课时1 正弦&课时2 余弦和正切-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（人教版）

第二十八章锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数 课时1正弦 《基础明固练 [卷案22] 每圆圆①求锐角的正弦值 Ⅻ（江苏南通海门期末）在Rt△ABC中，∠C=90° 细织点②已知锐角的正弦值求边长 AB=10,BC=6,则sinA的值 ( 7(云南中考)在△ABC中，∠ABC=90°，若AC= c 0 4 3 10,si血A=子，则AB的长 () 2(聊城期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 4.500 3 B.503 C.60 D.80 4C,则dmB的值为 日在△AC中，∠C=90°s血A=号，BC=20,则 A.25 B.2 C. 5 D.2 △ABC的面积为 ③（广东我名期末）在R1△ABC中，∠C=90°，若 9(上海徐汇区二模)如图，在△ABC中，AB=BC △MBC的三边都缩小兮则snA的值 =13,AC=10.∠ABC的平分线与边AC交于点 ( F,且与∠ACD的平分线CE交于点E. A箱小号 B.放大3倍 求：(1)sinA的值： (2)EF的长 C.不变 D.无法确定 4如图，⊙0是△ABC的外接圆， AD是⊙0的直径，若⊙0的半 径是4，血B=},则线段4C的 9题图 长为 4题图 5如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC =10.将矩形ABCD沿BE折叠，点 A落在点A'处，若A'的延长线恰好 经过点C,则sin∠ABE的值为 5题图 6已知等腰三角形的腰长为4cm,底边长为5cm, 求其底角的正弦值。 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 37 九年级数学（下册） 课时2余弦和正切 《基础玥固练 [客案23] 细阅点①余弦 8(张家口宜化区期*)已知直角三角形纸片的两 ①在正方形网格中，∠AOB如图放置，则cOs∠AOB 直角边长分别为6,8，现将△ABC按如图的方式 的值为 ( 折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则 A.0 B20 C.③ D② tan∠CBE的值是 10 10 8题图 细限点③锐角三角函数 1题图 2题图 ⑨（天津红桥模拟）如图，在R1△ABC中，∠B= 2(教村P84T2变式)如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，下列结论中正确的是 ) 90P,4C=4.mA=号则BC的长为 A.sin A=BC A.3 B.4 C.5 D.6 3(北京房山区二模)如图的网格是边长为1的正 B.cos A=BC 方形网格，A,B,C是网格线交点，则cos∠ABC= C.tan C=AB BC 9题图 F-4 D.cos C=4C BC 10(山东烟台期中)若sin(70°-a)=cos50°，则a 的度数是 3题图 4题图 A.20° B.30° C.40° D.50° ④如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，AE⊥BC 团如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足是D.若BC= 于点E,交BD于点F,且E为BC的中点，则 cos∠BFE的值是 14,4AD=2,m∠B40=子求smC的值 细似点②正切 (辽宁大连沙河口期末)在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=5,AC=√15，则tanA的值是( A.3 B.1 C.3 11题图 3 D.无法确定 6(广西梧州校级期末)在Rt△ABC中，若各边长都 扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值() A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3 C.不变 D.以上都不对 ☑在R1△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B的对边分别 是a,b,且满足a2-ab-2b2=0,则tanA等于 A.1 B C.2 D.以上都不对 386 见此图标跟抖音/疑信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第二十八章锐角三角函数 能力提升练 [鉴案23] ①（上海松江区期*）在Rt△ABC中，∠C=90°， ⑦[核心素养]如图，抛物线y=-x2+3x+4与x ∠A=a,BC=2,那么AC的长为 轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D在抛物 A.2sin a B.2cos a C.2tan a D.2 线上且横坐标为3，连接BC,CD,BD tan a (1)求tan∠DBC的值； 2在R1△ABC中，AC=8,BC=6,则cosA的值为 (2)P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P ( 的坐标 A B号 c我好 D或 3(广元中考)如图，在正方形网格纸中，每个小正 7题图 方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB 与CD相交于点P,则cos∠APC的值是() B.25 c D⑤ 5 5 D t-r- B ②题型变式 讲本23答案24 3题图 4题图 5题图 口（题型1文这）已知∠A为锐角，sA-若求 ④（浙江温州质检）如图，已知锐角三角形ABC,以 sinA,tanA的值. BC为直径的半圆O分别交AB,AC于D,E两 点，且S△wE:S动形m=1:2,则c0s∠BAC的 值是 B. 3 C② 2 03 5(北家西城区一模)如图，点P在线段BC上，AB ⊥BC,DP⊥AP,CD⊥DP,如果BC=I0,AB=2, mC=,那么DP的长是 6在矩形ABCD中，AB=2AD,点E为AD的中点， EF⊥EC交AB于点F,连接FC. (I)求证：△AEF∽△DCE: (2)求tan∠ECF的值. 