3 垂径定理-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

九年级数学·北师版（下册） *3垂径定理 《基础巩固练 [答案33] 知限点④垂径定理 如图，AB,CD为⊙O的两条弦，AB∥CD,经过AB ①（广州南海中学期中）如图，AB是⊙0的直径， 的中点E的直径MN与CD交于点F,求证：CF CD为弦，CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定 =DF. 成立的是 ( A.AC=AD B.BC BD C.OE BE D.CE=DE N 7题图 B 1题图 2题图 3题图 2如图，弦CD垂直于⊙0的直径AB,垂足为H,且 CD=22,BD=5,则AB的长为 3如图，AB是⊙0的直径，CD为⊙0的一条弦， CD⊥AB于点E.已知CD=4,AE=1,则⊙O的 半径为 ④（山东青岛莱西模拟）如图，点 P是y轴正半轴上一点，以P 为圆心的圆与x轴y轴分别交 于点A,B,C,D.已知点A的坐 标为(-3,0)，点C的坐标为 4题图 (0,-1),则点D的坐标为 如踢息②垂径定理的推论 5下列命题正确的有 ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦：② 细调直③垂径定理的应用 垂直于弦的直线平分弦：③平分弦的直线必平 8[传焚文化]《九章算术》是我国古代著名数学著 分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能 作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小 被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.”用 的两条弧 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 数学语言可表述为“如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD于点E,ED=1寸，AB=10寸，求直径 6如图，⊙0的直径CD=10,AB是⊙0的弦，AM CD的长.”则CD= =BM,OM:OC=3:5,则AB的长为 A.13寸 A.2 B.20寸 B.6 0 C.26寸 C.8 D.28寸 D./91 6题图 8题图 52g 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 第三章圆 《能力提升练 [答案34] (滨州中考)在⊙0中，直径AB=15,弦DE⊥AB6(浙江林州下城区月考)如图，有一座圆弧形拱 于点C,若OC:0B=3:5,则DE的长为( 桥，它的跨度AB为30m,拱高PM为9m,当洪 A.6 B.9 C.12 D.15 水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施， 2(柳州中考)往水平放置的半径为13cm的圆柱 若某次洪水中，拱顶离水面只有2m,即PW= 形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若 2m时，试求： 水面宽度AB=24cm,则水的最大深度为() (1)拱桥所在的圆的半径： A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施： 6题图 2题图 3题图 3如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P,AP =2,BP=6,∠APC=30°，则CD的长为(） A./15B.25 C.215D.8 ④已知⊙0的半径为13cm,弦AB∥CD,AB= 24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距离为 ( A.17cm B.7 cm C.12cm D.17cm或7cm 5如图，AB⊥CD,若AH=4,BH=6,CH=3,DH= 8,求⊙0的半径 ○题型变式 讲本35答案P34 5题图 1(题型2变式)如图，A,B,C是圆上的三点，AC= BC,AB=40cm.若点C到AB的距离是10cm,则 该圆的半径为 cm. "0 1题图 2题图 2(题型3变式)（天津红桥模拟）如图，一个圆柱 形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果 水面AB的宽为8cm,水最深地方的深度为 2cm,则该输水管的半径为 cm. 见此图标阻科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩参考答案及解析 【能力捉升练】 ∴.∠COD=∠COE. 1.C[解析]：∠AOE=60°，∴.∠BOE=180° AC=BC,即C为AB的中点。 ∠A0E=120.点C,D是BE的三等分点， 题型变式 ·∠800=号×120°=809 1.40[解析]如答图，连接0B,0C 0A=OB,OC=OD,.∠0BA= 2.C[解析]由题意可知，题图是以CD为对称轴的 ∠A=65°，∠0CD=∠D=60°， 轴对称图形，故A,B,D均正确，C正确与否不确定， .