专题03 基本不等式及其广泛应用实践（12大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题03 基本不等式及其广泛应用实践 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一：直接法求最值 题型二：常规凑配法求最值 题型三：化为单变量法 题型四：换元求最值 题型五：“1”的代换求最值 题型六：利用基本不等式证明不等式 题型七：利用基本不等式解决实际问题 题型八：与 a+b、平方和、ab有关问题的最值 题型九：多次运用基本不等式 题型十：多元均值不等式 题型十一：万能K法 题型十二：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 直接法求最值 1．（2024·高一·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】，，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故选：C 2．（2024·高一·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据基本不等式，解得 当且仅当时等号成立， 故选：A. 3．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍）， ∴，当且仅当时取等号， ∴. 故选：C. 4．（2024·高一·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，得到，即， 当且仅当且，即时取等号，所以， 故选：C. 5．（2024·高一·安徽·阶段练习）设，，且，则xy的最大值是（   ） A． B． C． D．100 【答案】A 【解析】因为x，，所以， 即，所以，当且仅当且，即，时等号成立. 故选：A 6．（2024·高一·湖南株洲·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，且，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C 常规凑配法求最值 1．（2024·高一·湖南怀化·期中）若，则的最小值是 . 【答案】5 【解析】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值5. 故答案为：5． 2．（2024·高一·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 3．（2024·高一·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为 ，取得最大值时的的值为 . 【答案】 【解析】， 因为，故， 故， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：；. 4．（2024·高一·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 5．（2024·高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 6．（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 化为单变量法 1．（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 【答案】 【解析】由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab， 所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+， 当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 3．若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【解析】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 4．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4， 故答案为：4 5．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 6．已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 换元求最值 1．（2024·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意可得：，即， 设， 则：，， ， ，， 解得或， 又， ，化简得， ①当时，不等式不成立； ②当时，，即， ，又恒成立，可得， 的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·高三·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】根据题意，由可得， 即 所以； 又因为均是正数，令，则 所以， 令， 则 当且仅当，即时，等号成立； 所以 所以的最小值为; 即当时，即时，等号成立. 故答案为： 3．（2024·高三·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 4．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 5．（2024·高一·上海金山·期中）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知，， ， 则， 令，即 ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为 故答案为：3 6．（2024·高一·浙江台州·阶段练习）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令，可得，则，进而可得，然后求出最大值即可.令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 7．（2024·高一·广东汕头·阶段练习）的最大值为 . 【答案】 【解析】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 8．（2024·高一·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【解析】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 “1”的代换求最值 1．（2024·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8 2．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】20 【解析】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：20. 3．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 故 ， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 4．（2024·高一·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 5．（2024·高一·河南漯河·期中）已知实数，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（2024·高一·江西·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为，所以， 当且仅当，即，又因为， 所以当，时，取得最小值. 故答案为：. 利用基本不等式证明不等式 1．（2024·高一·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【解析】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 2．（2024·高一·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 【解析】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 3．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【解析】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 4．（2024·高一·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【解析】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 5．（2024·高一·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 6．（2024·高一·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【解析】（1）（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； （3）， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 利用基本不等式解决实际问题 1．（2024·高一·安徽六安·期中）在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）． (1)求成本函数的边际函数的最大值； (2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值． 【解析】（1）由，， 可得，， 在时单调递增， 故当时， （2）由, 故． 记，则该函数在上递减，在上递增，且， 于是当时，得最小值. 由，解得或，（千万元） 2．（2024·高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 3．