专题05 反比例函数（考题猜想，易错必刷60题9种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题05 反比例函数 （易错必刷60题9种题型专项训练） 一、反比例函数的定义与辨析（共6小题） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列几组量中，不成反比例的为（   ） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 【答案】B 【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积一定时，两个变量成反比例，进行判断即可． 【详解】解：A、工作总量一定，工作效率和工作时间的乘积为定值，成反比例，不符合题意； B、减数一定，被减数和差的差值一定，不成反比例，符合题意； C、面积一定，平行四边形的底和高的乘积为定值，成反比例，不符合题意； D、电压一定时，电流与电阻的乘积为定值，成反比例，不符合题意； 故选B． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数．根据“形如的函数，称为y是x的反比例函数”，即可求解． 【详解】解：A、y是x的反比例函数，故本选项符合题意； B、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； C、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； D、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即或，只需令且即可求解． 【详解】解：由题意得：且； 解得， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键． 设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得． 【详解】解：设x和y的反比例关系式为， 把，代入关系式，得， 所以，x和y的关系式为， 把代入关系式，得， 解得， 故“？”处应填6， 故答案为：6． 5．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)，是正比例函数，比例系数为 (2)，是反比例函数，比例系数为 (3)，是反比例函数，比例系数为 【分析】(1)根据题意即可写出函数关系式； (2)根据题意即可写出函数关系式； (3)根据题意即可写出函数关系式； 【详解】（1）解：由题意可得：，是正比例函数，比例系数为； （2）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为； （3）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为． 【点睛】本题考查了根据题意写函数解析式，理解题意，正确写出函数关系式是解决本题的关键． 二、反比例函数的图象和性质（共7小题） 6．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图像在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，根据的得出反比例函数的图像在第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，， 函数图像在第一、三象限. 故选B． 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．根据函数解析式可知，的函数图像在第二象限，的图像在第三象限，然后利用当取相同的值时，的图像更靠近轴，即可找到坐标系的原点． 【详解】解：在函数中 ， 的函数图象在第三象限，的函数图象在第二象限 所在直线为轴 不妨设，那么， 当取相同的值时，的图像更靠近轴 点是坐标系的原点 故选：D． 8．（23-24九年级上·河北·阶段练习）已知点，都在反比例函数的图像上，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据在二四象限上随增大而增大，且得到时，时直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 9．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知反比例函数,下列说法不正确的是(　　) A．图象经过点 B．图象分别在二、四象限 C．时,或 D．在每个象限内y随x增大而减小 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握反比例函数增减性是解题关键． 根据反比例函数的图象和性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、,图象经过点(4,-2),正确,不符合题意； B、,图象分布在第二、四象限,正确,不符合题意； C、反比例函数,时,或,正确,不符合题意； D、反比例函数,在每个象限内y随x增大而增大,不正确,符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是 ．（填上一个认为正确的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】解： 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）反比例函数的图象在第 象限，若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 一、三 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先判断出反比例函数图象所在的象限，再由各点横坐标的大小判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第一、三象限， 在每一象限内y的值随x的增大而减小， ， ， ， 故答案为：一、三； 12．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 三、由图象确定k的取值范围（共7小题） 13．（2023·河北沧州·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（    ）    A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是3； 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出是解题的关键. 14．（21-22九年级上·陕西西安·期末）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的增减性得到，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的增减性，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15．（2024·河北张家口·三模）横、纵坐标都为整数的点称为整点若双曲线（如图）与双曲线之间只有两个整点（不含边界），则满足条件的的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，运用数形结合思想是解题的关键．根据反比例函数的图像分类讨论求解即可． 【详解】解：当时，，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意； 当时，，此时过和，与之间没有整点，故符合题意； 当时，，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意； 当时，此时过和，与之间有整点和，故不符合题意； 故选：． 16．（2023·河北保定·三模）如图，函数在第一象限的图象将所标三整点分隔开，则整数的值可能是（    ）    A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据三个点的坐标求出，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴整数的值可能是10，故A正确． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是根据图中三个点的坐标求出k的取值范围． 17．（9-10八年级下·山西·期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，得出，解出不等式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限 ∴ ∴ 故答案为： 18．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 19．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 【答案】 23 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解． 