专题07 直线与圆的位置关系（考题猜想，易错必刷66题10种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题07 直线与圆的位置关系 （易错必刷66题10种题型专项训练） 一、点与圆的位置关系（共5小题） 1．（23-24九年级上·河北·阶段练习）若的半径长为3，点P在内，则的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．不能确定 3．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，已知矩形中，，．以顶点O为圆心，r为半径作，使得顶点A在内，顶点B，C在外，写出一个符合条件的r的整数值： ． 5．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是，的中点，是以为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 二、直线与圆位置关系的判定（共5小题） 6．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，的半径为5，圆心O到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（    ） A．点B在内 B．点A在上 C．边与相切 D．边与相离 9．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 三、由直线与圆的位置关系确定数值（共6小题） 11．（23-24九年级上·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（20-21九年级上·河北保定·期末）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 13．（2020·河北唐山·二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（    ） A．5 B．5.5 C．4.5 D．1 14．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 15．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为 ；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为 ． 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点． (1)当为中点时，求的长； (2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； (3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________． 四、切线的证明与作图（共9小题） 17．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）已知点P是外的一定点，嘉嘉进行了如图所示操作，则下列判断不正确的是（   ） A．点A是的中点 B．直线都是的切线 C． D． 18．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，以点D为圆心，长为半径作．试确定斜边与的位置关系，并说明理由． 19．（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 20．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，过点D作，垂足为F． (1)求证：是的切线； (2)分别延长，相交于点G，，的半径为6，求阴影部分的周长． 21．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 22．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 23．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程如图所示． 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法：①连接； ②分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ③作直线，交于点C； ④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点； ⑤作直线，． 请回答以下问题． (1)连接，，可证，理由是 ； (2)直线，是的切线，依据是 ； (3)连接交于点D，若的半径为3，，求圆心O到的距离． 24．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)、、三点如图中位置，且时，________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，，当时，求证：直线为的切线． 25．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，中，为中点，以为圆心，长为半径作，交与点E．M为上一点，连接，将绕A点顺时针旋转的度数，得线段、连接、． (1)求证： (2)当点M与点重合时，求证：与相切； (3)面积的最大值为___________________． 五、切线的性质（共10小题） 26．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为C，且C为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较与 28．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，一个零刻度落在点的量角器（半圆），其直径为，一等腰直角三角板绕点旋转，斜边交半圆于点，交半圆于点，点在量角器上的读数为，点在量角器上的读数为．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当边与半圆相切于点（点在量角器上的读数为）时，． A．只有结论Ⅰ对 B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 30．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r ． 31．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，直线，与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，沿和平移，的半径为1，．小媛同学得到以下结论： ①若与相切，则； ②若与相切，则； ③若与相切，则；其中一定正确的有 ． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）将一量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径平行于直尺的边缘，与直尺的另一边缘相交于点C、D，且半径于点E．已知点C、D在直尺上的读数分别为，直尺的宽度为． （1）在图1中，求量角器的半径； 【操作】将图1中的量角器沿向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示； （2）连接，求的长度． 33．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，将的顶点A放在直径的端点E处，顶点C在上，边与相交于点F．已知，，的半径为8． (1)求扇形的面积； (2)从图1的位置开始，将绕点A逆时针旋转，当点F与点D重合时（如图2所示），若边与恰好相切于点P，求的长； (3)在（2）的基础上，若的顶点A在上滑动，当直角顶点C恰好落在上且在直径的右侧（如图3所示）时，边与射线交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 34．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，M是上一个动点，与相切于点M且经过点C，与和分别交于点P和点Q，连接．    (1)如图1，求证：． (2)如图2，，点O在上． ①连接交于点N，求的值． ②设的直径为d，直接写出d的取值范围． 35．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，在平行四边形中，，过点C作边的垂线，交直线于点H，点O在直线上，半圆O以O为圆心，直径为，且将半圆O连同直径一起沿直线向左平移． (1)半圆O的半径为____________； (2)当半圆O与相切，切点为H时，如图14-2所示，设点M为半圆O上一点，点N为线段上一点，求的最大值和最小值分别是多少； (3)当半圆O平移到与相切时，半圆O连同直径一起绕着点H继续以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为9秒时，判断半圆O与直线的位置关系，并给出证明． 六、切线长定理的应用（共5小题） 36．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较a与b的大小 38．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 40．（2022·河北邯郸·三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts． (1)∠APE＝　 　°； (2)若⊙O与AD相切， ①判断⊙O与CD的位置关系； ②求的长； (3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系； (4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围． 七、三角形的内切圆性质的应用（共9小题） 41．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 44．（22-23九年级上·河北承德·期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下： 甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为； 乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为； 丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为； 丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为； 则下列判断正确的是（　　） ①；②；③在，，，中，最小 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 45．