专题04 解直角三角形（考题猜想，易错必刷64题10种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题04 解直角三角形 （易错必刷57题9种题型专项训练） 一、正弦定义的辨析与应用（共6小题） 1．（19-20九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在中，，，，则的长等于（    ） A．45 B． C． D． 4．（22-23九年级上·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 5．（20-21九年级上·河北承德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90，AD⊥BC于点D，若BD=2，sinC=，则线段 AB 的长为（  ） A．10 B．4 C．4 D．2 6．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ． 二、余弦定义的辨析与应用（共5小题） 7．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 9．（18-19九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点E，F分别在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点D处．    （1）的值为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 11．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，已知，分别是的边，上的高． (1)求证：； (2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 三、正切定义的辨析与应用（共6小题） 12．（20-21九年级上·河北承德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，则斜坡AB的坡度为（  ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（20-21九年级上·河北保定·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 16．（21-22九年级上·河北邢台·期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）为a．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC高约为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点P，则 ，的值为 ． 四、特殊角三角函数值的应用（共8小题） 18．（24-25九年级上·河北张家口·期中）的倒数是（   ） A． B． C．2 D． 19．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·河北·阶段练习）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 21．（2024九年级上·上海·专题练习）中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·河北保定·一模）题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 24．（2024九年级上·河北·专题练习）计算： ， ． 25．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 五、解直角三角形的有关计算（共6小题） 26．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，则的长是（    ） A．18 B．16 C．12 D．6 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）题目：“在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，点绕着点顺时针旋转（其中）到点，连接、．当为直角三角形时，求点到轴的距离的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 29．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）题目：“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙答案合在一起才完整 30．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）在中，，，，求的长． 31．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 六、仰角、俯角的应用（共6小题） 32．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． (1)求斜坡l的坡度； (2)求点M与点N的高度差． 34．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米． (1)求线段的长度和的值； (2)求的值． 35．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 37．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 七、方位角的应用（共7小题） 38．（2024·河北邯郸·二模）如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏西方向，距离灯塔100海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的西偏北方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：） 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)求之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 41．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，小萍从家的位置出发，沿北偏东的方向行走1000米到达体育馆B处，在体育馆运动完后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于家南偏东方向的图书馆C处． (1)求小萍家到公路的最短距离； (2)如果小萍以100米1分的速度从图书馆沿返回家中，那么她在10分钟内能否到达家处？（注：，） 42．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，甲、乙两人从A点出发去游玩，约定在点C处会合．    甲的路线：从点A出发先沿着正东方向行走到达点B处，再沿着正北方向行走到达点C； 乙的路线：从点A出发，沿着东北方向行走到点D处，再由点D处沿着南偏东方向行走到达点C． (1)求点D到的距离； (2)求的长． 43．（22-23九年级上·重庆北碚·期末）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东方向，B处在博物馆C的东南方向．（参考数据：，，，．） (1)请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号） (2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位） 44．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，小华家正北方向是一处荷塘，荷塘正西处是一座果园，在的北偏西方向，的南偏东方向有一个休闲小广场，且．    (1)求的长度（结果精确到个位）． (2)从小华家出发，北偏西有一条小路直达（交于点G）．小华从家出发沿人行步道去果园采摘，他可以经点G到达点C，也可以经点D到达点C，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位，图中所有线段均为可通过的人行步道）（参考数据：，，，） 八、坡角、坡比的应用（共7小题） 45．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是12m，则高是（    ） A．2m B．3m C．4m D．5m 46．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 48．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 49．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，． (1)求点到水平地面的高度； (2)求点与点之间的水平距离． （结果精确到1．参考数据：，，，） 50．（2024·河北张家口·三模）如图，在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯（即），设计要求左、右两边的滑梯，的坡度分别为和．