专题01 集合及其运算在参数求解中的应用（10大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题01 集合及其运算在参数求解中的应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：空集及其性质 题型二：子集与真子集性质 题型三：集合的交并补运算 题型四：根据元素与集合的关系求参数 题型五：根据集合中元素的个数求参数 题型六：根据集合的包含关系求参数 题型七：根据两个集合相等求参数 题型八：根据集合的交、并、补求参数 题型九：集合运算综合大题 题型十：集合新定义问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 2、集合新定义问题解题方法总结：首先，精准把握题目中新定义的集合概念及其运算规则，这是解题的基础。其次，尝试将新问题转化为熟悉的集合问题，利用已知的集合性质和运算律进行求解。同时，灵活运用图形辅助理解，使抽象问题直观化。再者，注意特殊值法和排除法的运用，它们在新定义问题中往往能发挥奇效。最后，保持耐心和细心，逐步推理，避免逻辑跳跃，确保每一步都符合新定义的规则，从而准确找到问题的答案。 空集及其性质 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误， 对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以C正确， 对于D，若，则，此时，所以D错误， 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【解析】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设、、，只有C正确. 故选：C 4．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 5．（21-22高一上·陕西渭南·期中）以下写法中：①；②；③；④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】对①，，故①错误；对②，正确；对③，，故③错误；对④，，故④错误. 综上有②正确. 故选：A 6．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 子集与真子集性质 1．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 【答案】8 【解析】满足条件的集合为： ，，，，，，，， 共8个. 故答案为：8. 2．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）集合的真子集的个数是 . 【答案】7 【解析】由题意得，为4的正因数，故， 所以此集合的真子集个数为. 故答案为：7. 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）集合的真子集个数为 . 【答案】 【解析】，解得，又因为， 则，则的真子集个数为. 故答案为：7. 4．（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 【答案】 【解析】由题意得，则的子集个数为． 故答案为： 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足，则符合条件的集合有 个. 【答案】7 【解析】因为， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 6．（24-25高一上·重庆万州·期中）设集合均为质数的子集的个数为 . 【答案】32 【解析】依题意可得， 则的子集的个数为. 故答案为： 集合的交并补运算 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设全集，，，则集合 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 2．（2023高二上·新疆·学业考试）设全集，集合，，则 . 【答案】 【解析】，，则， ，则. 故答案为：. 3．（22-23高一上·西藏拉萨·期中）已知集合，集合，则 ， . 【答案】 或 【解析】或，， 则或； ，则. 故答案为：或； 4．（22-23高一上·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 【答案】或 【解析】因为，所以或. 又，所以或. 故答案为：或 5．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知，，全集，则 .（用区间表示） 【答案】/ 【解析】由题意，， ，故， 则. 故答案为： 6．（16-17高一上·上海浦东新·期末）全集，且，，则 ． 【答案】 【解析】全集，， 或， ， 或,即. 故答案为：． 根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 3．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，得. 此时. 此时集合. 因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 当时，解方程，即，可得或. 若，则，此时集合. 不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.   故选：C. 4．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 5．（24-25高一上·江西南昌·期中）设集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 【答案】C 【解析】由于，所以或， 解得或， 当时，；当时，. 所以的值是或. 故选：C 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 根据集合中元素的个数求参数 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解析】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 3．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 4．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，符合题意，则， 当时，一元二次方程有相等实根，，解得， ，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此， 所以a的取值是. 故选：D 5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 【答案】B 【解析】由，消去整理可得， 当时，解得，此时方程组的解为，符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为，符合题意； 综上可得或. 故选：B 6．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 【答案】B 【解析】当时，； 当时，则，解之得，此时， 所以或1． 故选：B． 根据集合的包含关系求参数 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若集合，，且，则实数 ． 【答案】0或1 【解析】由题设，又，且， 由于，讨论如下： 当，即时，，满足； 当，即时，，满足； 而或或时，，不满足. 所以0或1. 故答案为：0或1 2．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】0 【解析】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 3．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，，，所以利用数轴分析法，可知. . 故答案为：. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】集合或， ∴， ∵集合，且， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是， 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】若时，满足，此时只需； 若时，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高一上·广东·期中）已知集合，，若，则的取值集合为 . 【答案】{1} 【解析】因为，所以，所以或，即或， 当时，，，满足； 当时，，，不满足； 综上，1. 故答案为:. 根据两个集合相等求参数 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【答案】1 【解析】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【答案】1 【解析】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，且，则 . 【答案】0或 【解析】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 4．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【解析】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【解析】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 6．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则. 