； 综上，（2）（3）（4）（5）正确，共4个； 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是了解比例系数对函数的图象的位置的影响． 二、填空题 11．已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，在中，若，则函数值y随自变量x的增大而增大，若，则函数值y随自变量x的增大而减小，根据一次函数图象和性质即可解题． 【解析】解：一次函数解析式为，且， 函数值y随自变量x的增大而减小， 故答案为：减小． 12．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过A（，3）、B（，6）两点，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】根据一次函数的增减性与k的符号的关系，即可得到答案 【解析】解：∵一次函数中k=-2 ∴y随x的增大而减小 ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数的增减性与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 13．一次函数的图像位于第一、三、四，则y随x的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，首先根据一次函数的图像位于第一、三、四，得出，再根据的符号即知道随的增大而增大． 【解析】解：∵一次函数的图像位于第一、三、四， ∴， 随的增大而增大． 故答案为：增大． 14．已知一次函数（是常数），如果函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由一次函数的函数值y随x的增大而减小可得为负，从而可求得m的取值范围． 【解析】解：由题意知，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 15．已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【解析】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 16．已知，如果，且，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】首先根据判断出一次函数的增减性，然后利用图象求解即可． 【解析】∵，， ∴， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴如图所示，函数与x轴的交点为，    ∴当时，函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的增减性，由一次函数的图象求不等式的解集，解题的关键是判断出一次函数的增减性． 17．函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可． 【解析】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 18．把、、三个数按照从小到大排列，最大的数记作，，，例如，，，若直线与函数，，的图象有至少有个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】根据题意画出三条直线解析式，根据新定义，求得函数图象，结合图象，即可得出的取值范围 【解析】解：如图所示，      ∵， 当时，，则直线过定点， 依题意，函数，，的图象由射线和线段组成， 联立 解得： ∴， 设直线的解析式为, ∴ 解得： ∴直线的解析式为, ∴当时，两个函数图像至少有一个交点， 当时，时，与平行，无交点 ∴时，两个函数图像至少有一个交点， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质和图象，画出函数图像，数形结合是解题的关键． 三、解答题 19．已知一次函数． (1)，为何值时，随的增大而增大？ (2)，为何值时，图象过第一、二、四象限？ 【答案】(1)，为任意实数 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由一次函数，随的增大而增大，可得，为任意实数，求解作答即可； （2）由图象过第一、二、四象限，可得，求解作答即可． 【解析】（1）解：∵一次函数，随的增大而增大， ∴，为任意实数， ∴，为任意实数； （2）解：∵图象过第一、二、四象限， ∴， 解得，． 20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．   (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)根据图象回答，当在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据点的坐标求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，把点的坐标代入解析式，利用待定系数法求反比例函数解析式即可，把点的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出的值，从而得到点的坐标； （2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围即可． 【解析】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点， ， ， ∴反比例函数的解析式为， 在的图象上， ， ， ∴点的坐标为； （2）解：根据图象得，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 21．已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若，求x的取值范围； (3)若点，在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据一次函数的增减性进行解答即可； （3）根据一次函数的增减性，得出，求出m的值即可． 【解析】（1）解：设，      将当，代入得： ， 解得：， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，； （3）解：由（1）得， ∴y随x的增大而增大， ∵点A、B在该一次函数的图像上， 且， ∴， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键结合图形分析清楚问题与条件之间的关系． （1）把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式； （2）利用、点坐标结合图象进行求解即可． 【解析】（1）解：直线与双曲线相交于，两点， ， ，， 双曲线的表达式为：，， 把和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：； （2）解：，， 关于的不等式的解集为或． 23．如图是一次函数的图象. （1）根据图象，求直线的表达式. （2）在图中画出的图象. （3）当的函数值大于的函数值时，直接写出x的取值范围. 【答案】（1）；(2)见解析；（3）当 x>0时，kx+b>−2x+2. 【分析】（1）将点A、B坐标代入即可求出解析式； （2）描点，作图即可； （3）利用所画图象，写出直线y＝kx＋b在直线y＝−2x＋2上方所对应的自变量的值即可. 【解析】解：(1)由图得：点A(−2,0),点B(0,2)， ∵直线y=kx+b经过点A、B， ∴解得 ∴所求直线表达式为； (2)如图 (3)当 x>0时，kx+b>−2x+2. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 24．已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查一次函数的性质及交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意联立两个一次函数求解即可； （2）根据一次函数的性质得出随x的增大而增大，随x的增大而减小，分别确定其最值，然后计算求解即可． 【解析】（1）解：当时，，， 解得， ∴，图象的交点坐标为； （2）解：在中，． ∴随x的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值， 在中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，的最小值为， ∵， ∴， 解得． 25．