专项4 二次函数的存在性问题-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

第二章 二次函数 专项4二次函数的存在性问题 [客案P22] 类型①与三角形有关的存在性问题 2(陕西中考)已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴 ①如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 交于点A,B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. 两点，与y轴交于点C(0,3) (1)求点B,C的坐标： (1)求抛物线的表达式： (2)设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称， (2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的 在y轴上是否存在点P,使△PCC与△POB 抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰 相似，且PC与P0是对应边？若存在，求点 三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐 P的坐标：若不存在，请说明理由， 标：若不存在，请说明理由。 0 1题图 见此图标园抖音/微信扫码领取配在资源稳步提升成绩 33 九年级数学·北师版（下册） 类型②与线段或角度有关的存在性问题 类型③与四边形有关的存在性问题 3(中山二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x ④（随州中考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物 轴交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y轴相交于 线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴分别交于点A和 点C,直线y=kx+b,经过点A,C 点B(1,0),与y轴交于点C,对称轴为直线x= (1)求抛物线和直线AC的表达式： -1,且OA=0C,P为抛物线上一动点 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点￡，使线 (1)直接写出抛物线的表达式： 段EA绕点E逆时针旋转90得到线段EA1, (2)如图②，连接AC,当点P在直线AC上方时， 且A,刚好落在抛物线上？若存在，求出点E 求四边形PABC面积的最大值，并求出此时 的坐标：若不存在，请说明理由 点P的坐标： (3)设M为抛物线对称轴上一动点，当点P,M 运动时，在坐标轴上是否存在点N,使四边 形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及 其对应点N的坐标：若不存在，请说明理由 3题图 4题图① 4题图2 4题备用图 346 见此图标跟抖音/縱信招码领取配套资源稳步提升成绩九年级数学·北师版(下册) 设点E(m,2m-2),Ssor=2Sns 2x2x(2m-2)=2.. m=2. E(2,2), 4题答图 .直线BE的表达式为y=-2x+6 专项4 二次函数的存在性问题 过点F作FG/v轴交直线BE于点G. 1.解:(1):抛物线与x轴交于A(-1.0).B(3.0)两点 ·F(t2r-8t+6)(1<t<3)..G(t.-2t+6), .设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3). $FG=-2t+6-(2-8t+6)=-2+6 t. ·抛物线与y轴交于点C(0.3). 当1<t<2时,点G在线段BE的延长线上 '.a(0+1)(0-3)=3.解得a=-1. ·抛物线的表达式为 y=-(x+1)(x-3)=-2+2x+3. -(-2+62)x(3-2) (2)存在,理由如下: 由y=-x2+2x+3.得点D的坐标为(1.4),对称轴 --(1-) 为直线x=1. ①若PC=PD.设点P的坐标为(x.y) . 当?-时,Sar有最大值, 根据勾股定理,得x2+(3-y)}=(x-1)^{}+(4-y)^②} 即y=4-x. 当2<t<3时,点G在线段BE上. 又点P(x,y)在抛物线上..4-x=-x}+2x+3 .3-51,故应舍去.-345 2 -#(#-)# 2 .¥=4-5-5 :当t-2时,S有最大值2 综上,当t-3时,△FBE的面积最大,最大值为。 即点P的坐标为(355-5). 4.解:(1)将A(-2.0).B(6.0)的坐标分别代入y= ②若DC=DP.:点P在对称轴右侧的抛物线上,由 [a□= r4a-2b-6=0 解得 抛物线的对称性可知,点P与点C关于直线x=1 ax2+bx-6,得 136a+6b-6=0,' 对称,此时点P的坐标为(2.3). b=-2. ③若CD=CP,由图象可知此种情况不存在 综上所述,符合条件的点P的坐标为(3455-5) (2)如答图,连接PC,过点P作PH1B0于点H 或(2,3). ·PO//AC..△PAO与△PCO的面积相等, .S=S.+S=Srao+Seno=Sroo+Srno=S△PBn$ 2.解:(1)令y=0.即-x2+2x+8=0 -Secon+S△Pnn-Snoc- 解得x.=-2,x=4,B(4,0). 设P(n-~m-). 令x=0.得y=8.:C(0.8). (2)存在. 该抛物线的对称轴为直线x=-- 2 (-n}+--$6×6-n}+9 .点C与点C关于直线x=1对称. .C'(2.8).CC'=2.CC'//0B. :点P在y轴上.'PCC'=PPOB=90。 .PC与P0是对应边. .△PCC'o△POB.POOB 由题意,得0<m<6. PC_CC 设P(0,y), 此时点P的坐标为(3.-15) i.