专题06 圆（考题猜想，易错必刷65题9种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题06 圆 （易错必刷65题9种题型专项训练） 一、圆的基本概念辨析（共6小题） 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．直径是经过圆心的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 D．经过不共线三点必作一个圆 3．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北·期中）有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、 乙均对 D．甲、 乙均不对 5．（2022·河北·模拟预测）如图，反比例函数的一个分支与 有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（        ） A．劣弧等于 B．反比例函数的这个分支平分圆的周长 C．反比例函数的这个分支平分圆的面积 D．反比例函数图象必过圆心 6．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 二、三角形的外心（共8小题） 7．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 8．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 9．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为、，则它的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ；的外心在这个三角形 （内、外、三角形边上），外心坐标是    14．（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 三、圆心角、弦、圆心角的关系（共4小题） 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 16．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 18．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，点，，，，将的圆周进行五等分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 四、圆周角定理（共4小题） 19．（22-23九年级上·河北唐山·期末）下列图形中，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 21．（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，点A，B，C均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，点，，在上，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（2021·河北沧州·一模）如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 五、圆周角定理的推论（共7小题） 25．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处  26．（2024·河北廊坊·二模）如图，已知的两条弦，相交于点P，，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 28．（2024·河北保定·二模）如图，已知：在中，，是边上的中线． 求作：，使． 下面是甲、乙两名同学的作图过程， 下面说法正确的是（ A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对 29．（2024·河北秦皇岛·一模）综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对 30．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，E，F分别是上的点，且于点G，连接，则的最小值为 ． 31．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是的直径，，，点是的中点，连接． (1)求的长； (2)求的度数． 六、圆内接四边形（共6小题） 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 33．（2024·河北沧州·二模）如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，A，B，C是上的点，且，在这个图中，若画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺不能画出的角度有（    ） A． B． C． D． 35．（2024·河北石家庄·一模）如图，A、B、C、D四点在上的位置，其中A、O、D三点共线，且，．若在上取一点P，在上取一点Q，使得，则下列叙述正确的是（    ） A．Q点在上，且 B．Q点在上，且 C．Q点在上，且 D．Q点在上，且 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 七、垂径定理（共9小题） 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，已知的直径平分弦（不是直径），若，则（   ） A． B． C． D． 39．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 40．（24-25九年级上·河北邢台·期中）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 42．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 43．（24-25九年级上·河北唐山·期中）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 44．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，直径⊥弦于E，于M，交于N，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 45．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）有三个边长都为的正方形硬纸板，将这三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住．下面是三种不同的摆放类型： (1)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板的最小直径应为 ； (2)图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图 (填序号)，最小直径为 ． ① ③ 46．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 八、扇形的弧长、面积的计算（共9小题） 47．（2024·河北张家口·一模）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 48．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 49．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 50．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 51．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为 ． 52．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在中， ，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 53．（2024·河北邢台·一模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 54．