故答案为：. 根据集合的交、并、补求参数 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 【解析】（1）， 当时，， 所以； （2）或， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或， 解得或无解， 综上所述，. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，. (1)求集合，并写出当时集合的真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1），解得，所以. 当时，，共个元素，真子集有个. （2）由（1）得，所以或. ， 当时，，满足. 当时，， 要使，则需，所以. 当时，，满足. 综上所述，的取值范围是. 3．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 4．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知实数集，集合，集合 (1)当时，求； (2)设，求实数的取值范围. 【解析】（1）根据已知有：，当时，， 解得：，或， 所以或 . （2）因为，所以， 当时，有，符合题意； 当时，，，解得， 综上可得：的取值范围是. 6．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知集合，， (1)若时，求 (2)解关于x的不等式： (3)若_______，求实数a的取值范围． （在①；②；③“”是“”的充分条件；这三个条件中任意选择一个，补充在本题的横线中，并按照你的选择求解问题，如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 【解析】（1）当时，，即， 解得：，即， ，或，或， 所以或； （2）， 当时，，解得：， 当时，， 当时，不等式转化为，，解得：或， 当时，不等式转化为， 当时，不等式为，得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上可知，时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集 ， 当时，不等式的解集. （3）若选①， 当时，，不恒成立， 所以，无解， 综上，不存在，使恒成立； 若选②, 或，且, 若， 由（2）可知，当时，不合题意，当时成立， 当时，，则，得， 当时，，则，得， 综上可知，； 若选③“”是“”的充分条件；则， 当时，不合题意， 当时，，，满足条件， 当时，，则，得 当时，，则，得， 综上可知，. 集合运算综合大题 1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，集合 (1)求集合; (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，集合， 集合， 所以. （2）由（1）可知， 因为, 所以，解得，即， 故实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合， . (1)若 ，求集合 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 【解析】（1）当时，或， 由，解得， 故， 因此或， （2）由得或， 要使，则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)已知，求实数的取值范围. 【解析】（1）或， 当时，， 所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，或， 解得或， 综上实数的取值范围为或. 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，． (1)若，且，求实数，的值； (2)若集合，均为非空集合，且，求的取值范围． 【解析】（1）由题设，则，又，即， 此时，，满足题设， 所以. （2）由且均非空，则，即， 所以，且，即， 所以，即. 5．（24-25高一上·天津西青·期中）已知集合， (1)求 (2)求 【解析】（1）或， 所以， ， 所以， （2）由（1）可得或， 所以或 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)求实数的取值范围，使__________成立. 从①，②，③中选择一个填入横线处并解答. 【解析】（1）依题意，， ， 当时，， 所以； （2）由（1）知，，， 则有或，或， 选①，，则或，解得或， 所以的取值范围为或； 选②，，则或，解得或， 所以的取值范围为或； 选③，，则，解得， 所以的取值范围为. 集合新定义问题 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数. (1)若，求集合； (2)若，求的最小值； (3)试判断与的大小关系，并证明你的结论. 【解析】（1）由题意可得； （2）当时，. 当时，，此时最多有个. 于是. 由，即，解得. 当中的15个元素都是质数时，因为任意两个质数的商是不相等的， 此时，所以的最小值为15； （3）. 不妨设，则， 至少这个元素属于. 于是. 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 【解析】（1）因为，，根据已知有：. （2）因为，所以. （3）从以上解题过程中可以看出，中元素的个数与集合和集合中的元素个数有关， 即集合中的任何一个元素与集合中的一个元素对应后，得到中的一个新元素. 若集合中有个元素，集合中有个元素，则中有个元素， 故有个元素，B有个元素，中有个元素. 3．（24-25高一上·四川·期中）定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 【解析】（1）依题意可知集合不是空集， 要使、都是集合的子集， 则需且， 解得且， 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； （2）若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中，.已如集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 【答案】/ 【解析】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·江苏盐城·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】5 【解析】解得或，即， ∵，∴或， 方程可整理为， ①当时，即方程组只有一个解，则，即， ②当时，即方程组只有三个解， 显然时不成立，∴，即方程有两个不同的解， ⑴当方程只有一个实根时，，， ⑵当方程有二个不同实根时，，或， 显然不是的实根，则是方程其中一个实根，则，解得， 综上所述：. ∴. 故答案为：5 6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由题知，集合的长度分别为和，集合长度为2， 因为都是集合的子集， 所以当或时，集合的“长度”取得最小值， 最小值为. 故答案为： 1．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，所以， 因为，所以，即， 故选：D. 3．若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 所以，解得. 故选：D. 4．已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 故选：D 5．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】. 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 即中恰有这3个整数， 则，解得； 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 即中恰有这3个整数， 则，解得. 综上所述，实数a的取值范围为或. 故选：B. 6．（多选题）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【解析】由，则至少有一个元素属于， 由，则至少有一个元素不属于， 又，故， 由有两个不相等的实数解， 对于二次函数，开口向上且对称轴为， 所以，可得. 故选：BC 7．（多选题）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【解析】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 8．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 【答案】 【解析】由， 因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 9．已知集合，，若，，则 . 【答案】19 【解析】因为，， ，，所以， 所以5和6是方程的两个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：19. 10．已知全集，集合，， (1)分别求和； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【解析】（1）由， ， 故， 或，故或 （2）由得， 当时，，则满足题意， 当时，则，解得， 综上可得或， （3）由得，解得， 11．设全集，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）解不等式得， 当时，， 因此. （2）由（1）知或. 若，则解得. 因为， 所以的取值范围为或. 12．