测得米，米． (1)求滑梯的长； (2)试猜想两个滑梯，的位置关系，并证明； (3)小亮（看成点）从点沿滑梯下滑，请直接写出他与处距离的最小值． 51．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 九、解直角三角形的其它应用（共7小题） 52．（2024·河北张家口·一模）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（    ）    A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是一把圆规的平面示意图、是支撑臂，是旋转臂，已知．若支撑臂与旋转臂的夹角，则A，B之间的距离为 ．（用含m，的式子表示） 54．（23-24九年级下·河北保定·期中）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降． （1）当时， °； （2）点到的距离为 ． 55．（2024·河北秦皇岛·一模）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题． 如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（于），在，处与篮板连接，是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，；测得时，点离地面的高度为，调节伸缩臂，使得点离地面的高度升高，判断增大还是减小了？增大（或减小）了多少度？ （参考数据：，） 56．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：    (1)求入射角的大小和的长． (2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 57．（2024·河北石家庄·二模）为了提高学生的行车安全意识，某学校数学活动小组设计了如图所示的模拟公路单点测速实验：先在笔直车道旁取一点安置测速仪，再在车道上确定两点、，当车辆经过、两点时，测速仪就会自动拍摄车辆的照片，根据两张照片的时间差和的距离就可以测算出车速．测得点到车道的距离为，，.（参考数据：，，，，，） (1)求的长（每一步的计算结果均精确到）； (2)《道路交通安全法》规定：普通道路行驶的小型机动车超速未超不扣分，只罚款，超速超过但未超过扣分并罚款，超速超过以上，扣分并罚款．若该路段对汽车限速，某小型汽车从到用时，这辆车是否超速了？如果超速了，驾驶员将受到哪种处罚？ 试卷第2页，共56页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解直角三角形 （易错必刷57题9种题型专项训练） 一、正弦定义的辨析与应用（共6小题） 1．（19-20九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， ∴sinB=， 故不能表示sinB的是． 故选B． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦的定义，在三角形中，锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值，由此即可得出答案，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：在中，，则， 故选：B． 3．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）在中，，，，则的长等于（    ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，再利用计算即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数，灵活运用勾股定理是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，且， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 5．（20-21九年级上·河北承德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90，AD⊥BC于点D，若BD=2，sinC=，则线段 AB 的长为（  ） A．10 B．4 C．4 D．2 【答案】D 【分析】依题意，由直角三角形的性质可得，∠C=∠BAD，，利用锐角三角函数中的正弦函数的定义即可． 【详解】解：由题知：△ABC为直角三角形， ∴ ∠C+∠ABC=90； 又AD⊥BC， ∴ ABD为直角三角形， ∴∠B+∠BAD=90； ∴ ∠C=∠BAD． 又，BD=2； ∴ ， ∴ ； 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数及直角三角形的性质，重点在熟练二者的结合和对定义的掌握． 6．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在相应格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作，垂足为D，结合网格利用勾股定理求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为D， 由图可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形． 二、余弦定义的辨析与应用（共5小题） 7．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 8．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 9．（18-19九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的余弦值，根据题意求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 10．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点E，F分别在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点D处．    （1）的值为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 或 【分析】（1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）设，则，由折叠的性质可知，，由题意知，分，，两种情况计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵与相似，分，，两种情况求解； ∴当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，余弦，折叠的性质，相似三角形的性质．熟练掌握勾股定理，余弦，折叠的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 11．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，已知，分别是的边，上的高． (1)求证：； (2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先证，即可得出； （2）利用（1）中结论可得，结合，可证，根据可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：，分别是的边，上的高， ． 又， ， ； （2）解：与之间的数量关系为； 理由：由（1）得， ． 又， ． ， ， 与之间的数量关系为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，余弦的定义等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方． 三、正切定义的辨析与应用（共6小题） 12．（20-21九年级上·河北承德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，则斜坡AB的坡度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义算出的值可得答案． 【详解】坡度的定义为坡面的垂直高度和水平方向的距离之比， 即=， 故选：A． 【点睛】本题考查坡度的计算，明确坡度的定义是解决本题的关键． 13．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解答本题的关键，根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】， ， ，，，． 故选：C． 14．（20-21九年级上·河北保定·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的定义可以得到问题解答． 【详解】解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D， , 则在RT△ABD中，AD=5，BD=6， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键． 