第01讲 一次函数的概念(三类知识点+八大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第01讲 一次函数的概念（八大题型） 学习目标 1、 了解一次函数的定义及有关概念； 2、 学会用待定系数法求一次函数的解析式； 3、掌握常值函数的概念． 一、一次函数的定义 情景1：在八年级第一学期学习函数概念时，我们通过讨论，知道汽车油箱里剩余的油量y(升)是汽车行驶的路程x(千米)的函数.如果汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升，那么y与x的函数解析式是y=120-0.2x.由解析式可知，这个函数不是正比例函数.我们再来讨论下面的问题： 情景2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米/时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t(时),某人离开甲地所走过的路程为s(千米),那么s与t的函数解析式是什么? 这个问题中，函数解析式是s=60t+80.它与y=120-0.2x的一个共同点是：用来表示函数的式子都是关于自变量(指表示自变量的字母)的一次整式. 一次函数的定义：一般地，解析式形如y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 要点： ①一次函数y=kx+b的定义域是一切实数. ②当b=0时，解析式y=kx+b就成为y=kx(k是常数，且k≠0),这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 2、 待定系数法求一次函数的解析式 例题1 已知一个一次函数，当自变量x=2时，函数值y=-1;当x=5时，y=8.求这个函数的解析式. 解：设所求一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). 由x=2时y=-1,得-1=2k+b; 由x=5时y=8,得8=5k+b. 解二元一次方程组 得 所以，这个一次函数的解析式是y=3x-7. 这里求一次函数解析式的方法是待定系数法.解析式中k、b是待定系数，利用两个已知条件列出关于k、b的方程组再求解，可确定它们的值. 3、 常值函数 例题2 已知变量x、y之间的关系式是y=(a+1)x+a(其中a是常数),那么y是x的一次函数吗? 解：当a+1≠0,即a≠-1时，(a+1)x+a是关于x的一次整式，这时y是x的一次函数； 当a=-1时，得y=-1,这时y不是x的一次函数. 一般地，我们把函数y=c(c为常数)叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定. 如y=-1,y=π,f(x)=√2等，均为常值函数；其中，f(x)=√2已指出自变量为x. 【即学即练1】下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（为常数） 【即学即练2】写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【即学即练3】如果是常值函数，则= ． 【即学即练4】当m 时，函数是一次函数． 【即学即练5】若一次函数，则= ，若=4，则= ． 题型1：一次函数的概念 【典例1】．形如 (其中都是常数， )的函数叫做一次函数． 【典例2】．函数①；②；③；④．是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例4】．下列关系式：①；②；③；④；⑤．其中是的一次函数的有 个． 【典例5】．一次函数是正比例函数． （判断对错）． 【典例6】．函数：①y=﹣2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=；⑤；⑥y=0.5x中，属于一次函数的有  ，属正比例函数的有   （只填序号） 【典例7】．下列函数中，是一次函数的是 ，是正比例函数的是 ．（填序号） （1）y＝﹣；（2）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6． 题型2：列函数解析式并判断是否属于一次函数 【典例8】．写出下列各题中y与x之间的函数式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)圆珠笔每支元，购买圆珠笔的总价（元）与购买支数x之间的关系． (2)甲、乙两地之间的距离为300千米，汽车从甲地出发开往乙地的平均速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系． 【典例9】．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 【典例10】．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 题型3：已知一次函数解析式求k，b 【典例11】．函数中是一次函数的有哪些？并说出k和b的值． (1)y＝x (2)y ＝ (3)y＝52－3 (4)m＝2.5n－0.3 (5)y＝3x＋3（1－x） (6) 【典例12】．函数 是一次函数吗？如果是，请写出 ， 的值；如果不是，试说明理由． 【典例13】．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？ ，，，，． 题型4：根据一次函数的概念求参数 【典例14】．函数是一次函数，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 【典例15】．已知函数是一次函数，则的值为 ． 【典例16】．已知是关于x的一次函数，则 ． 题型5：根据正比例函数、一次函数的概念求参数 【典例17】．当 时，函数是正比例函数． 【典例18】．已知函数（是常数）是正比例函  数，则的值为 ． 【典例19】．当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【典例20】．已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 题型6：写出满足要求的一次函数解析式 【典例21】．写出一个一次项系数为2的一次函数 ． 【典例22】．若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为 ． 