专题08 二次函数（考题猜想，易错必刷82题13种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题08 二次函数 （易错必刷82题13种题型专项训练） 一、二次函数的定义（共4小题） 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）若函数是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期中）下列函数中，其图象是抛物线的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）下列函数关系中，是二次函数的是（      ） A．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 B．当速度一定时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．等边三角形的周长与边长之间的关系 D．正方体的表面积与棱长之间的关系 4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，定点在的边上，动点从点向点运动，运动时间为，过点作弧，交边于点．若弧的长为，扇形的面积为，则与，与之间满足的函数关系式分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 二、的图象和性质（共6小题） 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 6．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）二次函数与反比例函数的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 10．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ． 三、 的图象和性质（共6小题） 11．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）抛物线与的图像的不同之处是（    ） A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状 12．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·河北保定·期末）若点在二次函数的图象上，则的最大值是（    ） A．0 B． C． D．2 15．（2024·河北秦皇岛·一模）若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23九年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 四、的图象和性质（共6小题） 17．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 18．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 21．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 22．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 五、的图象和性质（共6小题） 23．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 24．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 25．（23-24九年级上·河北唐山·期末）无论实数n为何值，y关于x的二次函数图象的顶点一定在（    ） A．直线上 B．y轴上 C．直线上 D．x轴上 26．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 27．（2024·河北石家庄·一模）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 28．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式给为，直接写出点移动的最短路程为___________． 六、的图象和性质（共9小题） 29．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）若二次函数的图像经过点，则代数式的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 31．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）小芳将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线，则她所选择坐标原点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 32．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．他俩都正确 D．他俩都错误 33．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知抛物线：及直线：，针对b的不同取值，三人的说法如下． 甲：若，则和交点的个数为0． 乙：若，则和交点的个数为1． 丙：若，则和交点的个数为1． 下列判断正确的是（  ） A．甲、乙错，丙对 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 35．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知二次函数 (1)将配方成的形式，并画出此函数图像． (2)当时，结合图像直接写出函数中y的取值范围是___________． 36．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 37．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点C． (1)直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴； (2)若通过计算判断l的顶点与直线的位置关系； (3)若l与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 七、二次函数图象和各项系数之间的关系（共9小题） 38．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）抛物线如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）二次函数的图象如图所示，点在轴的负半轴上，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点C在第四象限，以下两位同学得出的结论正确的是（    ） 嘉嘉：由题意可知，a与b的关系为． 琪琪：由题意可知，b的范围是． A．嘉嘉 B．琪琪 C．两人都正确 D．两人都不正确 43．（23-24九年级上·河北保定·期末）对于二次函数，下列描述：①开口向上；②与y轴交于点；③当时，y随x的增大而增大；④当时，函数y有最小值．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 44．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 45．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 八、待定系数法求二次函数解析式（共8小题） 47．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　 　） A． B． C． D．y＝ 49．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 50．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若函数的图象过点． (1)求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过点； (2)若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标． 51．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）根据下列条件，分别确定二次函数的解析式． (1)已知抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； (2)已知抛物线经过点，且对称轴为直线． 52．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数的图象经过点． (1)求a的值，并直接写出对称轴； (2)在图中画出函数该部分的图象（不必列表），并直接写出对应y的取值范围． 53．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1） ； （2）我们把抛物线在直线的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为 ． 54．（23-24九年级上·河北·阶段练习）二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 九、二次函数、方程和不等式（共4小题） 55．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（   ） 甲：当时，该方程有两个相等实数根； 乙：当时，该方程没有实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 56．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（   ） ①一元二次方程的根为； ②若点在该抛物线上，则； ③对于任意实数m，都有； ④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个 A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 57．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 58．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标； (2)利用图象的特点填空： ①方程的解为_____； ②不等式的解集为_____． 十、函数图象的综合问题（共7小题） 59．