专题03 图形的相似（考题猜想，易错必刷64题10种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题03 图形的相似 （易错必刷64题10种题型专项训练） 一、比例的性质（共4小题） 1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，设，则，，然后代入计算分式的值即可． 【详解】解：设，则，， ∴， 故答案为：． 2．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质可得出，，，代入中，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键． 根据题意得出，，，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ 即， 当时，， 当时，． 故答案为：或． 4．已知：，则 ， ． 【答案】 【分析】考查了比例的基本性质，比较简单．解题的关键是需细心．由，根据比例的性质，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 二、比例线段（共5小题） 5．在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 6．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例． 按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； B. ，条线段成比例，故选项符合题意； C. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； D. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； 故选：． 7．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，上半身的长度为，她计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的身材显得更优美．你认为选择最佳跟高为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用；根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为的高跟鞋最佳； 故选：D． 8．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键． 根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得． 【详解】解：①如果线段是线段的第四比例项，则有，①正确； ②如果点是线段的中点，则， 所以， 所以不是、的比例中项，，②错误； ③如果点是线段的黄金分割点，且， 则， 所以，即， 所以是与的比例中项，，③正确； ④如果点是线段的黄金分割点，，且， 则，即， 所以，④正确； 综上，正确的判断有①③④， 故选：C． 9．服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为 （用含根号的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例求解即可． 【详解】解：∵黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例， ∴冬装校服裤子的长度（理论值）为， 故答案为：． 三、平行线分线段成比例（共6小题） 10．如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得，结合，则，可判断A；，结合题意得和，则，可判断B；由，结合已知得和，则，可判定C；由和，则，可判定D． 【详解】解：， ， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，故C错误，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 11．如图，，若，，，则的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练利用平行线分线段成比例计算求值是解题的关键，由可得，再代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由，可得，，由，可得，，再进一步分析判断即可． 【详解】∵， ∴，，故A不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故B不符合题意；C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 13．如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点过点D作，交于H，，先根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理得到，进一步即可得到答案． 【分析】解：如图，过点D作，交于H， ∵是边上中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， ∴， 15．如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：，， ，， ，，， ， ， ． 四、相似三角形的判定（共10小题） 16．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析，判断得出答案．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出与相似，故该选项符合题意． 故选：D． 17．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的选项是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】∵，∴，即， A、添加后，能确定； B、添加后，能确定； C、添加后，仍不能确定； D、添加后，能确定． 故选：C． 18．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用，勾股定理与网格． 【详解】解：已知给出的三角形的三边按小到大分别为， A选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； B选项的三边按小到大排序是，与原三角形三边成比例，故该选项符合题意； C选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； D选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； 故选：B． 19．如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合所给条件及隐含条件逐一进行判断即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解∶∵，， ∴，故选项A错误，符合题意； ∵，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 20．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】如图： ①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确； ②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确； ③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确； ④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 21．在Rt△ABC中，M为斜边AB上一点（M不与A，B重合），过点M作直线截△ABC所得的三角形与原三角形相似的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解． 【详解】有三条：①过点P点作AB边上的垂线，可得出一条符合要求的直线； ②另外两条分别是AC、BC两边的平行线． 故选B． 【点睛】本题主要考查了学生对相似三角形判定定理的掌握及运用，难度适中． 22．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定； 先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定定理证明即可 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不相似， 故选：． 23．如图，在中，是上一点，连接，要使，则还须添加一个条件 （只须写出一个即可，不必考虑所有可能）． 【答案】或或等 【分析】相似三角形的判定，对应角相等，对应边成比例，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可． 【详解】在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需在有一对应角相等即可，即∠ABP=∠C. 故答案为∠ABP=∠C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定. 24．如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由已知条件证得，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 25．如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴． 五、利用相似三角形的性质求解（共6小题） 26．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 27．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    28．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 29．如图， 正方形的边长为2，，， 线段的两端分别在、上滑动，那么当 时，与相似． 【答案】或 【分析】根据正方形的性质可得，，则，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据与相似即可求得结果． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∵与相似，，， 则或， ∴或 ， 即或， 解得或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 30．在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质． （1）由已知可得，可证； （2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解的长． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点在边上， ∴，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 则， ∵， ． 31．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（）根据两三角形相似，对应边成比例，得，结合已知条件，从而得到的长，再根据勾股定理即可求解； （）根据相似三角形对应角相等，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，； （2）证明：∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 六、利用相似三角形的性质证明（共4小题） 32．如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 33．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 34．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 35．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 七、相似三角形性质的实际应用（共7小题） 36．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该古城墙的高度为． 故选：D． 37．某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，且、、、在同一水平线上． (1)请求出的距离； (2)请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】(1)9米 (2)40米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. （1）根据题意可得，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米； （2）证明，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得米， （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得：米, ∴凌霄塔的高度为米． 38．有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，． (1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． (2)当时，求加工成的矩形零件的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，结合了平行线性质、相似三角形的判定和性质，注意数形结合的运用． （1）根据题意得，，则．可证得，有化简即可； （2）把代入，化解得，进一步求得y，经检验，x，y的取值均符合题意，利用周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，． ∴． 