第02讲 一次函数的图像(六类知识点+十五大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第02讲 一次函数的图像（十五大题型） 学习目标 1、 会画一次函数的图像，求与x轴、y轴的交点； 2、 了解一次函数的截距，一次函数的图像经过的象限； 3、 掌握一次函数图像的平移，直线平行等问题； 4、 掌握一次函数与一元一次方程的联系. 1、 画一次函数的图像、一次函数的截距 1. 画一次函数的图像 （1） 列表；（2）描点；（3）连线 注：画一次函数y=kr+b的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线. 2. 一次函数的图像与x轴、y轴的交点 3. 一次函数的截距 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0.b).直线y=kx+b（k≠0)的截距是b. 2、 一次函数的图象平移 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 注：一次函数图像的平移原则（上加下减；*左加右减） 三、一次函数（、为常数，且≠0）的图象： 解析式 （为常数，且） 自变量 取值范围 全体实数 图象 形状 过（0，）和（，0）点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 四、 、对一次函数的图象的影响： 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，直线的截距是. 由于值的不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同，这个常数称为直线的斜率.关于斜率的 确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论。 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 五、两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 六、一次函数与一元一次方程 对于一次函数y=kx+b,由它的函数值y=0就得到关于的一元一次方程kx+b=0,解这个方程得x=，于是可以知道一次函数y=k的图像与x轴的交点坐标为(，0).反之，若已知一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的根.由此可见，关于x的一元一次方程kx+b=0与一次函数y=bx+b之间有密切联系. 【即学即练1】把下面画函数的图象的过程补充完整，并根据图象直接写出函数与x轴、y轴的交点坐标． 解：列表为： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y=2x-3 ⋯ ⋯ 画出的函数图象为： 函数与x轴、y轴的交点坐标分别为__________、__________． 【即学即练2】一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ． 【即学即练3】把直线沿轴向上平移5个单位，则得到的直线的表达式为 ． 【即学即练4】如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【即学即练5】直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 题型1：画一次函数的图像，求一次函数与x轴、y轴的交点 【典例1】．把下面画函数的图象的过程补充完整，并根据图象直接写出函数与x轴、y轴的交点坐标． 解：列表为： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y=2x-3 ⋯ ⋯ 画出的函数图象为： 函数与x轴、y轴的交点坐标分别为__________、__________． 【典例2】．一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ． 【典例3】．一次函数与轴的交点坐标是 ． 题型2：一次函数的截距 【典例4】．一次函数的截距是 ． 【典例5】．一次函数的截距是 ． 【典例6】．直线的截距是 ． 【典例7】．直线在y轴上的截距 ． 题型3：判断一次函数的图像经过的象限 【典例8】．直线不经过第 象限． 【典例9】．直线经过 象限． 【典例10】．函数的图象不经过第 象限． 题型4：一次函数的平移 【典例11】．把直线沿轴向上平移5个单位，则得到的直线的表达式为 ． 【典例12】．如果将直线向下平移2个单位，那么所得直线的表达式是 【典例13】．若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 ． 【典例14】．将直线向右平移2个单位，所得直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【典例15】．在平面直角坐标系中，若将直线向左平移3个单位长度后与y轴的交点在点的上方，则k的值可以为（    ） A． B． C．2 D．1 题型5：一次函数的平行问题 【典例16】．已知直线与直线平行，则k的值等于 ． 【典例17】．若直线与直线平行，在y轴上的截距为5，则一次函数的解析式为 ． 【典例18】．若直线与直线互相平行，则的值为 ． 【典例19】．直线在y轴上的截距为，且平行于：，那么直线的表达式为 ． 【典例20】．已知直线L平行于，且与y轴的交点到原点的距离是3，则直线L的解析式是 ． 题型6：根据一次函数的图像求参数范围 【典例21】．如图，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，则下列结论一定正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例22】．一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 【典例23】．如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【典例24】．直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【典例25】．一次函数的图像不经过第二象限，那么m的取值范围是 ． 【典例26】．已知一次函数，它的图象经过第一、二、四象限，则 ． 题型7：一次函数与坐标轴所围成的面积 【典例27】．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【典例28】．若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ． 【典例29】．一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为24，则 ； *题型8：直线的倾斜程度与k值的关系 【典例30】．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型9：一次函数与一元一次方程 【典例31】．如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【典例32】．如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型10：一次函数与二元一次方程组 【典例33】．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【典例34】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【典例35】．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型11：两个一次函数的图像问题 【典例36】．