专项1 二次函数的图象信息&专项2 二次函数的最值问题-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（华东师大版）

九年级数学·华师版（下册） 专项1二次函数的图象信息题 [答案PII] 类型①函数图象共存问题 类型②函数图象与a、b、c之间的关系 ①（山东青岛市南区二模）如图，一次函数y,=x与 ④二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于P、Q两 示，对称轴是直线x=1.给出下列结论：①ab< 点，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是 0:②a+b+2c<0:③3a+c<0.其中正确的是 () A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 4题图 ⑤（广元中考）二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的 1题图 3题图 部分图象如图所示，图象过点（一1,0），对称轴 2(四川成都质检)在同一平面直角坐标系中，反 为直线x=2.给出下列结论：①abc<0:②4a+c 比例函数y=-(k≠0)与二次函数y=-: >2b:③3b-2c>0:④若点A(-2,y1)、点 一k的大致图象是 8-2点C子在该函数图象上，则 <为<为2；⑤4a+2b≥m(am+b)(m为常数).其 中正确的结论有 () A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3(四川乐山调研)已知函数y=-(x-m)(x-n) 5题图 (其中m<n)的图象如图所示，则一次函数y= 6(遂宁中考)抛物线y=ax2+br+c(a,b,c为常 mx+n与反比例函数y=m+”的图象可能是 数)的部分图象如图所示，设m=a-b+c,则m 的取值范围是 必华剂 6题图 16g 见此图标服抖音/疑信扫码氯取配套资源稳步提升成绩 第26章 二次函数 专项2 二次函数的最值问题 [答案P12] 类型⑨线段最值问题 类型③三角形面积最值问题 (合肥庐阳区期中)如图，抛物线y=ax2+br+c 3(浙江温州校级模拟)如图， (a≠0)与x轴交于A(-6,0),B(3,0),与y轴 在菱形ABCD中，AB=AC= 交于点C(0,6),直线AD:y=mx+2与该抛物线 4cm,动点P从点A开始沿 交于点A、D,作y轴的平行线分别交抛物线、直 AD边以Icm/s的速度运动， B 线AD和x轴于点P,QR,点R位于点OA之间. 动点Q从点D开始沿DC边 3题图 (1)求抛物线和直线AD的表达式： 以2cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当 (2)求线段PQ的最大值： 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， (3)连结PC,设AD与y轴交于点E,若四边 则Sam的最大值为 形PCEQ是平行四边形，求点P的坐标 ④（东莞模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点，直线y=2x +'经过点A,交抛物线于点D (1)求抛物线的表达式： (2)点E在线段AD上，且满足S。mE=2S△E, 1题图 点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐 标为t,当t为何值时，△FBE的面积最大？ 请求出最大值. 4题图 类型②三角形周长最值问题 2(山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系中，二 次函数图象经过A(-2,0),B(2,2),C(0,2)三 个点 (1)求该二次函数的表达式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D,求 当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小 y 2题图 见此图标眼抖音/餐信扫码领取配套资源稳步提升成绩参考答案及解析 六Sa=5ac+SAm=·4MN=-2+4 (3)设其对应的二次函数的表达式为y=x2+bx+ c(a≠0). -(x-2)2+4, a-b+c=2, ,a=-1 ∴.