【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， 即，，，与，，，，在曲线L的两侧， ， 整数的个数为：个， 故答案为：23； 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键． 四、由比例系数求图形面积（共7小题） 20．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（    ）    A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4 B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2 C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8 D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3 【答案】A 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，设点，则，点,为的中点，据此即可求解． 【详解】解：设点，则， 根据反比例函数图象的对称性可知：点,为的中点 图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， 故选：A． 21．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．则图中阴影部分的面积是（    ）．    A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过B点， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 22．（2023·河北承德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数上，且轴，垂足为．若的面积为S，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．S与成一次函数关系 C．随着点位置的变换，与的面积也随之变化 D．S与成反比例关系 【答案】B 【分析】根据求出n的值，得出点P和B的坐标，再根据点A的坐标求出的面积即可判定A；求出S与m的关系式，即可判定B和D；根据的面积为即可判断C． 【详解】解：A．∵点在反比例函数上， ∴把代入得： ， ∴，， ∴的面积，故A错误； BD．∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的面积， ∴S与成一次函数关系，故B正确，D错误； C．随着点位置的变换，的面积也随之变化，但的面积始终等于，故C错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，解题的关键是数形结合，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算． 23．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 24．（2023·河北石家庄·模拟预测）点，，在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若四边形的面积是27，则的值为 ；若，则的值为 ；若，则的值为 ．    【答案】 27 27 【分析】利用反比例函数系数的几何意义可得，根据求解，然后利用列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知：四边形是矩形， 若四边形的面积是27， ∵在反比例函数（常数，）图象上，且四边形的面积是27， ∴； 若， 同理：矩形，矩形的面积都为， ∴； 若， ， ， ， ∴ 故答案为：27，27， 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 25．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在反比例函数（）的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，已知的纵坐标为10． （1）的值为 ； （2）阴影部分的面积的值为 ； （3）阴影部分的面积，，，的和为 ． 【答案】 20 10 16 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求解即可； （2）由，在反比例函数（）上，求得，即可求解； （3）过，，，，作轴、轴的垂线，阴影部分的面积，，，的和为，由，的坐标求得,，即可求解． 【详解】（1）点的横坐标为2，的纵坐标为10，点在反比例函数（）的图象上， ， ， 故答案为：20； （2）如图， 点在反比例函数（）的图象上，点的横坐标为4， ， 的纵坐标为5， ． 四边形为矩形， ， 点的横坐标为2，的纵坐标为10， ，， ， 四边形和四边形为矩形， ， ， 故答案为：10； （3）点，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线， ，，， 阴影部分的面积，，，的和为． 点在反比例函数（）的图象上，点的横坐标为10， ， 的纵坐标为2， ， 四边形为矩形， ， ， ． 阴影部分的面积，，，的和为16， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了反比例函数的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 26．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 【答案】(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 五、由图形面积求比例系数k（共8小题） 27．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A，若，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】设，由题意可知，可得，由，可得，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵点C在反比例函数的图象上，且轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A， ∴， 则，， ∵，即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形的面积找出关于的一元一次方程． 28．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据，的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】四边形是平行四边形， ,的纵坐标相同， ， 的纵坐标是， 点在反比例函数图象上， 将代入函数表达式中，得到， ， ， ，的纵坐标是， ， 即， 解得． 故答案为：． 29．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义，根据，即可得到一个关于的方程，进而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据，求出，从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到的值，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ， ，即, 设，，则， ， ， ， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 32．（2024·河北沧州·一模）如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上． （1）若点，在反比例函数，的图象上，且，则 ； （2）分别过点A，B向x轴，y轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则 ． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键，即过反比例函数图象上任意一点引轴、轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． （1）根据反比例函数系数得出，由即可求得； （2）根据反比例函数系数的几何意义得出，，由阴影部分的面积为12，得出，即可求得． 【详解】解：（1）点，，，在反比例函数的图象上， ， ； 故答案为：； （2）分别过点，向轴，轴作垂线，则，， 阴影部分的面积为12， ， ． 故答案为：18． 33．（2024·河北石家庄·一模）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为： ；（填“<”，“>”或“=”） （2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ． 