【典例23】．请写出一个正比例函数，且x=2时，y= －6 ;请写出一个一次函数，且x=－6时，y=2 题型7：求一次函数自变量的值或函数值 【典例24】．函数中，与的比例系数是 ，当时， ． 【典例25】．在一次函数中，当时， ：当 时，． 【典例26】．在关系式中，当时，x的值是 ． 【典例27】．在一次函数中，当时，y= ；当x= 时，. 【典例28】．若一次函数，则= ，若=4，则= ． 【典例29】．已知函数关系式，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加2 B．减少2 C．增加3 D．减少3 【典例30】．根据图中的程序，当输入x=-3时，输出结果 . 题型8：待定系数法求一次函数解析式 【典例31】．根据下表，可以得到y与x之间的一个关系式为 ． x … 0 1 2 … y … 0 3 6 … 【典例32】．下表中，是的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表． －3 －2 －1 0 1 6 4 【典例33】．一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 一、单选题 1．下列函数中，一次函数一共有（　　）个． （1）；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1． A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，函数的值是（   ） A． B．5 C． D．3 3．下列说法正确的是（   ） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数 C．正比例函数不是一次函数 D．一次函数不可能是正比例函数 4．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（   ） A． B． C． D． 5．若函数是一次函数，则m，n应满足的条件是（     ） A．m≠2且n=0 B．m=2且n=2 C．m≠2且n=2 D．m=2且n=0 6．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值： x -1 0 1 y 1 m -1 则m等于(   ) A．－1 B．0 C． D．2 7．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（    ） A．长铁丝折成长为，宽为的长方形 B．斜边长为的直角三角形的直角边和 C．圆的面积与它的半径 D．路程一定时，时间和速度的关系 8．对于一次函数 y kx b （k, b 为常数），下表中给出几组自变量及其对应的函数值， x -1 0 1 3 y 7 5 2 -1 其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．－1 B．2 C．5 D．7 二、填空题 9．下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 10．在函数y=﹣2x﹣5中，k=   ，b=   ． 11．已知函数y=（k+1）x+k²-1．当k 时， 它是一次函数；当k 时，它是正比例函数． 12．若y＝（m﹣2）是一次函数函数，则其解析式为 ． 13．把方程3x-2y=1写成y是x的一次函数的形式是 ，当x=-1时，y= ． 三、解答题 14．请说出下列函数中k和b的值： (1)y＝60x.　　　   (2)y＝3000－300x. (3)y＝9＋8x.　　　   (4)y＝－3(2＋x)－7. 15．已知． （1）满足什么条件时，是一次函数？ （2）满足什么条件时，是正比例函数？ 16．已知函数y＝3x＋1，当自变量增加3时，相应的函数值增加多少？ 17．已知与的函数解析式是， (1)求当时，函数的值； (2)求当时，函数自变量的值． 18．已知y＝(k﹣1)xIkI+(k2﹣4)是一次函数． (1)求k的值； (2)求x＝3时，y的值； (3)当y＝0时，x的值． 19．如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一次函数的概念（八大题型） 学习目标 1、 了解一次函数的定义及有关概念； 2、 学会用待定系数法求一次函数的解析式； 3、掌握常值函数的概念． 一、一次函数的定义 情景1：在八年级第一学期学习函数概念时，我们通过讨论，知道汽车油箱里剩余的油量y(升)是汽车行驶的路程x(千米)的函数.如果汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升，那么y与x的函数解析式是y=120-0.2x.由解析式可知，这个函数不是正比例函数.我们再来讨论下面的问题： 情景2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米/时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t(时),某人离开甲地所走过的路程为s(千米),那么s与t的函数解析式是什么? 这个问题中，函数解析式是s=60t+80.它与y=120-0.2x的一个共同点是：用来表示函数的式子都是关于自变量(指表示自变量的字母)的一次整式. 一次函数的定义：一般地，解析式形如y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 要点： ①一次函数y=kx+b的定义域是一切实数. ②当b=0时，解析式y=kx+b就成为y=kx(k是常数，且k≠0),这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 2、 待定系数法求一次函数的解析式 例题1 已知一个一次函数，当自变量x=2时，函数值y=-1;当x=5时，y=8.求这个函数的解析式. 解：设所求一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0). 由x=2时y=-1,得-1=2k+b; 由x=5时y=8,得8=5k+b. 解二元一次方程组 得 所以，这个一次函数的解析式是y=3x-7. 这里求一次函数解析式的方法是待定系数法.解析式中k、b是待定系数，利用两个已知条件列出关于k、b的方程组再求解，可确定它们的值. 