（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）图是一种纸巾盒，它由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图是其侧面简化示意图，已知矩形的长，宽，圆弧盖板侧面所在圆的圆心是矩形的中心（结果保留小数点后一位）． (1)求所在的半径长及所对的圆心角度数； (2)如图，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点逆时针旋转时，求在这个旋转过程中扫过的面积．（参考数据∶，，取） 55．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）情景  七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动． 操作  制作七巧板：将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点O与点D重合（图1），然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图2），这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图2）． （1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点O顺时针至少旋转__________°能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形__________与__________也能通过平移与旋转重合． （2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积． 探究  用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义． （3）如图，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则__________． 九、不规则图形面积的计算（共10小题） 56．（2023·河北承德·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，分别得到和，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在半径为2的扇形中，，P是线段上一动点，Q为线段的中点，延长交于点C，当线段最短时，由，和所围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D． 58．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在边长为2的等边中，D是边上的中点，以点A为圆心，为半径作圆与，分别交于两点，则图中阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 59．（2022·河北邯郸·三模）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ，弓形ACB的面积为 ． 60．（24-25九年级上·河北邢台·期末）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的直径的一个端点与半圆的圆心重合．若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ．    61．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ． 62．（2019·河南·一模）如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．       63．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点P是内一点，，垂足为点D，将线段绕点P顺时针旋转得到扇形，过点E作交于点M，连接，与交于点F，过点P作交于点N． (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）． 64．（2024·河北·模拟预测）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段利的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 65．（2023·河北唐山·二模）如图，点是内一点，，垂足为点，将线段绕点顺时针旋转得到扇形，过点作交于点，连接，与弧交于点，过点作交于点．    (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）．（参考数据：） 试卷第12页，共60页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆 （易错必刷65题9种题型专项训练） 一、圆的基本概念辨析（共6小题） 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； 正确的只有一个， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．直径是经过圆心的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 D．经过不共线三点必作一个圆 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关知识，三角形的内心，确定圆的条件；根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 直径是经过圆心的弦，故该选项正确，不符合题意； B. 半径相等的两个半圆是等弧，故该选项正确，不符合题意； C. 三角形的内心到三角形各边的距离相等，故该选项不正确，符合题意； D. 经过不共线三点必作一个圆，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可． 【详解】解：由图可知，过圆心为直径， ∴最长， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北·期中）有甲、乙两种说法，甲：直径是弦； 乙：长度相等的两条弧是等弧，其中正确的是 （    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、 乙均对 D．甲、 乙均不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关说法，根据等弧的定义，直径、弦的定义进行分析，解答即可． 【详解】解：直径是弦，甲说法正确， 长度相等的两条弧一定是等弧，乙说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； 故甲对，乙错， 故选A． 5．（2022·河北·模拟预测）如图，反比例函数的一个分支与 有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（        ） A．劣弧等于 B．反比例函数的这个分支平分圆的周长 C．反比例函数的这个分支平分圆的面积 D．反比例函数图象必过圆心 【答案】B 【分析】由题意可知，两点连线为圆的直径，弧为半圆，所对圆心角为，由此可对各项进行判断． 【详解】A．，两点连线为圆的直径，弧为半圆，所对圆心角为，不是，故这个选项错误； B．反比例函数的这个分支平分，即反比例函数的这个分支把的周长平分，故这个选项正确； C．反比例函数的这个分支能平分周长，所以，两点连线为圆的直径，这个分支就不能把的面积平分，故这个选项错误； D．反比例函数的这个分支不可能过圆心，否则无法平分圆，故这个选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质的运用，分别讨论可判断正误． 6．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 二、三角形的外心（共8小题） 7．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 8．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【答案】C 【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：连接、、， 为锐角三角形的外心， ， 四边形为正方形， ， ，即不是的外心， ，即是的外心， ，即是的外心， ，即不是的外心， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 9．