（2024·高一·云南大理·期中）某工厂生产某种医疗器械零件的固定成本为元，每生产一个零件需增加投入元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润） (2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）； 当时，， 当时，， ． （2）当时，， 此时． 当时，由对勾函数知在上单调递减， 此时． 综上，当产量为200个时，零件的利润最大，最大利润为12795元． 4．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. (1)求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； (2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，，即， 当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 因为，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 5．（2024·高一·浙江·阶段练习）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 【解析】（1）因为，令， 得，不合题意舍去，另一个根为， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以炮的最大射程为千米； （2）飞行物的横坐标不超过千米时，炮弹可以击中它，理由如下： 因为飞行物的横坐标，即， 所以，即， 因为炮弹可以击中，所以关于的方程有正根， 所以，所以， 此时， 所以飞行物的横坐标不超过千米，炮弹可以击中它. 6．（2024·高一·江苏徐州·期中）某企业生产某款网红玩具，该企业每售出x（单位：千件）此款玩具的销售额为（单位：千元），，且生产成本总投入为（单位：千元）.经市场调研分析，该款玩具投放市场后可以全部销售完. (1)求该企业生产销售该款玩具的利润y（千元）关于产量x（千件）的函数关系式? (2)当产量为多少千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大? 【解析】（1）由题意，当时，， 当时，， 综上：， （2）当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以， ， 当且仅当即时，等号成立， 综上当时，y取最大值120， 所以当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大. 与 a+b、平方和、ab有关问题的最值 1．（多选题）（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，依题意，，，且， 所以，当且仅当时等号成立.A选项正确. B选项，由A选项分析可知， 所以， 当且仅当时等号成立.B选项正确. C选项，， 当且仅当时等号成立.C选项错误. D选项，， 当且仅当时等号成立.D选项正确. 故选：ABD 2．（多选题）（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）设正实数，满足，则（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故A错误； 对于B，，则， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 3．（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）若a，，且，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 【答案】ABC 【解析】实数，且满足， 选项A：（当且仅当时等号成立）. 则有最大值，A正确； 选项B：， 当且仅当时等号成立， 则有最小值4，B正确； 选项C：， 当且仅当时等号成立， 所以有最小值，C正确； 选项D：由， 当且仅当时等号成立， 所以，即有最大值，D错误. 故选：ABC. 4．（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】∵，∴，， ∴，即，∴，A选项正确， ∵，，且，∴，即，C选项正确， ∴， ∴，B选项错误， ，D选项正确. 故选：ACD. 5．（多选题）（2024·高一·辽宁丹东·期中）若实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】AD 【解析】因为，所以，所以， 当，此时，当，此时或， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 因为，所以，所以， 当时，，当时，， 所以的最大值为，最小值为，故C错误，D正确； 故选：AD. 6．（多选题）（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）设正实数a，b满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 【答案】CD 【解析】对于A，∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为，故A错误； 对于B，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，故B错误； 对于C，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为2，故C正确； 对于D，∵，，且， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为8，故D正确. 故选：CD. 多次运用基本不等式 1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】64 【解析】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 2．已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：C. 3．（2024·天津·一模）已知，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 4．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 多元均值不等式 1．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）是不同时为0的实数，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】, ， 当且仅当时取等号，所以 的最大值为． 故答案为：． 2．（2024·高一·福建宁德·阶段练习）已知，若，则的最大值为 . 【答案】4 【解析】根据题意可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4. 3．（2024·高一·广西桂林·期中）已知均为实数且，令函数，若对恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因为且， 所以开口不可能向下，所以， 因为恒成立，所以，所以， 则，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故答案为：. 4．（2024·高一·浙江宁波·开学考试）已知二次函数恒非负，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由于二次函数恒非负，所以，所以， 且，则，则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 5．（2024·高一·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为：. 6．（2024·高一·天津·阶段练习）正实数满足，当取得最大值时，求最大值 ． 【答案】1 【解析】正实数满足， 可得， ， 由，当且仅当时等号成立， 则时，取到最大值，且， ， 当时，取到最大值为1. 故答案为：1. 7．（2024·高一·全国·课后作业）若，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 即，又， 当且仅当时等号成立，故，解得，即． 故答案为： 万能K法 1．（2024·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意可得：，即， 设， 则：，， ， ，， 解得或， 又， ，化简得， ①当时，不等式不成立； ②当时，，即， ，又恒成立，可得， 的取值范围为. 故答案为：. 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 3．若正数，，满足，则的最大值是 . 【答案】 【解析】把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件. 故答案为： 4．已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【解析】对于C，由， 整理得，，可以看作关于的一元二次方程， 所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式， 所以，解得， 当时，，， 所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由， 即， 即， 令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 所以 即，即， 所以， 即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确； 由，即， 所以，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 对于A，取，，， 则， 而， 又， 而， 所以，故A错误. 故选：A. 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 1．（2024·高一·天津滨海新·期中）已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，， 当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8， 由于题设不等式恒成立，则，即， 所以. 故答案为： 2．