3、 常值函数 例题2 已知变量x、y之间的关系式是y=(a+1)x+a(其中a是常数),那么y是x的一次函数吗? 解：当a+1≠0,即a≠-1时，(a+1)x+a是关于x的一次整式，这时y是x的一次函数； 当a=-1时，得y=-1,这时y不是x的一次函数. 一般地，我们把函数y=c(c为常数)叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定. 如y=-1,y=π,f(x)=√2等，均为常值函数；其中，f(x)=√2已指出自变量为x. 【即学即练1】下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【解析】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 【即学即练2】写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据定义写出、的值； （2）根据定义写出、的值； （3）根据定义写出、的值； （4）先化为一般形式，然后根据定义写出、的值即可求解． 【解析】（1），则，； （2），则，； （3），则，； （4），则，． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（，为常数，的次数为，且），那么就叫做一次函数． 【即学即练3】如果是常值函数，则= ． 【答案】0 【分析】根据常值函数的定义可得自变量x的系数为0. 【解析】解：∵是常值函数， ∴k=0. 故答案为0. 【点睛】本题主要考查常值函数的定义，不论x取何值，y都是一个常数，即y=b，其中b是常数. 【即学即练4】当m 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，列出有关m的方程，即可求得答案． 【解析】由一次函数的定义可知：m2-8=1， 解得：m=±3， 又m-3≠0， ∴m≠3， 故m=-3． 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意对一次函数y=kx+b的定义条件的掌握． 【即学即练5】若一次函数，则= ，若=4，则= ． 【答案】 21 【分析】将x=1代入函数求解即可；将x=a，=4代入函数求解即可得到a的值. 【解析】解：； 若=4，则， 解得a=21. 故答案为，21. 【点睛】本题主要考查一次函数，当自变量x取值确定的时候，y有唯一确定的值与之对应. 题型1：一次函数的概念 【典例1】．形如 (其中都是常数， )的函数叫做一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义作答即可． 【解析】解：形如，（其中都是常数，）的函数叫做一次函数； 故答案为：，． 【典例2】．函数①；②；③；④．是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义判断即可． 【解析】解：①当时，不是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数． 故选B． 【典例3】．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的概念，掌握一次函数的一般形式为（其中k，b是常数且）是解题的关键．根据一次函数的定义判断即可． 【解析】解：①是一次函数； ②是一次函数； ③，等号右边不是整式，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤，未知数的最高次是2次，不是一次函数， ∴是一次函数的有①②④， 故选：B． 【典例4】．下列关系式：①；②；③；④；⑤．其中是的一次函数的有 个． 【答案】3 【分析】形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案． 【解析】解：函数①，③，⑤是一次函数，共有3个， ②，④，不是一次函数， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键． 【典例5】．一次函数是正比例函数． （判断对错）． 【答案】错误 【分析】直接利用正比例函数与一次函数的定义得出答案． 【解析】正比例函数是一次函数截距项为零时的特殊函数，故一次函数不一定是正比例函数，但正比例函数是特殊的一次函数． 故填：错误． 【点睛】本题考查一次函数与正比例函数的定义，按照定义寻其区别即可． 【典例6】．函数：①y=﹣2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=；⑤；⑥y=0.5x中，属于一次函数的有  ，属正比例函数的有   （只填序号） 【答案】 ①②⑥ ⑥ 【分析】根据一次函数与正比例函数的定义对各个选项进行判断即可. 【解析】解：①y=-2x+3，是一次函数，但不是正比例函数； ②x+y=1，可化为y=﹣x+1，是一次函数，但不是正比例函数； ③xy=1不是一次函数； ④y=不是一次函数； ⑤自变量次数为2，不是一次函数； ⑥y=0.5x是一次函数，也是正比例函数； 故属一次函数的有①②⑥，属正比例函数的有⑥. 故答案为①②⑥；⑥. 【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的一般形为y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量.特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 【典例7】．下列函数中，是一次函数的是 ，是正比例函数的是 ．（填序号） （1）y＝﹣；（2）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6． 【答案】 （1）（3）（5）（6）（7） （1）（6） 【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义以及两者之间的联系. 【解析】解:一次函数: （1）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x（7）y＝x﹣6． 正比例函数:(1) y＝﹣ ;(6) y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x; 故答案为: 一次函数: (1)(3)(5) (6) (7); 正比例函数:(1)(6). 