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【典例37】．如图，若直线经过一、三、四象限，则图象是（    ） A． B． C． D． 【典例38】．直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型12：过定点问题 【典例39】．无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为 ． 【典例40】．已知直线，则无论m取何值，该直线必定经过第 象限． 题型13：根据一次函数图像求参数（多参数）或代数式 【典例41】．如果直线经过第一、三、四象限，那么 0（填）． 【典例42】．如果，，则直线不经过 象限． 【典例43】．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型14：新定义题 【典例44】．已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么 ． 题型15：解答题 【典例45】．已知直线与直线互相平行． （1）求的值 （2）指出哪条直线不经过第二象限． 【典例46】．已知一次函数y=(2m-3)x+m+2． （1）若函数图像过原点，求m的值； （2）若函数图像过点（-1，0），求m的值； （3）若函数图像平行于直线y=-x+2求m的值； （4）若函数图像经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【典例47】．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【典例48】．已知把直线y=kx+b（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位后，得到直线y=﹣2x+5． （1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；                       （2）求直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形的周长． 【典例49】．已知一次函数平行于直线，且与函数有一个交点，求： (1)一次函数的解析式． (2)此一次函数与两坐标轴围成的三角形面积． 【典例50】．已知：如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A．将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且． (1)求点C的坐标； (2)写出所在直线的函数解析式． 【典例51】．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求的面积； (2)求直线l的函数解析式； (3)在直线l上求一点，使． 一、单选题 1．一次函数的图象不经过的象限是（　　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，下列与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 4．将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为（ ） A． B． C． D． 5．直线在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 6．关于一次函数，下列说法正确的是(   ) A．图象与轴交于点 B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为 D．图象经过第一、二、四象限 7．同一平面直角坐标系中，与（，为常数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．下列命题中，正确的是（    ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像是一条线段 D．一次函数的图像一定经过第二、四象限 9．如果，，则直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一次函数在y轴上的截距是 ． 12．函数的图象在轴的截距是 ． 13．若关于自变量x的一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 . 14．若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ． 15．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 16．已知点在直线上，则点关于原点对称点的坐标为 ． 17．我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 . 18．如图在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A，B，在直线上取点P，若为直角三角形（为直角边），则点P的坐标是 ． 三、解答题 19．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： （1）； （2）； （3）． 20．已知一次函数 (1)根据关系式用五点作图法画出函数的图象并求与轴、轴的交点、的坐标． (2)求、两点间的距离． 21．设一次函数，为常数，且，图象过，． (1)求该一次函数的表达式： (2)若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 22．在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线． (1)若这条直线经过点，求的值； (2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴上，且，直线与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)求点A的坐标． (2)求直线的表达式． (3)求的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 25．已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一次函数的图像（十五大题型） 学习目标 1、 会画一次函数的图像，求与x轴、y轴的交点； 2、 了解一次函数的截距，一次函数的图像经过的象限； 3、 掌握一次函数图像的平移，直线平行等问题； 4、 掌握一次函数与一元一次方程的联系. 1、 画一次函数的图像、一次函数的截距 1. 画一次函数的图像 （1） 列表；（2）描点；（3）连线 注：画一次函数y=kr+b的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线. 2. 一次函数的图像与x轴、y轴的交点 3. 一次函数的截距 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0.b).直线y=kx+b（k≠0)的截距是b. 2、 一次函数的图象平移 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 注：一次函数图像的平移原则（上加下减；*左加右减） 三、一次函数（、为常数，且≠0）的图象： 解析式 （为常数，且） 自变量 取值范围 全体实数 图象 形状 过（0，）和（，0）点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 四、 、对一次函数的图象的影响： 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，直线的截距是. 