（2024·高一·重庆·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为， 令，则， 可得， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 若，则； 若，则； 综上所述：，当且仅当时，等号成立， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（2024·高一·山东·期中）已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，所以， 故答案为：. 4．（2024·高一·重庆·阶段练习）存在正数，使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】 【解析】， 则， 当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 故答案为：. 5．（2024·高一·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 6．（2024·高一·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 7．（2024·高二·江西南昌·期末）已知，，使得成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得. 由题意可得，使得成立， 即，使得成立. 记，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，故. 故答案为： 1．（辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一上学期12月阶段测试数学试题）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 2．已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 3．若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【解析】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以的最小值为25， 故选：D 4．若，，且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．4 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，，所以，同理， 又， 因为，，， 由基本不等式就可得， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5．已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得，则， 结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 6．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解析】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 8．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．10 【答案】A 【解析】因为正数，满足， 由 当且仅当时，即，时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A. 9．（多选题）已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，取,，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，得，即， 则 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 10．（多选题）下列结论中，错误的结论有（    ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为2 D．若，且，那么的最小值为 【答案】BC 【解析】对于A：，显然时取到最大值，故A正确； 对于B：由，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C：， 当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，故C错误； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BC. 11．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 【答案】 【解析】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为， 所以，矩形广告的总面积为 ， 当且仅当时，即当时，取最小值. 故答案为：. 12．已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若正数满足，求的最小值. 【解析】（1）幂函数在上单调递减. ，解得， . （2），正数满足， ， 都是正数， ， 当且仅当时，即时取等号， 的最小值为24. 13．已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】（1）因为、、、为正实数， 所以，，当且仅当，时等号成立， 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为， 则，，其中，即， 由基本不等式得 ， 当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是. 因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15m，与之相邻的边的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【解析】（1）幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； （2）∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 15．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：， 当且仅当，即时，等号成立， 恒成立，. 解法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 恒成立， . 故选：D 1．已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】B 【解析】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：B. 2．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2. 故选：A. 3．已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，均为正实数，，均为正实数，且， 则， 整理得：，因为，， 所以， 即，当且仅当时，即时，等号成立. 故选：C 4．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由“隐对称点”的定义可知， 函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与图象关于原点对称， 设，则，即 ， 所以， 故函数的图象与的图象有3个交点， 如图①所示，， 当时，，即有两个交点，如图②所示， 且，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，即有一个交点， 因为函数在单调递增，即, 综上所示，. 故选：B. 5．已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】C 【解析】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C 6．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，得， 从而由复合函数单调性可知在上单调递增， 又， 所以是定义在上的奇函数， 所以不等式等价于， 即等价于，亦即， 该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值. 因为由对勾函数和复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的最小值为 所以，等号成立当且仅当.所以有最大值 故选：D. 7．（多选题）关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 对于A，因为实数，满足，且， 即与的图象有两个交点，由图可知，故A正确； 对于B，因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，即，则， 所以，即，因为，所以，故B正确； 对于C，当时，则，即，又，即， 所以，即， 又，所以，所以， 则， 又， 所以， 所以，即，故C错误； 对于D，由C选项知， 所以当时，所以，所以， 所以，即，故D正确. 故选：ABD. 8．已知关于的方程和的根分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，， 因为，作函数，，的图象如图所示， 点为函数与的图象交点， 则，，且， 同理，点为函数与的图象交点， 则，，且. 又因为函数与的图象关于直线对称， 且函数的图象也关于直线对称， 所以点与点关于直线对称，即直线与垂直， 因为直线斜率为，所以直线斜率为， 所以，即，则． 又因为，，则， 当且仅当时等号成立，即的最小值为． 故答案为： 9．已知，若，则的最小值 ； 【答案】 【解析】由，又，且， 所以，则，即， 所以， 综上，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 10．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设函数，的值域为A，函数，的值域为B， 因为对任意的，都存在唯一的，满足， 则，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个. 