6题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 39九年级数学（下册） 真颜检测训练 第二十八章锐角三角函数 1.B[解析]如答图，设OA与⊙O 28.1锐角三角函数 相交于点F,连接OD,EF 课时1正弦 ⊙0与AC相切于点D,BF是 【基础巩固练】 ⊙0的直径，，OD⊥AC,FE⊥ 1.C[解析]在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC BC.∠C=90°，∴.00∥BC. c…股--能 1题答图 =6血A=胎-合=号故选C 2.A[解析]在R△ABC中，∠C=90°，BG= AB=5,0B=2,0D=0B=2,A0=AB-0B=5- 2-3,m=20=2x2-4品-号号-能c 2AC,设BC=a,4C=2a,AB=√AC+BC= -9服=号0E-号-号-号收选取 (2a)'+a=5a,simB=4S=24_25 AB5a 5 2.D[解析]将△ABC以，点A为中心逆时针旋转 3.C[解析]在RI△ABC中，∠C=90°，若△ABC的 得到△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB= AD,∠E=∠C,∴∠B=∠ADB,∠ADE=∠ADB, 三边都给缩小了，则变化后的三角形与原三角形相 DA平分∠BDE,.②正确.∠AFE=∠DFC. 似，根据相似三角形的对应角相等，可知∠A的大小 ∠E=∠C,∴.△AFEn△DFC,∴.①正确.∠BAC 没有发生变化，故sinA的值不变，故选C =∠DAE,∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 4.2[解析]如答图，连接CD, ∠BAD=∠FAE.△AFE△DFC,.∠FAE AD是⊙O的直径，∴.∠ACD=A ∠FDC,∴.∠BAD=∠CDF,.③正确.故选D. 90°.∠D=∠B,∴.sinD=simB 3.(1)证明：四边形ABCD为菱形， ÷.∠DCA=∠BCA. =子在△MCD中，血D= AD :∠ACD=∠ABE,∴·∠BCA=∠EBA 又：∠BAC=∠EAB,.△ABC∽△AEB. C=40= 4题答图 -×8=2 (2解：△c△B,光-怎 5.10 10 [解析]由折叠的性质，知A'E=AE,A'B= 吾-装被=9 AB=6,∠BA'E=90°，.∠BA'C=90°.∴在 4.C[解析]：AP⊥AC,CD⊥AC,∴∠A=∠C=90° R△A'CB中，A'C=√BC-A'B=8.设AE= ∠ABP=∠CBD,∴.△APB∽△CDB, x(x>0),则A'E=x,∴.DE=10-x,CE=A'C+A'E BC=DC AB =10 m.BC =2 m.CD =6 m.:.AP =8+x在Rt△CDE中，根据勾股定理，得(10-x) +36=(8+x)2,解得x=2,AE=2,在Ri△ABE AB·DC_10×6=30(m).故选C BC 2 中，根据勾股定理，得BE=√AB+AE=210 5.4[解析]设蜡烛火焰的高度是xcm,由相似三角 形的性质，得吕=言解得=4，即蜡烛火焰的商 sin∠ABE=4E=o BE=10 度是4cm. 6.解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D, 6.解：(1)如答图，△A,B,C,即为所求 AB=AC,BC =5 cm, (2)如答图，△ABC,即为所求，点B2的坐标为 (-4,-6). 、BD=CD=?cm 6题答图 又.AB=4cm, 7-4于-12345 39 .sin B=4D2 3 8 ,即其底角的正弦值为 8 7.D[解析]在△ABC中，∠ABC=90°，∴.sinA= BC..BC ACsin A 100 x =60,..48 6题答图 AC -BC =80. ·22 参考答案及解析 8.150[解析]在R1△ABC中，∠C=90° 5.C[解析]在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5,AC 血4铝号极=%=20÷号=5， 5m4%后停放这0 AC=√AB-BC=1252-20=15】 6.C【解析]由锐角三角函数的定义可知，将 “△4BC的面积为24C,BC=号×15×20=150， R△ABC中的各边长都扩大为原来的3倍，其扩大 前后相应的两条边长的比值不变，所以锐角A的正 9.解：(1)，AB=BC=13,AC=10,∠ABC的平分线与 切值不变，故选C 边AC交于点F, 7.C[解析]a2-ab-2b2=0,脚(a-2b)(a+b)=0, LABF-LFBC.BFLAC.AF-AC-5. 尉a=2b或a=-6(含去).则amA=号=2故选C 在Rt△ABF中，BF=1AB-AF=I2 BF 12 87[解析]由折叠的性质，知E=AE,设CE= .sin A=AB=13' BE=AE=8-x.