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为、，则它的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵直角边长分别为6和8， ∴斜边是， ∴这个直角三角形的外接圆的半径为5， 故选：B． 11．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 12．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 13．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知图中的每个小方格都是边长为工的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ；的外心在这个三角形 （内、外、三角形边上），外心坐标是    【答案】；外； 【分析】本题考查了求位似中心以及三角形的外心位置；连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心，外心坐标为的垂直平分线的交点． 【详解】解：连接，，交点即位似中心的坐标是，的外心在这个三角形外，外心坐标为的垂直平分线的交点，坐标为    故答案为：；外；． 14．（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据点D和点E同时出发，速度相同，得出，即可用证明； （2）根据，得出，即可求解； （3）分别求出当时，和当时，的度数，即可解答． 【详解】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 三、圆心角、弦、圆心角的关系（共4小题） 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）下列说法正确的是（） A．三点确定一个圆 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查圆的认识，圆周角定理，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的有关概念及定理的应用．根据圆的概念，圆周角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、能够互相重合的弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 16．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，D、E分别是半径，的中点，连接，，，，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，D、E分别是半径，的中点，可得，由，可得，可判断A的正误；证明，则，，证明，则，可判断B的正误；证明，则，可判断C的正误；由题意知，当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵，D、E分别是半径，的中点， ∴， ∵， ∴，A正确，故不符合要求； 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，B正确，故不符合要求； ∵，，， ∴， ∴，C正确，故不符合要求； 由题意知，当时，，D错误，故符合要求； 故选：D． 17．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在中，，那么（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：如图， 在圆上截取， ∵， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系知，， ∴， 故选：． 18．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，点，，，，将的圆周进行五等分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆心角之间的关系，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等求出是解题的关键． 【详解】解：∵点，，，，将的圆周进行五等分， ∴， ∴， ∴， 故选D． 四、圆周角定理（共4小题） 19．（22-23九年级上·河北唐山·期末）下列图形中，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：根据圆周角定义：可得是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D． 故选B． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 20．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 21．（23-24九年级上·河北·阶段练习）如图，点A，B，C均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角与圆心角关系及等腰三角形内角和问题，根据得到，再根据得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 22．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，点，，在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，在上，若， ∴； 故选． 23．（2021·河北沧州·一模）如图，是上一个定点，将直角三角板的角顶点与点重合，两边与相交，设交点为，，绕点顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点重合时停止旋转，设，旋转角为，如图所示能反映与关系的为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角的定义及特点即可求解． 【详解】依题意可知∠BMA是圆周角，弦AB为∠BMA所对的弦， 当绕点顺时针旋转三角板时，∠BMA的大小不变，故弦AB长度不变，即y不随的变化而变化， 故选A． 【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆周角的定义． 24．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的倍即可求． 【详解】 故选：A． 五、圆周角定理的推论（共7小题） 25．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【答案】B 【分析】本题主要考查了的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键，根据的圆周角所对的弦是直径求解即可。 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴是的直径，即 ∵点，与整钟点“时”重合， ∴点应位于“时”处， 故选： 26．（2024·河北廊坊·二模）如图，已知的两条弦，相交于点P，，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，三角形内角和性质，解题关键是灵活运用圆周角定理得到角的关系． 先根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据三角形内角和性质求出的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，， ∴， ∴， 即弧的度数为， 故选：A． 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，连接，根据为直径，得出，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，根据同弧所对的圆周角相等得出，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 28．（2024·河北保定·二模）如图，已知：在中，，是边上的中线． 求作：，使． 下面是甲、乙两名同学的作图过程， 下面说法正确的是（ A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点， （1）根据作图过程得出同弧所对的圆周角为，，进而即可得解； （2）根据作图过程和等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得解； 解决本题的关键是掌握圆周角定理． 