第五章 导数及其应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第五章 导数及其应用（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【解析】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 2．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【解析】由导数定义知：. 故答案为：1 3．函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果. 【解析】由题意可知，，则切点为，因为，则， 所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即 故答案为： 4．直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【解析】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 5．已知函数，则 . 【答案】 【分析】含未知导数值的函数，可将导数值看作常数，对函数求导后代入自变量1得到关于的关系式，即可求出的值. 【解析】由题意得，， 所以， 解得， 故答案为：. 6．若是函数的驻点，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据驻点的定义可得，解得，验证即可. 【解析】由题意知，, 因为是函数的驻点，所以， 解得. 当时，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的驻点. 综上，. 故答案为：2e. 7．已知，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案. 【解析】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 8．若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 9．若，，则 . 【答案】 【分析】由，两边取以为底的对数，得，由，令，则，从而可得，则，从而得出答案. 【解析】由，两边取以 为底的对数，得， 由，令，则， 所以，即， 所以，设，则， 所以在上单调递增， 由以及，则 ， 由即，则 故答案为： 10．若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将问题转化为直线恒在上方来求解，即可得，进而构造函数，求得的最小值. 【解析】存在，使得对任意的恒成立， 即存在，使得对任意的恒成立， 令，可得， 当，所以，在上单调递增， 当，所以，在上单调递减， 令，所以， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，重点在于通过通过转化将转化为只含的表达式，求得最小值，需要较强的分析问题解决问题的能力，难度较大. 11．已知边长为的正，点D，E分别在边AB，AC上，且以DE为折痕，把折起至，使点在平面上的射影始终落在边上，记，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设的高为，则可得，求得的表达式再由导数得出函数单调性即可得. 【解析】如下图所示： 易知的高为3，设的高为，则到的距离为， 又点在平面上的射影始终落在边上可知， 由勾股定理可得， 正三角形的边长， 所以， 令，则， 当时，恒成立，因此在上单调递减， 所以可得. 故答案为： 12．若曲线上的点P与曲线上的点Q关于坐标原点对称，则称P，Q是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知“奇点”的定义，可得方程只有一个实数根，函数与图象只有一个公共点，结合函数的图象性质，利用导数求解即可. 【解析】令，， 由题知有且仅有一个使得， 即方程有且仅有一个实数根， 即曲线与仅有一个公共点， 当，即时，由指数函数的图象性质可知， 曲线与直线只有一个交点，符合题意， 当，即时，显然符合题意， 当且，即且时，显然时无公共点， 当时，令，得，令， 则，当时，， 所以在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以， 又当，时，， 当时，，且时，， 所以由题知，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查函数与导数的综合应用，根据新定义得到方程，将方程的根转化为两函数图象有交点求解范围. 二、单选题 13．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一求导验证可得结果. 【解析】因为； ； . 故选：A 14．函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的性质，结合特值法，即可判断. 【解析】对于A：因为，定义域，所以定义域，故A错误； 对于B：设，则，故B错误； 对于C：因为，所以在定义域上是严格增函数，故C正确； 对于D：设，则，又因为，且在定义域上是严格增函数，所以只有一个零点，故D错误. 故选：C. 15．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【答案】B 【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否. 【解析】， 作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为， 在处的导数都等于， 在上，,单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键所在是作出与直线平行的函数的所有的切线，由此观察图象即可顺利得解. 16．已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假. 【解析】对于①： 设，，则， 因为在R上为严格增函数，故， 即，则在R上单调递增， 由于，故，即。 即； 当成立时，即， 由于在R上单调递增，故， 故“”是“”的充要条件，①为真命题； 对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立； 当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数， 即不恒大于等于0，即，使得， 由于在R上为严格增函数，故时，， 此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线， 故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大， 这与对任意都有矛盾， 则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立， 即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立. 三、解答题 17．已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【分析】（1）根据导数的运算即可求解； （2）令，求出方程的根，再列表分析即可求解. 【解析】（1）由题得. （2）的定义域为， ， 令，或. 当变化时，的变化情况如下表， 正 0 负 0 正 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 函数的极大值点为，极大值为，极小值点为，极小值为. 18．已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【解析】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 19．为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案. (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款； (2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由； (3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围. 【答案】(1) (2)不满足条件②，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）代入，与条件②矛盾，即可求解， （3）根据在[3,6]上单调递增，转化为在恒成立，分离参数求解最值即可求解，根据条件②可知，，即可利用二次函数的性质求解. 【解析】（1）由于，故， （2）因为当时，, ，所以当时不满足条件②. （3）由条件①可知,在上单调递增， 在恒成立， 在恒成立，所以 由条件②可知，，即不等式在上恒成立， 等价于， 当时，取最小值，所以 综上，参数的取值范围是. 20．设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)或 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解; （2）先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可； （3）研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解. 【解析】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2），． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． （3）． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 【点睛】方法点睛：用导数处理含参函数零点问题应从三方面入手，一是研究函数的单调性，二是极值（或最值）的符号，三是如果在区间端点处无定义或端点是无穷大趋向于端点时的变化趋势，此时通常要结合零点存在性定理来说明零点的个数 21．定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【解析】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 导数及其应用（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数在区间上的平均变化率为 . 2．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 3．函数在点处的切线方程为 . 4．直线与曲线相切，则 ． 5．已知函数，则 . 6．若是函数的驻点，则实数的值为 . 7．已知，则的解集为 . 8．若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 9．若，，则 . 10．若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 11．已知边长为的正，点D，E分别在边AB，AC上，且以DE为折痕，把折起至，使点在平面上的射影始终落在边上，记，则的取值范围为 . 12．若曲线上的点P与曲线上的点Q关于坐标原点对称，则称P，Q是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 15．如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 16．已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 3、 解答题(本大题共有6题，满分78分） 17．已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 18．已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 19．为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件： ①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案. (1)已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款； (2)判断使用参数是否满足条件，并说明理由； (3)求同时满足条件①、②的参数的取值范围. 20．设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 21．定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$