专题10 视图与投影（考题猜想，易错必刷70题11种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期冀教版

专题10 视图与投影 （易错必刷70题11种题型专项训练） 一、正投影（共2小题） 1．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．物体的正投影不改变物体的形状和大小 B．一个人的影子都是平行投影形成的 C．当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小 D．有光就有影子 2．（2020·河北邢台·二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（  ）    A．   B．   C．   D．   二、平行投影（共6小题） 3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为．落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（    ）．（结果精确到）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是 米． 6．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． (1)求窗户的高度（的长）； (2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 7．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： (1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． (2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米， ①甲树的高度为______米， ②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度． 8．（2023·河北石家庄·二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为． 乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．    任务要求： (1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度； (2)如图2，设太阳光线与相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段的影长．）（参考数据：） 三、中心投影（共6小题） 9．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从处背着灯柱方向走到处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（   ） A．由长逐渐变短 B．由短逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 10．（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（    ） A．   B．   C．   D．   11．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 12．（2022·河北邯郸·三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为．      （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）； （2）聚光灯距离地面的高度为 m． 13．（21-22九年级上·河北石家庄·期末）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方站在点处． (1)请画出小方在路灯下的影子； (2)若米，求长度． 14．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米． 四、视点、视角与盲区（共5小题） 15．（20-21九年级上·河北唐山·期末）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 16．（13-14九年级上·河北保定·期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 17．（17-18九年级·全国·单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示) ． 18．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 19．（18-19九年级下·全国·单元测试）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间． (1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影． (2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式． ①1≤t≤2； ②2≤t≤3； ③3≤t≤4． 根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况． 五、简单几何体的三视图问题（共5小题） 20．（2024·河北·模拟预测）一位同学根据如图1所示的几何体，画出了它的三视图（图2），则下列说法正确的是（    ） A．只有主视图正确 B．只有俯视图正确 C．只有左视图正确 D．只有主视图不正确 21．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 22．（2024·河北沧州·二模）如图，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 解：该几何体的左视图为， 23．（2024·河北邯郸·二模）用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 24．（2019·河北·二模）图是一个正方形被切掉一条棱后所得的几何体，则它的左视图是（  ） A． B． C． D． 六、简单组合体的三视图问题（共7小题） 25．（2024·河北·模拟预测）如图，是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体，几何体的主视图不发生改变，则移走的小正方体是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 26．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是（    ） A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．三视图都改变 27．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，是由五个相同的小正方体搭成的几何体，移走一个小正方体它的左视图不变，则移走的小正方体是（   ） A．① B．② C．③ D．③或④都可以 28．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的几何体是由几个边长为的小正方体搭成的，将正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（    ） A．主视图，左视图都不变 B．主视图，左视图都变 C．主视图改变，左视图不变 D．主视图不变，左视图改变 29．（2023·河北石家庄·二模）如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（    ）    A．主视图面积最大 B．俯视图面积最大 C．左视图面积最大 D．三种视图面积都相等 30．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图、左视图和俯视图中（   ） A．只有主视图会发生改变 B．只有左视图会发生改变 C．只有俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 31．