【详解】∵，是边的中线， ∴是边的垂直平分线，， 对于甲，由步骤一，二得出线段的垂直平分线与交于点O，得到的外接圆， ∴在中取了一点P，得到圆周角， 由圆周角定理的推论可得，符合题意； 对于乙，由步骤一得出平分， ∴， 由步骤二，步骤三得出， ∴， ∵， ∴，不符合题意， 故选：A． 29．（2024·河北秦皇岛·一模）综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，分两种情况当C，D位于弦的两侧时与当C，D位于弦的同侧时，利用圆内接四边形对角互补和圆周角定理进行求解判断即可． 【详解】解：如图，当C，D位于弦的两侧时， ， ； 如图，当C，D位于弦的同侧时， ， 的度数是或， 嘉嘉和淇淇合在一起也不对， 故选：D． 30．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，E，F分别是上的点，且于点G，连接，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，矩形的性质．理解点G在以为直径的圆上运动是解题关键．根据题意得出，即得出点G在以为直径的圆上运动，且圆心O为线段的中点，连接，交于点P，结合勾股定理可求出，又可得出的最小值即为的长，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，且圆心O为线段的中点，连接，交于点P，如图， ∴， ∴． 由图可知的最小值即为的长， ∴． 故答案为：8． 31．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是的直径，，，点是的中点，连接． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，勾股定理，弧圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键， （1）由直径所对的圆周角得．进而根据勾股定理得，即可得解； （2）由弧与圆周角的关系得．由（）得，进而，再利用圆周角定理的推论即可得解。 【详解】（1）解：是的直径， ． 又，， ， ； （2）解：点是弧的中点， 弧弧 ． 由（）得， ， ． 六、圆内接四边形（共6小题） 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故选：B． 33．（2024·河北沧州·二模）如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，根据两直线平行求出，再根据圆内接四边形对角互补求出，即可判断． 【详解】∵， ∴， ∵四边形内接于． ∴， ∴，故B选项正确； ∵与不确定平行， ∴无法求出的度数，故A，C不正确； ∵与不确定平行， ∴无法求出，故D选项不正确； 故选：B． 34．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，A，B，C是上的点，且，在这个图中，若画出下列度数的圆周角：，，，，仅用无刻度的直尺不能画出的角度有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等等知识点，在优弧上取一点，连接，可作；作直径，连接，可作，．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：如图： 在优弧上取一点，连接， 根据圆的内接四边形互补可得：，即：可作； 作直径，连接， 可得：，， ∴，即：可作，． 综上，可作，，，不能画出的角度是． 故选：D． 35．（2024·河北石家庄·一模）如图，A、B、C、D四点在上的位置，其中A、O、D三点共线，且，．若在上取一点P，在上取一点Q，使得，则下列叙述正确的是（    ） A．Q点在上，且 B．Q点在上，且 C．Q点在上，且 D．Q点在上，且 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．连接，，，根据题意得到，在圆周上取一点连接，，由圆周角定理得到，求得，取的中点，连接，得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，，， ∵A、O、D三点共线，且，， ， 在圆周上取一点连接，， ， ， 取的中点，连接， 则， ， 点在上，且， 故选B 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数是 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据是的直径，可得，再根据对角互补可得，再结合三角形内角和定理即可求解 【详解】解：是的直径， ， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， 故答案为： 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知，中，，以为直径的与，的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 七、垂径定理（共9小题） 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，已知的直径平分弦（不是直径），若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的逆定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂径定理的逆定理得到，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵的直径平分弦（不是直径）， ∴ ∴． 故选：B． 39．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理以及垂径定理的综合运用．根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，根据垂径定理和勾股定理求解即可．解题的关键：构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 【详解】解：∵圆弧形桥拱的跨度，拱高， ∴点是的中点，且， ∴此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，设圆的半径是， ∴， 在中， ，，，， ∴，即， 解得：， ∴拱桥的半径为米． 故选：B． 40．（24-25九年级上·河北邢台·期中）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则， 在中， ， ． 故选A． 41．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 42．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 43．（24-25九年级上·河北唐山·期中）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：设半径为，连接， ，为半径， ， ， ， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）解：过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 44．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，直径⊥弦于E，于M，交于N，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）先利用同角的余角相等证明，再根据圆周角定理得到，从而得到； （2）连接，先根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图， ， 在中，, ． 45．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）有三个边长都为的正方形硬纸板，将这三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住．下面是三种不同的摆放类型： (1)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板的最小直径应为 ； (2)图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图 (填序号)，最小直径为 ． 