【答案】 = 72 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义： （1）根据“过双曲线上任意一点与原点所连接的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，即”求解即可； （2）如图，设与，交于G，H，交于点K，则，设，则，，，由可得，，进而得出，，，可求得，再运用三角形和梯形面积即可求得答案 【详解】解：（1）如图， 根据题意得，， ∴， 即， 故答案为：=； （2）如图，设与，交于G，H，交于点K， 则， 设， 则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴图中阴影部分面积， ∵图中三块阴影部分的面积之和为62， ∴ 解得， 故答案为：72 34．（2023·河北沧州·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D，E是的两个三等分点，过点D，E作x轴的平行线分别交于点F，G，反比例函数的图象经过点G，分别交，于点Q，P，分别过点Q，P作x轴的垂线，垂足分别为点H，K．图中阴影部分的面积分别为，，．    （1）若，则k＝ ． ； （2）若．则 ． 【答案】 6 2 5 【分析】（1）若，根据题意，，，进而求得，，代入反比例函数求得k的值，即可求得点G的坐标； （2）由反比例函数系数k的几何意义可知，，得出，，代入，可求得． 【详解】解： ∵点D，E是的两个三等分点，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵点Q，P，G在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：6，2； （2）若， 由反比例函数系数k的几何意义可知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 六、一次函数图象与反比例函数图象的综合判断（共5小题） 35．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第二、四象限，这与图形符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形不符合，故D符合题意； 故选：D． 36．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，故，由反比例函数的图象可得，故不符合题意； B、经过图象原点，故不符合题意； C、由一次函数的图象可得，故，由反比例函数的图象可得，故符合题意； D、由一次函数的图象可得，故，由反比例函数的图象可得，故不符合题意； 故选：C． 37．（23-24九年级上·河北唐山·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象与一次函数的图象共存问题，可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可 【详解】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项D符合条件的； 当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，A、B、C、D都不符合条件的； 故选：D 38．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）在同－平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握一次函数和反比例函数的性质是解答此题的关键． 本题中两个函数的系数相同，两个函数必有交点，然后根据比系数的符号确定正确选项即可． 【详解】Ａ、（k为常数）过，函数应交y轴与负半轴，而选项中图象交y轴于正半轴，故选项不符合题意； B、由反比例函数图象在一、三象限可知；一次函数图象中y随x的增大而增大，可知，且一次函数过交y轴与负半轴，故选项符合题意； C、（k为常数），函数过，交y轴与负半轴，而图象交y轴与正半轴，故选项不符合题意； D、由反比例函数图象在二、四象限可知，一次函数图象y随x的增大而增大，可知，图象中无交点，故选项不符合题意； 故选：B 39．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在同一平面直角坐标系xOy中，函数和的图象大致是（　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，A选项符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 七、反比例函数与一次函数的综合问题（共7小题） 40．（2024·河北衡水·一模）如图，已知点，，点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数． 经过点P的双曲线为． （1）当点P与点B重合时，k的值为 ； （2）k的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数与一次函数； （1）由点与点重合，，将代入解析式，即可求解； （2）求出直线的解析式，由点P的横、纵坐标均为整数可求出的坐标，从而可求出满足的值，即可求解； 能根据点的横坐标，求出发的坐标是解题的关键． 【详解】解：（1）点点，，点与点重合， ， 双曲线为经过点， ， 故答案：； （2）设直线的解析式为， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； 点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数， 横坐标， 点坐标为或或或， 双曲线为经过点， 的值为或或或， 的最大值为； 故答案：． 41．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，点，在直线上，双曲线 （k为常数，）． （1）当双曲线G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）双曲线G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），当这六个点以1：2的比例分布在双曲线G的两侧时，k的取值范围为 ． 【答案】 不在 且 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题： （1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案； （2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围． 【详解】解：（1）点，在直线上， 将代入得， 点A的坐标为， 令，解得， 点B的坐标为，代入，得， 双曲线G的解析式为， 当时，， 点A不在双曲线G上， 故答案为：不在； （2）点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合）， 分别为、、、、、， 由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大， 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值； 当时，有，即； 当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值； 当时，有，即； 但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，； 综上，k的取值范围为且， 故答案为：且． 42．（2023·河北·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数求函数解析式、反比例函数的几何意义； （1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求； （2）根据函数图象，写出反比例函数在直线上方的自变量的取值范围，即可求解． （3）根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴，解得，． ∴反比例函数的解析式为． ∵直线过点，， ∴，解得，． ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵一次函数与反比例函数的交点为， 根据函数图象可得当时，或 （3）解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别， ∵，， ∴， ∵反比例数， ∴ 又∵ ∴． 43．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3)点在第三象限，点在第一象限， 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用反比例函数和一次函数的图象与性质解决问题． （1）先求出点，，再利用待定系数法即可求解； （2）先求得，再利用铅锤法求面积即可； （3）结合图象即可判断． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， 再把点代入，得：， ∴， ∴点，， ∵点，在的图象上， ∴，解得． （2）解：由（1）可知：，， ∴一次函数解析式为：， 当时，， ∴点， ∴， ∴． （3）解：由图像可知，点在第三象限，点在第一象限，． 44．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)______，并求反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，； (2)4； (3)①；②或． 