专项3 二次函数的存在性问题&专项4 二次函数的综合应用-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（华东师大版）

九年级数学·华师版（下册） 专项3二次函数的存在性问题 [答案PI3] 1如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 2如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 两点，与y轴交于点C(0,3): A(0,4),B(1,0),C(5,0) (1)求抛物线的表达式： (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使 抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰 △PAB的周长最小？若存在，请求出点P的 三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐 坐标：若不存在，请说明理由： 标；若不存在，请说明理由。 (3)该抛物线上有一点D(x,y)(不与点A重 D 合)，使得SAMc=SADC,求点D的坐标 A O 1题图 2题图 18g 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第26章二次函数0 3(陕西中考)如图，抛物线y=x2+bx+c经过 ④（类底些星区模拟）如图，已知二次函数y=-x 点(3,12)和(-2，-3)，与两坐标轴的交点分别 +bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),与 为AB、C,它的对称轴为直线1. y轴交于点C. (1)求该抛物线的表达式； (1)求抛物线的表达式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作1的垂线，垂 (2)点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积： 足为D、E是I上的点.要使以P、D、E为顶 (3)抛物线上是否存在点P,使∠PAB=∠ABC? 点的三角形与△AOC全等，求满足条件的 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 点P、点E的坐标 理由。 y 4题图 3题图 见此图标服音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 19 九年级数学·华师版（下册） 专项4 二次函数的综合应用 [答案P15] 类型⑧二次函数与一次函数的综合 类型②二次函数与几何图形的综合 (广东深圳坪山区一模)某网络经销商购进了一 3(石家庄期中)小明在学习过程中，遇到这样一 批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫 个问题：如图①，在菱形ABCD中，点M、N分别 的进价为每件40元，月销售量y(件)与销售单 是边BC、CD的中点，点P是对角线BD上的动 价x(元/件)之间的函数关系如图所示， 点，连结PM、PN、MN,当△PMN是等腰三角形 (1)求出月销售量y(件)与销售单价x(元)之间 时，求线段BP的长度.小明根据学习函数的经 的函数关系式 验，对此问题进行了以下探究，请补充完整 (2)设每月获得的利润为W元，则这种文化衫的 (1)对于点P在对角线BD上的不同位置，画 销售单价定为多少元/件时，每月的销售利 图、测量，得到了线段BP、PM、PN的长度的 润最大？最大利润是多少元？ 几组值，如下表， 1y/件 BP/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0 600 PM/cm2.51.8L4L.82.53.34.25.26.2 200 PW/cm6.25.24.23.32.51.81.41.82.5 0 4080x1元/件) ①通过观察(1)中表格，可以得到菱形ABCD 1题图 的对角线BD的长为 cm,菱形 ABCD的边长为 cm; ②在BP、PM、PN的长度这三个量中， 的长度是自变量， 的长度 2(辽宁本溪摸拟)如图，已知直线当1=x+n 和 的长度都是这个自变量的函数： (k≠0)与抛物线y2=-x2+bx+c都经过A(4,0) (2)在如图②所示的平面直角坐标系中画出(1) 和B(0,2). ②中确定的函数图象； (1)求直线和抛物线的表达式： (3)结合函数图象，当△PMN是等腰三角形时， (2)当y,>2时，求x的取值范围； 求线段BP的长度.（结果保留一位小数） (3)若直线上方的抛物线上有一点C,且S△= yfem 6,求C的坐标 012345678x/cm 2题图 3题图① 3题图② 20 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩参考答案及解析 直线E的表达式为y=一子+2 当x=1时y=弓点D的坐标为1，） 当1=时，S。m有最大值？ 3 当D点坐标为1，)时，△ACD的周长最小 当2≤1<3时，点G在线段BE上， 3.2、3cm2 六San=5aE+sam=fG(。-） 4.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0), =(-2r+60)x3-2) B(30), 六设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-3). 把点C(0,6)代入，得a(0-1)(0-3)=6, ∴当1=2时，S6F有最大值2 a=2, 综上，当1=时，△FBE的面积最大，最大值为号 ∴，抛物线的表达式为y=2(x-1)(x-3)= 专项3二次函数的存在性问题 2x2-8x+6. 1.解：(1)抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， (2):直线y=2x+b'过点A(1,0), ∴.设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3). .2+b'=0,.b'=-2. 抛物线与y轴交于点C(0,3), ∴，直线AD的表达式为y=2x-2. 由=2-2， ∴.a(0+1)(0-3)=3.解得a=-1. 解得1， s0或/4， ∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+ ly=2x2-8x+6,y=0ly=6, 2x+3. .D(46) (2)存在.理由如下： A(1,0),B(3.0),.AB=2. 由y=-x2+2x+3,得点D的坐标为(1,4)，对称轴 1 5am=2×2X6=6 为直线x=1. 设点E(m,2m-2),Sam=2Sat ①若PC=PD,设点P的坐标为(x,y). 