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 60．（24-25九年级上·河北沧州·期中）正比例函数和二次函数的图象一致的是（   ） A． B． C． D． 61．（22-23九年级上·河北保定·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 62．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，且过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 63．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 64．（2019·河北石家庄·一模）如图，抛物线（常数），双曲线.设与双曲线有个交点的横坐标为，且满足，在位置随变化的过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 十一、二次函数应用--实物建模问题（共5小题） 66．（24-25九年级上·河北保定·期中）中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 67．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 68．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 69．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 70．（2024·河北唐山·二模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． (1)求a的值； (2)求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 十二、二次函数应用--营销问题（共5小题） 71．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 (1)求y与x的函数解析式； (2)已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式；     ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 72．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 14 15 16 日销售量y（千克） 2000 1800 1600 (1)直接写出y与x的关系式____________； (2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润； (3)销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？ 73．（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）某食品店销售一款特色馒头，通过分析销售情况发现，馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表．已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元／盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)求馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数解析式． (2)在顾客获得最大实惠的前提下，当馒头每盒售价为多少元时，该食品店日销售纯利润为1480元？ (3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大？并求此日销售最大纯利润． 74．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 75．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某超市销售A品牌的纯牛奶，进价是40元/箱，根据前段时间的销售经验，每天的售出x（元/箱）与销售量y（箱）有如下关系： 每箱售价x（元） 65 64 … 40 每天销量y（箱） 40 44 … 140 已知y与x之间的函数关系是一次函数． (1)求与x的函数解析式； (2)若该超市每天销售这种纯牛奶盈利1104元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ (3)销售价格不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，请你直接写出当A品牌的纯牛奶的销售价格定为多少元/箱时，超市一天的总盈利最大． 十三、二次函数综合问题（共7小题） 76．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为． (1)求c，b（可用含t的代数式表示）； (2)当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值； (3)在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 77．（22-23九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段轴，点的坐标为，存在抛物线：． (1)若抛物线经过点，求抛物线的函数解析式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)若存在直线： ①直线所经过的定点的坐标为______； ②当直线与以为直径的相切时，求的值；此时，若对于函数，当时总是随增大而增大，则的取值范围是______； (3)若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 78．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动（即轴），分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)当为何值时，与相似． (2)求时，的面积； (3)直线、点在运动过程中， ①是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； ②请直接写出面积的最大值为________． 79．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 80．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，点，在该抛物线上，其横坐标分别为，，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为边构造矩形．设被矩形截得的部分图象（包括边界）记为． (1)求的值和的对称轴； (2)当点在上时，求的长； (3)是否存在，使的顶点在边上，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若图象只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出的取值范围． 81．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 82．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 试卷第6页，共89页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数 （易错必刷82题13种题型专项训练） 一、二次函数的定义（共4小题） 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）若函数是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据函数是二次函数得到求解即可得到答案 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期中）下列函数中，其图象是抛物线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象是抛物线，形如的函数叫做二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，其图象是抛物线，故本选项符合题意； B、是一次函数，其图象是直线，故本选项不符合题意； C、是正比例函数，其图象是直线，故本选项不符合题意； D、是反比例函数，其图象是双曲线，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）下列函数关系中，是二次函数的是（      ） A．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 B．当速度一定时，汽车行驶的距离与时间之间的关系 C．等边三角形的周长与边长之间的关系 D．正方体的表面积与棱长之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．与的关系式形如，，是的二次函数．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故选项A不符合题意； B．关系式为：，故选项B不符合题意； C．关系式为：，故选项C不符合题意； D．关系式为：，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，定点在的边上，动点从点向点运动，运动时间为，过点作弧，交边于点．若弧的长为，扇形的面积为，则与，与之间满足的函数关系式分别是（    ） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【分析】设，首先根据题意得到，然后根据扇形弧长公式和扇形面积公式列出表达式进而求解即可． 【详解】解：设， ∵动点从点向点运动，运动时间为，设运动速度为1， ∴， ∴ ∴与之间满足的函数关系式是正比例函数关系； ∴， ∴S与之间满足的函数关系式是二次函数关系． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数关系和二次函数关系的概念，扇形的弧长和面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长和面积公式． 二、的图象和性质（共6小题） 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）二次函数与反比例函数的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握二次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键． 