当x=2时，△ACM的面积最大，图中阴影部分的 则{c=1, 解得b=-2. 面积最小，此时点M的坐标为(2，-4) 4a+2b+e=-7, le =1. 所以y=-x2-2x+1. 专项1二次函数的图象信息题 1,A[解析]一次函数y1=x与二次函数为3=a 5题答图 +bx+c的图象交于第一象限的P、Q两点，函数 6.解：(1)，二次函数y=x2+bx-c的对称轴为直线 y=ax2+(b-1)x+c图象与x轴有两个交，点，且两 个交点在x轴的正半轴上，∴，A选项符合条件，故 b 米=1心-2=1b=-2.二次函数y=产+加 选A. -c的图象经过点(3,0)，∴9-6-c=0,∴c=3, 2.D[解析]当>0时，反比例函数y=-上（≠0） b+c=1. (2)由(1)可得y=x2-2x-3.1>0,∴.抛物线开 的图象位于第二、四桑限，二次函数y=x-x- 口向上.-4≤x≤3,1-4-11=5,3-11=2， 图象的对称轴=受在了轴右侧，且因象与y轴文 ∴.当x=-4时，y有最大值，最大值为(-4)2- 于负半轴，则C选项不符合，D选项符合：当k<0 2×(-4)-3=21. (3)平移抛物线y=x2-2x-3,使其顶点始终在二 时，反比例画数y=-(k≠0)的图象位于第一、 次函数y=2x2-x-1的图象上，.设顶点坐标为 三象限，二次函数y=x-x一k图象的对称轴x= (h,2h2-h-1),.平移后的抛物线关系式为y= (x-h)2+2h-h-1.y=x2-2hx+2+2h-h 专在y轴左侧，且图象与y轴交于正半轴，则A,B -1=x2-2hx+3h2-h-1.设平移后所得抛物线与 选项都不符合，故进D. y轴交点的纵坐标为0，则0=3h2-h-1= 3.C[解析]由题图可知，m<-1,n=1,∴m+n<0, 3么--是：3>0当4=石时，平移后所 .一次函致y=mx+n的图象经过第一、二、四象 限，且与y轴相交于点(0,1)：反比例函数y=m+m 得抛物线与)轴交点纵坐标最小，最小值为一号 的图象位于第二、四象限，只有C选项符合，故 题型变式 选C 1.解：(1)设其对应的二次函数的表达式为y= 4.C[解析]：抛物线的对称轴在y轴的右侧，，a、b a(x-1)2+2(a≠0). 异号，a山<0，故①正确：抛物线交y轴于负半 把(2,3)代人，得a+2=3,解得a=1, 轴，c<0.当x=1时，y<0,a+b+c<0, 所以y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3. 又c<0,a+b+2e<0,故②正确；：抛物线的对 (2)设其对应的二次函数的表达式为 称轴为直线x=1,∴.b=-2a,.抛物线对应的函数 y=a(x+1)(x-3)(a≠0)， 关系式为y=ar2-2ax+c(a≠0)，当x=-1时， 把(2，-6)代入，得-3a=-6,解得a=2, y>0,∴.a+2a+c>0,即3a+c>0,故③错误. 所以y=2(x+1)(x-3),即y=2x2-4x-6 5.C[解析]抛物线的开口向下，a<0.抛物线 ·11· 九年级数学·华师版（下册） 的对称轴为直线=一名=2b>0抛物线与 多*4=+22+ 3 y轴交于正半轴，c>0,ac<0,①正确.-2 当1=-2时，P0有最大值，最大值为9 =2,.b=-4a.抛物线经过点(-1,0)，.a-b (3)AD与y轴交于点E,E(0,2),.CE=4 +c=0,.c=b-a=-4a-a=-5a,.4a+c-2b 若四边形PCEQ是平行四边形，则PQ=CE, =4a-5a+8a=7a.a<0,∴.4a+c-2b<0,.4a 即-号+22+5=4 +c<2b,②不正确.36-2c=-12a+10a=-2a>0,③ 正确1-2-21=4，分-2-}-2 解得1=-4或1=0（舍去） 3 当1=4时--+6= 心方<为<，④错误.当x=2时，yk位=4u+ 2b+c,.4a+2b+c≥am2+6m+c,4a+2b≥m(am 放点P的坐标为(-4，) +b)(m为常数)，⑤正确. 2.解：(1)设二次函数的表达式为y=a2+br+c(a≠0) 6.-4<m<0[解析]，抛物线开口向上，∴.a>0. 将A(-2,0),B(2,2),C(0,2)三点的坐标代入，得 y把物线的对称轴在y轴左侧一品<0b> 4a-2b+c=0, a=-4 0.