【分析】（1）把代入即可求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出点的坐标，根据即可求解； （3）时，即把代入和即可求解；当时，即在x正半轴，直线在函数的上方；在x负半轴，直线在函数的下方，结合图形即可求解． 【详解】（1）由题意得：把代入，解得：； 把代入得： ∴反比例函数的解析式为； （2）由（1）得：反比例函数的解析式为 当时， ∴ 由（1）得：， ∴ （3）①当时，即把代入得：，把代入得： ∴； ②当时，即在x正半轴，直线在函数的上方；在x负半轴，直线在函数的下方， ∵， ∴当时，或； 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 45．（2024·河北张家口·一模）如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数及其应用，一次函数及其应用，求解一次函数关系是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标的特征求解点坐标，再代入反比例函数关系式计算可求解值； （2）由值可得反比例函数解析式，将两解析式联立解析式求解交点坐标，即可求解； （3）设点坐标为，则，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，即可求得的取值范围，再利用反比例函数图象上点的特征可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入中，解得， 点的坐标为， 双曲线过点， ； （2）解：当时，， ， 解得， 直线与双曲线的交点坐标为，， 交点的纵坐标大于交点的纵坐标， 点坐标为， （3）解：设点坐标为，则， ， ， ， ， 即， ， ， 当时， ． 46．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【答案】(1)4，画图见解析 (2)①；② (3)1 【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可； （2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标； ②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可； （3）分别画出，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， 画图，如下：   ； （2）解：点B与点重合时， ∴， ∴， 由（1）知：直线l解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴点C的坐标为； ②∵点在第一象限内且在直线l上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得，即 ∴或， ∴； （3）解：当时， 图象如下：    区域W内有7个整点， 当时， 图象如下：    区域W内有5个整点， 当时， 图象如下：    区域W内有4个整点， ∴时，区域W内有5个整点， ∴整数时，区域W内有5个整点． ∴符合条件的整数k只有1个． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键． 八、反比例函数与几何的综合问题（共6小题） 47．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（    ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质等知识点，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即成为解题的关键．先根据平移的性质得到点的纵坐标为1，，则利用反比例函数解析式可确定，则，从而得到的长度即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为．将沿轴正方向平移， ∴点的纵坐标为1，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 故选B． 48．（2024·河北石家庄·二模）如图，都是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与的综合应用，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，由于是等腰直角三角形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于，都是等腰直角三角形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解． 【详解】过作轴于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在函数图象上， ∴， ∴ ∴， 的坐标为， ∴的解析式为：， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴的表达式与的表达式一次项系数相等，可设解析式为， ∴将代入得 ∴， ∴的表达式是，与联立， 解得， 同理可得，，，， 依此类推，点的坐标为， 故点的坐标是，即， 故答案为：，． 49．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形位于第二象限，且轴，点B在点C的正下方，双曲线经过点C． （1）若点，则m的值是 ； （2）设点．若双曲线与边有交点且最大，则此时a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据正方形的性质求得点，由双曲线经过C点，利用待定系数法即可求解； （2）根据B点坐标求得A、C点坐标，由双曲线同时经过A、C点，得到，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）若点，则点， ∵双曲线经过点C， ∴， 故答案为：； （2）若点，则点，点， ∵双曲线与边有交点且最大， ∴双曲线同时经过点C和点A， ∴， 解得， 故答案为：． 50．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H． （1）k的值为 ； （2）图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 8 30 【分析】本题考查正方形的性质、待定系数法求反比例函数关系式、全等三角形的判定等知识点，解题关键是通过A点和C点坐标求出M点坐标． （1）由D点坐标可知正方形的边长，求出C点坐标，再根据A点和C点坐标求出M点坐标，代入即可求出反比例函数的解析式； （2）将H点的纵坐标代入反比例函数解析式，得到H点坐标，求出和，通过证明，得到，计算出的面积，同理证明四个小三角形全等，所以阴影部分面积为面积的4倍． 【详解】解：（1）正方形中，， ，， B点的横坐标为：， ，， 正方形的中心为点M， M点是的中点， M点的坐标为， 将代入得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 故答案为：8． （2）设， 代入反比例函数解析式得， 解得， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 同理可证，， 组成阴影部分的四个三角形全等， 图中阴影部分的面积． 故答案为：30． 51．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 【答案】 4 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标． （2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求出此时的值，再根据只有两个点的对应的值相等即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有、、、、、 则分别过以上点的双曲线的值分别为：， 所以当与正方形网格线有两个交点，的值可以为， 满足条件的正整数的值有4个． 故答案为：4． 52．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形中，点，点，点，，且，沿折叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F． （1） ； （2）当时，m的值为 ； （3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为 ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）求出点坐标，代入求解即可； （3）观察图象，从图象从开始增大，从图象可得当超过点和，且不超过点时即可满足． 【详解】（1）∵正方形中，点，点， ∴， ∵：经过点B， ∴， 故答案为：； （2）∵点，， ∴，， 由翻折得：，， ∴， ∵：经过点F， ∴， ∴当时，， 故答案为：； （3）∵，且双曲线、之间有2个整数点， 利用对称性可知这两个整数点为和， 由（2）得， 当恰好过和时，得， 得， ∵恰好有两个整数点， ∴整数点不包括点， 当恰好经过点时，得， 得， 结合图象可得时即可满足， 故答案为：． 