当时，，因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，， ①当时，，，此时， ，解得， ②当时，， 此时在上是减函数，取值范围是， 在上是增函数，取值范围是， ，解得，综合得. 故答案为：. 11．已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 由，得， 则，则， 又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 12．已知函数的图象过点，且满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求； (3)若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 【解析】（1）根据的图象过点，且 可得，故， 故. （2）的对称轴为， 当时，在单调递增，故， 当时，即，在单调递减， 故， 当时，即，故， 综上可得. （3）根据题意可得， 故有两个不相等的正实数根， 故，解得， 由于， 故， 由于，则， 故，当且仅当时取等号， 故，故最小值为6 13．若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明：函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数没有“飘移点”.理由如下： 对于，则，整理得， ，则该方程无解， 函数没有“飘移点”. （2）函数在上有“飘移点”，理由如下： 在上有“飘移点”， 因此有， 即成立，化简，即成立， 记，则在上连续不断，且， 在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3）对于，则， 即， ，则， 令，则， ， 又，当且仅当，即时等号成立， 则， ，即， 故实数的取值范围为. 14．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【解析】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 15．已知函数． (1)若方程在上有解，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若，求函数在区间上的最大值． 【解析】（1）在上有解， 即在上有解， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围是． （2）因为， 所以即， 即， ①当，即或时，的解集为； ②当，即或时，的解集为； ③当，即或时，的解集为． 综上可得，或时原不等式的解集为 或时原不等式的解集为 或时原不等式的解集为． （3）由题意知，当时，， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 且，令，解得或， 所以当时，， 当时，， 综上:. 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 2．（多选题）（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 3．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））若直线过点，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】因为直线过点，所以， 因为 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8 故答案为：8 5．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 6．（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 7．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，，，则的最小值为 . 【答案】. 【解析】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 8．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 ， 当且仅当，即时成立， 故所求的最小值为． 9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【解析】（1）［方法一］【最优解】：通性通法 ， . 均不为，则，． ［方法二］：消元法 由得，则，当且仅当时取等号， 又，所以． ［方法三］：放缩法 方式1：由题意知，又，故结论得证． 方式2：因为， 所以 ． 即，当且仅当时取等号， 又，所以． ［方法四］： 因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数， 不妨设则. ［方法五］：利用函数的性质 方式1：，令， 二次函数对应的图像开口向下，又，所以， 判别式，无根， 所以，即． 方式2：设， 则有a，b，c三个零点，若， 则为R上的增函数，不可能有三个零点， 所以． （2）［方法一］【最优解】：通性通法 不妨设，因为，所以， 则．故原不等式成立． ［方法二］： 不妨设，因为，所以，且 则关于x的方程有两根，其判别式，即． 故原不等式成立． ［方法三］： 不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立． ［方法四］：反证法 假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证． 【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出． （2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式及其广泛应用实践 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一：直接法求最值 题型二：常规凑配法求最值 题型三：化为单变量法 题型四：换元求最值 题型五：“1”的代换求最值 题型六：利用基本不等式证明不等式 题型七：利用基本不等式解决实际问题 题型八：与 a+b、平方和、ab有关问题的最值 题型九：多次运用基本不等式 题型十：多元均值不等式 题型十一：万能K法 题型十二：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 直接法求最值 1．（2024·高一·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·高一·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2024·高一·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·安徽·阶段练习）设，，且，则xy的最大值是（   ） A． B． C． D．100 6．（2024·高一·湖南株洲·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 常规凑配法求最值 1．（2024·高一·湖南怀化·期中）若，则的最小值是 . 2．（2024·高一·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 3．（2024·高一·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为 ，取得最大值时的的值为 . 4．（2024·高一·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 5．（2024·高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 6．（2024·高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 化为单变量法 1．（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）若正实数，满足，则的最大值为 ． 3．若正实数满足，则的最小值是 . 4．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ． 5．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 6．已知实数满足，则的最小值是 ． 换元求最值 1．（2024·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 2．（2024·高三·天津和平·阶段练习）已知正数满足，则的最小值是 ． 3．（2024·高三·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 4．（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 5．（2024·高一·上海金山·期中）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 6．（2024·高一·浙江台州·阶段练习）若实数满足，则的最大值为 . 7．（2024·高一·广东汕头·阶段练习）的最大值为 . 8．（2024·高一·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . “1”的代换求最值 1．（2024·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 2．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 3．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 4．（2024·高一·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 5．（2024·高一·河南漯河·期中）已知实数，，则的最小值为 . 6．（2024·高一·江西·阶段练习）已知，则的最小值为 . 利用基本不等式证明不等式 1．（2024·高一·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 2．（2024·高一·全国·课后作业）已知，都是正数，求证：. 3．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 4．