4Sm=宁w=2 根据勾股定理，得x2+(3-y)2=(x-1)+(4-y), 即y=4-x 六2×2×(2m-2)=2,m=2, 又：点P(x,y)在抛物线上， .4-x=-x2+2x+3, E(2,2), .直线BE的表达式为y=-2x+6. 即-3x+1=0.解得x=3±5 21 过点F作FG∥y轴交直线BE于点G, :3,5<1,故应舍去3+5 F(t,22-81+6)(1<1<3), 2 2 ,G(1,-21+6), 六y=4-t=5- 2 ∴.FG=-24+6-(22-81+6)=-22+61. 当1<t<2时，点G在线段BE的延长线上， 即点P的坐标为3+5,5-5 2·2 .Som-5om-SomeFG(x) ②若DC=DP,点P在对称轴右侧的抛物线上，由 抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x=1 =(-2r+60x3-2) 对称，此时点P的坐标为(2,3) ·13· 九年级数学·华师版（下册） ③若CD=CP,由图象可知此种情况不存在 得子-登+4=4 综上所述，符合条件的点P的坐标为3+5,5-5 2·2 整理，得x2-6x+10=0. 或(2,3). 4=62-4×1×10=-4<0,方程无解。 2.解：(1)抛物线经过点B(10).C(5,0), 综合①②可知，点D的坐标为(6,4) ∴.可以设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-5)(a≠0). 3.解：(1)将(3,12)，(-2，-3)代入y=x2+bx+c, 4 把A(0,4)代入表达式中，得4=5a,a= 12=9+3h+c, [b=2. 得 解得 -3=4-2b+c, e=-3. 4 “抛物线的表达式为y=5(x-1)(x-5)= .抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)由(1)可得，对称轴1为直线x=-1。 令y=0,得x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1. 抛物线的对称轴为直线x=1十5=3. .A(-30),B(1,0) 2 令x=0,得y=-3,∴C(0,-3),0A=0C=3. (2)如答图，连结AC与对称轴交于点P,此时△PAB :∠PDE=∠AOC=90°， 的周长最小 ∴.当PD=DE=3时，△PDE与△AOC全等. 设P(m,n),当点P在1右侧时，m-(-1)=3, .m=2.n=22+2×2-3=5,P(2.5), ∴.E(-1,2)或E(-1,8). 015 当点P在1左侧时，由抛物线的对称性可知， P(-4,5)也满足条件 2题答图 设直线AC的表达式为y=x+b(k≠0) 相应的点￡的坐标同上， A(0.4),C(5,0), ∴.满足条件的点P的坐标为(2,5)或(-4,5)，点E 的坐标为(-1,2)或(-1.8) Tb=4, 解得 5 4.解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=-x+bx+c, 5k+b=0 b=4. 得-1-6+c=0, b=2, 解得 5+4 4 .直线AC的表达式为y=一 1-9+3b+c=0,lc=3 .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 把x=3代入表达式中，得y=) 8 (2)在y=-x2+2x+3中，令x=0,得y=3, ∴.C(0,3) ·点P的坐标为3，) 设直线BC的表达式为y=mx+n(m≠0)， (3)根据题意，得点D的纵坐标为±4. B(3,0),C(03), ①把=4代入y=- 5+4. 3m+n=0. 「m=-1, 解得 n=3, n=3, 得2-学+4=4 .直线BC的表达式为y=-x+3, 解得x=0或6 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,D(1,4). 如答图①，过点D作DE∥y轴交直线BC于点E,则 ②把y=-4代人y=-学+4。 E(1,2),∴DE=2, ·14· 参考答案及解析 六5ao=5am+5am=7×2x2+7x2x1=-3. 1 “直线表达式为=-2x+2 将(4,0)，(0,2)分别代入当2=-x+x+c, 得16+46+c=0, rb=3.5, 解得 lc=2, c=2, ∴抛物线表达式为3=-x2+3,5x+2 (2)根据两函数交点坐标为(0,2)、(4,0)，由图象 可得，当y1>y2时，x的取值范围为x<0或x>4. (3)设C的坐标为(x,-x2+3.5x+2),且0<x<4. 4题答图① 4题答图2 (3)存在 Ae=6 +Ame-o=6 2x4x 如答图②，①当点P,与点C关于直线x=1对称 时，∠PAB=∠ABC (-2+35x+2)+行×2x-号×4×2=6，整理得 C(0,3),P(2,3) x2-4x+3=0,解得x1=1,=3.当x1=1时。 ②当直线P,A∥BC时，∠PAB=∠ABC, -x2+3.5x+2=-1+3.5+2=4.5:当x2=3时， :直线BC的表达式为y=-x+3 .可设直线AP的表达式为y=一x+m, -x2+3.5x+2=-9+10.5+2=3.5. 将A(-1,0)代入，得m=-1. 综上，C的坐标为(1,4.5)或(3,3.5) ∴，直线AP的表达式为y=-x-1。 3.解：(1)①85②BP PM PN y=-x-1, (2)(1)②中确定的函数的图象如答图所示. 由 ,解得=4 或1， Ly=-x2+2x+3,ly=-5ly=0, yfem ,P2(4,-5) 8 综上，点P的坐标为(2,3)或(4，-5) 专项4二次函数的综合应用 3 1.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=:+b 2 (k≠0)，将(40,600)，(80,200)代入，得 012345678x/:m r40k+b=600, rk=-10 解得 .y与x之间的函 3题答图 80k+b=200, lb=1000. (3)当△PMN为等腰三角形时，结合函数图象，得 数关系式为y=-10x+1000(40≤x≤80) 线段BP的长度约为4.0cm或2.3cm或5.7cm. (2)由题意得W=(x-40)y= (4.0是确定值，2.3或5.7是估计值，后两个数据 (x-40)·(-10x+1000)=-10x2+1400x- 误差在0.2范围内都对) 40000,即W=-10(x-70)2+9000.-10<0.40≤x ≤80，∴.当x=70时，W有最大值，最大值为9000. 26.3实践与探索 答：这种文化衫的销售单价定为70元/件时，每月 课时1探索生活中的抛物线形问题 的销售利润最大，最大利润是9000元. 【基础巩固练】 2.解：(1)将(4,0)，(0,2)分别代入y1=k红+n,得 1.B[解析]，-1<0，当t=4时，h有最大值故选B. r4k+n=0, 解得 k=-2 2.A n=2, n=2. 3D【解折]在y=-+子 +了中，令y=0,则 ·15·