九、反比例函数的实际应用（共6小题） 53．（24-25七年级上·河北唐山·期中）夕夕一家计划购买度电，若平均每天用电度，则能使用天．则下列说法错误的是（   ） A．与成反比例关系 B．若减小，则也减小 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：夕夕家计划购买度电，平均每天用电度，能使用天． ， ， 与成反比例关系，故A正确； ，， 若减小，则增大，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D正确； 故选：B． 54．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定乙瓶糖水中含糖固体质量最少，丁瓶糖水中含糖固体质量最多，甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述甲、丙两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点乙在反比例函数图象下面，点丁在反比例函数图象上面， ∴乙瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丁瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多， 故选: D． 55．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）．是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图，当时，气体的密度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先利用待定系数法求出密度与体积的函数关系式，再把代入即可求出答案，正确求出反比例函数的关系式是解题的关键． 【详解】解：∵密度是体积的反比例函数， ∴设， 由题意可得：点在反比例函数图象上， ∴，即， ∴， ∴当时，气体的密度； 故选：B． 56．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 57．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为．请你根据图形解决以下问题： （1） ； （2）过点A作轴于点F．已知，，，．则A点坐标为 ． 【答案】 640 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解直角三角形，反比例函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于，由题意得出，，解直角三角形得出，求出，结合反比例函数解析式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）将代入双曲线得， ∴， 故答案为：； （2）如图，作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得， 当时，，即A点坐标为， 故答案为：． 58．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)弹簧秤的示数为 (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为4N． （3）解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 59．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为米，宽为米，出口点到的距离为米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于米，则到的距离至少多少米？ 【答案】(1) (2)点到轴的距离长是米 (3)到的距离至少米 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确求出点坐标，得出反比例函数解析式是解题关键． （1）设段所在的反比例函数关系式为，根据、的长，得出点坐标，代入可求出值，根据为米得出的长可求出的取值范围，即可得答案； （2）把的长代入，求出的长即可得答案； （3）根据距水面的高度不高于米得出，即可得出的取值范围，进而可得出到的最小距离，可得答案． 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为， ∵梯子高为米，宽为米， ∴， ∴， 解得：， ∴出口点到的距离为米， ∴， ∴段所在的反比例函数关系式为． （2）解：∵，段所在的反比例函数关系式为， ∴当时，， ∴， ∴点到轴的距离长是米． （3）解：∵距水面的高度不高于米， ∴，即， ∵， 解得：， ∴， ∴到的距离至少米． 60．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】(1) (2)8天 (3)能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 试卷第4页，共66页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数 （易错必刷60题9种题型专项训练） 一、反比例函数的定义与辨析（共6小题） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列几组量中，不成反比例的为（   ） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 5．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 二、反比例函数的图象和性质（共7小题） 6．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）反比例函数的图像在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．（23-24九年级上·河北·阶段练习）已知点，都在反比例函数的图像上，则下列关系式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知反比例函数,下列说法不正确的是(　　) A．图象经过点 B．图象分别在二、四象限 C．时,或 D．在每个象限内y随x增大而减小 10．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是 ．（填上一个认为正确的答案即可） 11．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）反比例函数的图象在第 象限，若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 三、由图象确定k的取值范围（共7小题） 13．（2023·河北沧州·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（    ）    A． B．1 C．3 D．5 14．（21-22九年级上·陕西西安·期末）若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·河北张家口·三模）横、纵坐标都为整数的点称为整点若双曲线（如图）与双曲线之间只有两个整点（不含边界），则满足条件的的值不可能是（    ） A．2 B．3 C．5.5 D．6 16．（2023·河北保定·三模）如图，函数在第一象限的图象将所标三整点分隔开，则整数的值可能是（    ）    A．10 B．8 C．7 D．6 17．（9-10八年级下·山西·期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 ． 18．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 19．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 四、由比例系数求图形面积（共7小题） 20．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（    ）    A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4 B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2 C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8 D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3 21．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．则图中阴影部分的面积是（    ）．    A．2 B．4 C．8 D．16 22．（2023·河北承德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数上，且轴，垂足为．若的面积为S，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．