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 46．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ） A．2 B． C． D． 47．（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 48．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为 ． 49．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 ； （2）是的外心，连接，则的长为 ． 八、正多边形和圆（共7小题） 50．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转．若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角至少为（　　） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（   ） A． B． C． D． 52．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 54．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是一个模型，为内接正多边形的一条边，若点P是优弧上一点，且，的半径为6．关于结论①、②，下列判断正确的是（   ）    ①的度数为；②以为边的圆内接正多边形的周长为18 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 55．（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 56．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 九、圆与三角形的综合问题（共5小题） 57．（2024·河北保定·一模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求与线段的长度，并比较二者的大小． 58．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离； (3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 59．（2024·河北邯郸·三模）如图1，在钢管的两侧分别放置三角形垫块 可以将钢管架在水平面上方．钢管的底面截面如图中所示，与两个垫块分别相切于点K．C，垫块． 和点K的位置不变，点C的位置随 的度数的改变而变化，且始终保持圆心O到水平面的距离不变，设当点A，B重合时，点B到达了最左端的位置，已知． 的半径为4． (1)若在K，C之间的劣弧 长为 求α的度数； (2)当点K，C到水平面的竖直高度一样时，求点A，B之间的距离； (3)当点A，B重合时，如图2，求点C到的距离． 60．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设．    (1)______，当点Q在上时，______； (2)x为何值时，与相切？ (3)当时，求阴影部分的面积； (4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围． 61．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ； (2)半圆O与相切时，求的长？ (3)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (4)以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ． 十、圆与四边形的综合问题（共5小题） 62．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，在矩形中，，，是的中点，以点为圆心，以3为半径在的上方作半圆，分别交于点、点，把连带半圆绕点顺时针旋转（）得到半圆，如图2，其直径为． (1)连接、，求证：； (2)设半圆交于点、点，若，求半圆落在矩形内的弧长； (3)设是半圆上一点，当落在上时，求的最小值； (4)当半圆与矩形的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 63．（2023·河北秦皇岛·一模）如图1，已知矩形中，，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长； (2)当点O运动到何处，的半径最小？ (3)在点O的运动过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 64．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，，点O在AB的延长线上，，．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作．设P的运动时间为t秒． (1)______，PA的最小值是______； (2)当过点C时，①求证：与BC相切；②求扇形OPC的面积； (3)当与矩形的边所在直线相切时，直接写出t的值． 65．（2022·河北邯郸·三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． (1)直接写出AC的长 ； (2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； (3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值； (4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ． 66．（2022·河北石家庄·二模）如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点． 探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______． 思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题： （1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积； （2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数： 直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝） （3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围． 试卷第14页，共100页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直线与圆的位置关系 （易错必刷66题10种题型专项训练） 一、点与圆的位置关系（共5小题） 1．（23-24九年级上·河北·阶段练习）若的半径长为3，点P在内，则的长可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：的半径为3，点在内， ， 即的长可能为2． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及点与圆的关系，根据勾股定理求出，根据点与圆的位置关系得到与半径大小关系判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴点A在内， 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据“点C在内且点B在”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点C在内且点B在， ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，已知矩形中，，．以顶点O为圆心，r为半径作，使得顶点A在内，顶点B，C在外，写出一个符合条件的r的整数值： ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 【详解】解： ∵四边形是矩形，， ∴，， 则， ∴， ∵以为圆心，为半径作圆，使得顶点A在内，顶点B，C在外，如图， ∴， 符合条件的的整数值有4，5， 故答案为：4（答案不唯一）． 5．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是，的中点，是以为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【答案】点D在内，点E在外，理由见解析 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，利用勾股定理求出，再由线段中点的定义求出的长，最后比较出与的长短关系即可得到结论． 【详解】解：点D在内，点E在外，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 点D在内， ∵， ∴， 点E在外． 二、直线与圆位置关系的判定（共5小题） 6．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．根据圆心到直线的距离大于半径的长，即可得出判断． 【详解】解：∵的直径为2， ∴的半径为1， ∵点到某条直线的距离为， ∴直线与圆相离； ∴这条直线可能是； 故选：A． 7．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，的半径为5，圆心O到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的关系是解题的关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系“，圆与直线相交；，圆与直线相切；，圆与直线相离”进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴圆与直线相离， ∴由图形可得，相离的直线是， 故选：B ． 