（2022·河北·二模）下列每个几何体均由六个相同的小正方体搭成，其中与如图所示的几何体主视图相同的是（    ） A． B． C． D． 七、由三视图还原几何体（共10小题） 32．（2023·河北石家庄·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，从左向右依次是主视图、左视图、俯视图，则这个几何体是（    ）    A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 33．（2024·河北石家庄·二模）一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，下图是该几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）图是由个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 35．（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 36．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个．    A．6 B．8 C．10 D．12 37．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 38．（2024·河北唐山·三模）如图是由8个大小相同的小正方体搭成的几何体．若从该几何体的第二层拿走若干个小正方体后，使得拿走前后的三视图不发生变化，则最多可以拿走小正方体的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（22-23七年级上·河北张家口·期末）. 一个几何体是由一些大小相同的小立方块摆成的，如下图是从正面、左面、上面看这个几何体得到的平面图形，那么组成这个几何体所用的小立方块的个数是 ． 40．（22-23九年级上·河北唐山·期末）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示， (1)写出这个几何体的名称：______； (2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留） 41．（2023·河北石家庄·模拟预测）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表1所示． 菜碟的个数 菜碟的高度（单位：cm） 1 3 2 3 4 … … (1)把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）； (2)如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少． 八、由三视图计算几何体的相关数据（共7小题） 42．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），则其俯视图的面积为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 44．（2023·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 45．（2023·河北唐山·二模）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（    ）    A． B． C． D． 46．（22-23九年级上·河北邢台·期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 47．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图是一个几何体的三视图（单位：）． (1)这个几何体的名称是_________；（填“圆锥”或“棱锥”） (2)根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留π）． 48．（22-23七年级上·山东济南·期中）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 九、几何体的展开图（共6小题） 49．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列图形中三棱柱的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图，这是一个几何体的侧面展开图，则该几何体的形状是（    ）    A．四棱柱 B．四棱锥 C．五棱柱 D．五棱锥 51．（2024·河北保定·一模）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的直三棱柱，尺寸如图所示，则m的值可能是（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 52．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，圆柱形纸筒（无底）的两端有A、两点，是圆柱的高，是底面圆的直径，在沿纸筒表面（正前方）标有一条从A到的最短路径．若过A、把纸筒剪开成矩形，则沿纸筒表面从A到的最短路径表示正确的是（   ）（图中粗线部分） A． B． C． D． 53．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________．       54．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 十、小正方体的展开图问题（共11小题） 55．（2024·河北邢台·模拟预测）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则下列序号中不应剪去的是（    ） A．A B．B C．C D．F 56．（2024·河北·模拟预测）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 57．（2023·河北秦皇岛·一模）一个正方体的六个面上分别标有兔、年、万、事、大、吉，该正方体的展开图如图所示．已知“事”的对面为“大”，则（   ） A．▲代表“大” B．▲代表“吉” C．代表“吉” D．代表“吉” 58．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（    ） A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面 C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6 59．（2024·河北石家庄·三模）如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与5个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（    ）．    A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 60．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开、用裁开的纸片和白纸上的黑色方块围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（    ） A． B． C． D． 61．（2023·河北衡水·二模）如图所示的正方体，它的展开图可能是下列四个选项中的（    ） A． B． C． D． 62．（24-25七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为 ． 63．（24-25七年级上·河北保定·期中）马头天福酥鱼，这道源自邯郸的地道珍馐，早在魏晋时期即被列为贡品．将“马头天福酥鱼”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“马”字所在面相对的面上的汉字是 ． 64．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列___________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．    B．    C．    