抛物线经过点(0，-2)，，c=-2.抛物线经 1 4a+2b+c=2,解得b三2· 过点(1,0)，.a+b+c=0,.a+b=2,b=2-a, c=2 c=2. ∴.y=ax+(2-a)x-2.当x=-1时，y=a-b+c =a+a-2-2=2a-4..b=2-a>0,.0<a<2, :抛物线的表达式为y一子+宁+2 ,-4<2a-4<0,-4<m<0. (2)如答图，设二次函数图象与x轴的另一个交点 专项2二次函数的最伯问题 为E. 1.解：(1)抛物线经过点A(-6,0),B(3.0),C(0,6), 36a-6b+c=0 9a+3b+c=0,解得 b=-1. c=6. c=6. 故抛物线的表达式为y=一字-x+6 2题答图 直线AD经过点A(-6,0), 1 :抛物线的表达式为y=一4+ 2+2， ÷-6m+2=0,解得m=3 ∴对称轴为直线x=1 故直线AD的表达式为y=了+2 抛物线与x轴的一个交点为A(-2,0), ∴抛物线与x轴的另一个交点为E(4,0): (2)设点P的坐标为，-名-1+6(-6<1<0)， 连结CE,与对称轴x=1交于点D,点D即为所求。 设直线CE的表达式为y=x+1(≠0).将C(0,2). 则点Q的坐标为(，3+2 E(4,0)代人，得=2， k=-2 题意，得0=(4+-（你+2-- 解得 4k+t=0, ·12 参考答案及解析 直线E的表达式为y=一子+2 当x=1时y=弓点D的坐标为1，） 当1=时，S。m有最大值？ 3 当D点坐标为1，)时，△ACD的周长最小 当2≤1<3时，点G在线段BE上， 3.2、3cm2 六San=5aE+sam=fG(。-） 4.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0), =(-2r+60)x3-2) B(30), 六设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-3). 把点C(0,6)代入，得a(0-1)(0-3)=6, ∴当1=2时，S6F有最大值2 a=2, 综上，当1=时，△FBE的面积最大，最大值为号 ∴，抛物线的表达式为y=2(x-1)(x-3)= 专项3二次函数的存在性问题 2x2-8x+6. 1.解：(1)抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， (2):直线y=2x+b'过点A(1,0), ∴.设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3). .2+b'=0,.b'=-2. 抛物线与y轴交于点C(0,3), ∴，直线AD的表达式为y=2x-2. 由=2-2， ∴.a(0+1)(0-3)=3.解得a=-1. 解得1， s0或/4， ∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+ ly=2x2-8x+6,y=0ly=6, 2x+3. .D(46) (2)存在.理由如下： A(1,0),B(3.0),.AB=2. 由y=-x2+2x+3,得点D的坐标为(1,4)，对称轴 1 5am=2×2X6=6 为直线x=1. 设点E(m,2m-2),Sam=2Sat ①若PC=PD,设点P的坐标为(x,y). 4Sm=宁w=2 根据勾股定理，得x2+(3-y)2=(x-1)+(4-y), 即y=4-x 六2×2×(2m-2)=2,m=2, 又：点P(x,y)在抛物线上， .4-x=-x2+2x+3, E(2,2), .直线BE的表达式为y=-2x+6. 即-3x+1=0.解得x=3±5 21 过点F作FG∥y轴交直线BE于点G, :3,5<1,故应舍去3+5 F(t,22-81+6)(1<1<3), 2 2 ,G(1,-21+6), 六y=4-t=5- 2 ∴.FG=-24+6-(22-81+6)=-22+61. 当1<t<2时，点G在线段BE的延长线上， 即点P的坐标为3+5,5-5 2·2 .Som-5om-SomeFG(x) ②若DC=DP,点P在对称轴右侧的抛物线上，由 抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x=1 =(-2r+60x3-2) 对称，此时点P的坐标为(2,3) ·13·