8．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（    ） A．点B在内 B．点A在上 C．边与相切 D．边与相离 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系是解题的关键． 由，可判断点B在上，进而可判断A的正误；由，可判断点A在外，进而可判断B的正误；由，，可判断边与相切，进而可判断C的正误；由边过的圆心，可得边与相交，进而可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴点B在上，A错误，故不符合要求； ∵， ∴点A在外，B错误，故不符合要求； ∵，， ∴边与相切，C正确，故符合要求； 由题意知，边与相交，D错误，故不符合要求； 故选：C． 9．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：根据题意为的直径，， ∴的半径为3． 又∵，， ∴则直线 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键． 【详解】解：解，可得， 的半径是一元二次方程的一个根， 圆的半径为3， 圆心O到直线l的距离为4， 直线l与有0个交点， 故答案为：0． 三、由直线与圆的位置关系确定数值（共6小题） 11．（23-24九年级上·河北张家口·期末）直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5， ∴， ∵， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 12．（20-21九年级上·河北保定·期末）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断． 【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点， ∴⊙O与直线l相离． ∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∵⊙O直径为10cm， ∴⊙O半径为5cm， ∴圆心O到直线l的距离大于5cm． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键． 13．（2020·河北唐山·二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（    ） A．5 B．5.5 C．4.5 D．1 【答案】B 【分析】直线与应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断． 【详解】∵直线与有公共点 ∴直线与应是相交或相切的位置关系 ∴圆心距小于等于半径 ∵5.5>5 ∴B选项错误 故选B． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当圆心距大于半径时直线和圆相离，当圆心距等于半径时直线和圆相切，当圆心距小于半径时直线和圆相交． 14．（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：过M作于H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，与线段有交点， ∴r的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 15．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为 ；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断． 【详解】解：如图，作于． 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离， ∴的取值范围为， ∵与边只有一个公共点， ∴的取值范围为或， 故答案为：，或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点，交于，两点． (1)当为中点时，求的长； (2)①如图2，当与边相切于点时，的长为__________； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； (3)当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围__________． 【答案】(1)3 (2)①，②弦长大于的长． (3)或． 【分析】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键． （1）根据，解直角三角形求出，在直角三角形中求出即可解答； （2）①当与边相切于点时，则，即，可得，继而由列方程求出； ②连接，，分别求出，，进而求出，，再比较大小即可； （3）分当与相切时，点在圆内，两种情况讨论，画出图形求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ （2）解：①连接， 当与边相切于点时，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ②连接，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）①当与相切时，设切点为，如图， 由上述结果可知，，， ∴， ， 即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1， ②过点，如图，与平行四边形的边的公共点的个数为， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴是直径，此时， 当时，点在圆内，与平行四边形的边的公共点的个数为1， 综上所述，的值的取值范围是或． 四、切线的证明与作图（共9小题） 17．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）已知点P是外的一定点，嘉嘉进行了如图所示操作，则下列判断不正确的是（   ） A．点A是的中点 B．直线都是的切线 C． D． 【答案】D 【分析】根据作图得到垂直平分线，即可判断A，根据直径所对圆周角是直角即可判断B，根据切线长定理即可判断C，根据三角形中线分得两个三角形面积相等即可判断D，即可得答案． 【详解】解：由作图可得， 是的垂直平分线， ∴点A是的中点，故A正确，不符合题意， 连接，，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴直线都是的切线， ∴，故B，C正确，不符合题意， ∵点A是的中点， ∴， 故D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点D，以点D为圆心，长为半径作．试确定斜边与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析． 【分析】本题考查圆的切线证明，作点于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案； 【详解】解：与相切，理由如下， 证明：如图，作点于E， 是的平分线，，， ， 是半径， 与相切． 19．（2024·河北沧州·二模）已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点 P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P 为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线； ②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，根据切线的判定定理，分别证明，即可解答，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：甲正确， 理由：如图1中，连接， 根据题意可得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 乙正确， 理由：为直径， ， ， 是的切线， 故选：A． 20．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，过点D作，垂足为F． (1)求证：是的切线； (2)分别延长，相交于点G，，的半径为6，求阴影部分的周长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2) 【分析】（1）要证明是的切线，则可考虑证明，连接，由同圆中半径相等，结合，利用等边对等角推理得到，则，此时结合即可得证； （2）观察阴影部分，可将问题转化为求扇形的弧长与、的和，结合已知可得，根据含角的直角三角形的性质求出，接下来根据弧长公式计算出的长，问题即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ，则， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 21．（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后得到，即可证明； （2）连接，根据角平分线的概念和等边对等角得到，得到，即可证明出为的切线； （3）首先根据题意证明出，得到，然后代数表示出，然后在中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，连接 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点P是上的点 ∴为的切线； （3）∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线以及掌握以上知识点． 23．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程如图所示． 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法：①连接； ②分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ③作直线，交于点C； ④以点C为圆心，的长为半径作圆，交于A，B两点； ⑤作直线，． 请回答以下问题． (1)连接，，可证，理由是 ； (2)直线，是的切线，依据是 ； (3)连接交于点D，若的半径为3，，求圆心O到的距离． 