【答案】 ③ / 【分析】（1）利用的圆周角所对的弦是直径，易知为圆的直径，应用勾股定理结论可得； （2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得；依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设，依据勾股定理列出方程可求半径，直径可得．最后比较圆①②③直径的大小，即可得出结论． 【详解】解：（1）如下图， ① ∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，， ∴为圆的直径． ∵（cm）． 圆①的直径为， 故答案为：； （2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径， ∴圆的半径为． ∴圆②的直径为．       ② 如下图③，设圆心为O，与交于点P． 连接． ③ 由题意，垂直平分，． ∴O在上， ． 设，则． 在中，． 在中，． ∴． ∴． 解得： ． ∴ON=． ∴圆③直径为． ∵ ∴图①②③中能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板直径最小的是图③，最小直径为cm． 故答案为：③，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键． 46．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 【答案】(1)14 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）由垂径定理求解即可； （2）设，利用勾股定理求出即可； （3）补全，在的下方取一点，连接，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，为半圆的半径， ， 故答案为：14； （2）解：设． 在中，， ， ， ； （3）解：如图，补全，在的下方取一点，连接，，，． ，， ． 不变，是定值， “某生物”（点）在洞顶上活动时总能看清洞口的情况． 八、扇形的弧长、面积的计算（共9小题） 47．（2024·河北张家口·一模）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】， 解得． 故选：B． 48．（24-25九年级上·河北沧州·期末）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（　　） A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲、乙同时到B D．无法确定 【答案】C 【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式． 【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行， ∴甲虫走的路程为， 乙虫走的路程为， 甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， ∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点， 因此甲虫和乙虫同时到点． 故选：C． 49．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 50．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 51．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为 ． 【答案】/ 【分析】先求解，，结合点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，在同一直线上，， ∴，， ∴点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长． ∴点A经过的最短路线长． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，旋转的性质，弧长的计算，锐角三角函数的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 52．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在中， ，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见详解． 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求得，，，，然后根据弧长公式即可求出的长． （2）根据等腰三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可得，则可得．根据三角形内角和定理可得，则可得，由此可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角定理，以及弧长的计算公式．熟练掌握以上知识是解题的关键． 53．（2024·河北邢台·一模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∵， ∴； （2）解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 54．（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）图是一种纸巾盒，它由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图是其侧面简化示意图，已知矩形的长，宽，圆弧盖板侧面所在圆的圆心是矩形的中心（结果保留小数点后一位）． (1)求所在的半径长及所对的圆心角度数； (2)如图，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点逆时针旋转时，求在这个旋转过程中扫过的面积．（参考数据∶，，取） 【答案】(1)的半径长为，所对的圆心角度数约为 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，扇形面积的计算，锐角三角函数等知识， （1）如图，根据矩形的性质及勾股定理可得，根据锐角三角函数可得，可求出∠ADB的度数，最后根据三角形外角的定义及性质可求出答案； （2）在这个旋转过程中扫过的面积为扇形的面积，根据扇形的面积公式可求出答案； 解题的关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴的半径长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为，所对的圆心角度数约为； （2）如图，根据题意得：， ∴在这个旋转过程中扫过的面积为． 55．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）情景  七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能更加理性地认识“七巧板”，数学杨老师带领同学们展开了以“七巧板‘巧’在何处”为主题的学习活动． 操作  制作七巧板：将一个边长为的正方形纸片沿对角线折叠，会得到一个等腰直角，再将其沿它的对称轴对折，再对折，直至点O与点D重合（图1），然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形（图2），这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图中实线进行裁剪，便可得到一副七巧板（图2）． （1）图2的成品七巧板中，三角形②绕点O顺时针至少旋转__________°能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形__________与__________也能通过平移与旋转重合． （2）三角形②按（1）中的旋转方式旋转与三角形①重合的过程中，求扫过的面积． 探究  用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义． （3）如图，“冲浪小组”用七巧板拼出了“一只飞舞的蝴蝶”，寓意：自由与追求．则__________． 