由于值的不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同，这个常数称为直线的斜率.关于斜率的 确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论。 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 五、两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 六、一次函数与一元一次方程 对于一次函数y=kx+b,由它的函数值y=0就得到关于的一元一次方程kx+b=0,解这个方程得x=，于是可以知道一次函数y=k的图像与x轴的交点坐标为(，0).反之，若已知一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的根.由此可见，关于x的一元一次方程kx+b=0与一次函数y=bx+b之间有密切联系. 【即学即练1】把下面画函数的图象的过程补充完整，并根据图象直接写出函数与x轴、y轴的交点坐标． 解：列表为： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y=2x-3 ⋯ ⋯ 画出的函数图象为： 函数与x轴、y轴的交点坐标分别为__________、__________． 【答案】-7，-5，-3，-1，1；（，0）、（0，-3），图见解析 【分析】根据函数解析式完成表格，再描点、连线画出图象，根据图象与坐标轴的交点写出坐标即可． 【解析】解：解：列表为： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y=2x-3 ⋯ -7 -5 -3 -1 1 ⋯ 画出的函数图象为： 对于函数y=2x-3，当x=0时，y=-3，当y=0时，由0=2x-3得x= ∴函数与x轴、y轴的交点坐标分别为（，0）、（0，-3）， 故答案为：-7，-5，-3，-1，1；（，0）、（0，-3）． 【点睛】本题考查描点法画一次函数图象、一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解答的关键． 【即学即练2】一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点，一定满足该函数的关系式．一次函数在y轴上的截距是，当时，所求得的y值即为所求的交点的纵坐标． 【解析】解：， ∴一次函数在y轴上的截距； 当时，， ∴它与y轴的交点坐标是； 故答案为：、． 【即学即练3】把直线沿轴向上平移5个单位，则得到的直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减． 根据上加下减，左加右减的法则可得出答案． 【解析】解：沿y轴向上平移5个单位得到直线：， 即. 故答案是：． 【即学即练4】如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限，即可求解． 【解析】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， 解得：； 故答案为：． 【即学即练5】直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．直线与轴的交点为，与轴的交点是，由题意得，求解即可． 【解析】∵直线与轴的交点为，与轴的交点是，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型1：画一次函数的图像，求一次函数与x轴、y轴的交点 【典例1】．把下面画函数的图象的过程补充完整，并根据图象直接写出函数与x轴、y轴的交点坐标． 解：列表为： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y=2x-3 ⋯ ⋯ 画出的函数图象为： 函数与x轴、y轴的交点坐标分别为__________、__________． 【答案】-7，-5，-3，-1，1；（，0）、（0，-3），图见解析 【分析】根据函数解析式完成表格，再描点、连线画出图象，根据图象与坐标轴的交点写出坐标即可． 【解析】解：解：列表为： x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y=2x-3 ⋯ -7 -5 -3 -1 1 ⋯ 画出的函数图象为： 对于函数y=2x-3，当x=0时，y=-3，当y=0时，由0=2x-3得x= ∴函数与x轴、y轴的交点坐标分别为（，0）、（0，-3）， 故答案为：-7，-5，-3，-1，1；（，0）、（0，-3）． 【点睛】本题考查描点法画一次函数图象、一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解答的关键． 【典例2】．一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点，一定满足该函数的关系式．一次函数在y轴上的截距是，当时，所求得的y值即为所求的交点的纵坐标． 【解析】解：， ∴一次函数在y轴上的截距； 当时，， ∴它与y轴的交点坐标是； 故答案为：、． 【典例3】．一次函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】/ 【分析】令，得，解之即可得到答案． 【解析】解：令，得， 解得：， 一次函数与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，准确进行计算是解题的关键． 题型2：一次函数的截距 【典例4】．一次函数的截距是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数与坐标轴交点的特点是解题的关键． 先令，求出的值；再令，求出的值即可得出结论． 【解析】解：∵令，则； 令，则， ∴一次函数的截距是或． 故答案为：或． 【典例5】．一次函数的截距是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数与坐标轴交点的特点是解题的关键． 先令，求出的值；再令，求出的值即可得出结论． 【解析】解：∵令，则； 令，则， ∴一次函数的截距是1或． 故答案为：1或． 【典例6】．直线的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，关键是明白截距的概念，以及求法． 一次函数的截距就是当时，的取值． 【解析】解：∵， ∴当时，． 故答案为：． 【典例7】．直线在y轴上的截距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质． 当时，求出y的值，即可． 【解析】解：当时，， 则直线在y轴上的截距为， 故答案为：． 题型3：判断一次函数的图像经过的象限 【典例8】．直线不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．据此求解即可． 【解析】解：一次函数的，， 图象过一、二、三象限， 一次函数的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 【典例9】．直线经过 象限． 【答案】第二，三，四 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限． 根据中k与b的符号进行判断． 【解析】∵直线中，， ∴直线的图象一定经过第二和第四象限， ∵， ∴直线的图象与y轴交点在y轴负半轴， ∴直线的图象经过第二，三，四象限． 故答案为：第二，三，四． 【典例10】．