化简，得（） （2）解：把代入，得，解得， 则， 经检验，x，y的取值均符合题意， ∴加工成的矩形零件的周长． 39．小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度． (1)求证：． (2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的应用： （1）由矩形的性质得到先证明，再证明，据此可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，再证明得到，进而根据矩形的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，即， ∴， 同理可证明， ∴ ，即， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形深坑的深度为． 40．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 41．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； (3)如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1)11.3 (2)11.2 (3)旗杆的高度约为11.4米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质， （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过点D作，垂足为点H，交于点G，可知四边形，四边形和四边形都是矩形，求得对应边长，进一步证明，结合可求得，即有． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； （2）解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 42．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 八、相似三角形的综合问题（共7小题） 43．已知：如图，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动， 速度为．连接．设运动的时间为，当为何值时， 以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．先求出的长，再分两种情况：①和②，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ①当时， ∴，即， 解得； ②当时， ∴，即， 解得； 综上，当为或时，以、、为顶点的三角形与相似． 44．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为， ①求y与t之间的函数关系式； ②是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，； (2)①；②不存在某一时刻t，使．理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，平移的性质，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由勾股定理计算，得到，，，，利用相似三角形的性质得到，据此列式，求解即可； （2）①作于点D，交的延长线于点，易得，，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式； ②由平行线的性质得到，结合题意得到，利用①的结论，列出方程，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，，， ∵，如图， ∴， ∴， 解得； （2）解：①如图所示，作于点D，交的延长线于点， ∵，， 则四边形为矩形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴的面积为：， ∴； ②不存在某一时刻t，使．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不存在某一时刻t，使． 45．如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒． (1)如图1，当运动秒时，恰好有，求的值； (2)如图2，过点作于点． ①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或秒或秒 【分析】（1）根据题意，得：，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，∴，在中，， 在中，，，分三种情况求解：当时；当时． 【详解】（1）解：∵点沿方向以的速度向由点向点运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， ∴点由点到点的运动时间为：（秒）， 点由点到点的运动时间为：（秒）， ∵运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴的值为秒； （2）①过点作于点， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵运动时间为秒， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 存在以、、为顶点的三角形与相似， 当时， ∴，即， 解得：， ∴（秒）； 当时， ∴，即， 解得：， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ， 存在以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得：， ∴， 解得：，， ∵， ∴（不合题意，舍去），； 当时，得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当的值为秒或秒或秒时，以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 46．如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？ （2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________. ②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）. 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）①；② 【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值. （2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论. （3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB≌△DNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案. 【详解】解：（1）∵，∴， ∴， 解得. （2）. 证明：∵，∴. ∵， ∴， ∴，即. （3）①∵ ∴∠ABE＋∠BAE=90° ∵ ∴ ∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90° ∴△AMB≌△DNA ∴AM=DN ∴t=2-2t ∴t= ②∵由①知，∠BAD=∠ADC=90° ∴ ∵ ∴=n ∴ ∴t= 【点睛】本题主要考查了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键. 47．在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 48．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒． (1)当时，t的值为______； (2)连接，当时，求出t的值； (3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的时间t为或或或． 【分析】（1）判断出得出比例式建立方程即可得出结论； （2）先判断出得出比例式求出，，再判断出，得出比例式建立方程即可得出结论； （3）分两种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， 根据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点Q在线段上时， 由（1）（2）得， ∴， Ⅰ、若， ∴， ∴， Ⅱ、若时，如图1，作于N， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， Ⅲ、若时，如图1，作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点M在线段上时，如图2，是钝角， 由（1）（2）得， ∴， ∴只可能， ∴， ∴， 即：满足条件的时间t为或或或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是表示出，，解（3）的关键是分类讨论的思想解决问题． 49．数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 【答案】（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30° 【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律； （2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题． 【详解】（1）[问题发现]如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， 当时，△ABC和△PDC都是等边三角形， ∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝60°， 当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形， 如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝45°， [归纳总结] 由此，可归纳出，＝∠ACB＝； （2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，∠CAE＝60° ∴sin60°＝， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵∠ECF＝∠ACP， ∴△PCA∽△FCE， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝30°． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想． 九、相似多边形的性质与判定（共7小题） 50．小明用放大镜观察一个正多边形，用放大镜看到的正多边形与原正多边形的边长比为．则下列说法不正确的是（    ） A．放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为 B．放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等 C．放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为 D．若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键是相似多边形对应边的比相等、面积的比等于相似比的平方，根据以上知识逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为，故原说法错误，本选项符合题意； B. 放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等，故原说法正确，本选项不符合题意； C. 放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为，故原说法正确，本选项不符合题意； D. 若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9，故原说法正确，本选项不符合题意； 故选：A 51．已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C 52．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 53．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似多边形的性质、旋转的性质，根据矩形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质和相似多边形的性质可得矩形的对角线和矩形的对角线的比为，从而得出矩形的对角线为；求出规律即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形； ∴矩形和矩形的相似比为； ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线为； 以此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴边的长为， 故选：A． 54．如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．设矩形与矩形相似时，运动时间为，分矩形矩形和矩形矩形两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设矩形与矩形相似时，运动时间为， 当矩形矩形时，， ∴ 解得， 当矩形矩形时， ∴， 解得：． 故选：． 55．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据题意得小长方形的宽为3，设，相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得小长方形的宽为3， 设， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得（负值舍去）， 故原长方形的宽为． 