【点睛】根据一次函数和正比例函数的定义判断. 符合y=kx (k≠0) 的形式的函数是正比例函数也是一次函数,符合y=kx+b (k≠0)的形式的函数是一次函数. 题型2：列函数解析式并判断是否属于一次函数 【典例8】．写出下列各题中y与x之间的函数式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)圆珠笔每支元，购买圆珠笔的总价（元）与购买支数x之间的关系． (2)甲、乙两地之间的距离为300千米，汽车从甲地出发开往乙地的平均速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系． 【答案】(1)，为的一次函数，是正比例函数 (2)，不是的一次函数，不是正比例函数 【分析】（1）根据总价等于每支比的售价乘以数量可以列出函数关系式，根据一次函数与正比例函数的定义进行判断即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间列出函数关系，进而根据一次函数与正比例函数的定义进行判断即可求解． 【解析】（1）解：，为的一次函数，是正比例函数 （2）解：，不是的一次函数，不是正比例函数 【点睛】本题考查了正比例函数，一次函数的概念，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【典例9】．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系； (2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系； (3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系； (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系． 【答案】(1)，y是x反比例函数，不是一次函数，也不是正比例函数； (2)，y是x的一次函数，也是正比例函数； (3)，y是x的一次函数，不是正比例函数； (4)，y是x的一次函数，不是正比例函数． 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键． （1）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （2）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （3）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． （4）根据题意写出y关于x的函数关系式，并根据一次函数及正比例函数的定义判断即可． 【解析】（1）解：由题意的：， ∴y不是x的一次函数，也不是正比例函数 （2）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，也是正比例函数 （3）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，不是正比例函数 （4）解：由题意的：， ∴y是x的一次函数，不是正比例函数 【典例10】．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【解析】解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 题型3：已知一次函数解析式求k，b 【典例11】．函数中是一次函数的有哪些？并说出k和b的值． (1)y＝x (2)y ＝ (3)y＝52－3 (4)m＝2.5n－0.3 (5)y＝3x＋3（1－x） (6) 【答案】(1)是一次函数，其中k=，b=0 (2)不是一次函数 (3)不是一次函数 (4)是一次函数，其中k=2.5，b=-0.3 (5)不是一次函数 (6)是一次函数，其中k=，b= 【解析】略 【典例12】．函数 是一次函数吗？如果是，请写出 ， 的值；如果不是，试说明理由． 【答案】 是一次函数，详见解析 【分析】根据形如的函数是一次函数，即可求解． 【解析】解：函数 是一次函数，理由： ， 属于一次函数，其中 ，． 【点睛】本题主要考查了一次函数，熟练掌握形如的函数是一次函数是解题的关键． 【典例13】．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？ ，，，，． 【答案】见解析 【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数中为常数，，自变量次数为． 【解析】，是正比例函数，； 是一次函数，，； 不是一次函数，也不是正比例函数； ，是一次函数，，； ，不是正比例函数也不是一次函数． 【点睛】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键． 题型4：根据一次函数的概念求参数 【典例14】．函数是一次函数，则k的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是∶k、b为常数，且，自变量次数为1．根据一次函数定义可得且，即可求解． 【解析】解：由题意得：且， 解得∶， 故选∶D． 【典例15】．已知函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，k、b为常数）的式子，叫做一次函数．正确理解一次函数定义是解答此题的关键． 由一次函数的定义得出且，计算求解即可． 【解析】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：2． 【典例16】．已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如(为常数)的函数为一次函数．根据定义得：且，求出m的值即可． 【解析】解：∵是y关于x的一次函数， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：． 题型5：根据正比例函数、一次函数的概念求参数 【典例17】．当 时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据形如式子为正比例函数，据此列式计算，即可作答． 【解析】解：∵函数是正比例函数 ∴ 解得 故答案为： 【典例18】．