【答案】（1）90；③，⑤；（2）；（3）25 【分析】（1）根据，③和⑤两个三角形全等，解答即可； （2）根据扇形面积公式进行判断即可； （3）图中阴影部分面积为⑥和⑦两个图形之和，用的面积减去③④⑤三个图形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：三角形②绕点O顺时针至少旋转能与三角形①重合，除三角形①与②外，三角形③与⑤也能通过平移与旋转重合； （2）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴扫过的面积为； （3）根据题意可知：③与⑤两个三角形为等腰直角三角形，且面积相等，④为正方形， 根据折叠可知：， ∴③和⑤两个三角形面积之和为： ， 图中④的面积为：， ， ∵图中阴影部分面积为⑥和⑦两个图形之和， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，扇形面积计算，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 九、不规则图形面积的计算（共10小题） 56．（2023·河北承德·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，分别得到和，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积=扇形的面积扇形的面积的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的面积， 扇形的面积， 的面积， ∴阴影的面积=扇形的面积扇形的面积的面积 ． 故选：B． 【点睛】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含30°角的直角三角形，解题的关键是明白：阴影的面积=扇形的面积扇形的面积的面积． 57．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在半径为2的扇形中，，P是线段上一动点，Q为线段的中点，延长交于点C，当线段最短时，由，和所围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到当时，最小，再根据直角三角形的边角关系求出的度数，结合勾股定理列式计算，得，然后，和所围成的封闭图形的面积为，把数值代入进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 当时，最小， 则， ∴， ∴， 点是的中点， ∴， ， ∴在，， ∴， 则，， ∴由，和所围成的封闭图形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，垂线段最短，掌握垂线段最短的性质以及扇形的面积的计算方法是正确解答的关键． 58．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在边长为2的等边中，D是边上的中点，以点A为圆心，为半径作圆与，分别交于两点，则图中阴影部分的面积为(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算、勾股定理、等边三角形的性质，连接，根据等边三角形的性质可得，，，从而得到，，，再利用得面积减去扇形面积计算即可，掌握利用割补法求不规则图形的面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D是边上的中点， ∴，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为：． 故选：C 59．（2022·河北邯郸·三模）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ，弓形ACB的面积为 ． 【答案】 π-2/ 【分析】在优弧上取点D，连接AD、BD、OA、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOB，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在优弧上取点D，连接AD、BD、OA、OB， ∵四边形ADBC为圆内接四边形， ∴∠D=180°-∠ACB=45°， 由圆周角定理得，∠AOB=2∠D=90°， ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴AB=OA=2， 弓形ACB的面积==π-2， 故答案为：2，π-2． 【点睛】此题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、扇形面积公式． 60．（24-25九年级上·河北邢台·期末）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的直径的一个端点与半圆的圆心重合．若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 则阴影部分的面积是 ， 故答案为：． 61．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 62．（2019·河南·一模）如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为 （结果保留）．    【答案】/ 【分析】连接，，运用勾股定理分别算出，再结合计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接，．    在中，，， ， ∴，则， ∵是直径， ∴， ， ∵O是的中点， ∴是的中线， ∴， ， 故答案为． 63．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点P是内一点，，垂足为点D，将线段绕点P顺时针旋转得到扇形，过点E作交于点M，连接，与交于点F，过点P作交于点N． (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)①线段弧；② 【分析】（1）根据，得出，根据旋转性质得出，，可证，然后利用证明 即可； （2）①根据，得出，然后利用锐角三角函数求出，可得，求出圆心角，利用弧长公式求出，再比较大小即可；②根据，得出，，利用割补法求即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵将线段绕点P顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：①∵， ∴． 在中， ， ∴， ∴，， ∴弧的长度， ∵， ∴线段更长； ②∵， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式是解题关键． 64．（2024·河北·模拟预测）如图1，扇形纸片，，，P是半径上的一动点，连接，把沿翻折，点O的对称点为Q． (1)当时，求折痕的长； (2)如图2，当点Q恰好落在上， ①求线段利的长，并比较大小；（比较大小时可参考数据，） ②求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)①，；② 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，弧长的计算等知识点； （1）当时，平分，此时点与点重合，由勾股定理得； （2）①证得 为等边三角形，进而求得的长为，，，进一步比较即可； ②首先求出的长，然后依据代入数据解答即可． 【详解】（1）当时，平分，此时点与点重合， ， ， ，， ； （2）①当点恰好落在上时，连接，如图2， 把沿翻折，点的对称点为， ， ∴ 为等边三角形， ， 的长为， 平分， ， ， ， ∴； ②，， ， ． 65．（2023·河北唐山·二模）如图，点是内一点，，垂足为点，将线段绕点顺时针旋转得到扇形，过点作交于点，连接，与弧交于点，过点作交于点．    (1)求证：； (2)已知，． ①通过计算比较线段和弧哪个长度更长； ②计算图中阴影部分的面积（结果保留）．（参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)①更长；② 【分析】（1）先求证，，利用“”即可证明； （2）①利用勾股定理计算出的长度，利用正切值求出，利用弧长公式计算弧的长度，比较大小，即可得出答案；②利用，进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 将线段绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：① ， ， 在中，， ， ， ， 弧长度， ； 更长； ②， ，， ． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长的计算公式，扇形面积的计算公式是解决问题的关键． 试卷第12页，共60页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$