【答案】(1)直径所对的圆周角为直角 (2)过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线． (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、尺规作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）直接根据圆周角定理即可解答； （2）直接根据切线的判定定理即可解答； （3）先证，进而证得垂直平分，再利用垂径定理解题即可． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）； 故答案为：直径所对的圆周角为直角 （2）解：∵， ∴，， ∵、为的半径， ∴直线，是的切线（过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．）． 故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线 （3）解：如图：连接交于D， ∵的半径为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 在中， ∴求圆心O到的距离为2． 24．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以半径为3的上，连接，过点作，与相交于点（其中点、、按逆时针方向排列），连接． (1)、、三点如图中位置，且时，________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，，当时，求证：直线为的切线． 【答案】(1)45 (2)与相离，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点和点坐标易得为等腰直角三角形，则，由于，所以当、、三点如图中位置时有，从而得出答案； （2）根据圆心到的距离即可得到答案； （3）由于，得出，则可得到，，然后根据“”判断，从而得出，再根据切线的判定定理可确定直线为的切线． 【详解】（1）解：点，点， ， 为等腰直角三角形， ， 当、、三点如图中位置，且时，， 故答案为：45； （2）解：与相离； 过作于， 由已知得， 在中，， ∴， ∴与相离； （3）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线为的切线． 【点睛】本题考查了圆的综合题，用到的知识点是切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理进行几何计算是本题的关键． 25．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，中，为中点，以为圆心，长为半径作，交与点E．M为上一点，连接，将绕A点顺时针旋转的度数，得线段、连接、． (1)求证： (2)当点M与点重合时，求证：与相切； (3)面积的最大值为___________________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)22 【分析】（1）根据得到，继而得到，证明即可． （2）连接，根据切线的判定定理证明即可． （3）连接，计算，过点B作，交的延长线于点M，则，延长，交于点N，根据直径是圆中最大的弦，得到是边上最长的高，此时面积的最大，计算即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴， ∴ 又， ∴． （2）∵为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与相切． （3）连接， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于点N， 则， 延长，交于点Q， 根据直径是圆中最大的弦，得到是边上最长的高， 此时面积的最大，此时M与Q重合， 且面积为， 故面积的最大值为22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，切线的判定，圆的基本性质，正弦函数，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的证明，正弦函数，等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． 五、切线的性质（共10小题） 26．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为C，且C为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，同弧或等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的内角和定理应用，根据C为的中点得到，即可得到，结合等腰三角形得到，结合切线即可得到答案； 【详解】解：∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 故选：D． 27．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较与 【答案】A 【分析】设的半径为r，则，根据题意可得：，算出，，比较即可． 【详解】解：如图，O为圆形钟表圆心，连接，则点为切点， 设的半径为r，则， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】该题主要考查了弧长公式、切线的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 28．（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是的直径，是上一点，是外一点，过点作，垂足为，连接．若使切于点，添加的下列条件中，不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； B、， ，则， ， ， 当时，则，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ， ， ，即，根据切线的判定，切于点，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到，则是等腰三角形，无法确定，不能得到切于点，该选项不正确，符合题意； 故选：D． 29．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，一个零刻度落在点的量角器（半圆），其直径为，一等腰直角三角板绕点旋转，斜边交半圆于点，交半圆于点，点在量角器上的读数为，点在量角器上的读数为．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：当边与半圆相切于点（点在量角器上的读数为）时，． A．只有结论Ⅰ对 B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，连接，，根据圆周角定理可得，故，则判断结论Ⅰ正确；连接，，根据切线的性质可得，进而证得，证得得出结论Ⅱ正确．解题的关键是正确添加辅助线构造圆周角与圆心角的关系． 【详解】解：连接，，如图所示： ， ， 点在量角器上的读数为，点在量角器上的读数为， ，， ，即， 故结论Ⅰ正确； 连接，，如图所示： 则， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ， ，即， 故结论Ⅱ正确； 故选：C． 30．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r ． 【答案】 【分析】先根据平移求出新的圆心，求出一次函数与坐标轴的交点，过新圆心作垂线，利用等积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵沿x轴向右平移2个单位长度，， ∴平移后圆心与重合， 过作于， ， ∵恰好与直线相切， ∴， 当时，，当时，，， ∴，， ∴， ∴ ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆切线的性质，点的平移，一次函数的应用，勾股定理，解题的关系是求出平移后的圆心，作垂线利用等积法列式求解． 31．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，直线，与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，沿和平移，的半径为1，．小媛同学得到以下结论： ①若与相切，则； ②若与相切，则； ③若与相切，则；其中一定正确的有 ． 【答案】②③ 【分析】连结，根据切线的性质和得到为的直径，则和的距离为2；当与相切，连结，当在左侧时，根据切线长定理得，在中，利用正切的定义可计算出，在中，由于，可计算出，当在右侧时，，所以的长为或，从而判定①与③；再利用直角三角形的性质即可求出，从而判定②． 【详解】连结，如图1， ∵与和分别相切于点A和点B， ∴，， ∵， ∴， ∴点A、O、B共线， ∴为的直径， ∴和的距离为2； 作于H，如图1， 则， ∵， ∴， ∴； 当与相切，如图2，连结， 当在左侧时，， ∵， ∴， 同理，， 在中，，即， 在中，，，即， 当在右侧时，同理，，， ∴的长为或；； 故①错误，③正确； 当与相切，在左侧时，， ∵， ∴，， ∴； 同理在右侧时，；故②正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，切线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）将一量角器与矩形直尺按如图1位置放置，其中量角器的直径平行于直尺的边缘，与直尺的另一边缘相交于点C、D，且半径于点E．已知点C、D在直尺上的读数分别为，直尺的宽度为． （1）在图1中，求量角器的半径； 【操作】将图1中的量角器沿向右作无滑动的滚动，直尺保持固定，当量角器的端点B恰好与直尺边缘上的交点D重合时停止滚动，如图2所示； （2）连接，求的长度． 【答案】（1）量角器的半径为；（2） 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，理解题意是解本题的关键． （1）连接，求得，由垂径定理得，设量角器的半径为，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可； （2）连接，由勾股定理得，由垂径定理得根据勾股定理可得． 【详解】解：（1）∵C，D在直尺上的读数分别为，， ∴， ∵半圆O与相切于点P， ∴， 又∵ ∴，， ∴， 如图1，连接， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴量角器的半径为； （2）由（1）得 在中， ∴ ∵是半径，且， ∴ ∴ ∵是直径， ∴ 在中， ∴． 33．