S与成一次函数关系 C．随着点位置的变换，与的面积也随之变化 D．S与成反比例关系 23．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 24．（2023·河北石家庄·模拟预测）点，，在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若四边形的面积是27，则的值为 ；若，则的值为 ；若，则的值为 ．    25．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在反比例函数（）的图象上有点，，，，，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作轴、轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，已知的纵坐标为10． （1）的值为 ； （2）阴影部分的面积的值为 ； （3）阴影部分的面积，，，的和为 ． 26．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 五、由图形面积求比例系数k（共8小题） 27．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，过点C作x轴的平行线，交y轴于点A，若，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 28．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 29．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和图象交于，两点．若，则的值为 ．    30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ． 31．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为 ． 32．（2024·河北沧州·一模）如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上． （1）若点，在反比例函数，的图象上，且，则 ； （2）分别过点A，B向x轴，y轴作垂线，若阴影部分的面积为12，则 ． 33．（2024·河北石家庄·一模）如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为： ；（填“<”，“>”或“=”） （2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 ． 34．（2023·河北沧州·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D，E是的两个三等分点，过点D，E作x轴的平行线分别交于点F，G，反比例函数的图象经过点G，分别交，于点Q，P，分别过点Q，P作x轴的垂线，垂足分别为点H，K．图中阴影部分的面积分别为，，．    （1）若，则k＝ ． ； （2）若．则 ． 六、一次函数图象与反比例函数图象的综合判断（共5小题） 35．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 37．（23-24九年级上·河北唐山·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B．C． D． 38．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）在同－平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在同一平面直角坐标系xOy中，函数和的图象大致是（　） A．  B．  C．  D．   七、反比例函数与一次函数的综合问题（共7小题） 40．（2024·河北衡水·一模）如图，已知点，，点P在线段上，并且点P的横、纵坐标均为整数． 经过点P的双曲线为． （1）当点P与点B重合时，k的值为 ； （2）k的最大值为 ． 41．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，点，在直线上，双曲线 （k为常数，）． （1）当双曲线G经过点B时，点A （填“在”或“不在”）双曲线G上； （2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），当这六个点以1：2的比例分布在双曲线G的两侧时，k的取值范围为 ． 42．（2023·河北·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 43．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小． 44．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)______，并求反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 45．（2024·河北张家口·一模）如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标． (1)当点的坐标为时，求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连接，记的面积为，若，求的取值范围． 46．（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 八、反比例函数与几何的综合问题（共6小题） 47．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（    ） A．3 B．4 C．7 D．10 48．（2024·河北石家庄·二模）如图，都是等腰直角三角形，点在函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 49．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形位于第二象限，且轴，点B在点C的正下方，双曲线经过点C． （1）若点，则m的值是 ； （2）设点．若双曲线与边有交点且最大，则此时a的值是 ． 50．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H． （1）k的值为 ； （2）图中阴影部分的面积是 ． 51．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 52．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形中，点，点，点，，且，沿折叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F． （1） ； （2）当时，m的值为 ； （3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为 ． 九、反比例函数的实际应用（共6小题） 53．（24-25七年级上·河北唐山·期中）夕夕一家计划购买度电，若平均每天用电度，则能使用天．则下列说法错误的是（   ） A．与成反比例关系 B．若减小，则也减小 C．若，则 D．若，则 54．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，x轴表示糖水质量，y轴表示含糖浓度（瓶中固体糖质量与糖水质量的比值），其中描述甲、丙的两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含固体糖质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 55．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）．是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图，当时，气体的密度是（   ） A． B． C． D． 56．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 57．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背是双曲线的一部分，椅面是一条线段，点，沙发腿轴、与x轴夹角为．请你根据图形解决以下问题： （1） ； （2）过点A作轴于点F．已知，，，．则A点坐标为 ． 58．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 59．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为米，宽为米，出口点到的距离为米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于米，则到的距离至少多少米？ 60．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 试卷第4页，共66页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$