D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 65．（24-25七年级上·河北张家口·期中）如图1，一个不透明小立方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6． (1)若其展开图如图2所示，则：与数字“1”相对的面上的数字是________，与数字“2”相对的面上的数字是________，与数字“3”相对的面上的数字是________； (2)将三个同样的小立方体搭成图3所示的几何体，请确定该几何体能看得到的面上数字之和最小为多少？ 十一、与圆锥有关的计算（共5小题） 66．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 67．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）． A． B．4 C． D．6 68．（24-25九年级上·河北沧州·期中）有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为 ． 69．（18-19九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 度． 70．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥. （1）扇形的圆心角为 ； （2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 . 试卷第2页，共53页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 视图与投影 （易错必刷70题11种题型专项训练） 一、正投影（共2小题） 1．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．物体的正投影不改变物体的形状和大小 B．一个人的影子都是平行投影形成的 C．当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小 D．有光就有影子 【答案】C 【分析】根据正投影及平行投影和中心投影依次判断即可． 【详解】解：A、物体的正投影可以改变物体的形状和大小，选项错误，不符合题意； B、一个人的影子是平行投影或中心投影形成的，选项错误，不符合题意； C、当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小，选项正确，符合题意； D、有光、物体和投影面才有影子，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查了平行投影和中心投影，熟练掌握平行投影和中心投影的特点是解题关键． 2．（2020·河北邢台·二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解． 【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致． 故选C． 【点睛】本题考查了正投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定． 二、平行投影（共6小题） 3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东． 【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键． 4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为．落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（    ）．（结果精确到）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握同一时刻太阳光下，物长和影长成比例，是解题的关键．过点D作于点E，连接并延长，交延长线于点F，易得，根据长的木杆在地面上的影长为，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，连接并延长，交延长线于点F， ∵，， ∴， ∵长的木杆在地面上的影长为， ∴，则， ∴， ∵长的木杆在地面上的影长为， ∴，则， 故选：D．    5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查同一时刻物高和影长成正比．解题的关键是理解：如果光源是太阳，光线是平行照射的，此时物体的高度和影子的长度成正比例．据此列式解答即可． 【详解】解：根据题意知：相同时刻的物高与影长成正比， 设金字塔的高度为米，则： ∴， 解得：， ∴金字塔的高度是米． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米． (1)求窗户的高度（的长）； (2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长． 【答案】(1)窗户的高度为米； (2)米． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用． （1）由题意得，利用平行线分线段成比例定理即可求解； （2）由题意得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵阳光是平行线，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴，解得(米)， 答：窗户的高度为米； （2）解：由题意得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴(米)， 答：米． 7．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作： (1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． (2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米， ①甲树的高度为______米， ②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据同一时间竹竿的高度与影长之比等于树的长度与树的影长之比即可求得； （2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲树的高度为米 根据题意得： 解得： 故答案为： （2）解：连接并延长交的延长线于，延长交于，连接， ∵米，米，米 ∴（米） ∴ ∴ ∴（米） ∴（米） 答：乙树的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形列出比例式是解题的关键． 8．（2023·河北石家庄·二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为． 乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．    任务要求： (1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度； (2)如图2，设太阳光线与相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长等于线段的影长．）（参考数据：） 【答案】(1)12m (2)12cm 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数解答即可； （2）先求解直角三角形的三边，进而可得的长，然后证明，利用相似三角形的性质即可求出圆的半径． 【详解】（1）解：在中，cm， ∴， ∴学校旗杆的高度约为12m； （2）连接， 由题意得：． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设景观灯灯罩的半径为rcm， ∵太阳光线与相切于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴景观灯灯罩的半径为12cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、平行投影以及相似三角形的实际应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、中心投影（共6小题） 9．