15．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，过作于，求解，利用等面积法求解，再利用勾股定理求解，，再利用正切的含义计算即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选A 16．（21-22九年级上·河北邢台·期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）为a．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC高约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据∠ABC的正切函数求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，∠ABC=28°， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角函数的应用，正切掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键． 17．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点P，则 ，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，正切．熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 证明，则，根据，求即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 由题意知， ， 故答案为：，． 四、特殊角三角函数值的应用（共8小题） 18．（24-25九年级上·河北张家口·期中）的倒数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，倒数的定义，根据，即可求解． 【详解】解：， ∴的倒数是 故选：C． 19．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若，则锐角α的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 20．（23-24九年级上·河北·阶段练习）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 21．（2024九年级上·上海·专题练习）中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 22．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 23．（2024·河北保定·一模）题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，运用分类讨论的思想，由题意，画出图形，有两种情况．利用含角的直角三角形的性质可得出，勾股定理得出，进一步可得出，，则可得出或． 【详解】解：由题意，画出图形，有如下两种情况． ∵，， ∴点A到边的距离． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴或． 故选：C． 24．（2024九年级上·河北·专题练习）计算： ， ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 25．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 五、解直角三角形的有关计算（共6小题） 26．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，则的长是（    ） A．18 B．16 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 27．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，即可判断①；设，则，再根据勾股定理求出，，即可判断②；再根据锐角三角函数定义判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故①正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴（负值已舍）， ∴，， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴（负值已舍）， ∴， 故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 28．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）题目：“在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，点绕着点顺时针旋转（其中）到点，连接、．当为直角三角形时，求点到轴的距离的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标与图形、勾股定理、旋转的性质，正确分两种情况讨论是解题关键分和两种情况，当时，又分点在第四象限和第二象限两种情况；当时． 【详解】解：点，的坐标分别为， ，，， 如下图所示，当时， 由旋转可知， ， ，， 在和中， ， ， 轴， ， ， 过点作轴，则， ， 点与轴的距离是； 如下图所示，当，且点在第四象限时， 由旋转可知， ， ，， 轴， ， 过点作轴，则， ， ， ， ， 点与轴的距离是； 如下图所示，当，且点在第二象限时， 由旋转可知， ， ，， ， 过点作轴，则， ， ， ， ， 点与轴的距离是； 综上所述，当为直角三角形时，求点到轴的距离为或． 故选：B． 29．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）题目：“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、解直角三角形，由题意画出图形，由如下两种情况：作于，当为钝角时，当为锐角时，分别求解即可，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意画出图形，由如下两种情况：作于， ， 当为钝角时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当为锐角时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或 故选：C． 30．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等角对等边，过点作于点，可得，进而由可得，再根据可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴在中，， ∵， ， ， ∵在中，， ， ， ． 31．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，再根据正切函数的定义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， 在中，，， ，； （2）∵，， ∴， 在中， ，，， ∴． 六、仰角、俯角的应用（共6小题） 32．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形，解直求出的长，进而求出的长，再解求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 33．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为． (1)求斜坡l的坡度； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可得的长，再根据坡度的定义求解即可得； （2）过点作于点，作于点，则，，再解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵点到地面的距离为， ∴， ∵， ∴， 则斜坡的坡度为． （2）解：如图，过点作于点，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，， ∴，， ∴， 答：点与点的高度差为． 34．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度．如图，在C处用高1米的测倾器测得建筑物顶部A的仰角为，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的仰角为，此时与建筑物的距离（的长）是12米，经计算得知建筑物的高约为17米． (1)求线段的长度和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求得，在中，利用三角函数的定义即可求得； （2）作于点，在中，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得四边形，都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 在中，； （2）解：作于点， 在中，， ∵，即， ∴， ∴． 35．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 37．