函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数中当时，函数的图象经过一、二、三象限是解答此题的关键． 【解析】解：∵一次函数中， ∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四． 题型4：一次函数的平移 【典例11】．把直线沿轴向上平移5个单位，则得到的直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象变换，注意上下移动改变的是y，左右移动改变的是x，规律是上加下减，左加右减． 根据上加下减，左加右减的法则可得出答案． 【解析】解：沿y轴向上平移5个单位得到直线：， 即. 故答案是：． 【典例12】．如果将直线向下平移2个单位，那么所得直线的表达式是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像的平移；对于一次函数图像上下平移，根据上加下减的法则即可求得平移后的函数解析式． 【解析】解：∵直线向下平移2个单位， ∴，即； 故答案为：． 【典例13】．若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为 ． 【答案】 【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式． 【解析】解：设平移后直线的解析式为． 把代入直线解析式得， 解得 ． 所以平移后直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键． 【典例14】．将直线向右平移2个单位，所得直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是对一次函数平移的考查，熟练掌握一次函数平移口诀是解决本题的关键． 根据一次函数平移口诀：上加下减，左加右减，计算即可． 【解析】解：将直线向右平移2个单位，所得的直线的表达式为． 故选：C． 【典例15】．在平面直角坐标系中，若将直线向左平移3个单位长度后与y轴的交点在点的上方，则k的值可以为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，平移规律为“上加下减，左加右减”， 根据一次函数的图象左平移3个单位长度k不变，可得平移后的函数解析式为：，结合交点的意义即可得到k的范围． 【解析】解：∵若将一次函数的图象左平移3个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：，整理可得 ∵函数与y轴的交点在点的上方， ∴ ∴解得：， 结合选项，只有C选项的2符合， 故选：C． 题型5：一次函数的平行问题 【典例16】．已知直线与直线平行，则k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像平行的条件，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据一次函数图像平行的条件：k相同，b不相同，即可得到，求解即可． 【解析】解：由题意得： 解得：， 故答案为：． 【典例17】．若直线与直线平行，在y轴上的截距为5，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，两直线平行，则一次项系数相同，据此可得，一次函数与y轴的截距即为解析式中常数项的值，则，据此可得答案． 【解析】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵直线在y轴上的截距为5， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【典例18】．若直线与直线互相平行，则的值为 ． 【答案】 【分析】由平行可得，解得即可．本题考查了一次函数的性质，两条直线平行问题，两条直线平行一次项系数相等，常数项不等． 【解析】解：直线：与直线互相平行， ， 解得， 故答案为：． 【典例19】．直线在y轴上的截距为，且平行于：，那么直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】根据互相平行的直线的解析式k的值相等确定出k，根据“在y轴上的截距是”求出b值，即可得解． 【解析】解：∵直线平行于直线， ∴． 又∵直线在y轴上的截距是， ∴， ∴这条直线的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 【典例20】．已知直线L平行于，且与y轴的交点到原点的距离是3，则直线L的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题．设所求直线解析式为，根据两直线平行的问题得到，再根据直线与y轴交点到原点的距离为3，得到，于是可确定所求直线解析式． 【解析】解：设所求直线解析式为， ∵直线与平行， ∴， ∵直线与y轴交点到原点的距离为3， ∴或， ∴所求直线解析式为或． 故答案为：或． 题型6：根据一次函数的图像求参数范围 【典例21】．如图，已知一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于点，，则下列结论一定正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．解题的关键在于掌握一次函数图象与系数的关系． 由图可知，，然后对各选项进行判断即可． 【解析】解：由图象可知，一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴， 故选：C． 【典例22】．一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】已知中，一次函数的图象不经过第二象限，可判断即，且，解之可得k的取值范围． 【解析】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题是对一次函数的图象与系数的关系，解不等式组解．熟练掌握根据一次函数图象经过的象限得出不等式组是解题的关键． 【典例23】．如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限，即可求解． 【解析】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， 解得：； 故答案为：． 【典例24】．直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得，解此不等式组，即可求解；掌握“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【解析】解： ， 不经过第一象限， ， 解得：， 故答案：． 【典例25】．一次函数的图像不经过第二象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图像和性质：①当，若，则图像经过一、二、三象限；若，则图像经过一、三、四象限．根据一次函数的图像不经过第二象限，得到，解不等式求解即可． 【解析】解：一次函数的图像不经过第二象限， ， ， 故答案为：． 【典例26】．已知一次函数，它的图象经过第一、二、四象限，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义、一次函数的图象，根据一次函数的定义可得，即，再根据图象经过第一、二、四象限即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【解析】解：依题意得：，即：， 又它的图象经过第一、二、四象限， ， 故答案为：． 题型7：一次函数与坐标轴所围成的面积 【典例27】．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．直线与轴的交点为，与轴的交点是，由题意得，求解即可． 