已知集合. (1)求； (2)记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为即， 所以，所以； 由，可得或， 所以或，进而可得， 所以或，. （2）因为， 所以，所以， 所以； 又或， 若，则，所以， 所以实数的取值范围是 1．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【解析】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 2．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．不存在，使得 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，当时，，所以，所以， 所以，故A错误； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C错误； 对于D，因为，要得，所以或3，若， 满足，解得； 若，因为方程的两个根，都不是方程的根， 所以需满足，解得. 综上：或， 所以，所以，故D正确. 故选：D 3．已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】（1）因为，所以集合是"封闭集"，故正确； （2）因为是"封闭集"，所以，设是方程的两根，则，解得或，故错误； （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有， 所以，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集” ，正确； （4）当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能， 因为，则，所以"封闭集"有且只有一个为； 不妨设中， 由，得， 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，故正确； 故选：C 4．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 5．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 【答案】D 【解析】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 6．（多选题）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 【答案】ABD 【解析】对于A选项，根据定义，由，则， 则0，1是任何数域中的元素，故A正确； 对于B选项，当时，，故B正确； 对于C选项，取， 则，则不是一个数域，故C错误； 对于D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推， 整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则， 则整数集，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选题）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意得， 因为是的真子集， 当时，，得； 当时，，得， 故的取值范围为. 故选：AD 8．（多选题）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 9．杰卡德距离经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义杰卡德距离为： 其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则 ；若，，，，则的最大值为 . 【答案】 / 【解析】阅读理解杰卡德距离的定义，可得，其中后面分子为集合中元素的个数，分母为集合中元素的个数. 对于第一空，代入， 可得，其中有个元素， 其中有个元素. 故. 对于第二空，根据集合之间的运算性质，可知且， 即，， 则，的最大值为. 故答案为：； 10．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【解析】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 11．若集合的真子集个数为15，写出一个满足条件的的取值 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】设集合中元素个数为，由集合的真子集个数为15可得， ，解得，由可得，，， 即，所以，即， 故可取（答案不唯一，满足均可）． 故答案为：（答案不唯一） 12．设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 【答案】 【解析】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 故答案为：. 13．已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 设方程的两个根分别为、， 且，，， 所以， 由，得， 即， 因为，所以，且， 因为，解得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以化为 ，化为， ，化为， 即，解得， 所以a的取值范围为. 故答案为： 14．若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． （2）设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． （3）若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 15．已知有限实数集，若，则称A为“和积平衡集”. (1)分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”； (2)已知集合M为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M（不需要说明理由）； (3)已知实数，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由. 【解析】（1），集合P不是“和积平衡集” ， 集合Q是“和积平衡集” （2）根据“和积平衡集”的定义可知，， 所以符合题意的集合 （3）若存在符合题意的实数z，则 ，即，解得或或， 当时，则，，不符合题意. 当时，， 由此可得是方程的实数解. 但此时，方程无实数解，所以不符合题意. 同理，当时，不符合题意 综上，不存在符合题意的实数. 16．设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 【解析】（1）对于集合，，，故为封闭集， 对于集合，，，故不是封闭集. （2）证明：非空集合是封闭集， 易得，假设是封闭集， 设，在中任取一个元素，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 同理当时，不是封闭集， 所以不是封闭集. 1．（2024年北京高考数学真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 2．（2024年北京高考数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 故选：D 5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则. 故选：A. 7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为整数集，，所以，． 故选：A． 8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合及其运算在参数求解中的应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：空集及其性质 题型二：子集与真子集性质 题型三：集合的交并补运算 题型四：根据元素与集合的关系求参数 题型五：根据集合中元素的个数求参数 题型六：根据集合的包含关系求参数 题型七：根据两个集合相等求参数 题型八：根据集合的交、并、补求参数 题型九：集合运算综合大题 题型十：集合新定义问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 2、集合新定义问题解题方法总结：首先，精准把握题目中新定义的集合概念及其运算规则，这是解题的基础。其次，尝试将新问题转化为熟悉的集合问题，利用已知的集合性质和运算律进行求解。同时，灵活运用图形辅助理解，使抽象问题直观化。再者，注意特殊值法和排除法的运用，它们在新定义问题中往往能发挥奇效。最后，保持耐心和细心，逐步推理，避免逻辑跳跃，确保每一步都符合新定义的规则，从而准确找到问题的答案。 空集及其性质 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 3．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，则下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（21-22高一上·陕西渭南·期中）以下写法中：①；②；③；④，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 子集与真子集性质 1．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 2．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）集合的真子集的个数是 . 3．（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）集合的真子集个数为 . 