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，将的顶点A放在直径的端点E处，顶点C在上，边与相交于点F．已知，，的半径为8． (1)求扇形的面积； (2)从图1的位置开始，将绕点A逆时针旋转，当点F与点D重合时（如图2所示），若边与恰好相切于点P，求的长； (3)在（2）的基础上，若的顶点A在上滑动，当直角顶点C恰好落在上且在直径的右侧（如图3所示）时，边与射线交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，可得，可得，再利用扇形面积公式计算即可； （2）如图，连接，证明，求解，结合，可得，再进一步求解即可； （3）如图，当时，连接，，过作于，作于，证明四边形为矩形，可得，，求解，，从而可得答案；如图，当时，连接，，过作于，作于，同法可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，连接，，过作于，作于， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， 连接，，过作于，作于， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：为或． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，求解扇形面积，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 34．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，，M是上一个动点，与相切于点M且经过点C，与和分别交于点P和点Q，连接．    (1)如图1，求证：． (2)如图2，，点O在上． ①连接交于点N，求的值． ②设的直径为d，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，证明，再结合可证明； （2）①分别求出，，，．证明，求出，连接，证明，可得结论；②由①得d有最小值，为，再求出点M和点A重合时，d最大，最大值为，故可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    则， ∴． ∵与相切于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：①∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 如图2，连接，    ∵为直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②由①中可知：d有最小值，此时； 如图3，当点M和点A重合时，d最大，    ∵，， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 35．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，在平行四边形中，，过点C作边的垂线，交直线于点H，点O在直线上，半圆O以O为圆心，直径为，且将半圆O连同直径一起沿直线向左平移． (1)半圆O的半径为____________； (2)当半圆O与相切，切点为H时，如图14-2所示，设点M为半圆O上一点，点N为线段上一点，求的最大值和最小值分别是多少； (3)当半圆O平移到与相切时，半圆O连同直径一起绕着点H继续以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为9秒时，判断半圆O与直线的位置关系，并给出证明． 【答案】(1)3； (2)最大值和最小值分别是6和； (3)相离． 【分析】（1）根据平行四边形中，，证明进而可求解； （2）作于，连接、，根据三角形三边的关系及解直角三角形、垂线段最短即可求出最大值及最小值； （3）分两种情况：①当半圆O在右侧时，②当半圆O在左侧时，分别求出圆心O到直线的距离即可判断半圆O与直线的位置关系 【详解】（1）解：， ， 中，， ， ， ， 中，， ， ， 故答案为：3； （2）解：作于，连接、， ，， 、、、共线时，即点M在线段上时，最小， ， ， 点不共线时， ，， 当重合，重合时，， ； （3）解：当半圆O平移到与相切时， ①当半圆O在右侧时，如图， 半圆O连同直径一起绕着点H以每秒的速度逆时针旋转9秒时，， ，作于，作于， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 半圆O与直线相离； ②当半圆O在左侧时，如图， 半圆O连同直径一起绕着点H以每秒的速度逆时针旋转9秒时，， ， 作于，作于， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 半圆O与直线相离； 综上所述，当半圆O连同直径一起绕着点H继续以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为9秒时，半圆O与直线的位置关系是相离． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了平移变换，旋转变换，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 六、切线长定理的应用（共5小题） 36．（2024·河北·模拟预测）下列☉O中，不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，切线长定理的应用，切线的性质，根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵是的切线， ∴， ∴，故C不符合题意； 如图，∵， ∴， 而， ∴， ∴不能推出，故D符合题意； 故选D 37．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较a与b的大小 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，依题意，连接各个切点与圆心，结合切线长定理得，则的周长是，的周长是，即可作答． 【详解】解：∵是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线． ∴连接各个切点与圆心，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 即， 结合切线长定理得， ∴的周长是， ∴的周长是， ∵和的周长分别为a 和b， ∴， 故选：C． 38．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 设与的切点为点，由切线长定理可得，，，，据此可推出：的周长，于是得解． 【详解】解：如图，设与的切点为点， 是的内切圆，切点分别为点、、，且与相切于点， ，，，， 的周长 ， 故选：． 39．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 40．（2022·河北邯郸·三模）如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts． (1)∠APE＝　 　°； (2)若⊙O与AD相切， ①判断⊙O与CD的位置关系； ②求的长； (3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系； (4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)60° (2)①⊙O与CD相切；② (3)CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE (4)当0<t<1时或17<t<21时，点N在圆内部； 【分析】（1）根据菱形的性质易证△ACD为等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠APE的度数； （2）①先找出⊙O与AD相切时的情况，根据切线长定理即可证明⊙O与CD相切；②根据切线长定理和菱形的性质，可求得圆的半径，根据弧长公式即可求解； （3）要使CF取得最大值，则AF应该取最小值，当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值，求出即可； （4）分两种情况进行讨论，当P在AB上时和当点P在BC上时． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°， ∴∠D=∠B＝60°，AD=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACE=60°， ∴∠APE=∠ACE=60°， 故答案为：60°． （2） 如图，当点P运动到点B时，⊙O与AD相切， ①∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=CD， ∵⊙O与AD相切， ∴⊙O与CD相切； ②连接OD， 由（1）可知，∠ADC=60°， ∵AD、CD分别与⊙O相切， ∴∠ADO=∠ADC=30°， ∴AO==， ∴； （3） 由图可知：CF=AC-AF， ∵AB=BC，∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形，则AC=12cm，∠ACB=60°， ∴要使CF取得最大值，则AF应该取最小值， 当AC⊥PE时，AF最小，此时CF取得最大值， ∵点O为△APC外接圆圆心， ∴OA=OC=OP==6cm， ∵∠ACB=60°， ∴CF==3cm， 综上：CF的最大值为3cm，此时AC⊥PE． （4）①当点P在AB上时， ∵四边形APCE为圆的内接四边形， ∴∠APC+∠AEC=180°， ∵∠AED+∠AEC=180°， ∴∠APC=∠AED， 在△APC和△DEA中， AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED， ∴△APC≌△DEA， ∴AP=DE， 当点E与点N重合时，DE=DN=AP=4， ∴MP=4-3=1cm， ∴t=1s， 当0<t<1时，点N在圆内部； ②当点P在BC上运动时， ∵∠AEP=∠ACP=60°， ∴△APE为等边三角形， ∴AP=AE，∠PAE=60°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAP=∠CAE， 在△BAP和△CAE中， AB=AC， ∠BAP=∠CAE， AP=AE， ∴△BAP≌△CAE， ∴BP=CE， 当点E与点N重合时，CE=CN=BP=12-4=8cm， 此时t==9+8=17s， 当点P到达点C时，t=21s， 当17<t<21时，点N在圆内部； 综上：当0<t<1时或17<t<21时，点N在圆内部． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，切线长定理，以及和圆相关的内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．注意在解题过程中灵活运用“同弧所对的圆周角相等”这一定理． 七、三角形的内切圆性质的应用（共9小题） 41．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本作图、三角形内心：三角形三条内角平分线的交点，根据内心的定义判断即可． 【详解】A、一条是内角平分线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； B、两条均为内角平分线，根据三角形内心是角平分线的交点，可以利用直尺成功找到三角形内心，选项符合题意； C、两条线均为边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； D、一条是边的高线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； 故选：B． 42．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，如图所示，由三角形内心性质结合三角形内角和定理得到，再由三角形外心定义，由圆周角定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 是的内心， 是的角平分线、是的角平分线， ，， 在中，，则由三角形内角和定理可知， ， 在中，， 点恰好又是的外心， 由圆周角定理可得， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及三角形内心性质、角平分线定义、三角形内角和定理、三角形外心定义及圆周角定理等知识，熟记三角形内心性质及外心定义是解决问题的关键． 43．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心、正方形的判定与性质、勾股定理逆定理、平移的性质，连接，，由三角形内心的性质得出，由平移可得，，得到，从而得出，推出，同理可得：，即可得出的周长，由勾股定理逆定理得出，证明出四边形是正方形，求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ，点为的内心， 平分， ， 由平移可得：，， ，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得：， 的周长为， ， 为直角三角形， ， 四边形是矩形， 点为的内心， ， 四边形是正方形， ， 正方形的周长为， 图中阴影部分的周长为， 故选：B． 44．（22-23九年级上·河北承德·期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下： 甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为； 乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为； 丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为； 丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为； 则下列判断正确的是（　　） ①；②；③在，，，中，最小 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中；设图2中正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知；在图3中，设半圆的半径为r,根据切线长定理可求得；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得，；根据以上计算的值进行比较即可判断． 【详解】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，； 图2中，设正方形的边长为x，则，，； 图3中，设半圆的半径为r，则，，； 图4中，设三角形的内切圆半径为R，则，解得：，； 根据以上计算的值进行比较，，在，，，中，最小，所以正确的是②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广． 45．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，（1）作和的垂直平分线交点O；（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；（3）分别与和的垂直平分线交于点；（4）连接其中与交于点P． 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，①；②；③点O是的外心；④点是的内心．所有正确结论的序号是（） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； 根据作图信息以及线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识一一判断即可． 【详解】解：如图，设交于． ∵， ∴， ∴；故①正确， ∴，故②错误， ∵点是线段，线段的垂直平分线的交点， ∴点是的外心，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴点是的内心，故④正确， 故选：D． 46．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，可得，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，    设，， ∴， ∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点， ∴，， 根据三角形的面积可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴内心与外心的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键． 47．（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】 2 20 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、， 由切线的性质得，，，， 又，， 四边形是正方形， ． 在和中，， ． ， 同理可证，，， ，，， ． ， 即内切圆的半径为2； ，， ， ， 即的周长为20． 故答案为：2；20． 48．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，点是的内心，连接并延长交于点，交的外接圆于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形的内心，圆周角定理推论，相似三角形的判定与性质，涉及了等腰三角形的判定，三角形的外角定理，关键是正确理解三角形的内心定义． 根据三角形的内心，先证出，再借助圆周角定理证明，然后进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵E是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 49．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 ； （2）是的外心，连接，则的长为 ． 【答案】 2 【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题； （2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，    在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2； （2）如图，连接， 由1.知，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， （AAS）， ， 是的外心， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别． 八、正多边形和圆（共7小题） 50．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，将该五角星图案绕着它的中心旋转．若旋转后的五角星能与自身重合，则旋转角至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形，根据正五边形的中心角为，得到当旋转角度为的倍数时，五角星能与自身重合，判断即可． 【详解】解：∵五角星为正五边形， ∴中心角的度数为：， ∴当旋转角度为的倍数时，五角星能与自身重合， 故旋转角至少为； 故选D． 51．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，六边形为的内接正六边形，直线l与，分别交于点G，H，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接正多边形，先求出中心角的度数，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】∵正六边形内接于， ∴， 在中，． ∵， ∴． 故选：C． 52．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，三角函数，连接，过点作，垂足为，设正六边形的边长为，则，在中，，，解直角三角形可得，，即得，再根据正切的定义即可求解，掌握正六边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为， 设正六边形的边长为，则， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 53．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于，为的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 设正六边形的面积为，则 ∴ 故选：C． 54．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是一个模型，为内接正多边形的一条边，若点P是优弧上一点，且，的半径为6．