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从处背着灯柱方向走到处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（   ） A．由长逐渐变短 B．由短逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】B 【分析】因为等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长；已知人是从点处背着灯柱方向走到处，也就是从光源近处走向光源远处，据此进行解答． 【详解】解：根据中心投影的特征可知人远离灯光时，其影子逐渐变长． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是中心投影的相关知识，解题的关键是明确中心投影的特征． 10．（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】直接根据中心投影的特点及小亮和小美的身高差判断即可. 【详解】解：小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况应如图所示：    故选D. 【点睛】本题考查了中心投影的特点．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 11．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据中心投影性质得与是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是， ， 与相似比是， ， 的面积为， ， 故选：C． 12．（2022·河北邯郸·三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为．      （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）； （2）聚光灯距离地面的高度为 m． 【答案】 中心投影 【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可； （2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可． 【详解】解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线， ∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，难度不大． 13．（21-22九年级上·河北石家庄·期末）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方站在点处． (1)请画出小方在路灯下的影子； (2)若米，求长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为米 【分析】（1）连接，并延长交于点，线段即为所求； （2）首先得出，再根据相似三角形的性质，得出，进而得出，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的长度为米． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、中心投影，解本题的关键在熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 14．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米． 【答案】 C 【分析】（1）利用甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置； （2）延长交于点，已知点光源发出的过点的光线，，可得，根据，可得，在中，已知，可得，结合，即可求得乙杆的高度； 【详解】（1）如图所示，点即为点光源所在的位置， 故答案为：C （2）延长交于点， ∵点光源发出的过点的光线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴乙杆的高度为米． 故答案为： 【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键． 四、视点、视角与盲区（共5小题） 15．（20-21九年级上·河北唐山·期末）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 16．（13-14九年级上·河北保定·期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 17．（17-18九年级·全国·单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示) ． 【答案】①②③ 【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可 【详解】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③. 【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键. 18．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 19．（18-19九年级下·全国·单元测试）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间． (1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影． (2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式． ①1≤t≤2； ②2≤t≤3； ③3≤t≤4． 根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】(1)根据题意涂上阴影即可； (2)根据正方形的性质得AM＝2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：梯形的上底、下底，然后根据梯形的面积分别计算出三种情况下的梯形的面积即可；根据一次函数的性质求解． 【详解】(1)如图： (2)①当1≤t≤2时，△PAB内的盲区是梯形AEFG． FG是△PAE的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1)．而梯形AEFG的高为2， ∴y＝[(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3． ②当2≤t≤3时，△PAB内的盲区是梯形QRST． 易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST的高为2， ∴y＝(1＋2)×2＝3． ③当3≤t≤4时，△PAB内的盲区是梯形WBUV． 易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2， ∴y＝[(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t． 当1≤t≤2时，盲区的面积由0逐渐增大到3； 当2≤t≤3时，盲区的面积y为定值3； 当3≤t≤4时，盲区的面积由3逐渐减小到0． 【点睛】此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法． 五、简单几何体的三视图问题（共5小题） 20．（2024·河北·模拟预测）一位同学根据如图1所示的几何体，画出了它的三视图（图2），则下列说法正确的是（    ） A．只有主视图正确 B．只有俯视图正确 C．只有左视图正确 D．只有主视图不正确 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三种视图．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：改几何体的三视图为： 与图2比较，只有左视图正确， 故选：C． 21．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】C 【分析】本题考查了主视图与俯视图，根据主视图与俯视图的定义画出各图形的主视图与俯视图，由此即可得出答案．