当y>8时,x-82 -y=16..P(0,16). ) ·22. 参考答案及解析 16 (##)#(#-) #4 - li.当0<y<8时,8-x2 综上,点E的坐标为( ,_ .#(01). :点P不存在 .P(0,16)或P(o,). 3题答图 3.解:(1)将A(-4.0).B(1.0)的坐标分别代入y三 4.解:(1):抛物线的对称轴是直线x三-1.抛物线交 -16-46+C=0,解得{ [b=-3, x轴于点A,B(1,0), -2+bx+c,得 -1+b+c=0, lc-4. A(-3,0)0A=0C=3.C(0,3). .抛物线的表达式为y=-x2-3x+4, 可设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1). 当x=0时,y=4.C(0.4). 把C(0,3)的坐标代入抛物线的表达式,得a=-1. 将A(-4.0).C(0.4)的坐标分别代入y=kx+b .抛物线的表达式为y=-x-2x+3 (2)如答图①.连接0P. 得 lb.=4. 设P(m.-m}-2m+3)(-3<m<0). 则SmumPAnc=SArAo+Soroc +S△oac .直线AC的表达式为y=x+4 (2)存在. (--3-4--(8)25. 3x(-n)+x1x3-- 4题答图① .该抛物线的对称轴为直线x=-2 (2)# 如答图,设直线x--3交x轴于点日,当点E在x 轴上方时,设直线AC与对称轴的交点为E’,连 .当m=- 接BE'. 2时,四边形PABC的面积最大,最大值 由(1)知直线AC的表达式为y=x+4,当x=- #为,此时P(-3,15) -r的坐学标为(-#). (3)存在. P(-1,4),N(0,4); 5 :F'H=AH=BH=5 FAB=2 EF'BA=450, #.#441).(0#) .乙AE'B=90*,:点E即为所求 ###_( 当点E在x轴下方时,作A.F1EH于点F,连接 AE, AE,则 A FE=EHA=LAEA=90 A EF=LEAH=90*- AEH 如答图②.当点N.在v轴上时,四边形P.M.CN.是 A.E=EA.'.△A.EF△EAH. 矩形,此时P(-1,4).N.(0,4). 设点E(-2.m)(mco), 4题答图② 4题答图③ 如答图③.当点N.N.在x轴上时.四边形 (--)4. y=-2-3x+4上, P.M.CN.和四边形P.M.CN.都是矩形, 设M(-1.n).P(t.-?-2t+3).则N(t+1.0). [-(--2t+3)=3, 易得1-3 3-n=1' 则#(-)# 消去n.得3*+5t-10=0. .23. 九年级数学·北师版(下册) $×x6×8-(6-)$i2=-61+24= .(#.(#) 6 (1-3)*}+15.1>0.当t=3时,四边形PAB0的 面积取最小值,最小值为15cm^{},故选C. ##4)(0 7.解:设矩形羊圈垂直于住房墙的一边长为xm,则平 行于墙的一边长为(25-2x+1)m. 综上所述,满足条件的点为P(-1.4),N.(0.4); ##(54)#0#0 25-2x+1<12.25-2x+10.7x13$ 4二次函数的应用 课时1 利用二次函数解决面积最值问题 在对称轴右侧y随着x的增大而减小 【基础巩固练】 .当x=7,即矩形羊圈的长、宽分别为12m,7m时 1.B [解析]设一条直角边长为xcm,则另一条直角 羊圈的面积最大,最大面积是84m^。 边长为(10一x)cm.设直角三角形的面积为Scm} 【能力提升练】 1 1.A [解析]设矩形的一边长为xm,则其邻边长为 (1-x)m.设矩形的面积为Sm},则S=x(1-x)= <0..当x=5时,Sxa=12.5.故选B. #_-(第-)}+寸(0<< 1)当x- 2.B [解析]如答图,设直线x= =t 1与0A.0B分别交于点C.D 时,S取得最大值,最大值为..围成的矩形的最 :在Rt△AOB中,AB1OB,且 $A B=0B=3. AOB= A= 大面积为士m 45:CD1 OB.CD/AB. .乙OCD=乙A,乙AOD= 0D 2题答图 2.A [解析]设花固中的阴影部分的面积为Sm^{},由 题意,得花圈中的阴影部分的面积S=(20一x)(14 $x)=x2}-34x+280=(x-17)-9.该函数图象的$$ ?(0<<3),即s=(0<1<3).故选B. 开口向上,且对称轴为直线x=17.·0<x1. :当 x=1时,$有最小值,此时$=(1-17)-9=2 47$$ 3.D [解析]设CE=xm,则CD=(10-x)m. 故选A. . So-CF·cD- 3.③④ [解析]:三块小长方形的面积相等,.EG =GF,EG·AE=EF·BE. 设EG=GF=a 米$AE= HG=DF=b米,则EF=2a 米,:. BE=FC=$b米,$$ 象的开口向下.:.当x=5时,面积最大,为12.5m②} 故选D. '.AE=2BE.无法得出BC=2CF。:②错误,③正 4.B [解析]设AB=xm.则BC=(12-2x)m,则矩形 ABCD的面积$=x(12-2x)=-2x2}+12-x= 10- .AB(10-△*)-15-(米), -2(x-3)}+18,即矩形ABCD的最大面积为18m} 故选B. 5.C [解析]:AB=x m,BC=(28-x)m,则S=AB :①错误. ·.$&*(1-3→)(20)-3+300, ·BC=x(28-x)=-x2+28x.由题意可知$ [x>6, 128-x>15. 解得6<x=13.易知当6<x13时,S 随x的增大而增大,.当x三13时,S取得最大值, ABCD的面积最大,且最大面积为300乎方米,:④ 最大值为195. 正确. 6.C [解析]在Rt△ABC中,乙C=90*,AB=10 cm, 4.15m[解析]如答图,三块 $$$C=8 cm. .AC=AB-BC^{}=6 cm.设运动时间$$$ 矩形区域的面积相等,心矩形 ① 1 为1s(0<1<4),则PC=(6-t)cm,C0=2t cm. -G③ AEFD面积是矩形BCFE面积 的2倍,.:.AE=2BE,设BC= xm,BE=FC=am,则AE= B 4题答图 .24.