如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式． （1）先求出直线表达式，再求点B坐标，根据，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 【解析】（1）解：∵的直线解析式为， 令， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵：经过点C和点A， ， 解得， ∴的直线解析式为； （2）解：在直线的解析式中， 令， 则， ∴， 在直线的解析式中令， 则， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据图象，因为，且， 则， 又因为，且直线与交于点， 所以， 故的解集为． 26．在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． (1)求函数，的解析式与点的坐标． (2)当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为， (2)时，自变量的取值范围为或； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入一次函数求出值得到点坐标，得到反比例函数解析式，再联立方程组得到点坐标即可； （2）由两个函数性质及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据题意先推出，再推出，，两者结合可得的取值范围． 【解析】（1）解：函数经过点， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 联立方程组，解得，， ； （2）解：由两个函数的性质及交点坐标可知： 当时，自变量的取值范围为或； （3）解：点和点在函数的图象上， ，， ， ，， ， ， ， ． 的取值范围为． 27．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 【答案】(1)①全体实数；② (2)见解析 (3)①（答案不唯一）的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到；②（答案不唯一）当时，函数有最大值，最大值为1；③ 【分析】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． （1）①根据函数可得自变量的取值范围是全体实数；②分别把点，代入计算，再比较大小即可； （2）先补充表格，再描点画图即可； （3）①根据函数图象平移规则：左加右减，上加下减可得答案；②结合函数图象的最高点可得函数的最大值，③结合图象可得交点位置，再建立方程求解即可． 【解析】（1）解：①函数的自变量的取值范围是全体实数； ②∵点，是该函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：补全表格得， … 0 1 3 5 … … 1 … 在平面直角坐标系画出函数图象如图． （3）解：①的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到．（答案不唯一） ②当时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） ③当时， 由图知，即， 解得， 2 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数的性质（十一大题型） 学习目标 1、 根据一次函数的图像了解一次函数的性质； 2、 由一次函数的性质会判断x或y的大小问题，根据一次函数的图像、性质会解参数； 3、 掌握一次函数与一元一次不等式的关系； 4、 灵活运用一次函数的增减性求参、求取值范围等等. 一、一次函数的性质 1、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正、负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； k b 经过的象限 Y随x的变化 图象 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＞0 一二三 Y随x的增大而增大   y=kx+b (b≠0) k＞0 b＜0 一三四 Y随x的增大而增大   y=kx+b (b≠0) k＜0 b＞0 一二四 Y随x的增大而减小   y=kx+b (b≠0) k＜0 b＜0 二三四 Y随x的增大而减小   注：判断一次函数图形的变化趋势是顺着x轴正方向看 （5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 二、一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 三、一次函数与一元一次不等式 　　 认真阅读、思考、并理解教材P9-10 问题1-问题2. 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 四、如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【即学即练1】请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数的图像，并指出当x增大时，y如何变化． 【即学即练2】若点（2，y1）和（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1y2 B．y1＝y2 C．y1y2 D．无法确定 【即学即练3】已知一次函数，随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【即学即练4】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是 ． 【即学即练5】一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，则k ． 题型1：根据一次函数图像判断增减性 【典例1】．已知：一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)在直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (3)函数值y随着x值的增大而________．（填“增大”或“减小”）． 【典例2】．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变化． 【典例3】．画出函数的图象，根据图象回答下列问题： （1）的值随值的增大而______； （2）图象与轴的交点坐标是______与轴的交点坐标是______； （3）当______时，． 【典例4】．对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【典例5】．在下列函数中：①；②；③；④．随的增大而减小的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：根据一次函数性质比较y值大小 【典例6】．，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例7】．若点在函数的图象上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【典例8】．已知点都在直线（a为实数）上，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 题型3：根据一次函数性质比较x值大小 【典例9】．已知一次函数的图象经过，两点，则 （填“”“”或“”） 【典例10】．若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【典例11】．点和都在直线上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．大小关系无法确定 【典例12】．已知是直线（b为常数）上的三个点，则的大小关系是 ．（用“＞”表示）． 题型4：根据一次函数性质求参数范围 【典例13】．若一次函数的函数值y随x的值增大而减小，则m的取值范围是 ． 【典例14】．已知一次函数的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，则k的取值范围是 ． 【典例15】．若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【典例16】．已知函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值． (2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若函数图象经过第一，三，四象限，求m的取值范围． 【典例17】．已知一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，那么的取值范围是 ． 题型5：一次函数自变量和函数值增加量问题 【典例18】．若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么k的值是 ． 【典例19】．