已知函数（是常数）是正比例函  数，则的值为 ． 【答案】 【分析】由函数（是常数）是正比例函数，可得，，计算求解的值，然后代入求解即可． 【解析】解：∵函数（是常数）是正比例函数， ∴，，解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数，解一元一次不等式，解一元二次方程，解一元一次方程，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【典例19】．当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1)． (2)，； 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，掌握注意一次项的系数不能为零是解题的关键． （1）根据形如，是常数是一次函数可得； （2）根据形如，是常数，是正比例函数可得 【解析】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． 答∶当时，是一次函数； （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， ∴，时，是正比例函数． 【典例20】．已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【解析】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 题型6：写出满足要求的一次函数解析式 【典例21】．写出一个一次项系数为2的一次函数 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义写出答案即可；掌握一次函数的一般形式（，b为常数）是解题的关键． 【解析】解：根据一次函数的定义，结合题意可得：一次项系数为2的一次函数为（不唯一）． 故答案为：（不唯一）． 【典例22】．若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（为常数，且）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案． 【解析】解：与成正比例，且比例系数是， ， 整理可得：， 与的函数关系式为， 故答案为：． 【典例23】．请写出一个正比例函数，且x=2时，y= －6 ;请写出一个一次函数，且x=－6时，y=2 【答案】 y=﹣3x y=x+8（答案不唯一）. 【分析】可设正比例函数为y=ax，再将x=2，y=－6代入求解即可；设一次函数为y=kx+b，再将x=－6，y=2代入求解即可. 【解析】解：设正比例函数为y=ax， 将x=2，y=－6代入y=ax得， ﹣6=2a，即a=﹣3， 则正比例函数为y=﹣3x； 设一次函数为y=kx+b， 将x=－6，y=2代入y=kx+b得， 2=﹣6k+b， 若k=1，则b=8， 则一次函数为y=x+8（答案不唯一）. 故答案为y=﹣3x；y=x+8（答案不唯一）. 【点睛】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数关系式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 题型7：求一次函数自变量的值或函数值 【典例24】．函数中，与的比例系数是 ，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数中求解即可． 【解析】函数中，与的比例系数是， 当时，， 故答案为：，． 【典例25】．在一次函数中，当时， ：当 时，． 【答案】 【分析】把，分别代入函数解析式中，即可求解． 【解析】把代入得， ； 把代入得，， 解得， 故答案为：-3，-1． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解． 【典例26】．在关系式中，当时，x的值是 ． 【答案】38 【分析】把y的值代入解析式，解一元一次方程即可． 【解析】解：把y=122代入中， 得：122=3x+8， 解得：x=38． 故答案为38． 【点睛】本题考查了一次函数自变量的值，利用已知条件代入式子求解，是比较简单的题目． 【典例27】．在一次函数中，当时，y= ；当x= 时，. 【答案】 7 ， -1 【分析】把，分别代入求得即可． 【解析】 ∴当时，y=7； ∴当时，则 ∴ 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式． 【典例28】．若一次函数，则= ，若=4，则= ． 【答案】 21 【分析】将x=1代入函数求解即可；将x=a，=4代入函数求解即可得到a的值. 【解析】解：； 若=4，则， 解得a=21. 故答案为，21. 【点睛】本题主要考查一次函数，当自变量x取值确定的时候，y有唯一确定的值与之对应. 【典例29】．已知函数关系式，当自变量x增加1时，函数值（    ） A．增加2 B．减少2 C．增加3 D．减少3 【答案】B 【分析】本题中可令x分别等于a，，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 【解析】解：令，则； 令，则， ∵ ∴当自变量x增加1时，函数值减少2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数，解决本题的关键是理解自变量x和因变量之间的关系，确定函数值． 【典例30】．根据图中的程序，当输入x=-3时，输出结果 . 【答案】1 【分析】根据题意可知当x=-3≤1时，应代入函数y=x+4，然后求解即可. 【解析】解：∵x=-3≤1， ∴当x=-3时，y= x+4=﹣3+4=﹣1. 故答案为﹣1. 【点睛】本题主要考查一次函数，解此题的关键在于理解题意，根据自变量的取值范围选择正确的函数进行求解. 题型8：待定系数法求一次函数解析式 【典例31】．根据下表，可以得到y与x之间的一个关系式为 ． x … 0 1 2 … y … 0 3 6 … 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，观察表格发现：y随x的增大而增大，且过，所以该函数为正比例函数，用待定系数法求出函数的解析式即可． 【解析】解：观察表格发现：y随x的增大而增大，且过， 设， ∵当时，， ∴， ∴， 即函数关系式为：． 故答案为：． 【典例32】．