∠A0B=180°-2×65°=50 只有当，点E是AC的中，点时才能确定E=EC ∠C0D=180°-2×60°=60°， 3.C[解析]如答图，连接OF,DE⊥AB,AB为⊙O .∠BOC=∠AOD-∠AOB- 1题答图 的直径，DE=EF,AD=AD为AC的中点， ∠C0D=150°-50°-60°=40°，即BC所对的圆心角 A0=CAC=fAC=Dp⊙0的直径为 的度数为40 “3垂径定理 150p=0A=空：A=30E=01-AB= 2, 【基础巩固练】 在Rt△OEF中，由勾股定理，得EF=OF-OE= 1.C[解析]：AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB 于，点E,.AC=AD,BC=BD,CE=DE,但无法得出 √(-(3=60E=BF=64c=0r= OE=BE,故选项A,B,D成立，选项C不一定成立 DE+EF=6+6=12 2338 D 4.(0,9)[解析]连接AP.点A的坐标为(-3， 0),点C的坐标为(0，-1)，.OA=3,0C=1.设⊙P 0 的半径为x,则OP=PC-OC=x-1.在Rt△AOP 中，0A2+0P2=AP2,即32+(x-1)2=x2,解得x= 5,∴.PD=5,OP=x-1=4,∴.OD=0P+PD=9. 3题答图 4题答图 点D的坐标为(0,9).故答案为(0,9). 4.120°[解析]如答图，连接OC,OD,BC=CD=5.A[解析]一条直线如果具备经过圆心、垂直于 DA,∴.∠COB=∠COD=∠D0A.∠COB+∠COD 弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦 +∠D0A=180°，∴.∠C0B=∠COD=∠D0A=60°， 所对的劣孤这五条中的任意两条，必然具备其余三 ∴.△BCO和△OCD都是等边三角形，∴.∠BCD= 条.①孩直线满足平分弦所对的优孤、平分弦所对 60°×2=120°. 的劣弧两个条件，所以①)正确：2只满足其中的一 5.30°[解析]如答图，连接0C,AB是直径，AC= 个条件，所以不正确：③不满足条件，所以不正确： ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的孩有可能是直 CD=BD,.∠AOC=∠C0D=∠D0B=60°，0A= 径，所以不正确。 0C,.△A0C是等边三角形，.LA=60°.CE⊥6.C[解析】知答图，连接OA 0A,∴.∠AEC=90°，∴.∠ACE=90°-60°=30. ,CD为直径，AB为弦，AM= BM,.AB⊥CD.CD=10,OAD =0C=5,又：0M:0C=3:5, OM=3.在Rt△AOM中，AM= 0A-0m=52-32=4, 6题答图 ∴AB=2AM=8. 5题答图 7.证明：E为AB的中点，MN过圆心O,.MN⊥AB 6.证明：在⊙0中，AB=CDAB=CD. ,AB∥CD,∴.MN⊥CD,.CF=DF .B-AG=CD-AC,即A0=BC 8.C[解析]如答图，连接O4, 7.证明：OA=OB,AD=BE..OD=OE. AB⊥CD,AB=10寸，AE= 在△OCD和△OCE中， BE=5寸.设⊙0的半径为x .OD =OE, 寸，则OC=OD=x寸.ED= CD =CE. 1寸，，0E=(x-1)寸.在 LOC=0C. R△AOE中，根据勾股定理，得 8题答图 x2-(x-1)2=52,解得x=13,.CD=26寸. ,∴.△OCD≌△OCE(SSS). ·33· 九年级数学·北师版（下册） 【能力捉升练】 1.C M=3×(8+3)-3=3,B=号4B=(M+ 2.B[解析]如答图，连接OB,过点0作OC⊥AB于 m0=7x4+6)=5 点D,交⊙0于点C,B=24m,BD=2AB 12cm.0B=0C=13cm,∴.在R1△0BD中，0D= 六在1△BOM中，B0=√M0+MB-5 21 √OB-Bn=132-122=5(m)..CD=OC-0D =13-5=8(cm),即水的最大深度为8cm.故选B. 0 D B 5题答图 6.解：(1)如答图，设圆弧所在圆的圆心为0，连接 -24 OA,OA',设半径为xm, 2题答图 3.C[解析]作OH⊥CD于点H,连接OC.如答图. 则OA=OA'=OP=xm, 由垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N, OH⊥CD,∴.HC=HD.AP=2,BP=6,.AB=8. ∴.OA=4,∴.OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中， B =30 m.A=15 m ∠0PI=∠APC=30,0M=20P=L在 连接OM,:AM=BM, .0M⊥AB,且点0，M,P共线， R△0HC中.OC=4,0H=1,,CH=√0C2-0m= 在R△AOM中.OM=OP-PM=(x-9)m. 15,.CD=2CH=2/15,故选C. 由勾股定理可得A0=OM+AM, D 即x2=(x-9)2+152,解得x=17. 即拱桥所在的圆的半径为17m. P -0 (2),0P=17m, .∴.0N=0P-PN=17-2=15(m). 