熟练掌握主视图与俯视图的定义是解题关键． 【详解】解：A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，主视图与俯视图相同，此项不符题意； B、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，主视图与俯视图相同，此项不符合题意； C、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，主视图与俯视图不同，此项符合题意； D、球的主视图与左视图都是圆，主视图与俯视图相同，此项不符题意； 22．（2024·河北沧州·二模）如图，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案，熟知左视图的概念是解题的关键． 【详解】 解：该几何体的左视图为， 故选：B． 23．（2024·河北邯郸·二模）用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．根据三视图的定义进行判断即可． 【详解】解：两个几何体的三视图，如图所示： 所以，只有左视图不相同， 故选：B． 24．（2019·河北·二模）图是一个正方形被切掉一条棱后所得的几何体，则它的左视图是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看不到的棱都应表现为虚线． 【详解】解：由图可知，它的左视图是， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察的能力，属于基础题． 六、简单组合体的三视图问题（共7小题） 25．（2024·河北·模拟预测）如图，是由大小相同的小正方体拼成的几何体，若移走一块小正方体，几何体的主视图不发生改变，则移走的小正方体是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】观察图形可知，若移走一块小正方体，几何体的主视图不发生改变，则移走的小正方体是④． 故选：D． 26．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是（    ） A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．三视图都改变 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解答本题的关键；根据三视图的定义判断即可． 【详解】如图，从由相同的小正方体组成的立体图形中取走一个小正方体后，视图不变的是左视图，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形，主视图和俯视图由原来的两列变为一列 故选：A． 27．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，是由五个相同的小正方体搭成的几何体，移走一个小正方体它的左视图不变，则移走的小正方体是（   ） A．① B．② C．③ D．③或④都可以 【答案】D 【分析】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知左视图的定义． 根据左视图的特点即可判断． 【详解】解：当移走的小正方体是①、②时，左视图发生变化， 当移走的小正方体③或④时，左视图如图所示，没有发生变化． 故选：D． 28．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的几何体是由几个边长为的小正方体搭成的，将正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（    ） A．主视图，左视图都不变 B．主视图，左视图都变 C．主视图改变，左视图不变 D．主视图不变，左视图改变 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键． 结合几何体的形状，结合三视图可得出俯视图和左视图没有发生变化． 【详解】解：将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图都没有发生改变，俯视图的第二层由原来的三个正方形变为两个正方形， 故主视图和左视图都没有发生改变，俯视图改变了， 故选． 29．（2023·河北石家庄·二模）如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（    ）    A．主视图面积最大 B．俯视图面积最大 C．左视图面积最大 D．三种视图面积都相等 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，确定三视图的形状和大小． 【详解】解：主视图，四个小正方形构成，如图所示：    左视图，四个小正方形构成，如图所示：    俯视图，5个小正方形构成，如图所示：    所以，主俯视图面积最大； 故选：B． 【点睛】本题考查三视图，从不同方向观察物体的形状，具备相应的空间想象能力是解题的关键． 30．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图所示，是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图、左视图和俯视图中（   ） A．只有主视图会发生改变 B．只有左视图会发生改变 C．只有俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 【答案】D 【分析】从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图,据此画出三视图，进行比较即可. 【详解】 解：∵原图形的主视图： 原图形的俯视图： 原图形的左视图： ∴新图形的主视图： 新图形的俯视图： 新图形的左视图： ∴三视图都有变换 故选． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的概念是解题的关键． 31．（2022·河北·二模）下列每个几何体均由六个相同的小正方体搭成，其中与如图所示的几何体主视图相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的主视图，即可得出答案． 【详解】 解：所给物体的主视图为， A．主视图为，故此选项不符合题意； B．主视图为，故此选项不符合题意； C．主视图为 ，故此选项符合题意； D．主视图为，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握主视图的画法． 七、由三视图还原几何体（共10小题） 32．（2023·河北石家庄·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，从左向右依次是主视图、左视图、俯视图，则这个几何体是（    ）    A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 【答案】A 【分析】观察三视图，可知这个几何体是圆柱． 【详解】解∶观察可知主视图、左视图是长方形，俯视图是圆，所以这个几何体是圆柱， 故选∶ A． 【点睛】本题考查三视图判断几何体，解题的关键是学会观察，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2024·河北石家庄·二模）一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，下图是该几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：综合三视图可以得出，这个几何体的底层应该有4个，第二层第一列第二排有2个，因此这个几何体只有A选项符合． 故选A． 34．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）图是由个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据其主视图与俯视图可知该几何体共有2层2列，再结合左视图可确定每列每层上小正方体的个数，由此即可解答本题． 【详解】解：根据主视图与俯视图可知该几何体共有2层2列，再结合左视图可确定第一层有2个，第二层有1个，共计有3个小正方体， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，仔细观察已知信息，综合利用三视图的信息是解题的关键． 