【解析】∵直线与轴的交点为，与轴的交点是，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：． 故答案为：． 【典例28】．若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积问题，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，再根据围成的图形面积为6得到，据此求解即可． 【解析】解：在中，当时，，但时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标分别为， ∵直线与坐标轴围成的三角形面积为6， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例29】．一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为24，则 ； 【答案】12 【分析】根据题意确定与x轴与y轴的交点，利用三角形的面积公式求出m的值． 【解析】解：令，则， ∴直线与x轴的交点坐标是， 令，则， ∴直线与y轴的交点坐标是， 根据三角形的面积是24，得到 即 解得：， ∵， ∴， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标的交点及三角形的面积，求出函数与x轴和y轴的交点是解题的关键． *题型8：直线的倾斜程度与k值的关系 【典例30】．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和正比例函数的图象与性质可得． 【解析】解：∵，经过第一、三象限，且更靠近y轴， ∴， 由∵ ，从左往右呈下降趋势， ∴， 又∵更靠近y轴， ∴， ∴ 故答案为：B． 【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟记一次函数及正比例函数的图象与性质． 题型9：一次函数与一元一次方程 【典例31】．如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【解析】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 【典例32】．如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【解析】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 题型10：一次函数与二元一次方程组 【典例33】．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的综合，理解图示，掌握两直线交点的含义是解题的关键． 把代入直线得交点坐标为，根据两直线的交点即为直线组成的方程组的解即可求解． 【解析】解：把代入直线得，， ∴直线与交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为： ． 【典例34】．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将点点代入得出，即可求解． 【解析】解：∵直线与直线交于点， 当时， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故选：A． 【典例35】．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【解析】解：关于，的方程组， 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：A． 题型11：两个一次函数的图像问题 【典例36】．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【解析】解：A、由函数的图象可得即，故函数的图象与y轴的交点应该是正半轴，故A选项错误，不符合题意； B、由函数的图象可得其系数大于0，与矛盾，故B选项错误，不符合题意； C、由函数的图象可得即，故函数的图象与y轴的交点应该是负半轴，故C选项错误，不符合题意； D、由函数的图象可得即，故函数的图象与y轴的交点应该是负半轴与图象一致，函数的图象可得其系数小于0，与一致，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【典例37】．如图，若直线经过一、三、四象限，则图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，正确掌握图象分布与的关系是解题的关键．根据直线经过一、三、四象限，判定，，从而判定，即图象经过一、二、三象限，再选择即可． 【解析】解：∵直线经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴直线的图象经过一、二、三象限， 故选：C． 【典例38】．直线和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】解：A、由图象可得，在中，，，故，故，，故直线经过一、三、四象限，不符合题意； B、由图象可得，在中，，，故，故，故直线经过一、二、四象限，符合题意； C、由图象可得，在中，，，故，故，，故直线经过二、三、四象限，不符合题意； D、由图象可得，在中，，，故，故，故直线经过二、三、四象限，不符合题意； 故选：B． 题型12：过定点问题 【典例39】．无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为 ． 【答案】（﹣1，﹣2）． 【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可． 【解析】由一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3变形为m（x+1）﹣x﹣y﹣3=0， 令， 解得， 故一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2） 【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用m的两个不同值来确定交点坐标． 【典例40】．已知直线，则无论m取何值，该直线必定经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．判断点所位于的象限，令m的系数等于0求出x的值，再求出y的对应值即可求出直线过定点，即可判断直线一定经过的象限． 【解析】解：直线，可化为：， 当时，， 即直线过定点， 位于第一象限， 则该直线一定经过第一象限， 故答案为：一． 题型13：根据一次函数图像求参数（多参数）或代数式 【典例41】．如果直线经过第一、三、四象限，那么 0（填）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，得到，进而得到，即可． 【解析】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 【典例42】．如果，，则直线不经过 象限． 【答案】第二 【分析】由，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系易得直线经过第一、三、四象限． 【解析】解：，， ， ，， ，， 直线经过第一、三、四象限． 故答案为：第二． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 【典例43】．关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 【解析】解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 题型14：新定义题 【典例44】．