在R△A'ON中，由勾股定理可得 3题答图 A'N=√/0A2-0N2=17-15=8(m), 4.D[解析]①当孩AB和CD在圆心同侧时，如答图 ∴.A'B=2A'W=16m>15m ①，连接OA,OC,作OF⊥CD于点F,交AB于点E ∴不需要采取紧急措施 AB∥CD,∴OF⊥AB.AB=24cm,CD=10cm. P .'AE 12cm,CF =5 cm.''OA OC 13 cm,.'.OE B 2 =5cm,0F=12cm..EF=12-5=7(cm).②当弦 AB和CD在圈心异侧时，如答图②，连接OA,OC.作 M OF⊥CD于点F,延长FO交AB于点E.AB∥CD. ∴，OE⊥AB.,AB=24cm,CD=10cm.∴.AE= 0 6题答图 12 cm,CF =5 cm.'OA =OC =13 cm,..E0 =5 cm, 题型变式 OF=12cm,.EF=OF+OE=17cm.∴.AB与CD 之间的距离为7cm或I7cm.故选D. 1.25[解析]如答图，设该圆的圆心 C 为0，连接0A,0C,0C与AB交于 0 点M,AC=BC,得OC⊥AB,即CM⊥ AB,所以CM=10cm.由垂径定理 E D 可得4W=子B=20m,设丰径 1题答图 4题答图① 4题答图② OA的长为xcm,由勾股定理，得x2=(x-10)2+ 5.解：如答图，过点O分别作OM⊥AB于点M,ON⊥ 20,解得x=25,即该圆的半径为 CD于点N,得矩形MHNO,连接BO. 25cm. 根据垂径定理，得M为AB的中点，N为CD的中点，2.5[解析]如答图，过点O作O0 0 .M0-NH-CN-CH-CD-CH-(CH+MD)- ⊥AB于点D,连接OA,OD⊥ ABAD=B=4m设01= B 2题答图 ·34· 参考答案及解析 rcm,易知OD=(r-2)cm.在Rt△AOD中，OA2= 0D2+AD,即r2=(r-2)2+4,解得r=5.故该输水管 当点A在BC所对的优弧上时，∠A=号∠B0C= 的半径为5cm 4园周角和圆心角的关系 609:当点4在弦BC所对的劣弧上时，∠A=号 课时1圆周角定理及其推论1 (360°-∠B0C)=120°. 【基础巩固练】 故∠A的度数为60°或120 1.D 【能力提升练】 2.B 1.B[解析]∠B0C=130°，点A在BAC上， 3.B[解析]AB=AB,∠A0B=76°，：∠C= ∠BHC=∠B0C=65,故选B 2∠A0B=38°，故选B. 2.C[解析]若P点为图心，则∠FPG=2∠FEG= 4.A[解析]由同孤所对的圆周角相等，可知∠D= 100°，观察选项易知C符合题意，故选C ∠A=48°，：∠APD=∠B+∠D=80°，∴.∠B= 3.63[解析]如答图，连接OB,则∠AOB=2∠ACB ∠APD-∠D=80°-48°=32. 120.ODAB LAOE-LAOB=0A0- 5.D[解析]解法一AB=CD,.AB=C,B 6,∴.AE=A0·sin∠AOE=35,.AB=2AE=65. 所对的圆周角等于CD所对的圆周角，∴，∠CED= 7LA0B=21 解法二如答图，连接OC,OD,AB=CD,AO=BO =C0=D0,∠A0B=42°，.∠COD=∠AOB=42°， ∠cBD=号∠c0D=210 3题答图 4.60°或120 [解析]如答图，过 点O作OD⊥BC于点D.OB= OC,OD⊥BC,BC=23cm, ∴.∠BOD=∠COD,BD=CD= 2BC=3(cm),cos∠0BD 5题答图 4题答图 6.25 o[解析]点C是BD的中点，CD=CB. 器-∠00=0， ∴.∠CBD=∠CDB=∠A=25 ∴∠B0D=90°-∠0BD=60°，+.∠B0C=120°，当 [解析]在Rt△ABC中，AC=1,AB=2, 点A在孩BC所对的优孤上时，LA=2∠B0C= 、an∠ABC==2,”∠AED=∠ABC, AB 60:当点A在孩BC所对的劣孤上时，LA=司 tan∠AED=tan∠ABC= 2 (360°-∠B0C)=120°，故∠A的度数为60°或 120°. 8.证明：连接AC .AB CD, 5.(1)证明：：E为AD的中点，0C是半径， AB=CD,AB+D=BD+CD,即AD=CB」 AC=CD.∠CAD=∠CBA ∴，∠C=∠A.PA=PC. (2)解：AB是直径，.∠ACB=90 9.解：△ABC为等边三角形，理由如下： :E为AD的中点，OC是半径， ∴.OC⊥AD.∴.∠AEC=90°.∴.∠AEC=∠ACB. 在⊙O中，：∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角， 又∠CAD=∠CBA,∴.△AEC∽△BCA. ∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角， ∴.∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC. 小能-即传品=86 又，∠APC=∠CPB=60°， ∠ABC=∠BAC=60°， 0c=7B=50E=0c-fC=5-36=l.4 ∴.△ABC为等边三角形. 6.解：(1)根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相 ·35·