（2024·高一·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 5．（2024·高一·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 6．（2024·高一·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 利用基本不等式解决实际问题 1．（2024·高一·安徽六安·期中）在经济学中，函数的边际函数.某公司每月最多生产台光刻机的某种设备，生产台时()这种设备的收入函数为（单位：千万元），其成本函数为（单位:千万元）． (1)求成本函数的边际函数的最大值； (2)求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值． 2．（2024·高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 3．（2024·高一·云南大理·期中）某工厂生产某种医疗器械零件的固定成本为元，每生产一个零件需增加投入元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润） (2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？ 4．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. (1)求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； (2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 5．（2024·高一·浙江·阶段练习）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 6．（2024·高一·江苏徐州·期中）某企业生产某款网红玩具，该企业每售出x（单位：千件）此款玩具的销售额为（单位：千元），，且生产成本总投入为（单位：千元）.经市场调研分析，该款玩具投放市场后可以全部销售完. (1)求该企业生产销售该款玩具的利润y（千元）关于产量x（千件）的函数关系式? (2)当产量为多少千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大? 与 a+b、平方和、ab有关问题的最值 1．（多选题）（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）设正实数，满足，则（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）若a，，且，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 4．（多选题）（2024·高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2024·高一·辽宁丹东·期中）若实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 6．（多选题）（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）设正实数a，b满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为8 多次运用基本不等式 1．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 2．已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·一模）已知，则的最小值为 . 4．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 多元均值不等式 1．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）是不同时为0的实数，则的最大值为 ． 2．（2024·高一·福建宁德·阶段练习）已知，若，则的最大值为 . 3．（2024·高一·广西桂林·期中）已知均为实数且，令函数，若对恒成立，则的最大值为 . 4．（2024·高一·浙江宁波·开学考试）已知二次函数恒非负，，，则的最小值为 . 5．（2024·高一·福建泉州·期中）已知正数满足，，则的最小值为 . 6．（2024·高一·天津·阶段练习）正实数满足，当取得最大值时，求最大值 ． 7．（2024·高一·全国·课后作业）若，，，则的取值范围为 ． 万能K法 1．（2024·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．若正数，，满足，则的最大值是 . 4．已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 与基本不等式有关的恒(能)成立问题 1．（2024·高一·天津滨海新·期中）已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 2．（2024·高一·重庆·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 3．（2024·高一·山东·期中）已知两个正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 4．（2024·高一·重庆·阶段练习）存在正数，使得不等式成立，则的最大值是 . 5．（2024·高一·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 6．（2024·高一·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 7．（2024·高二·江西南昌·期末）已知，，使得成立，则m的取值范围为 . 1．（辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一上学期12月阶段测试数学试题）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 3．若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 4．若，，且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．4 5．已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 8．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．10 9．（多选题）已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列结论中，错误的结论有（    ） A．取得最大值时的值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为2 D．若，且，那么的最小值为 11．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为 ． 12．已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若正数满足，求的最小值. 13．已知、、、为正实数，利用基本不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 15．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 2．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 3．已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在三对“隐对称点”，则实数的取值可以是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．9 6．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 7．（多选题）关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．已知关于的方程和的根分别为，，则的最小值为 ． 9．已知，若，则的最小值 ； 10．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是 . 11．已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 12．已知函数的图象过点，且满足. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求； (3)若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且， ①求实数的取值范围；②求的最小值. 13．若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明：函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 14．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 15．已知函数． (1)若方程在上有解，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若，求函数在区间上的最大值． 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））若直线过点，则的最小值为 ． 5．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为 ． 6．（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是 ． 7．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设，，，则的最小值为 . 8．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则的最小值为 . 9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$