根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】解：∵二次函数的图象在第一、二象限，开口向上，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一、三象限， 故两个函数的交点只有一个，且在第一象限， 故选：A． 7．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 8．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③点，，在抛物线上，则；④若，是该抛物线上两点，则．其中正确的说法有 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵中二次项的系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点为原点，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点为原点， ∴当时，在抛物线的左边，y随x的增大而增大； 当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小； ∴当时，在抛物线的右边，y随x的增大而减小，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当点离对称轴越远，其函数值越小； ∵，，， ∴， ∴点离对称轴最远，其次为点，点离对称轴最近， ∴，故③错误； ∵，是该抛物线上两点， ∴两点关于轴对称， ∴即，故④正确， 综上，正确的说法有①②④．共有3个． 故选：C． 9．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 10．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得、关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点、， ∴、关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 三、 的图象和性质（共6小题） 11．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）抛物线与的图像的不同之处是（    ） A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以写出两个函数的相同之处和不同之处，即可解答本题． 【详解】解：由题意得函数与的图象的对称轴都是轴， ∵， ∴两个函数开口都向下，形状一样，而函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， 故选：C． 12．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据顶点坐标，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为：， ∴顶点坐标在y轴的负半轴， 由图可知，坐标原点只可能是点M． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．根据二次函数的顶点坐标为，即它的顶点坐标在y轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴它的顶点坐标在y轴上， ∴只有C选项中的图像符合题意． 故选：C． 14．（23-24九年级上·河北保定·期末）若点在二次函数的图象上，则的最大值是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，将点代入，得出：，代入代数式化为关于m的一元二次函数的顶点式，根据顶点式直接求二次函数的最值即可． 【详解】解：将代入，得， ， 当时，的最大值为． 故选：B. 15．（2024·河北秦皇岛·一模）若二次函数图象的顶点坐标为，则在图中，反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与反比例函数图象的综合应用，先求解，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵当时，， ∴过， ∴对应的图象是， 故选D 16．（22-23九年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的图像上或下方第一象限内的整点个数，结合反比例函数图像与二次函数图像围成的区域（包括边界）的整点个数为5，画出图形，从而可得答案． 【详解】解：如图，当时，， ∴在的图像上， ∵当时，； 当时，； ∴在第一象限内，在二次函数的图像上和图像下方的整点有6个， 坐标为、、、、，． ∵，，且在反比例函数的图像上和上方的整点有5个， ∴整点不在区域内， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，利用数形结合的方法解题是关键． 四、的图象和性质（共6小题） 17．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（   ） A．开口都向下 B．对称轴相同 C．最大值都是0 D．与y轴交点不相同 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 18．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数，那么它的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴开口向上，故B正确． 故选：B． 19．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出出时的函数值，再比较三个函数值的大小即可得到答案，掌握“二次函数图象上点的坐标满足其解析式”是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：B． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与y轴交于点D，首先根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求出，进而得到，，然后根据二次函数的对称性求出对称轴为直线，得到，然后将代入即可求出． 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 21．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】A 【分析】将代入即可求出t的值，根据题意求出点关于对称轴对称的点是，进而求解即可. 【详解】将代入得，，故结论Ⅰ正确； ∵对称轴为 ∴点关于对称轴对称的点是， ∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴若，则的取值范围是，故结论Ⅱ正确． 综上所述，结论Ⅰ、Ⅱ都对． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 五、的图象和性质（共6小题） 23．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质进行判断即可．熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：，， 函数图象的开口向下，其图象的对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为，二次函数有最大值，最大值为1， 故选：B． 24．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数的图象平移，掌握二次函数的图象性质和二次函数的图象平移规律是解题的关键． 根据二次函数的性质和平移的规律对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：由二次函数可知： A、对称轴为直线，故此选项不符合题意； B、把二次函数的图象向右平移3个单位得到函数为，即，故此选项不符合题意； C、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时有最小值是；故此选项不符合题意； D、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意； 故选：D． 25．（23-24九年级上·河北唐山·期末）无论实数n为何值，y关于x的二次函数图象的顶点一定在（    ） A．直线上 B．y轴上 C．直线上 D．x轴上 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的图像与性质，根据二次函数得到顶点坐标，再把顶点代入选项中的式子即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据可知， 该函数的顶点坐标为， ∵， ∴该函数顶点一定在直线上， 故选：A． 26．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于，即可判断Ⅱ，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过、两点，， ∴对称轴在到之间，故结论Ⅰ不正确； ∵图象经过、两点，，对称轴为直线， ∴点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， ∴点满足条件的点有两个，故结论Ⅱ正确； 故选：． 27．（2024·河北石家庄·一模）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（    ） A．只有丙说得错 B．只有乙说得错 C．只有甲说得对 D．甲、乙、丙说得都对 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：A． 28．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式给为，直接写出点移动的最短路程为___________． 【答案】(1)对称轴为直线，最大值为9， (2) 【分析】本题考查的性质，二次函数图象的平移，勾股定理： （1）根据解析式求出对称轴及最大值，将代入解析式，解一元二次方程可求出a的值； （2）根据平移前后解析式判断出平移方式，根据勾股定理可求点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， 当时，y取最大值，最大值为9， 抛物线的对称轴为直线，最大值为9； 点在抛物线上， ， 解得或， 点在抛物线的对称轴右侧， ； （2）解：抛物线向左移动1个单位长度，再向下移动9个单位长度，所得抛物线的解析式为， 点移动的最短路程为：， 故答案为：． 