已知直线与直线，如果满足，，那么直线与直线称为“互为交换直线”如果直线与其交换直线分别与轴交于点、，且，那么 ． 【答案】或 【分析】根据新定义得出的交换直线为，得出，，根据，即可求解． 【解析】解：依题意，的交换直线为， 中，当时，，则， 中，当时，，则， ∵， ∴或 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，理解新定义是解题的关键． 题型15：解答题 【典例45】．已知直线与直线互相平行． （1）求的值 （2）指出哪条直线不经过第二象限． 【答案】（1）m=-1；（2）直线不经过第二象限． 【分析】（1）根据两直线平行可得，利用一元二次方程的解法即可求出m的值； （2）根据图象不经过第二象限，则k＞0，b＜0即可判断． 【解析】解：（1）由题意可得：， 解得：或m=-1， ∵当m=3时，两直线都为，即两直线重合，不符合题意， ∴m=-1； （2）当m=-1时，两直线分别为：与， ∵直线经过第一、三、四象限，直线经过第一、二、三象限， ∴直线不经过第二象限． 【点睛】本题考查了两直线平行以及直线经过的象限，解题的关键是熟知两直线平行，则比例系数相等． 【典例46】．已知一次函数y=(2m-3)x+m+2． （1）若函数图像过原点，求m的值； （2）若函数图像过点（-1，0），求m的值； （3）若函数图像平行于直线y=-x+2求m的值； （4）若函数图像经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】（1）m＝－2；（2）m＝5；（3）m＝1；（4） 【分析】（1）把（0，0）代入一次函数解析式求出m的值即可； （2）把（－1，0）代入一次函数解析式求出m的值即可； （3）根据两直线平行的性质得到2m－3＝－1，进而求出m的值； （4）根据一次函数的性质列出关于m的不等式即可求出m的取值范围． 【解析】解：（1）代入（0，0）得：0=m+2， 解得：m＝－2； （2）代入（－1，0）得：0=(2m-3)×(－1)+m+2， 解得：m＝5； （3）∵函数图像平行于直线y=-x+2， ∴2m－3＝－1， 解得：m＝1； （4）∵函数图像经过第一、二、四象限， ∴2m－3＜0，m+2＞0， 解得：． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【典例47】．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【解析】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 【典例48】．已知把直线y=kx+b（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位后，得到直线y=﹣2x+5． （1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；                       （2）求直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】（1）y=−2x+2；（2）3+ 【分析】（1）根据题意求出平移后解析式； （2）根据解析式进而得出图象与坐标轴交点，再利用勾股定理得出斜边长，进而得出答案． 【解析】(1)直线y=kx+b(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位后，得到直线y=−2x+5， 可得：直线y=kx+b的解析式为：y=−2x+5−3=−2x+2； (2)在直线y=−2x+2中，当x=0，则y=2，当y=0，则x=1， ∴斜边=， ∴直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长为：2+1+ =3+． 【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质. 【典例49】．已知一次函数平行于直线，且与函数有一个交点，求： (1)一次函数的解析式． (2)此一次函数与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与坐标轴围成的图形面积． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：∵一次函数平行于直线， ∴， 把代入得：， ∴， ∵一次函数与函数有一个交点， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：令，则，解得：， 令，则， ∴一函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， ． 【典例50】．已知：如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A．将这条直线平移后与x轴、y轴分别交于点C和点D，且． (1)求点C的坐标； (2)写出所在直线的函数解析式． 【答案】(1)(8,0)或(-2,0) (2)或． 【分析】（1）根据题意作图，然后利用勾股定理求出AB长，则可得出BC长，然后分C在B点左边或右边两种情况解答即可； （2）设直线CD的解析式为，利用（1）的结果，利用待定系数法分别求解析式即可． 【解析】（1）解：如图， ∵， ∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=3， ∴A(0,4)，B(3,0)， ∴ ， ∴BC=5， ∴C点坐标为(3+5,0)或(3-5,0)， 即(8,0)或(-2,0)； （2）设直线CD的解析式为， 由（1）得，当C点坐标为(8,0)时， ， 解得 ， 当C点坐标为(-2,0)时， ， 解得 ， ∴直线CD的解析式为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象的几何变换，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据题意作图，然后利用勾股定理求出AB长． 【典例51】．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求的面积； (2)求直线l的函数解析式； (3)在直线l上求一点，使． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3），分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据图形面积之间的关系求出，进而求出点P的纵坐标，最后求出点P的坐标即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设直线l解析式为， 把，代入中得：， ∴， ∴直线l解析式为； （3）解：如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 一、单选题 1．一次函数的图象不经过的象限是（　　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的解析式和性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，进而得到答案． 【解析】解：∵，k=-1＜0，b=-7＜0， ∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 2．已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 由一次函数图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：若函数图象经过原点，则时，， 即， ． 故选：． 3．