已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将 ． 题型6：一次函数与一元一次不等式 【典例20】．如图，在平面直角坐标系中，直线经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例21】．如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    【典例22】．一次函数的图像经过点，那么关于x的一元一次不等式的解集是 ． 题型7：一次函数与二元一次不等式组 【典例23】．如图，直线与相交于点，则方程组的解为（    ）    A． B． C． D． 【典例24】．如图，直线与交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【典例25】．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A．个 B．个 C．个 D．个 题型8：一次函数与正比例函数、反比例函数 【典例26】．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)直接写出使函数的值大于函数的值的自变量的取值范围． 【典例27】．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【典例28】．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求，的解析式． (2)观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 题型9：根据一次函数的增减性求x或y的取值范围、最值问题等 【典例29】．对于函数，当时， ． 【典例30】．当时，一次函数的最小值为，则 ． 【典例31】．对于一次函数，当时，，则一次函数的解析式为 ． 【典例32】．已知y关于x的一次函数，函数图象经过点，则 ；当时，y的最大值是 ． 【典例33】．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【典例34】．已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【典例35】．已知一次函数，当时，对应的函数值y的取值范围是，则b的值为 ． 题型10：根据一次函数的增减性判断代数式的符号 【典例36】．在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 【典例37】．已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型11：一次函数的综合应用（含参） 【典例38】．如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【典例39】．一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表： 下列结论中一定正确的是 （填序号即可）． ①当时，；②当的值随值的增大而增大时，； ③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则． 【典例40】．如图，是一次函数的图象，则下列说法：①；②若点与点都在该直线上，则；③图象与x轴的交点坐标是正确的说法有（　　）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例41】．已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【典例42】．取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：   x … －2023 0 2023 … y … －3 －2 －1 … 根据信息，下列说法正确的个数是（   ） ①；  ②当时；  ③；  ④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例43】．已知直线l：（其中），下列说法不正确的是（    ） A．直线l必经过点 B．直线l与函数的图象最少有个交点 C．不等式的解集为 D．若点，在直线上，且，则 一、单选题 1．下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 2．如果一次函数的图像过点、，且，那么与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 3．已知一次函数，那么下列结论正确的是（    ） A．图像必经过点 B．图像经过第一．二．三象限 C．当时， D．的值随的值增大而增大 4．若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．下表中，y是x的一次函数，则下列结论正确的是（    ） x … 0 1 … y … 5 3 1 … A．随的增大而增大 B．该一次函数的图象经过第二、三、四象限 C．该一次函数的图象与轴的交点是 D．该一次函数的表达式为 6．若点A、B、C在一次函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知一次函数的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．、是一次函数图像上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 9．如图，下列结论中错误的是（    ）    A．方程的解为， B．当时，有 C．，， D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 10．已知一次函数，下列说法正确的有（    ）个 （1）当时，它的图像经过原点； （2）当时，它的图像随增大而增大； （3）当时，此图像必过点； （4）当时，它的图像平行于直线； （5）当函数图像过第一、二、四象限时， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 11．已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而 ． 12．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过A（，3）、B（，6）两点，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 13．一次函数的图像位于第一、三、四，则y随x的增大而 ． 14．已知一次函数（是常数），如果函数值随着的增大而减小，那么的取值范围是 ． 15．已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 16．已知，如果，且，那么不等式的解集是 ． 17．函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 18．把、、三个数按照从小到大排列，最大的数记作，，，例如，，，若直线与函数，，的图象有至少有个交点，则的取值范围是 ． 三、解答题 19．已知一次函数． (1)，为何值时，随的增大而增大？ (2)，为何值时，图象过第一、二、四象限？ 20．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．   (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)根据图象回答，当在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 21．已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若，求x的取值范围； (3)若点，在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 23．如图是一次函数的图象. （1）根据图象，求直线的表达式. （2）在图中画出的图象. （3）当的函数值大于的函数值时，直接写出x的取值范围. 24．已知一次函数，，其中． (1)若，求，图象的交点坐标； (2)当时，设的最大值为m，的最小值为n，若，求k的值． 25．如图，直线：与x轴交于点B，，直线：经过点C，且与交于点． (1)求直线的解析式； (2)记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； (3)根据图象，直接写出的解集． 26．在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． (1)求函数，的解析式与点的坐标． (2)当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． 27．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$