六、的图象和性质（共9小题） 29．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的平移及一般式化顶点式，根据上加下减先得到解析式，再化为顶点式即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线向上平移2个单位， ∴， 故选：B． 30．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）若二次函数的图像经过点，则代数式的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，代数式求值，将代入可得，代入即可求解． 【详解】解：将代入，得：， ， ， 故选A． 31．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）小芳将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线，则她所选择坐标原点是（      ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】由抛物线开口向上可知，将抛物线配方为，可得抛物线的对称轴为，顶点纵坐标为，据此结合图象可得答案．本题考查了二次函数的图象，理解掌握二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，同时注意数形结合思想的运用． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 应选择的轴为直线； 顶点坐标为，抛物线与轴的交点为，而， 应选择的轴为直线， ∵点是直线与直线的交点 ∴ 原点坐标为点． 故选：A． 32．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．他俩都正确 D．他俩都错误 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的交点，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数和二次函数的图象与性质可判断嘉嘉；分别将和代入反比例函数，再进行计算即可． 【详解】解：由图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，故嘉嘉正确； ∵点A、B均在反比例函数图像上， ∴当时，，当时，， ∴， 故琪琪正确； 故选：C． 33．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数确定范围内的最值情况，利用对称轴位置进行分析是解题的关键．分别对①当抛物线的对称轴时，②当抛物线的对称轴时，③当抛物线的对称轴时，进行分析得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 对称轴为直线，开口向上． 当时，y的值恒大于1， ①当时，即，有，即可， ， ； ②当时，即，有即可， 解得， ； ③当时，即，有，即可， ． 综上，． 故选：B． 34．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知抛物线：及直线：，针对b的不同取值，三人的说法如下． 甲：若，则和交点的个数为0． 乙：若，则和交点的个数为1． 丙：若，则和交点的个数为1． 下列判断正确的是（  ） A．甲、乙错，丙对 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识，求出抛物线的顶点坐标为，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴，则和交点的个数为0， ，则和交点的个数为1， ，则和交点的个数为2， ∴甲、乙说法正确，丙说法错误， 故选：C． 35．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知二次函数 (1)将配方成的形式，并画出此函数图像． (2)当时，结合图像直接写出函数中y的取值范围是___________． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】本题考查画二次函数图像，将二次函数一般式化为顶点式，利用图像求y的取值范围： （1）利用配方法将一般式化为顶点式，在坐标系中描点连线即可； （2）根据（1）中图像求解． 【详解】（1）解：，图像如下： （2）解：由（1）中图像可得： 当时，函数中y的取值范围是， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，即可判断得解； （2）依据题意，由，对称轴是直线，故当时，y有最小值，；当时，y有最大值，，结合，从而可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． （2）解：由题意，∵，对称轴是直线， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵， ∴． ∴． 37．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点C． (1)直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴； (2)若通过计算判断l的顶点与直线的位置关系； (3)若l与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)顶点在直线上 (3)或或 【分析】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据点的坐标平移规律求点C的坐标；将代入抛物线解析式得到，然后根据二次函数对称轴公式即可求出抛物线的对称轴； （2）首先将抛物线配方成，得到顶点坐标为，然后结合点B和点C的坐标求解即可； （3）首先求出抛物线的顶点坐标为，然后分和两种情况讨论，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向右平移5个单位长度，得到点C ∴点C的坐标为； ∵经过点， ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线； （2）解：当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴l的顶点在直线上； （3）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∴①如图所示，当时，当抛物线的顶点坐标在直线上时，此时l与线段恰有一个公共点， ∴， ∴； 当抛物线与y轴的交点在以上时，此时l与线段恰有一个公共点， ∴， ∴； ②如图所示，当时，当抛物线经过点C时， 解得 ∴当l与线段恰有一个公共点时， 综上所述，a的取值范围是或或． 七、二次函数图象和各项系数之间的关系（共9小题） 38．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）抛物线如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】考查的是二次函数的性质及二次函数的图象与系数的关系，利用数形结合求解是解答此题的关键． 据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵函数图象开口向下，∴，故本选项错误； B、由函数图象可知，对称轴在y轴的左侧，∴，∴，故本选项错误； C、∵函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，∴，故本选项正确，故D错误； 故选：C． 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）二次函数的图象如图所示，点在轴的负半轴上，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，由图象得时，即，当时，得抛物线与轴有两个交点，，即可判断的范围． 【详解】解： ，不在抛物线上， 当抛物线， 时，， 当抛物线时，得， 由图象知， ， ， 即， 故选：D． 40．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口向上得到，由与轴的交点为()得到，而对称轴为，得，进一步得到，由此判定①；根据抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根，即可判断②；由，，由此判定③；由得到，由此确定判定④；根据图象可得，当时的函数值小于，即可判定⑤正确． 【详解】解：由图象可得，，， ，故①错误， 抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根， ，故②正确 =，， ，， ， ，故③正确； 对称轴为， 点()和()关于对称轴对称， 当时，的值为和，故④错误； 根据函数图象可得，时，，故⑤错误． 综上，可得正确结论的个数是个：②③． 故选B． 41．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ， ，故①错误； ②对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ，故②正确； ③对称轴是直线，与轴交点在 二次函数与轴的另一个交点为， ，故③错误； ④， 由③得， ，故④错误； ⑤， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，故⑤正确； 故正确的有2个， 故选：A． 42．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点C在第四象限，以下两位同学得出的结论正确的是（    ） 嘉嘉：由题意可知，a与b的关系为． 琪琪：由题意可知，b的范围是． A．嘉嘉 B．琪琪 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象经过点，得到，，结合顶点C在第四象限，得到进行判断即可． 【详解】解：∵根据二次函数的图象经过点， ∴，， ∴， ∴；故嘉嘉说法正确； ∴， ∵顶点C在第四象限， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴；故琪琪的说法正确； 故选C． 43．（23-24九年级上·河北保定·期末）对于二次函数，下列描述：①开口向上；②与y轴交于点；③当时，y随x的增大而增大；④当时，函数y有最小值．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该内容是解本题的关键．根据a的正负及对称轴公式和顶点坐标公式，可推出正确答案． 