下表中，是的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表． －3 －2 －1 0 1 6 4 【答案】，3个空依次填写2，0，－2． 【分析】因为y是x的一次函数，可设y=kx+b，由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4，然后可得到关于k、b的方程组，进而可求出解析式；把x=-1，0，1代入求出相应的y值． 【解析】解：∵y是x的一次函数， ∴设y=kx+b， 又∵由图表可知，x=-3时y=6，x=-2时y=4 ∴ 解得： ∴所求的一次函数的解析式为y=-2x； ∴当x=-1时，y=-2×（-1）=2； 当x=0时，y=-2×0=0； 当x=1时，y=-2×1=-2； ∴一次函数的解析式为y=-2x，三个空依次填写2，0，－2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【典例33】．一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 【答案】（1）；（2）-7；（3）-9. 【分析】（1）用待定系数法即可得到答案； （2）将x=10代入一次函数即可得到答案； （3）将y=12代入一次函数即可得到答案. 【解析】（1）设函数解析式为： 因为图象经过点（1，2）和点（-2，5），代入得 有            解得， 与的函数关系式为： （2）当=10时， （3）当y=12时，x=-9. 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 一、单选题 1．下列函数中，一次函数一共有（　　）个． （1）；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断即可． 【解析】解：（1）y＝+1不是一次函数，不符合题意； （2）y＝kx+b中，当k＝0时不符合题意； （3）y＝3x是一次函数，符合题意； （4）y＝（x+1）2﹣x2=2x+1是一次函数，符合题意； （5）y＝x2﹣2x+1不是一次函数，不符合题意； 综上，一共有2个一次函数， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，准确掌握该定义是解题的关键． 2．当时，函数的值是（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【分析】将代入中即可． 【解析】解：将代入中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数的值，掌握函数值的计算是解题的关键． 3．下列说法正确的是（   ） A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数是一次函数 C．正比例函数不是一次函数 D．一次函数不可能是正比例函数 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义， 正比例函数的定义，根据正比例函数与一次函数的关系，正比例函数是一种特殊的一次函数，可得答案，灵活掌握定义是解题的关键． 【解析】、一次函数不一定是正比例函数，故本选项说法错误； 、正比例函数是一次函数，故本选项说法正确； 、正比例函数是一次函数，故本选项说法错误； 、一次函数就可能是正比例函数，故本选项说法正确.故选D. 故选：． 4．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的定义，对于一次函数，当时，该函数为正比例函数，据此求解即可． 【解析】解：A、该函数是一次函数，也是正比例函数，故该选项不符合题意； B、该函数不是一次函数，也不是正比例函数，故该选项不符合题意； C、该函数是一次函数，不是正比例函数，故该选项符合题意； D、该函数不是一次函数，也不是正比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．若函数是一次函数，则m，n应满足的条件是（     ） A．m≠2且n=0 B．m=2且n=2 C．m≠2且n=2 D．m=2且n=0 【答案】C 【解析】∵函数是一次函数， ∴，解得. 故选C. 6．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值： x -1 0 1 y 1 m -1 则m等于(   ) A．－1 B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】由于一次函数过点（-1，1）、（1，-1），则可利用待定系数法确定一次函数解析式，然后把（0，m）代入解析式即可求出m的值． 【解析】设一次函数解析式为y=kx+b， 把(−1,1)、(1,−1)代入 解得， 所以一次函数解析式为y=−x， 把(0,m)代入得m=0. 故答案为B. 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于运用一次函数图象上点的坐标特征求解m. 7．下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（    ） A．长铁丝折成长为，宽为的长方形 B．斜边长为的直角三角形的直角边和 C．圆的面积与它的半径 D．路程一定时，时间和速度的关系 【答案】A 【分析】分别求出各个选项的函数关系式，即可得到答案． 【解析】解：A、∵长铁丝折成长为，宽为的长方形，∴，满足一次函数关系，符合题意； B、∵斜边长为的直角三角形的直角边和，∴，不满足一次函数的关系，不符合题意； C、圆的面积与它的半径，关系式为，不是一次函数关系，不符合题意； D、路程一定时，时间和速度的关系式为（k表示路程），不是一次函数关系，不符合题意； 故选A 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟知如果x、y满足（，k、b是常数），那么y是x的一次函数是解题的关键． 8．对于一次函数 y kx b （k, b 为常数），下表中给出几组自变量及其对应的函数值， x -1 0 1 3 y 7 5 2 -1 其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．