35．（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，在俯视图小正方形上标记主视图两列的个数，再分析即可． 【详解】解：综合俯视图和主视图，可得下图： ∴这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列两层都是2个小正方体时，组成这个几何体的小正方块最多， 所以组成这个几何体的小正方块最多有块． 故选：B． 36．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个．    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是根据三视图还原堆砌图形，先从俯视图入手，结合主视图与左视图得到该堆砌图形需要的小正方体的最小数量与最多数量，从而可得答案． 【详解】解：如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最小为个， 如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最多为个， ∴C符合题意， 故选C 37．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，由几何体的主视图与左视图可以得到要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个，从而得出结果． 【详解】解：由几何体的主视图与左视图可知想要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个， 则由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，最多需要拿走的小正方体的个数为个， 故选：B． 38．（2024·河北唐山·三模）如图是由8个大小相同的小正方体搭成的几何体．若从该几何体的第二层拿走若干个小正方体后，使得拿走前后的三视图不发生变化，则最多可以拿走小正方体的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为的正方形，所以最底下一层必须有四个小立方块，这样能保证俯视图仍为的正方形，为保证正视图与左视图也为的正方形，所以上面一层必须保留交错的两个立方块，即可知最多能拿掉小立方块的个数． 题目主要考查小正方体组成几何体的三视图，熟练掌握三视图的作法及空间想象能力是解题关键． 【详解】解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为的正方形， 所以最多能拿掉小立方块的个数为2个 故选：B． 39．（22-23七年级上·河北张家口·期末）. 一个几何体是由一些大小相同的小立方块摆成的，如下图是从正面、左面、上面看这个几何体得到的平面图形，那么组成这个几何体所用的小立方块的个数是 ． 【答案】5 【分析】解：由从上面看的视图可得最底层小正方体的个数为，由从左边看的视图可知第列第1行有一个正方体，从而算出总的个数． 【详解】解：由从上面看的视图可得最底层小正方体的个数为，由从左边看的视图可知第列第1行有一个正方体，那么共有个正方体． 故答案为：5． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体；可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”． 40．（22-23九年级上·河北唐山·期末）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示， (1)写出这个几何体的名称：______； (2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)圆柱的侧面积为，圆柱的体积为 【分析】本题考查从不同方向看几何体，圆柱的侧面积和体积． （1）根据从不同方向看几何体的图形，判断即可； （2）根据圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积侧面积底面积代数求解即可． 【详解】（1）解：依题意，根据三视图，这个几何体是圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：依题意，底面半径为，高为3， ∴圆柱的侧面积； ∴圆柱的表面积． 41．（2023·河北石家庄·模拟预测）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表1所示． 菜碟的个数 菜碟的高度（单位：cm） 1 3 2 3 4 … … (1)把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）； (2)如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为； （2）根据三视图得出碟子的总数，由（1）知每个碟子的高度，即可得出答案． 【详解】（1）由表格可知，每增加一个碟子高度增加， ∴当桌子上放有x个碟子时，碟子的高度是； （2）由三视图知这四摞碟子一共有个碟子， 由（1）知每个碟子的高度为， ∴叠成一摞后碟子的高度为． 【点睛】此题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键． 八、由三视图计算几何体的相关数据（共7小题） 42．（22-23九年级上·河北廊坊·期末）一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），则其俯视图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图与左视图可得此长方体的俯视图是长宽分别为和的长方形，即可求出其面积． 【详解】解：根据主视图与左视图可得，此长方体的俯视图是长宽分别为和的长方形， 俯视图的面积， 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，根据题意得出俯视图的长与宽是解题关键． 43．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．从顶点作出高线，标注各点，即为水面所在圆的半径，根据水面与容器底面平等，利用相似三角形对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即， ∴， ∴，即为水面所在圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm， 故选：A． 44．（2023·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【详解】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 45．（2023·河北唐山·二模）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图确定长方体的尺寸，从而求得体积即可． 【详解】观察三视图发现该长方体的长、宽、高分别为、、 依题意可求出该几何体的体积为 故选：C． 【点睛】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可． 46．（22-23九年级上·河北邢台·期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径． 【答案】 【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图， ∵底面直径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即这条线路的最短路径为． 【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 47．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图是一个几何体的三视图（单位：）． (1)这个几何体的名称是_________；（填“圆锥”或“棱锥”） (2)根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留π）． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆锥体的表面积公式． （1）根据三视图即可得出该几何体是圆锥体； （2）根据圆锥体的表面积公式计算可得． 【详解】（1）解：这个几何体的名称是圆锥， 故答案为：圆锥； （2）圆锥的侧面积， 圆锥的表面积． 48．（22-23七年级上·山东济南·期中）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】本题考查了画三视图、求几何体的表面积、根据三视图求添加小正方体个数，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体； （3）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘2即可得出这堆几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵要保持主视图和左视图不变， ∴可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加1块小正方体，即最多可以再添加2块小正方体， 故答案为：2． （3）解：∵小正方体的棱长都为， ∴块小正方形的面积， ∴这堆几何体的表面积； 答：添加最多的小正方体后该几何体的表面积为． 九、几何体的展开图（共6小题） 49．（24-25七年级上·河北保定·期中）下列图形中三棱柱的表面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的展开图，关键用两个底面的位置来判断． 根据三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，直接判断即可． 【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，并且在上下的两侧，三个侧面是长方形，可判断B正确； 故选：B 50．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图，这是一个几何体的侧面展开图，则该几何体的形状是（    ）    A．四棱柱 B．四棱锥 C．五棱柱 D．五棱锥 【答案】B 【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知，该几何体的形状是四棱锥． 故选：B． 51．（2024·河北保定·一模）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的直三棱柱，尺寸如图所示，则m的值可能是（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、三角形的三边关系等知识点，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据围成的三棱柱的底面三角形是等腰三角形，再利用三角形的三边关系确定m的取值范围即可解答． 【详解】解：根据题意可知围成的三棱柱的底面三角形是等腰三角形， 根据题意可得：，即，则选项D符合题意． 故选D． 52．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，圆柱形纸筒（无底）的两端有A、两点，是圆柱的高，是底面圆的直径，在沿纸筒表面（正前方）标有一条从A到的最短路径．若过A、把纸筒剪开成矩形，则沿纸筒表面从A到的最短路径表示正确的是（   ）（图中粗线部分） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短及几何体展开图，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键；由题意可知把圆柱沿A、C剪开，得到的是一个长方形，然后根据两点之间线段最短可进行求解． 【详解】解：过A、把纸筒剪开成矩形，则沿纸筒表面从A到的最短路径表示正确的是C选项； 故选C． 53．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 【答案】(1)5；9 (2)见解析 (3)135；37 【分析】本题主要考查的是认识立体图形， 能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键． （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （3）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 【详解】（1）解：这个三棱柱有5个面，有条棱， 故答案为：5；9； （2）如图所示（画法不唯一）．    （3）侧面积为：；    如图所示的几种展开图： 由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是：(条)， 故至少需要剪开的棱的条数是5条， 需剪开棱的棱长的和的最大值为：， 故答案为：135；37 54．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 十、小正方体的展开图问题（共11小题） 55．（2024·河北邢台·模拟预测）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则下列序号中不应剪去的是（    ） A．A B．B C．C D．F 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的展开图，利用正方体及其表面展开图的特点解题即可，掌握正方体的展开图的特征是关键． 【详解】解：根据有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图可知应剪去或或， 故不应剪去的是， 故选：C． 56．（2024·河北·模拟预测）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴影的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体展开图的特征，即可获得答案． 【详解】解：取一个小正方形涂上阴影，满足题意的有， 共计4种涂法． 故选：C． 57．（2023·河北秦皇岛·一模）一个正方体的六个面上分别标有兔、年、万、事、大、吉，该正方体的展开图如图所示．已知“事”的对面为“大”，则（   ） A．▲代表“大” B．▲代表“吉” C．代表“吉” D．代表“吉” 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法，：“Z”字两端是对面判断即可． 【详解】解：一个正方体的表面分别标有兔、年、万、事、大、吉，下面是该正方体的一个展开图，已知“事”的对面为“大”，可得：★和◆代表的是“事”和“大”，则▲代表“吉”． 故选：B． 58．（2024·河北张家口·三模）用硬卡纸做一个骰子，使骰子相对两面的点数之和为7，折叠前后如图所示，下列判断正确的是（    ） A．点数1的对面是面 B．点数2的对面是面 C．，两个面的点数和为9 D．，两个面的点数和为6 【答案】C 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据同行隔一个，确定出相对面，再进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点数1的对面是面，故的点数为； 点数的对面是面，故的点数为； 点数的对面是面，故的点数为， ∴，两个面的点数和为9，，两个面的点数和为8； 故选C． 59．（2024·河北石家庄·三模）如图，纸板上有9个小正方形（其中5个有阴影，4个无阴影），从图中4个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与5个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（    ）．    A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体的11种展开图是解题的关键，根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：如图，共有2种不同的选法：    故选C． 60．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开、用裁开的纸片和白纸上的黑色方块围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正方体的展开与折叠，熟练掌握正方体展开图的特征是解题的关键； 动手裁剪，将白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，根据图形进行分析； 仔细观察“黑点”状阴影部分所在的位置，即可选出正确答案． 