【详解】解：二次函数， ， 抛物线开口向上，故①说法正确； ，代入，得： 与y轴交于点，②说法正确； 对称轴：直线，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大，③说法错误； ，，抛物线开口向上， ④说法正确； 综上，①②④说法正确． 故答案选C． 44．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．分别判断的符号，即可判断①；根据函数对称轴可得，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④； 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在轴右侧，图象与轴相交于正半轴， ∴，，， ∴，故①正确； ②， ， ，故②正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵为任意实数， ∴，则，故④不正确； 综上：正确的有①②③． 故选：C． 45．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数，二次函数的性质等知识；根据图象的开口、对称轴及图象与坐标轴的交点即可确定答案． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则， 由抛物线对称轴在y轴左边，得，则， ∴，故A错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴即，当时，函数取得最大值，且最大值为正， ∴，， 故C正确，B错误； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，则有两个不相等实数根，所以， 即， 故D错误； 故选：C． 46．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，得，求出点B的坐标，从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④． 【详解】解：因为抛物线的开口方向， 所以； 因为对称轴是直线， 所以，； 因为抛物线与y轴的交点位于负半轴， 所以， 所以； 故①错误； 因为，    所以，， 所以，即， 所以， 所以， 所以，即②正确； 所以，即③正确； 根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，所以， 所以， 所以， 所以，④正确． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键． 八、待定系数法求二次函数解析式（共8小题） 47．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 48．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　 　） A． B． C． D．y＝ 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，根据题意可知抛物线的顶点坐标为，可知，求出解即可． 【详解】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A， ∴抛物线的顶点坐标是， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故选：A． 49．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【详解】（1）解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． （2）解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 50．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若函数的图象过点． (1)求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过点； (2)若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标． 【答案】(1)，函数图象不过点 (2)平移后的解析式为，顶点为 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识点， （1）将代入，根据待定系数法即可求得解析式，把代入即可判断； （2）直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，进而即可得出顶点坐标； 熟练掌握抛物线平移规律是解决此题的关键． 【详解】（1）把代入得， ， ∴， ∴此函数的解析式为， 当时， ∴函数图象不过点； （2）由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为． 51．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）根据下列条件，分别确定二次函数的解析式． (1)已知抛物线的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是； (2)已知抛物线经过点，且对称轴为直线． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式， （1）首先根据题意设二次函数的解析式为，然后将代入即可求解； （2）设二次函数的解析式为，然后将代入解析式，利用对称轴为直线求解即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是， ∴，解得， ∴； （2）设二次函数的解析式为， 由题意，得 解得 ∴二次函数的解析式为． 52．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数的图象经过点． (1)求a的值，并直接写出对称轴； (2)在图中画出函数该部分的图象（不必列表），并直接写出对应y的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析， 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征． （1）因为图象过点，可代入求值． （2）根据题目要求画出函数该部分的图象，再根据二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征得出y的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 对称轴为直线， ∴a的值为，对称轴为直线； （2）解：如图1所示， 由图象可知： 当，y有最大值4， 当，y有最小值0， ∴对应y的取值范围为：． 53．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1） ； （2）我们把抛物线在直线的上方的部分与线段BC围成的封闭区域记为“G区域”（包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点．则“G区域”的整点的个数为 ． 【答案】 9 8 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质； （1）求出直线与轴、轴的两个交点、的坐标，由于抛物线过点B，把点B的坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）把点C的坐标代入抛物线解析式中，求得n的值，再代入所求中，求得m的值，从而得到抛物线解析式，分别求得当时，一次函数与二次函数的函数值，即可确定整数y的值，从而确定整点个数；最后可确定所有整点数． 【详解】解：（1）令，得；令，得； 则点、点； ∵抛物线过点B， ∴， 即； 故答案为：9． （2）把代入抛物线解析式中， 得； 由，即， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，一次函数，二次函数， “G区域”的整点为； 当时，一次函数，二次函数， “G区域”的整点为； 而点B、C也是“G区域”的整点，其有8个整点； ∴“G区域”的整点个数为8个． 54．（23-24九年级上·河北·阶段练习）二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 【答案】(1)； (2)上；；y轴 (3)不在 【分析】（1）将点代入解析式求解即可得到答案； （2）根据二次函数的性质直接判断即可得到答案； （3）令代入解析式求出与比较即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为， 故答案为：上；；y轴； （3）解：当时， ， ∴点不在函数的图像上； 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，解题的关键是求出解析式，熟练掌握二次函数的性质． 九、二次函数、方程和不等式（共4小题） 55．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知抛物线的位置如图所示．甲、乙、丙三人关于的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（   ） 甲：当时，该方程有两个相等实数根； 乙：当时，该方程没有实数根； 丙：当时，该方程有两个不相等实数根． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查由函数图象交点个数判断一元二次方程的根的情况，根据题意，将关于的一元二次方程的根的情况转化为函数与的交点个数，分类作图讨论即可得到答案，熟练掌握由函数图象交点个数判断一元二次方程的根的情况的方法是解决问题的关键． 【详解】解：求关于的一元二次方程根的情况可转化为函数与的交点个数， 甲：当时，，如图所示： 函数与没有交点，即方程无解，甲错误； 乙：当时，，如图所示： 函数与有2个交点，即方程有两个不相等实数根，乙错误； 丙：当时，，如图所示： 函数与有2个交点，即方程有两个不相等实数根，丙正确； 综上所述，甲、乙、丙三人说法正确的只有丙1人， 故选：B． 56．