在平面直角坐标系中，下列与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数关系式y=kx+b的图像是一直线，只要k相同b不等，两直线平行即可判定． 【解析】两直线平行，则两直线一次项系数相等， 则与平行的直线是． 故选：C． 【点睛】本题考查两个一次函数的图像平行问题，掌握一次函数的平行的性质，会用一次函数的平行的性质识别函数的解析式是解题关键． 4．将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解析】解：将直线y=3x向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线的平移，属于基本题型，熟练掌握一次函数的平移规律是解题关键． 5．直线在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据一次函数经过的图象即可判断； 【解析】解：根据图象可得经过第一、二、四象限， 故， 只有B符合题意， 故选：B． 6．关于一次函数，下列说法正确的是(   ) A．图象与轴交于点 B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C．图象与坐标轴围成的三角形面积为 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【解析】解：一次函数，， 当时，，当时， A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意； C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意； D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意； 7．同一平面直角坐标系中，与（，为常数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看一条直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案． 【解析】解：A、一条直线反映，一条直线反应，不一致，故本选项不符合题意； B、一条直线反映，一条直线反映，一致，故本选项符合题意； C、一条直线反映，一条直线反映，不一致，故本选项不符合题意； D、一条直线反映，一条直线反映，不一致，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握在中，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴． 8．下列命题中，正确的是（    ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像是一条线段 D．一次函数的图像一定经过第二、四象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象和性质判断即可． 【解析】解：A、一次函数，可化为，在y轴上的截距是，本选项说法错误，不符合题意； B、一次函数的图象与x轴交于点，本选项说法错误，不符合题意； C、一次函数的图象是一条线段，本选项说法正确，符合题意； D、一次函数，可化为, 当时，， 它的图象经过第一、三象限，本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 9．如果，，则直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据，，可以，且同号，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决． 【解析】解：∵，， ∴异号，异号， ∴，且同号， ∴， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选B 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 10．已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出与x，y轴的交点坐标，代入即可． 【解析】解：对于， 当时，， 当时，， ∴直线与x，y轴的交点坐标分别为，； ∵两直线与相交于第四象限， ∴把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键． 二、填空题 11．一次函数在y轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数在y轴上的截距．熟练掌握一条直线与y轴的交点的纵坐标为这条直线在y轴上的截距是解题的关键． 根据截距的定义，计算求解即可． 【解析】解：当时，， ∴一次函数在y轴上的截距为， 故答案为：． 12．函数的图象在轴的截距是 ． 【答案】 【分析】代入求出值，此题得解． 【解析】解：当时，， 一次函数的图象在轴上的截距是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记代入求出的值即可求出该函数图象在轴上的截距，是解题的关键． 13．若关于自变量x的一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系得出关于m的不等式组，解不等式组可得答案． 【解析】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系：①当，时，函数图象经过一、二、三象限；当，时，函数图象经过一、三、四象限；当，时，函数图象经过一、二、四象限；当，时，函数图象经过二、三、四象限．也考查了一元一次不等式组的解法． 14．若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积问题，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，再根据围成的图形面积为6得到，据此求解即可． 【解析】解：在中，当时，，但时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标分别为， ∵直线与坐标轴围成的三角形面积为6， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【解析】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 16．已知点在直线上，则点关于原点对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先由点在直线上求出m的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可． 【解析】解：∵点在直线上， ∴2m=m+3， ∴m=3， ∴点A坐标是（3，6）， ∴点（3，6）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣6）． 故答案为：（﹣3，﹣6）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 17．我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 . 【答案】 【分析】先将y=（k-2）x+3k化为：y=（x+3）k-2x，可得当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，即可得到直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）． 