【详解】动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得图形应为： 故选A． 61．（2023·河北衡水·二模）如图所示的正方体，它的展开图可能是下列四个选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征， A选项折叠后“数”和“好”是相对面，不符合题意； B选项折叠后“数”和“好”是相对面，不符合题意； D选项折叠后“数”在正面、“好”在底部时，“学”却在“数”的右边，与题干图不一致，不符合题意； ∴是该正方体的展开图的是C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知正方体展开图的各种情形． 62．（24-25七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查正方体的特征，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；根据题意易得6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴1的对面数字是5，3的对面数字是6，2的对面的数字是4，即， ∴； 故答案为7． 63．（24-25七年级上·河北保定·期中）马头天福酥鱼，这道源自邯郸的地道珍馐，早在魏晋时期即被列为贡品．将“马头天福酥鱼”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“马”字所在面相对的面上的汉字是 ． 【答案】福 【分析】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知“马”字所在面相对的面上的汉字是“福”． 故答案为：福． 64．（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）问题情景 七（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列___________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． A．    B．    C．    D． （2）如图1，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小明准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 拓展应用 （3）如图2，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图3，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图3中的包装纸折成图4中的牛奶盒子，求这个牛奶盒子的容积． 【答案】（1）C；（2）；（3） 【分析】本题主要考查立体图形和平面图形的关系，以及容积的求解， （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）根据题目所给剪法可以得解边长，结合长方体的体积计算公式解答； （3）根据长方体的侧面展开图的模式即可求得长宽高，利用长方体的体积计算公式解答． 【详解】解：（1）制作一个无盖的正方体纸盒需要5个面，排除B和D，A有“田”字无法折叠为无盖的正方体纸盒， 故选：C． （2）该纸盒的容积为 ． （3）牛奶盒身的宽为． 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． 答：这个牛奶盒子的容积是． 65．（24-25七年级上·河北张家口·期中）如图1，一个不透明小立方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6． (1)若其展开图如图2所示，则：与数字“1”相对的面上的数字是________，与数字“2”相对的面上的数字是________，与数字“3”相对的面上的数字是________； (2)将三个同样的小立方体搭成图3所示的几何体，请确定该几何体能看得到的面上数字之和最小为多少？ 【答案】(1)4，6，5 (2)32 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、端是对面”是解题的关键． （1）根据正方体表面展开图的“相间、端是对面”可得答案； （2）分别求出最右边的正方体、最上边的正方体、左下角的正方体所能看到的数字之和最小的情况即可． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “1”与“4”，“2”与“6”，“3”与“5”是对面， 故答案为：4，6，5； （2）由（1）知“1”与“4”，“2”与“6”，“3”与“5”相对，要使图3中的几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、4、2、3， 最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5， 左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、4、2， 所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为． 十一、与圆锥有关的计算（共5小题） 66．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵底面半径是，母线长为， ∴， ∴侧面扇形圆心角为：， ∴， ∵为母线中点， ∴， 由两点间线段距离最短得， ， 故选：B． 67．（22-23九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）． A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形， 圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 如图，在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 68．（24-25九年级上·河北沧州·期中）有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长和圆锥的底面周长，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可． 【详解】解：设该扇形的圆心角的度数为， 由题意可得：， 解得， 故答案为：． 69．（18-19九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 度． 【答案】120． 【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角α为n． ∴2×5π= 解得：n=120 ∴扇形的圆心角α为120°． 故答案为120． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 70．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥. （1）扇形的圆心角为 ； （2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 . 【答案】 /90度 【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角； （2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得． 【详解】解（1）圆锥的底面周长， ， 解得； 故答案为． （2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造，根据两点之间线段最短得最短路程为：． 故答案为． 【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键． 试卷第2页，共53页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$