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（   ） ①一元二次方程的根为； ②若点在该抛物线上，则； ③对于任意实数m，都有； ④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个 A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与一次函数之间的关系，二次函数的性质等等，抛物线与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此可判断①；根据增减性即可判断②；根据对称轴处函数有最大值即可判断③；直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根，求出根的情况即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴一元二次方程的根为，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵抛物线对称轴为直线，且， ∴，故②错误； 当时，y有最大值，最大值为， ∴，即，故③正确； 根据题意可得直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根， ∵， ∴方程的根可以为或或， ∴对应的P的值有三个，故④错误； 故选：B． 57．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数与y轴的交点，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则得到新抛物线析式为，然后根据将代入求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 所得抛物线析式为：， 当时， ∴所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 58．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标； (2)利用图象的特点填空： ①方程的解为_____； ②不等式的解集为_____． 【答案】(1)；顶点坐标为； (2)①，；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，对称轴为直线，利用对称性即可得出答案； ②写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； ， ∴顶点坐标为； （2）解：①， ∴对称轴为直线， ∵二次函数经过点， ∴二次函数也经过点， ∴方程的解为，； 故答案为：，； ②观察函数图象，不等式的解集为或． 故答案为：或． 十、函数图象的综合问题（共7小题） 59．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；首先根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． 【详解】解：A、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，对称轴在轴的右侧，，，异号，故本选项不符合题意； B、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向上，，故本选项不符合题意； C、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，对称轴在轴的右侧，，，异号，得到，故本选项符合题意； D、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，故本选项不符合题意； 故选：C． 60．（24-25九年级上·河北沧州·期中）正比例函数和二次函数的图象一致的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，理解它们的图象和性质是解答关键． 根据正比例函数图象都是随的增大而减小，得到，得到，从面得到二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，分别判断各项即可求解． 【详解】解：A．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． B．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． C．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． D．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项符合题意． 故选：D． 61．（22-23九年级上·河北保定·期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； B．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； C．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项符合题意； D．由抛物线开口方向可知，，由直线与轴交点可知，，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法以及数形结合的方法是解题的关键． 62．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，且过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，从开口方向．与坐标轴的交点．顶点．对称轴．图像上的已知点等方面进行分析判断即可得出答案． 【详解】解：A．抛物线开口向下，，抛物线与y轴交点在x轴上方，，，故A选项错误，不符合题意； B．图像与x轴有两个不同的交点，，故B选项错误，不符合题意； C．将点代入抛物线的解析式得，，故C选项正确，符合题意； D．对称轴是直线，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像特征与性质是解决此题的关键． 63．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：由图可知，抛物线的开口向上，对称轴位于y轴的左侧，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∵， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，故选项B符合题意． 故选：B． 64．（2019·河北石家庄·一模）如图，抛物线（常数），双曲线.设与双曲线有个交点的横坐标为，且满足，在位置随变化的过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线求出L与双曲线在（4，），（3，2）之间的一段有个交点，利用方程即可解决问题． 【详解】对双曲线，当3＜x0＜4时，＜y0＜2，即L与双曲线在（4，），（3，2）之间的一段有个交点． ①由＝−（4-t）（4-t+4）解得t=5或7． ②由2=-（3-t）（3-t+4）解得t=5． 满足条件的t的值为5＜t＜7． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面 65．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 十一、二次函数应用--实物建模问题（共5小题） 66．（24-25九年级上·河北保定·期中）中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键． （1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值； （2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长． 【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同， ∴； （2）解：由（1）可知函数解析式为． ∵水面的宽度为， ∴点B的横坐标为． 将代入，得：， ∴桥拱顶点到水面的高度． 67．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】，能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， （1）根据题意代点求出值， （2）根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能 68．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 【答案】(1)见解析， (2)不能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，建立直角坐标系，设二次函数的表达式为：，将点代入解析式，利用待定系数法求出二次函数解析式即可． （2）把代入（1）的函数解析式， 看函数值是否等于即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 设二次函数的表达式为：， 将点代入可得：，解得：， 二次函数的表达式为：， （2）解：由（1）可知， 当时，， 答：篮球不能命中篮圈中心． 69．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 70．（2024·河北唐山·二模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． (1)求a的值； (2)求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】(1) (2)；60米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把 时, 代入解析式计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用公式求函数解析式即可； （3）由题可知当时，函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【详解】（1）对于 当时, ∴当 时, 解得 ； （2）， ， 由抛物线的对称性可知，当时,最大, 最大值为， 答：飞行高度的最大值为． （3）当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令即 解得， ， ∴的最小值为 十二、二次函数应用--营销问题（共5小题） 71．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 (1)求y与x的函数解析式； (2)已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式；     ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题考查函数的应用，根据题意找到各个量之间的关系，建立正确的函数解析式并把问题转化成对应的数学模型再准确计算是正确解决本题的关键． （1）根据题意可设材料费用为，制造费用为，则，把，代入解析式中，建立方程组求解即可； （2）①根据等量关系：利润售价生产成本，可知，把和代入化简即可；②把与的函数解析式配方得：，根据二次函数的性质可知，求解可得，结合代入中即可． 