－1 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【分析】经过观察4组自变量和相应的函数值得(-1,7)，(0,5)，(3,1)符合解析式y=-2x+5,而(1,2)不符合解析式，即可判断． 【解析】解：∵观察表中几组自变量及其对应的函数值，可知: (-1,7)，(0,5)，(3,1)符合解析式y=﹣2x+5， 而当x=1时，y=﹣2x+5=3≠2， ∴这个计算有误的函数值是2， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的性质，直线上点的坐标的求法，熟练掌握一次函数性质是解题的关键． 二、填空题 9．下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行判断即可. 【解析】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是二次函数，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤是常值函数，不是一次函数， 故是一次函数的有①④. 故答案为①④. 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10．在函数y=﹣2x﹣5中，k=   ，b=   ． 【答案】 ﹣2 ﹣5 【分析】根据一次函数的一般形式即可得解. 【解析】解：在函数y=﹣2x﹣5中，k=﹣2，b=﹣5. 故答案为﹣2；﹣5. 【点睛】本题主要考查一次函数的系数问题，y=kx+b（k≠0)是一次函数的解析式一般形式，图像是一条直线，斜率是k，截距是b. 11．已知函数y=（k+1）x+k²-1．当k 时， 它是一次函数；当k 时，它是正比例函数． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义可得出的值及取值范围． 【解析】解：函数是一次函数， ，即； 函数是正比例函数，则，， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查对正比例函数和一次函数的概念理解．形如，为正比例函数；，为一次函数． 12．若y＝（m﹣2）是一次函数函数，则其解析式为 ． 【答案】y＝﹣4x+5． 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解析】解：∵y=（m-2）xm2−3+5是一次函数函数， ∴m-2≠0，且m2-3=1， 解得：m=-2， ∴y=-4x+5， 故答案为y=-4x+5． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，关键是根据一次函数的定义得出m的值． 13．把方程3x-2y=1写成y是x的一次函数的形式是 ，当x=-1时，y= ． 【答案】 -2 【分析】根据一次函数的一般形式：形如(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，即可转化． 把x=-1代入转化后的一次函数即可求得y． 【解析】解：（1）由一次函数的一般形式是， 则3 x -2 y =1 移项得：2 y =3 x -1 系数化为1得： （2）将x=-1代入，即可求得y=-2． 故填，-2． 【点睛】本题考查一次函数的一般形式，掌握将二元一次方程转化为一次函数的一般形式． 三、解答题 14．请说出下列函数中k和b的值： (1)y＝60x.　　　   (2)y＝3000－300x. (3)y＝9＋8x.　　　   (4)y＝－3(2＋x)－7. 【答案】(1)k＝60，b＝0(2)k＝－300，b＝3000(3)k＝8，b＝9(4)k＝－3，b＝－13. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）∵， ∴，. 15．已知． （1）满足什么条件时，是一次函数？ （2）满足什么条件时，是正比例函数？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）形如是一次函数，根据一次函数的定义解题； （2）形如是正比例函数，根据正比例函数的定义解题. 【解析】（1）：当时为一次函数， 解得． （2）：当时为正比例函数， 解得． 【点睛】本题考查一次函数、正比例函数的定义，其中涉及绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 16．已知函数y＝3x＋1，当自变量增加3时，相应的函数值增加多少？ 【答案】9 【解析】在中， 当时，①；当时，②； ∵， ∴在中，当自变量增加3时，相应的函数值增加9. 17．已知与的函数解析式是， (1)求当时，函数的值； (2)求当时，函数自变量的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入函数解析式，即可得解； （2）将，代入函数解析式，即可得解． 【解析】（1）解：当时，； （2）解：当时，，解得：． 【点睛】本题考查根据函数解析式求自变量和函数值．熟练掌握当自变量确定时，是自变量的函数值，是解题的关键． 18．已知y＝(k﹣1)xIkI+(k2﹣4)是一次函数． (1)求k的值； (2)求x＝3时，y的值； (3)当y＝0时，x的值． 【答案】(1)k＝﹣1；(2)y＝﹣9；(3)x＝． 【分析】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可； （2）利用（1）中所求，再利用x=3时，求出y的值即可； （3）利用（1）中所求，再利用y=0时，求出x的值即可． 【解析】解：(1)由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0， 解得：k＝﹣1； (2)当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9； (3)当y＝0时，0＝﹣2x﹣3， 解得：x＝． 【点睛】本题考查一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键． 19．如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【解析】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 18 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$