在Rt△BCE中，由勾股定理，得 (2)如答图，过点E作 EG⊥BD,垂足为G BE=BC+CE,即(8-)产=6+，解得=子 :CE平分∠ACD,EF⊥ B AC,EG⊥BD,∴.EF=EG. 9题答图 B=子m∠能=能牙 在Rt△ABF中，sin∠ABF 9.C[解析]在Rt△ABC中，∠B=90°，则sinA= 品 e北mC=品mc=e速C BC 在Rt△EBG中， 10.B[解析]sin(70°-a）=cos50°，∴.70°-a+ in L EBC sin LABF BE=BE=5 50°=90°，∴.a=30°.故选B. ,13EF=5×12+5EF, 1.解：在R△ABD中，an∠BAD=BD=3 AD 4 8F=60n-号 BD=AD·an∠BAD=12×4=9 课时2余弦和正切 ∴.CD=BC-BD=14-9=5, 【基础巩固练】 AC=AD+CD=√12+52=13， 1.D[解析]如答图，取格点C,D,连 接AD,CD.设网格中每个小正方形 mc=光-是 的边长是1，则根据勾股定理可以得 【能力捉升练】 到OD=AD=10,OC=AC=CD= 5,0C2+CD=0D,.∠0CD= 1.D[解桥]amA:C,BC=2,:1亿-C tan a 90,则c0s∠A0B=0D=0=是. 1题答图 2,故选D. tn线 2.C[解析]①当∠C=90°时，由勾股定理，得AB= 故选D. 2.A[解析]在R1△ABC中，∠C=90°，cosA= 9 C+C=0mA=治=8=号：@当∠B AC 4 =90°时，由勾股定理，得AB=AC-BC=27, =5AC=4.AB=5..BC=-AC=3 5[解析]知答困，作AD1BC于 =A光2-蜂上所运，m4的维为号 点D,则△ABD为直角三角形，其 中AD=3,BD=4,由勾股定理可得 3.B[解析]设小正方形的边长为D A=5m∠Ac-0号 B D 1,如答图，把AB向上平移一个单 3题答图 位得DE,连接CE,则DE∥AB, 4}[解析]连接AC:E为BC的 ∴∠APC=∠EDC.在△DCE中， 易得EC=√2+1产=5，DC= 中点，AE⊥BC,.AB=AC.:四边形ABCD是菱形 AB=BC,.AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角 /4+2=25,DE=3+4= 3题答图 形，∴.∠ABC=60°.：BD是菱形ABCD的一条对角 5.EC+DC=DE,∴△DCE 线，∴、∠ABD=∠CBD=30°，在RI△BEF中，BF= 为直角三角形，且∠DCE=90°，cos∠APC= 2EF..Cos L BFE=EF=1 BF=2 ms∠EDc=DC_25 DE=5 ·23· 九年级数学（下册） 4.D[解析]连接CD.BC为半圆O的直径， (2)如答图，过点P作PF⊥x轴于点F,连接PB. ,∠BDC=90°由题意易得∠ADE=∠ACB, ∠CBF=∠DBP=45° ∠DAE=∠CAB,.△ADE∽△ACB.'SaE: LPBF=∠DBC,.tan∠PBF= Sm边莉w=1:2,S么E:S么C=1:3,.AD:AC= 3mL4C-2-得长选D 设点P(x,-2+3x+4),则+3+4-3 4-x 86 [解析]DP⊥AP,CD⊥DP,AP∥CD 解得x=- 5=4(舍去)， 266 ∠C=∠APB.AB⊥BC.tan∠APB= AB ÷点P的坐标为(-523) BP 又mG=分品=品=即e4 题型变式 1.解：构造Rt△ABC,如答图，∠C=90°， BC-BP=10-4=6.在R△CDP中，mC=PCD CD' C0s A=24 5 =√Pc-Dp=6-Dp, DP 设b=24x(x>0),则c=25x.根据勾股定 6-DP 理，得a2+=c2,即a=-b=7x 得DP=号5或DP=-?5(不特合题意，合去) sinA=a=7x。7 1题答图 =0=25x-25· 6.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∠A=∠D=90°， tanA=4=Ix 7 6=24=24 ∴∠AEF+∠AFE=90 课时3特殊角的三角函数值 :EF⊥EG,÷.∠AEF+∠DEC=90°， 【基础巩固练】 ÷.∠AFE=∠DEC,∴.△AEF∽△DCE (2)解：，△AEF△DCE, 1.A[解析]：cs30°= 2,an30°= 3,c0s450= 器能 n30=分三角画款的值是的是om30 2 矩形ABCD中，AB=2AD,E为AD的中点， 故选A .DC =AB =2AD =4AE, m∠BCF-器行 2.A[解析]在R1△ABC中，：∠C=90°，AC=7, BC=2mB=AS-万-5 7.解：(1)令y=0,则-x2+3x+4=-(x+1)(x-4) BC/2ī=3∠B=30, =0,解得x,=-1,x2=4。 故选A 点A(-1,0),B(4,0). 当x=3时，y=-32+3×3+4=4, 3.等腰直角三角形【解析]：amA=1,imB= 2 点D(3,4) .∠A=45°，∠B=45°，则∠C=180°-∠A-∠B= 当x=0时，y=-0+3×0+4=4, 90°，∴.△ABC是等腰直角三角形.故答案为等腰直 .点C(0,4), 角三角形 ·CD∥AB,易知∠BCD=∠ABC=45. 4.75°【解析]~ 在Rt△OBC中， 0C=0B=4,.BC=42 'sin A- =0mB-受=0则nA=号 2.cos B 如答图，过点D作DE⊥BC于点E, 在Rt△CDE中，CD=3, =号，∠A=60,∠B=45,∠C=180°-60° =m:2, 45°=75. BEC-CE 5解：0)原式宁号×号-0 2 m∠ic-能-号 7题容图 (2)原式=4×宁-万x号1+x月=5 ·24·