【详解】（1）解：依题意，设材料费用为，制造费用为， 则：， 根据题意可知，，满足解析式， 代入可得：， 解得：， 与的函数解析式为：； （2）解：① 综上所述，与的函数解析式为：； ②， 配方得：， 当生产吨数是吨时，利润最大， 即当时，有最大值， ， 解得， 此时． 72．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 14 15 16 日销售量y（千克） 2000 1800 1600 (1)直接写出y与x的关系式____________； (2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润； (3)销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？ 【答案】(1)； (2)种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为元； (3)该蔬菜的日销售利润不能达到元，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）根据总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值； （3）根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式得出原方程无解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：设种植基地销售该蔬菜获得的日利润为w元，由题意得： ， ， ∴当时，w最大值， ∴种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为元； （3）解：该蔬菜的日销售利润不能达到元，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ， ∴原方程没有实数根， ∴该蔬菜的日销售利润不能达到元． 73．（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）某食品店销售一款特色馒头，通过分析销售情况发现，馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表．已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元／盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)求馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数解析式． (2)在顾客获得最大实惠的前提下，当馒头每盒售价为多少元时，该食品店日销售纯利润为1480元？ (3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大？并求此日销售最大纯利润． 【答案】(1) (2)15元 (3)当时，w有最大值1580元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程与函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设当日销售单价为元时，销售利润为元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （3）设日销售纯利润为元，根据题意求出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：设当日销售单价为元时，销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， ∴在顾客获得最大实惠的前提下，销售单价应该定为元， ∴当馒头每盒售价为元时，该食品店日销售纯利润为1480元； （3）解：设日销售纯利润为元， 由题意得：， ∵，， ∴当时，w有最大值1580元． 74．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 【答案】(1)， (2) (3)下调了6元 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，结合函数图象求出x的取值范围即可； （3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 设预售总额为（万元），每件产品的预售额为（元），则， 设波动总额为（万元）， ∵波动总额与年销售量x的平方成正比， ∴设， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：毛利润 ， 令，则， 解得，， 画出草图如下： 由图知：当时，， ∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是； （3）解：设下调m元， 则， ∴， ∵2025年的最高毛利润为720万元， ∴w的最大值为720， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 故下调了6元． 75．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某超市销售A品牌的纯牛奶，进价是40元/箱，根据前段时间的销售经验，每天的售出x（元/箱）与销售量y（箱）有如下关系： 每箱售价x（元） 65 64 … 40 每天销量y（箱） 40 44 … 140 已知y与x之间的函数关系是一次函数． (1)求与x的函数解析式； (2)若该超市每天销售这种纯牛奶盈利1104元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ (3)销售价格不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，请你直接写出当A品牌的纯牛奶的销售价格定为多少元/箱时，超市一天的总盈利最大． 【答案】(1) (2)每箱售价是元 (3)当品牌的纯牛奶的销售价格定为元/箱时，超市一天的总盈利最大 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据每箱的利润每天的销售量列出方程，解一元二次方程即可； （3）根据每箱的利润每天的销售量总利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系是：， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系是： ； （2）由题意可得：， 解得：， 顾客要得到实惠，售价低， ∴， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是元； （3）设超市一天的总盈利元， 根据题意得： ， ∵销售价格不能低于元/箱，不能高于元/箱， ， ∴当时，最大, 最大为， 答：当品牌的纯牛奶的销售价格定为元/箱时，超市一天的总盈利最大． 十三、二次函数综合问题（共7小题） 76．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为． (1)求c，b（可用含t的代数式表示）； (2)当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值； (3)在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）由抛物线经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b； （2）当时，，求得M的坐标，则可求得的度数； （3）根据图形，即可直接求得答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 再把代入，得， ∵， ∴； （2）解：不变． ∵抛物线的解析式为：，且M的横坐标为1， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有， 即， ，， 解得； ③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t的取值范围是：． 【点睛】此题考查了二次函数与点的关系，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用． 77．（22-23九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段轴，点的坐标为，存在抛物线：． (1)若抛物线经过点，求抛物线的函数解析式，并写出抛物线的顶点坐标； (2)若存在直线： ①直线所经过的定点的坐标为______； ②当直线与以为直径的相切时，求的值；此时，若对于函数，当时总是随增大而增大，则的取值范围是______； (3)若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)或，抛物线的顶点坐标为或 (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据抛物线经过，可求出的值，进而可得出抛物线的函数解析式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）①当时即可求解；②设与直线相切与点，，作轴交直线于点，证明，将点坐标代入直线解析式即可求解； （3）根据线段上的点的纵坐标为3，就的符号进行讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过 ∴， ∴或 ∴此抛物线的函数解析式为：或 抛物线的顶点坐标为或． （2）解：① ∵定点与无关，当时，， ∴定点坐标为， 故答案为：； ②以为直径作圆，如图所示，圆心坐标为，半径为1， 设与直线相切与点，，，作轴交直线于点，直线过定点 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 将点坐标代入直线解析式得： 此时，， 当对称轴为y轴或在y轴右边时，y随x的增大而增大， 即， 解得． 故答案为：； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为， 令，则， 即抛物线的顶点在直线上运动； 当时，，又抛物线开口向上， 所以抛物线与线段没有交点； 所以抛物线的顶点只在直线位于y轴右侧部分上运动； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，与点A重合， 所以抛物线与线段只有一个交点． ③当时，考虑线段的中点C，其坐标为， 当时，抛物线为，此时点A、B均在此抛物线上，不满足题意； 当时，如图2所示，此时，抛物线对称轴位于线段垂直平分线的左边， 当时，，而，即点A位于点的上方； 当时，，而， 所以抛物线与线段必有一个交点； 当时，如图3所示，此时，抛物线对称轴位于线段垂直平分线的右边， 当时，，而，即点A位于点的下方； 当时，，而， ， 当，即时，， 所以当时，抛物线与线段必有一个交点； 当，即时，， 此时抛物线与线段没有交点； 综上，当或时，抛物线与线段必有一个交点． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质．第三小题确定抛物线的顶点所在直线并就a的取值进行讨论是本题的难点． 78．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动（即轴），分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)当为何值时，与相似． (2)求时，的面积； (3)直线、点在运动过程中， ①是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； ②请直接写出面积的最大值为________． 【答案】(1)当或时，与相似； (2) (3)①不存在．理由见解析；② 【分析】（1）如果与相似，由于，则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：点与点对应；点与点对应．即可得解； （2）由于轴，则时，，关键是求；易证，则，从而求出的长度，得出的面积； （3）①假设存在这样的，使得的面积等于，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论； ②建立关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵、两点的坐标分别为和， ∴，， 由题意得，，， 当时，∽， ，即， 解得； 当时，∽， ，即， 解得． 当或时，与相似； （2）解：， 又， ， ， 当时，，，，， ， ； （3）解：①不存在． 理由：， ， ， 整理，得， ， 方程没有实数根． 不存在使得的面积等于的值； ②由①得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况． 79．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①P在上面，；②P在下面， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分P在上面和P在下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式； （3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标． 【详解】（1）解：在直线解析式中，令，得， ． ∵点在抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当在上面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为； ②当在下面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为；        （3）解：存在． 理由：如图所示，过点作于点，    则， ， ， 在中，由勾股定理得：． 过点作于点，则． ∵， ∴， 则， ， 在冲，由勾股定理得：． ∵， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 同理求得，另一点为． ∴符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、三角函数、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用分类讨论思想求解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解． 80．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，点，在该抛物线上，其横坐标分别为，，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为边构造矩形．设被矩形截得的部分图象（包括边界）记为． (1)求的值和的对称轴； (2)当点在上时，求的长； (3)是否存在，使的顶点在边上，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若图象只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为直线 (2)9 (3)存在，点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的解析式，二次函数与特殊的四边形综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合是解题的关键． （1）代入到抛物线，解方程得到解析式，进而即可得到抛物线的对称轴； （2）先求出点的坐标，进而推出点，的坐标，即可求出的长； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，再用m表示出点的坐标，结合的顶点在边上，列出方程求解m的值即可解答； （4）分两类情况讨论：①当点，在该抛物线上对称轴左侧时，图象只呈下降趋势；②当点在上方时，图象只呈上升趋势；分别求出对应m的取值范围即可． 【详解】（1）解：代入得，， 解得：， ， 的对称轴为， ，的对称轴为直线． （2）当点在上时，点为与轴的交点， 令，则，即， 轴，点在抛物线上， ，点与点关于对称轴对称，即， ，， 代入，则，即， 轴， ， ． （3）代入，则，即的顶点坐标为， 代入，则，即， 的顶点在边上， ， 解得：， 代入，则，即， 存在，点的坐标为． （4）由题意得，当点，在该抛物线上对称轴左侧时，图象只呈下降趋势， ， 解得：， ； 当点在上方时，图象只呈上升趋势， 令， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，的取值范围为或． 81．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①，；②抛物线的最大值为4，最小值为3 (3)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出抛物线W的顶点坐标，根据抛物线是将抛物线绕点N旋转后得到的，即得出点和抛物线的顶点坐标，从而可设抛物线的顶点式，再将点代入即可解答； ②根据抛物线的解析式和x的取值范围，结合图象即可解答； （3）①由抛物线W的解析式可知其对称轴为直线．根据题意可知点C和点D位于y轴上，且正方形在直线的左侧，即得出，求解即可； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时、Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时和Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得：，解得：， ∴抛物线W的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线W的顶点坐标为． ∵将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q， ∴点Q与点M关于点N对称，抛物线的顶点与抛物线W的顶点关于点N对称， ∴，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②∵抛物线的解析式为， 又∵， ∴，； （3）解：①∵抛物线W的解析式为， ∴其对称轴为直线． ∵四边形为正方形，且轴， ∴轴，轴，轴． ∵点P的横坐标为，且点P为正方形中心，， ∴点C和点D位于y轴上． ∵抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧， ∴， ∴； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图1， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， ∴； Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图2， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）； Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图3， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）． 综上可知，m的值为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，二次函数的性质，正方形的性质，坐标与图形等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 82．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 【答案】(1)①对称轴为；② (2)、，的最大值 (3)①；②或；③点的横坐标为 【分析】（1）①由顶点式直接得出对称轴；②利用抛物线的图象与性质即可得到答案； （2）将抛物线：配方，化为顶点式得到顶点坐标即可得到、，再由二次函数图象与性质即可得到的最大值； （3）①根据对称性得到抛物线：，再由抛物线：，对比列方程求解即可得到答案；②由函数图象平移得到抛物线：，联立方程组求解即可得到抛物线和抛物线的交点坐标；③由函数图象平移得到新抛物线，联立方程组得到，由一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①抛物线：， 的对称轴为； ②当时，抛物线：， 抛物线开口向上，对称轴为， 抛物线上的点到对称轴的距离越近，越小， 点和点到对称轴为的距离分别为和， ， 故答案为：； （2）解：抛物线：（其中为常数）， ， 的顶点坐标为，则、， ， 由可知抛物线开口向下，有最大值为； （3）解：当时，抛物线：， 由①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到， ，即， 抛物线：， 抛物线：， ，解得； ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，则抛物线：， 联立，解得或； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，则表达式为， 联立，则， ， 点是线段的中点，设、， 点的横坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、函数图象的平移、函数图象对称、求两个抛物线的交点、解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 试卷第6页，共89页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$