关于结论①、②，下列判断正确的是（   ）    ①的度数为；②以为边的圆内接正多边形的周长为18 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】如图，连接，，过作于，可得，求解多边形为等边三角形，求解，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，过作于，    ∵， ∴， ∴正多边形的中心角为， ∴多边形的边数为，即多边形为等边三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正多边形的周长为． ∴①正确，②错误， 故选：A 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 55．（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 【答案】 二 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面积，即可得出答案． 【详解】如图1中，圆的半径为3cm， 底面积为． 如图2中，连接，． ，，， ， ， 等边三角形的边长， 底面积， 等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为， 两种方案底面积差为， 故答案为：方案二，． 56．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)劣弧比正六边形最长对角线的长． (3) 【分析】本题考查圆与正多边形的基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）根据正多边形性质求解即可； （2）连接，，为正六边形最长对角线，通过弧长公式算出劣弧的长度与比较即可； （3）如图，过点作于点，先求出的长度，再分别用r表示出和的面积，再相加计算即可． 【详解】（1）解：∵正六边形为的内接正六边形． ∴， 故答案为：60． （2）如图，连接，，为正六边形最长对角线， 设的半径为，则，， ∴， ∴劣弧的长度为：， ∴劣弧比正六边形最长对角线的长． （3）如图，过点作于点， ∴， ∵正六边形的内角和为：， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵正六边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 九、圆与三角形的综合问题（共5小题） 57．（2024·河北保定·一模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求与线段的长度，并比较二者的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，的长度比的长度长 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，，由是的切线可得，根据点是的中点和圆周角定理，推出，进而得到，根据平行线的性质即可求解； （2）由可得，根据弧长公式求出，由，可得，得到，根据勾股定理可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接，， 是的切线， ，即． 点是的中点， ， ， ，即； （2），， 则，， ， ， ，， ． ， ， ， 的长度比的长度长． 58．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离； (3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆的综合，勾股定理，三角形的相似，圆内接四边形的知识；解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可； （2）过点作于，连接，利用勾股定理求出，证明，得出，即可求解； （3）设点在弧上的对应点为，连接，，，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：设，， 是半圆的直径， ， ， ， ，即， ， 即， 阴影部分面积和的最小值为； （2）过点作于，连接， 是切线， ， ， ，， ，， ∴， ， ， 即， ， 故点H到射线AB的距离为； （3）如图，设点在弧上的对应点为，连接，，， ，， ， ， 折叠， ， ； 59．（2024·河北邯郸·三模）如图1，在钢管的两侧分别放置三角形垫块 可以将钢管架在水平面上方．钢管的底面截面如图中所示，与两个垫块分别相切于点K．C，垫块． 和点K的位置不变，点C的位置随 的度数的改变而变化，且始终保持圆心O到水平面的距离不变，设当点A，B重合时，点B到达了最左端的位置，已知． 的半径为4． (1)若在K，C之间的劣弧 长为 求α的度数； (2)当点K，C到水平面的竖直高度一样时，求点A，B之间的距离； (3)当点A，B重合时，如图2，求点C到的距离． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了圆的综合练习题，弧的长度公式，五边形内角和，解直角三角形， （1）连接，，由题意知，得到设劣弧所对的圆心角为 长为 解得 然后在五边形中，求出，再求出，最后求出； （2）连接，得到 ，再求出， 过点K作于点G，在中，求出， 过点O作于点H，求出，在中，求出最后根据对称性， （3）当点A，B重合时，在中，，求出， 求出，利用，得到平分，再求出，再利用，求出，从而求出点C到的距离为2． 【详解】（1）解：连接，， 由题意知． ， 设劣弧所对的圆心角为 解得 在五边形中，， ∴， ； （2）当点K，C到地面的竖直高度一样时，连接， 可知，， ， 过点K作于点G， 在中，， 过点O作于点H， ， 在中， ∴根据对称性， （3）当点A，B重合时，在中，， ， ∵，且， ∴平分， ∴， 且， ∴， ∴点C到的距离为2． 60．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，中，，，，延长到点D，使．点P是边上一点，点Q在射线上，，以点P为圆心、PD长为半径作，交A于点E，设．    (1)______，当点Q在上时，______； (2)x为何值时，与相切？ (3)当时，求阴影部分的面积； (4)若与的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1； (2) (3) (4)或 【分析】（1）先由勾股定理求得，再由，可得的长，从而的长可求；当点Q在上时，如图，根据推得，从而列出方程，解得x的值即可； （2）作于点F，当时，与相切，如图2，由正弦函数得出关于x 的方程，解得x的值即可； （3）如图3，连接，利用E即可得出答案； （4）由（2）和（3）进行分类讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴，， 当点Q在上时，如图，    ∵，， ∴， ∵，， ∴． 解得：； 故答案为：1，； （2）解：作于点F，当时，与AB相切，如图1，    则，， ∴，解得． ∴时，与AB相切． （3）解：如图2，连接．    ∵中，，， ∴，， ∴ ． （4）解：或． 由（2）可知，当时，与的三边有两个公共点； 如图3，当点B在上时，，即， 解得．    当点A在上时，．    ∴当时，与的三边有两个公共点． ∴x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 61．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ； (2)半圆O与相切时，求的长？ (3)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (4)以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】(1)30； (2) (3) (4)或 【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，利用锐角三角函数和勾股定理解答即可； （2）设切点为N，连接，，设，利用勾股定理列出方程即可求解； （3）过点O作于点H，连接，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得的值，得到A，M，E三点重合，利用扇形的面积公式解答即可； （4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，与半圆O交于点B， 在中， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴点C到半圆O的最短距离为， 故答案为：30，； （2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图， ∵， ∴为半圆O的切线． ∵为半圆O的切线， ∴， ∴． 设， ∵， ∴． ∵为半圆O的切线， ∴． ∴，即， 解得：． ∴； （3）解：过点O作于点H，连接，如图， 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴A，M，E三点重合， ∴． ∴扇形的面积； （4）如图， 当与边相切于点时，， 此时，与有一个公共点， 由（2）知：； 当与边相切于点时，， 此时，与有三个公共点， ∴． ∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点， ∴； 当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点， 当经过点B时，与有三个公共点， ∵，，， ∴， 解得：． ∴当时，与有三个公共点， ∴当时，与有两个公共点， 综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆的有关计算，圆周角定理，垂径定理，切线长定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直线与圆的位置关系，连接经过切点的半径和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线． 十、圆与四边形的综合问题（共5小题） 62．