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过作于，根据矩形的性质得到，再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ∴， ∴． 选择“平面镜”方案： 由题意得，，． ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴． 七、方位角的应用（共7小题） 38．（2024·河北邯郸·二模）如图，东西方向上有A，C两点，点B在点A的北偏东方向上，在点C的北偏西方向上，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，结合图象，得出相应的角度，然后依次判断即可 【详解】解：A、根据图象得， ∴，选项错误，不符合题意； B、根据图象得， ∴，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B 39．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，一艘海轮位于灯塔的南偏西方向，距离灯塔100海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的西偏北方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：） 【答案】B处距离A处有161海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．过P作于C，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过P作于C， 在中，∴， ∵海里， ∴（海里），（海里）， 在中，∵， ∴ ∴（海里）， ∴（海里）， 答：B处距离A处有161海里． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)求之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)有触礁危险，理由见解析． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点P作交的延长线于C，设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，根据正切的定义用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （2）比较与半径的大小，得到答案． 【详解】（1）解：过点P作交AB的延长线于C， 设海里， 在中，， 则海里， 在中，， 则海里，(海里)， 由题意得：，即， 解得：， 则海里， 答：A、P之间的距离为海里； （2）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：， ∴， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 41．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，小萍从家的位置出发，沿北偏东的方向行走1000米到达体育馆B处，在体育馆运动完后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于家南偏东方向的图书馆C处． (1)求小萍家到公路的最短距离； (2)如果小萍以100米1分的速度从图书馆沿返回家中，那么她在10分钟内能否到达家处？（注：，） 【答案】(1)米 (2)见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题， （1）过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出； （2）根据勾股定理求出，根据题意求出小萍以100米分的速度从图书馆沿CA返回家中所需的时间，比较大小得到答案． 熟记直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，米，， 则（米， 故小萍家到公路的最短距离为米 （2）在中，， 则， ， ， 她能在10分钟内到达家处． 42．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，甲、乙两人从A点出发去游玩，约定在点C处会合．    甲的路线：从点A出发先沿着正东方向行走到达点B处，再沿着正北方向行走到达点C； 乙的路线：从点A出发，沿着东北方向行走到点D处，再由点D处沿着南偏东方向行走到达点C． (1)求点D到的距离； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定： （1）如图所示，过点作于点，作于点，根据题意在中，，由此即可求解； （2）如图所示，连接，，得四边形是矩形，可求出的长度，在中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作于点，    由题意得，， 在中，，，， ∴． ∴点到的距离为． （2）解：如图所示，连接， 由题意可知，，    ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，， 在中，． 43．（22-23九年级上·重庆北碚·期末）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东方向，B处在博物馆C的东南方向．（参考数据：，，，．） (1)请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号） (2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东的方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位） 【答案】(1)博物馆C到B处的距离约为184米 (2)博物馆C周围至少226米内不能铺设轨道 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，证明是等腰直角三角形，得到，设，则，再由锐角三角函数定义得，再由，问题可解； （2）过点作于点，根据题意得，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博物馆到处的距离约为米； （2）如图2，过点作于点， 由题意得：，， ∴， 由（1）可知，米， 在中， 答：博物馆周围至少米内不能铺设轨道． 44．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，小华家正北方向是一处荷塘，荷塘正西处是一座果园，在的北偏西方向，的南偏东方向有一个休闲小广场，且．    (1)求的长度（结果精确到个位）． (2)从小华家出发，北偏西有一条小路直达（交于点G）．小华从家出发沿人行步道去果园采摘，他可以经点G到达点C，也可以经点D到达点C，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位，图中所有线段均为可通过的人行步道）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)经点D到达点C 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长． （1）过点D作交于点E，交于点F，先求出的长，再求出的长，根据三角函数值即可求出； （2）根据（1）和已知条件分别求出经点D到达点C的距离和经点G到达点C的距离，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点D作交于点E，交于点F，如图所示：    由题意得，，，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 经点D到达点C的距离为：， ，， ，， ， ， ，， ， 经点G到达点C的距离为：， ， 故他走经点D到达点C这条路较近． 八、坡角、坡比的应用（共7小题） 45．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是12m，则高是（    ） A．2m B．3m C．4m D．5m 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，解题的关键是根据题意得，代入即可求解． 【详解】解：∵滑坡的坡度是， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：C． 46．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 47．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，） 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，， 则，，， 由勾股定理，得， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴建筑物的高度约为米． 48．