第一章 三角形的证明（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 三角形的证明（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若等腰三角形的顶角为100°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（） A．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B．顶角为的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形不是轴对称图形 6．如图，于，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．适合下列条件的中，直角三角形的个数为 （   ） ①； ②；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 10．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．若等边的周长为，则 ． 12．如图，在中，，平分，，D到的距离是 ． 13．如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 14．如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 15．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 16．如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 17．如图所示，四边形的对角线，相交于点，，有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ． 18．如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．如图，在中，，点，是边上两点，且．求证：． 20．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，求证：． 21．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 22．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 23．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．如图，是等边三角形，点D、E分别在的延长线上，，交于点F，于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请在给定的网格中按要求作图． (1)在图1中，找一个格点，使为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图2中，找一个格点，使为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图3中，找一个格点，使为等腰三角形，且为钝角三角形． 26．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 28．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．若等腰三角形的顶角为100°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【解析】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：C． 2．如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【解析】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 3．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【解析】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【解析】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．下列说法中，正确的是（） A．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B．顶角为的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形不是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念逐一判断即可． 【解析】解：A、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，不符合题意； B、顶角为的等腰三角形是等边三角形，符合题意； C、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 6．如图，于，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【解析】解：， ， ， ∴要利用“”判定的条件是． 故选：A． 7．如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．由是的垂直平分线，，，即可得到答案． 【解析】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：C 8．适合下列条件的中，直角三角形的个数为 （   ） ①； ②；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆运算，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，但是不能确定其他两个角的度数，据此可判断①；三角形中，若两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断②③④． 【解析】解：由，结合可得，但是不能确定其他两个角的度数，不能推出是直角三角形； ②∵， ∴可设， ∵，，， ∴不是直角三角形； ③∵， ∴是直角三角形； ④∵， ∴， ∴是直角三角形； ∴直角三角形的个数为2个， 故选：B． 9．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【解析】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 10．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形和等腰三角形的性质可得是等腰三角形且顶角，根据三角形内角和定理先求得、的度数，再证明，根据全等三角形的性质和直角三角形的性质逐一进行判断即可． 【解析】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故⑤不正确， 综上所述：结论正确的是①②④， 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 二、填空题 11．若等边的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，牢记等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于． 根据等边三角形的性质及已知条件即可直接得出答案． 【解析】解：是等边三角形， ， 又等边的周长为， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，平分，，D到的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【解析】解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 13．如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 首先根据等边三角形的性质得到，，求出 可得，从而可得答案． 【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ∴ ∴． 故答案为：2． 14．如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【解析】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 16．如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键． 17．如图所示，四边形的对角线，相交于点，，有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，，，推出，，即可求解． 【解析】解：， ，，， ，， ，垂直平分， ①②④正确， 无法得出，故③错误， 故答案为：①②④． 18．如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】作，使，连接、，证明，得，再根据，得出当B、N、H共线时，的值最小，再根据等边三角形与全等三角形的性质求解即可． 【解析】解：作，使，连接、，如图， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当B、N、H共线时，的值最小， B、N、H共线时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，则． 寿诞为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰直角 三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，根据两点之间线段最短得出当B、N、H共线时，的值最小是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，，点，是边上两点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，，再利用证明即可得出结论． 【解析】证明：，， ，， 在与中， ， ∴， ∴． 20．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明是本题的关键．由等腰三角形的性质可得，由可证，可得结论． 【解析】证明：，点是的中点， ， ，， ∴， ． 21．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【解析】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 22．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 23．如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 24．如图，是等边三角形，点D、E分别在的延长线上，，交于点F，于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可. （1）由题意得，推出即可求证； （2）根据可得，，进一步推出，；求出即可求解； 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴ 25．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请在给定的网格中按要求作图． (1)在图1中，找一个格点，使为等腰三角形，且为锐角三角形； (2)在图2中，找一个格点，使为等腰三角形，且为直角三角形； (3)在图3中，找一个格点，使为等腰三角形，且为钝角三角形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，三角形的分类进行作图； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【解析】（1）解：如图所示， ∵， ∴为等腰三角形，且为锐角三角形； （2）解：如图所示， ∵，，， ∴，，即， ∴为等腰三角形，且为直角三角形； （3）解：如图所示， ∵， ∴，是钝角， ∴为等腰三角形，且为钝角三角形． 26．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【解析】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴、轴分别交于，两点，直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得：，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点的坐标，再在轴上找点，使得，过点作轴，再进行分类讨论求解即可． 【解析】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交轴于点， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点在点右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点在点左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在轴上找点，使得，过点作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． 28．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【解析】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$