故答案为： ． 56．某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)甬道的宽度为 (3)不能满足其要求，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似多边形的性质； （1）设甬道宽度为，根据图形可得，，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，即可求解； （3）根据相似多边形的性质，对应边相等列出比例式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设甬道宽度为，依题意， ∴； （2）根据题意得，， 解得（不合题意，舍去）． 答：甬道的宽度为． （3）假设能满足要求，则， 解得， 因为不符合实际情况，所以不能满足其要求． 十、图形的位似（共8小题） 57．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】如图所示，位似中心是点O． 故选：D． 58．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 59．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．过点A作轴于点E，过点作轴于点F，根据题意可得出，，结合相似三角形的性质即可求出和的长，即得出点A的坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点作轴于点F， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，． ∵的位似图形为， ∴， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：B． 60．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 61．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 62．如图，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)图见解析，． 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图：点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在网格中取格点，，连接，如图： 由网格可知，，，， ∴， ∴和位似，位似比为， 则即为所求三角形； （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P， 由网格可知，点P的坐标为， 故答案为：． 63．如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 64．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 【答案】(1) (2)见解析， (3)与的面积比为 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）取 DE的中点 M，DF的中点 N，连结 MN，则就是以 D 为位似中心，的位似图形，且 与 的相似比为 ； （3）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，由图知，M、N两点的坐标分别为． （3）解：∵，， ∴． 同理可求：，， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 【点睛】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，位似作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 试卷第2页，共68页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 图形的相似 （易错必刷64题10种题型专项训练） 一、比例的性质（共4小题） 1．已知，则的值为 ． 2．已知，则 ． 3．已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 4．已知：，则 ， ． 二、比例线段（共5小题） 5．在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 6．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为，上半身的长度为，她计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的身材显得更优美．你认为选择最佳跟高为（     ） A． B． C． D． 8．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为 （用含根号的式子表示）． 三、平行线分线段成比例（共6小题） 10．如图，，交于点G，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，，若，，，则的长度是 ． 12．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则 ． 14．如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长． 15．如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 四、相似三角形的判定（共10小题） 16．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（　　） A． B． C． D． 17．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的选项是 （    ） A． B． C． D． 18．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 20．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．在Rt△ABC中，M为斜边AB上一点（M不与A，B重合），过点M作直线截△ABC所得的三角形与原三角形相似的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 22．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（　　） A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是 23．如图，在中，是上一点，连接，要使，则还须添加一个条件 （只须写出一个即可，不必考虑所有可能）． 24．如图，已知线段与交于点O，，，，，求证：． 25．如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 五、利用相似三角形的性质求解（共6小题） 26．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A． B．4 C． D．5 27．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 28．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 29．如图， 正方形的边长为2，，， 线段的两端分别在、上滑动，那么当 时，与相似． 30．在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 31．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 六、利用相似三角形的性质证明（共4小题） 32．如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 33．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 34．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 35．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 七、相似三角形性质的实际应用（共7小题） 36．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 37．某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，且、、、在同一水平线上． (1)请求出的距离； (2)请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 38．有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，． (1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． (2)当时，求加工成的矩形零件的周长． 39．小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度． (1)求证：． (2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度． 40．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 41．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； (3)如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 42．综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 八、相似三角形的综合问题（共7小题） 43．已知：如图，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动， 速度为．连接．设运动的时间为，当为何值时， 以、、为顶点的三角形与相似？ 44．已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题：： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为， ①求y与t之间的函数关系式； ②是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒． (1)如图1，当运动秒时，恰好有，求的值； (2)如图2，过点作于点． ①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 46．如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？ （2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________. ②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）. 47．在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 48．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．、两点同时出发，设它们的运动时间为秒． (1)当时，t的值为______； (2)连接，当时，求出t的值； (3)直接写出当t为何值时，是等腰三角形． 49．数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 九、相似多边形的性质与判定（共7小题） 50．小明用放大镜观察一个正多边形，用放大镜看到的正多边形与原正多边形的边长比为．则下列说法不正确的是（    ） A．放大后的正多边形的面积与原正多边形的面积比为 B．放大后的正多边形的每个内角与原正多边形的每个内角都相等 C．放大后的正多边形的周长与原正多边形的周长比为 D．若原正多边形的面积为4，则放大后的正多边形的面积为9 51．已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 52．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 53．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为（    ） A． B． C． D． 54．如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 55．把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 56．某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 十、图形的位似（共8小题） 57．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 58．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 59．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 60．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 61．如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 62．如图，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 63．如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 64．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 试卷第2页，共68页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$