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)应在地面上距点B约远的A处开始斜坡的施工 (2)能，见解析 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，, ∵在中，， ∴ 答：应在地面上距点B约远的A处开始斜坡的施工； （2）能， 理由如下 如图，过点作于点， 则, ∴， 在中， ， ∵ ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 49．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，． (1)求点到水平地面的高度； (2)求点与点之间的水平距离． （结果精确到1．参考数据：，，，） 【答案】(1)点到水平地面的高度是150米． (2)点与点之间的水平距离1049米． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，准确识图，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解决问题的关键． （1）过点作于，过点作于，交延长线于，解得米，米，由此可得出答案； （2）解得米，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，交延长线于，如图所示： 在中，，， ，，，， （米），（米）， 答：点到水平地面的高度是150米． （2）解：在中，，米，， ， （米）， 又米， （米）， 答：点与点之间的水平距离1049米． 50．（2024·河北张家口·三模）如图，在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯（即），设计要求左、右两边的滑梯，的坡度分别为和．测得米，米． (1)求滑梯的长； (2)试猜想两个滑梯，的位置关系，并证明； (3)小亮（看成点）从点沿滑梯下滑，请直接写出他与处距离的最小值． 【答案】(1)米 (2)，证明见解析 (3)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）勾股定理求出的长，再根据坡度求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）延长交于点，证明，推出，即可； （3）垂线段最短，得到，得到重合时，最小，解直角三角形求出的长，求出的长，即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵滑梯的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∴滑梯的长为米； （2），证明如下： 延长交于点， ∵，滑梯的坡度为， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵点在上， ∴当时，最小， 由（2）知：， ∴重合， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 51．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【答案】(1)点P到的距离为400米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可； （2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．． 【详解】（1）解：过点P作于点H， ∵， ∴， ， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：点P到的距离为400米． （2）解：过点P作于点G， ∵米，， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴． 九、解直角三角形的其它应用（共7小题） 52．（2024·河北张家口·一模）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点与尺下沿的左端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为．若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是（结果精确到，参考数据，，）．（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作于，作于，如图：    依题意得：， 在中，，，， ， ，，且， ， 在中，，，， ，即：， 解得：， 点C在尺上的读数约为， 故选：C． 53．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是一把圆规的平面示意图、是支撑臂，是旋转臂，已知．若支撑臂与旋转臂的夹角，则A，B之间的距离为 ．（用含m，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，正确作出辅助线． 先作于点C，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出， 【详解】解：作于点C，如图， ，， ∵， ∴平分，点C平分， ∵， ∴， 在中 ∴， ∴， 故答案为：． 54．（23-24九年级下·河北保定·期中）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降． （1）当时， °； （2）点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、矩形性质及解直角三角形等知识，（1）当时，过作，如图所示，根据平行线性质找到角的和差关系，列式求解即可得到答案；（2）过点作于点，过点作于点，如图所示，根据矩形性质，再根据三角形内角和定理求出，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握平行线性质及解直角三角形方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）当时，过作，如图所示： ， ， ∴， 故答案为：； （2）过点作于点，过点作于点，如图所示： 在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 55．（2024·河北秦皇岛·一模）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题． 如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（于），在，处与篮板连接，是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，；测得时，点离地面的高度为，调节伸缩臂，使得点离地面的高度升高，判断增大还是减小了？增大（或减小）了多少度？ （参考数据：，） 【答案】减少了 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，延长与交于，过作于，则四边形为矩形，于是，证明四边形是平行四边形，得出，当时，，再解直角三角形求出，即可得解． 【详解】解：减少了，如图，延长与交于，过作于， 则四边形为矩形，于是， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，， 此时，， ，点升高后，， ，而，， ∴减少了． 56．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：    (1)求入射角的大小和的长． (2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，明确题意、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由中点的定义可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，再根据角的和差以及等腰三角形的判定即可解答； （2）利用锐角三角函数求出长，然后再运用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． （2）解：∵在中，， ∴， ∴． 57．（2024·河北石家庄·二模）为了提高学生的行车安全意识，某学校数学活动小组设计了如图所示的模拟公路单点测速实验：先在笔直车道旁取一点安置测速仪，再在车道上确定两点、，当车辆经过、两点时，测速仪就会自动拍摄车辆的照片，根据两张照片的时间差和的距离就可以测算出车速．测得点到车道的距离为，，.（参考数据：，，，，，） (1)求的长（每一步的计算结果均精确到）； (2)《道路交通安全法》规定：普通道路行驶的小型机动车超速未超不扣分，只罚款，超速超过但未超过扣分并罚款，超速超过以上，扣分并罚款．若该路段对汽车限速，某小型汽车从到用时，这辆车是否超速了？如果超速了，驾驶员将受到哪种处罚？ 【答案】(1) (2)驾驶员超速未超，不扣分，只罚款 【分析】（）过点作交于点，则，解和得 ，，再根据线段的和差关系即可求解； （）求出汽车的速度为，与限速比较即可判断，再求出超速的速度即可得出驾驶员将受到哪种处罚； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作交于点，则， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； （2）汽车的速度为， ∵， ∴汽车超速了， ， ∵， ∴驾驶员超速未超，不扣分，只罚款． 试卷第2页，共56页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$