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，在矩形中，，，是的中点，以点为圆心，以3为半径在的上方作半圆，分别交于点、点，把连带半圆绕点顺时针旋转（）得到半圆，如图2，其直径为． (1)连接、，求证：； (2)设半圆交于点、点，若，求半圆落在矩形内的弧长； (3)设是半圆上一点，当落在上时，求的最小值； (4)当半圆与矩形的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）利用矩形的性质，证明即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得到，即可求解结果； （3）证明，得到，，连接交半圆于点，此时最小，即可求解； （4）分别求出当点在上时，当半圆与相切于点时，的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ， ∴； （2）解：如解图①，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴半圆落在矩形内的弧长为； （3）解：如解图②，连接，过点作于点，延长交于点， 易得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， 连接交半圆于点，此时最小， ∴， ∴的最小值为； （4）解：当时， 如解图③，当点在上时，，此时圆与有两个交点， 如解图④，当半圆与相切于点，连接并反向延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴时，圆与与矩形的边有两个交点． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及切线的性质等知识点． 63．（2023·河北秦皇岛·一模）如图1，已知矩形中，，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长； (2)当点O运动到何处，的半径最小？ (3)在点O的运动过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 【答案】(1)的半径为 (2)当时，半径最小 (3)的取值范围为或 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据，求出即可； （2）利用垂线段最短解决问题即可； （3）求出三种特殊位置，经过点C时，与相切时，经过点A时，即可的取值范围． 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， 点P是对角线的中点， ， 与相切， ， ， ， ， 即的半径为； （2）如图，当时，的值最小， ， ， ， ， ， 即的半径为； （3）经过点C时，如图所示，此时有三个交点，过点O作交于点G， 此时， ， ， ， ， ； 当与相切时，此时有三个交点，由（1）得， ， 此时的取值范围为； 当经过点A时，如图所示，此时有三个交点，过点O作交于点H， 此时， ， ， ， ， ， 此时的取值范围为， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 64．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，，点O在AB的延长线上，，．动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE方向运动，以P为圆心，OP为半径作．设P的运动时间为t秒． (1)______，PA的最小值是______； (2)当过点C时，①求证：与BC相切；②求扇形OPC的面积； (3)当与矩形的边所在直线相切时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)①见解析；② (3)或或 【分析】（1）在直角中，先根据锐角的正切求的度数；根据垂线段最短可知：当时，的值最小，根据三角函数求的最小值； （2）①如图2，证明可得结论；②作辅助线，构建矩形，根据扇形面积公式可得结论； （3）分三种情况：①当与矩形的边相切时，是（2）问中的情况，此时；②当与矩形的边相切时，如图3，根据列式可得的值；③当与矩形的边相切时，如图4，根据列式可得的值． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是矩形， ， ， ， ， 当时，的值最小， ， 在中，， ， ； 则的最小值是； 故答案为：，； （2）①证明：如图2，连接、， 由题意得：半径，则， ， ， ， 即半径， 直线与相切； ②如图2，作于， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 扇形的面积； （3）①当与矩形的边相切时，是（2）问中过点，此时； ②当与矩形的边相切时，如图3， 过作于，过作于， ， ， ， ， ， ③当与矩形的边相切时，如图4， 过点作于，交于， 则，， ， ， ， 综上所述，的值是或或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、垂线段的性质、含角的直角三角形的性质、扇形面积公式、勾股定理、动点问题、直线与圆相切等知识，熟练掌握矩形的性质和直线与圆相切的性质是关键，第三问有难度，采用了分类讨论的思想解决问题，注意不要丢解． 65．（2022·河北邯郸·三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，点O为对角线AC上的动点（不与A、C重合），以点O为圆心在AC下方作半径为2的半圆O，交AC于点E、F． (1)直接写出AC的长 ； (2)当半圆O过点A时，求半圆被AB边所截得的弓形的面积； (3)若M为的中点，在半圆O移动的过程中，求BM的最小值； (4)当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出AE的长 ． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)2或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，得AC=2BC，又因为矩形对边相等，所以AC=2AD； （2）设该半圆与的另一个交点为点，连接，过点作于点，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求得和，由扇形的面积公式和三角形的面积公式计算求解即可； （3）当、B、三点共线时，的值最小，此时，由直角三角形的性质可求出的长度，根据即可求出最小值； （4）分类讨论与边和边相切两种情况，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=4 ∴三角形BAC是直角三角形 ∵∠BAC＝30°， ∴AC=2BC， ∴AC=8． 故答案为：8． （2）解：如图，当半圆过点时，设该半圆与的另一个交点为点，连接，过点作于点 ∵，， ∴， ， ， ∴． ∴，． ∴． （3）解：如图，连接，， 当、、三点共线时，的值最小，此时． ∵，， ∴AB==． ∴． ∴． （4）解：当半圆与矩形的边相切时，分为与边和边相切两种情况： ①如解图，当半圆与边相切于点时，连接，则． ∵，， ∴． ∴； ②如解图，当半圆与边相切于点时，连接，则，过点作于点，则四边形为矩形，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 综上所述，当半圆与矩形的边相切时，的长为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，扇形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 66．（2022·河北石家庄·二模）如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点． 探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______． 思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题： （1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积； （2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数： 直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝） （3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围． 【答案】探索：； 思考：（1）；（2）；＜ （3） 【分析】探索：利用勾股定理可以求出BQ的长，利用“两点之间，线段最短”可以求出CH的最小值． 思考：（1）利用面积法建立方程求出O点到CD的距离，再利用扇形面积公式计算扇形OHQ的面积． （2）利用勾股定理求出CP，进一步求出运动时间后，可以求出角度，利用等边三角形的判定与性质和弧长公式计算后即可完成求解． （3）分析弧与平行四边形的边有两个交点情况的界点值即可求解． 【详解】索：解：如图，连接BQ，CO， 当点P与点M重合时， ∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； 当C、H、O三点共线时，CH+HO的值最小，由HO为定值，即CH的值最小， ∵， ∴， 故答案为：；． 思考：（1）如图所示，当PQ与D点在一条直线上时， 则， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 设O点到CD的距离为h， ∵ ∴， ∵，半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒， ∴运动了4秒， ∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒， ∴， ∴扇形OHQ的面积为； 故答案为：O点到CD的距离为，扇形OHQ的面积为． （2）如图，连接OK，CO，当圆O与CD相切于点K时， 则OK⊥CD， ∴CO平分∠DCM， ∴∠DCO=∠OCM=30°， ∴CO=2OK=6， ∴Rt△COP中，， ∴， ∴运动时间为秒， ∴∠HOQ= ， ∴的度数为， 弧HQ的长为； 连接KQ，由∠DCP=60°，∠OKC=90°，∠OPC=90°， ∴∠KOP=120°， ∴∠KOQ=60°， ∵OK=OQ， ∴△KOQ是等边三角形， ∴KQ=3， ∴弧HQ长＜弦KQ长， 故答案为： ，弧HQ长＜弦KQ长． （3） 理由：如图，当半圆的圆弧与AB相切时，切点记为N，连接ON，OB， ∴BO平分∠ABP， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABP=60°， ∴∠OBP=30°， ∴， ∴， ∴运动时间为秒， 此时，，； 当Q点运动到AB上时，如图所示， 此时， ∴ ∴运动时间为秒， 此时，，； ∴． 【点睛】本题考差了圆的运动问题和圆上的点的运动的问题，涉及到了切线的判定与性质、特殊角的三角函数的应用等，解题关键是找出界点值并进行求解． 试卷第14页，共100页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$