【解析】根据题意，y=（k-2）x+3k可化为：y=（x+3）k-2x， ∴当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6， ∴直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）， 故答案为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． 18．如图在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点A，B，在直线上取点P，若为直角三角形（为直角边），则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决问题的关键． 作出图形，分别以A、B为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【解析】解：对于函数，令，则，令，则， ∴，， ∵点P在一次函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∴， ， ， ①当点B是直角顶点，即时， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当点A是直角顶点，即时， ∵在中，， ∴， 解得： ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题 19．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： （1）； （2）； （3）． 【答案】图见解析 【分析】利用两点确定一条直线，通过描点法画出直线y＝4x−1，直线y＝4x＋1和直线y＝−4x−1， 【解析】解：列表如下； x 0 1 -1 3 1 5 -1 -5 画出函数的图象如图： 【点睛】此题考查了一次函数的图象的画法及一次函数的性质，利用两点画图是解题的关键． 20．已知一次函数 (1)根据关系式用五点作图法画出函数的图象并求与轴、轴的交点、的坐标． (2)求、两点间的距离． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查画一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点问题： （1）列表，描点，连线，画出函数图象即可； （2）利用勾股定理求出的长即可． 【解析】（1）解：列表如下： 0 1 2 2 0 描点，连线，画出函数图象如图： 由图可知：； （2）由（1）可知：， ∴． 21．设一次函数，为常数，且，图象过，． (1)求该一次函数的表达式： (2)若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可； （2）把点代入一次函数的解析式中，可得到，代入即可得到答案． 【解析】（1）解：把，分别代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）点在该一次函数图象上， ， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，凡是图象经过的点都能满足一次函数关系式． 22．在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线． (1)若这条直线经过点，求的值； (2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)三角形的面积为 【分析】（1）根据直线平行，可得，把点代入可求解解析式，再把代入即可求解； （2）图形结合，作轴，根据直线与坐标轴的交点算出点的坐标，再根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【解析】（1）解：∵直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴， ∴直线解析式为：， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴的坐标为． （2）解：如图所示，作轴，    ∵， ∴， ∵点是与轴的交点，令，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握待定系数法求解析式，图像与坐标轴交点的计算方法，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴上，且，直线与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)求点A的坐标． (2)求直线的表达式． (3)求的面积． 【答案】(1)A点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）先作辅助线，再利用等边三角形中三线合一，求出，的长，即可求出点A的坐标； （2）利用待定系数法即可求出直线的表达式； （3）利用坐标求出的长，代入面积公式即可． 【解析】（1）如图，过点A作轴，垂足为点E， ∵在等边中，，且， ∴，且点E平分，即， ∴E点坐标为． 在中，，， ∴， ∴A点坐标为； （2）设直线的表达式为，且经过点A、D， ∵，， ∴代入AC表达式得：解得， ∴直线AC的表达式为； （3）∵直线与x轴交于点C， ∴令，即，解得， ∴C点坐标为，又∵， ∴B点坐标为，∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，待定系数法，坐标与图形，正确理解坐标与图形的关系是关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键． （1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标； （2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． 【解析】（1）解：把代入直线l： 得：， 点， A与点B关于y轴对称， 点 B 的坐标为； （2）由，可知 ， 如图，设与y轴的交点为D，得． ， ， ， ， 直线是由直线l平移得到， 可设直线的函数表达式为， ①当点C在上方时，点C的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为； ②当点C在下方时，点的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为． 综上，平移后的直线的函数表达式为：或． 25．已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等． (1)求点A和的坐标； (2)求点的坐标； (3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，求得；令，求得，即可得出点A、B坐标； （2）过点P作于C，设，则，，根据，得，求出值即可求解． （3）设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F，根据题意可求得，，再利用等积法求，，则，由点Q在第四象限，即可写出点Q坐标． 【解析】（1）解：令，则， 解得：， ∴， 令，则， ∴． （2）解：如图，过点P作于C， ∵点P在直线上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）解：如图，设直线与相交于D，过点C作于E，过点Q作轴于F， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴交点问题，直线与坐标轴围成的三角形面积问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，三角形的面积．熟练掌握利用等积法求高是解题的关键． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$