4．（24-25高一上·广东佛山·期中）集合的子集个数为 ． 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知集合满足，则符合条件的集合有 个. 6．（24-25高一上·重庆万州·期中）设集合均为质数的子集的个数为 . 集合的交并补运算 1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设全集，，，则集合 ． 2．（2023高二上·新疆·学业考试）设全集，集合，，则 . 3．（22-23高一上·西藏拉萨·期中）已知集合，集合，则 ， . 4．（22-23高一上·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 5．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知，，全集，则 .（用区间表示） 6．（16-17高一上·上海浦东新·期末）全集，且，，则 ． 根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 4．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 5．（24-25高一上·江西南昌·期中）设集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 根据集合中元素的个数求参数 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 6．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 根据集合的包含关系求参数 1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若集合，，且，则实数 ． 2．（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 3．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 6．（24-25高一上·广东·期中）已知集合，，若，则的取值集合为 . 根据两个集合相等求参数 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合，且，则 . 4．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 6．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 根据集合的交、并、补求参数 1．（24-25高一上·天津·阶段练习）设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，. (1)求集合，并写出当时集合的真子集的个数； (2)若，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知实数集，集合，集合 (1)当时，求； (2)设，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知集合，， (1)若时，求 (2)解关于x的不等式： (3)若_______，求实数a的取值范围． （在①；②；③“”是“”的充分条件；这三个条件中任意选择一个，补充在本题的横线中，并按照你的选择求解问题，如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 集合运算综合大题 1．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知全集，集合 (1)求集合; (2)若，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合， . (1)若 ，求集合 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 3．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)已知，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，． (1)若，且，求实数，的值； (2)若集合，均为非空集合，且，求的取值范围． 5．（24-25高一上·天津西青·期中）已知集合， (1)求 (2)求 6．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)求实数的取值范围，使__________成立. 从①，②，③中选择一个填入横线处并解答. 集合新定义问题 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数. (1)若，求集合； (2)若，求的最小值； (3)试判断与的大小关系，并证明你的结论. 2．（24-25高一上·吉林长春·期中）对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，， 据此，试回答下列问题． (1)已知，，求； (2)已知，求集合A，B； (3)A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素． 3．（24-25高一上·四川·期中）定义集合的“长度”是，其中、．已知集合，，且、都是集合的子集． (1)求集合的“长度”最小值 (2)若，集合的“长度”大于，求的取值范围． 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中，.已如集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 5．（24-25高一上·江苏盐城·期中）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 6．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ． 1．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．（多选题）已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．（多选题）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 8．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 9．已知集合，，若，，则 . 10．已知全集，集合，， (1)分别求和； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 11．设全集，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 12．已知集合. (1)求； (2)记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 1．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 2．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．不存在，使得 D．若，则 3．已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 5．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 6．（多选题）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 7．（多选题）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 9．杰卡德距离经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义杰卡德距离为： 其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则 ；若，，，，则的最大值为 . 10．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 11．若集合的真子集个数为15，写出一个满足条件的的取值 ． 12．设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 13．已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ． 14．若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 15．已知有限实数集，若，则称A为“和积平衡集”. (1)分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”； (2)已知集合M为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M（不需要说明理由）； (3)已知实数，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在，请说明理由. 16．设为实数集，若非空集合满足条件：（1）；（2）对任意，都有且，则称集合为封闭集. (1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由； (2)设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集. 1．（2024年北京高考数学真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024年北京高考数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$