3 确定二次函数的表达式-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

第二章二次函数 3确定二次函数的表达式 《基础巩固练 [客案PI9] 细调点①用“一般式”求二次函数表达式 如用“交点式”求二次函数表达式 ①若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x 6如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与 之间的函数关系式是 ( y轴交于点C,若OC=2(0为坐标原点)，则这 0 条抛物线的表达式是 () ax A.y=x2-x-2 ax+h+e 83 B.y=-x2-x-2或y=x2+x+2 C.y=-x2+x+2 A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4 D.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8 司已知抛物线经过点(1,3)和(4,0)，对称轴为直 2(浙江杭州下城区期末)已知二次函数y=ax2+ 线x=2,则它与x轴的另一个交点为 4x+c,当x=-2时，函数值是-1：当x=1时. 一， 抛物线的表达式为」 函数值是5.则此二次函数的表达式为( 8(重庆南岸区校级模拟)如图，在平面直角坐标 A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2 系内，二次函数y=a.x2+br+c的图象经过点 C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1 A(-2,0),B(4.0),与y轴交于点C(0.6) 知瞑点②用“顶点式”求二次函数表达式 (1)求二次函数的表达式： 3(北京昌平区期中)二次函数的图象如图所示， (2)点D为x轴下方二次函数图象上一点，连接 则这个二次函数的表达式为 AC,BC,AD,BD,若△ABD的面积是△ABC 面积的一半，求点D的坐标 3题图 A.y=x2+2x-3 B.y=x2-2x-3 8题图 C.y=-x2+2x-3 D.y=-x2-2x+3 4已知二次函数在x=1时，有最大值8，其图象的 形状、开口方向均与抛物线y=-2x2相同，则这 个二次函数的表达式是 () A.y=-2x2-x+3B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6 ⑤如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶 点坐标为(4，-3)，该图象与x轴相交于点A,B, 与y轴相交于点C,已知点A的横坐标为1. (1)求该二次函数的表达式： (2)求tan∠ABC的值. 5题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 29 九年级数学·北师版（下册） [鉴案P19] 《能力提升练 司（浙江温州校级一模）小明在研究某二次函数y1 =ax2+r+c时列表如下： 司如图，在平面直角坐标系中，已知直线y:-2 +4与y轴交于点A,与x轴交于点B,点C的坐 4 -2-10 23 4 标为(-2,0). y=a2+b+e…116336… (1)求经过A,B,C三点的抛物线的表达式： 当自变量x满足-1≤x≤4时，下列说法正确的 (2)如果M为抛物线的顶点，连接AM,BM,求 是 △ABM的面积 A.y有最大值11，有最小值3 B.y有最大值11，有最小值2 C.y有最大值6，有最小值3 D.y有最大值6，有最小值2 2(眉山中考)在平面直角坐标系中，抛物线y=x 7题图 -4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为 ( A.y=-x2-4x+5B.y=xX2+4x+5 C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-5 3已知二次函数y=ax2+br+c的图象是由y= 的图象经过平移得到的，若图象与x轴交于 点A,C(-1,0),与y轴交于点D0,)顶点为 点B,则四边形ABCD的面积为 ( A.9 B.10 C.11 D.12 ④（安微铜陵校级模拟）若二次函数y=ax2+4ax ②题型变式 讲本24答案20 +c的最大值为4，且图象过点(-3,0)，则该二 ①（题型变式）根据下列条件，分别求出对应的二 次函数的表达式为 次函数的表达式 5已知抛物线过点A(-1,0)和B(3,0),与y轴交 (1)已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且过点(2,3)： 于点C,且BC=32,则这条抛物线对应的函数 (2)已知抛物线过点(-1,0)，(3,0)，(2，-6)： 表达式为 (3)已知抛物线过点(-1,2)，(0,1)，(2，-7). 6(浙江温州模拟)如图，已知抛物线y=x2-bx+ c经过点(3,0)，与y轴交于点(0，-3) (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)当-1≤x≤1时，函数的最大值与最小值的 差为9，求1的值。 0/3 6题图 30g 见此图标眼抖音/疑信扫码氯取配套资源稳步提升成绩参考答案及解析 y=-2x2-4x+6.即y=-2(x+1)2+8 六当x=-1时，y最大值=8. (2)因为二次函数y=(x-4)2-3图象的对称轴 (2)当m=2时，二次函数的表达式为y=x2-4x+3 为直线x=4, 1>0,,函数图象的开口向上，故函数有最小值。 所以点A与点B关于直线x=4对称， y=x2-4x+3,即y=(x-2)2-1, 因为A(1,0),所以B(7,0). 六.当x=2时，最增=-1. 当x=-0时y=子，所以0C=子 3.B[解析]由二次函数图象开口向上，知a>0,抛 物线与y抽交点位于正半轴，知c>0,所以ac>0, 7 在Ri△OBC中，an∠OBC= 0031 选项A错误：由对称轴一名>0，知6<0，选项B正 0B=7=3 确：由抛物线与x轴有两个不同的交点，所以y=0 即am∠ABC=分 时，一元二次方程ax2+br+c=0有两个不相等的 6.D[解析]设抛物线的表达式为y=a(x-2)(x+1). 实数根，所以b2-4c>0,选项C错误；当x=1时，y 0C=2,.C(0,2)或C(0,-2).把C(0,2)的坐 >0,即a+b+c>0.选项D错误. 4.D[解析]y=x2-2x+5=(x-1)2+4,先将抛物 标代入y=a(x-2)(x+1)得a·(-2)·1=2,解 得a=-1,此时抛物线的表达式为y=-(x-2)(x 线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长 +1),即y=-x2+x+2.把C(0,-2)的坐标代入y 度，得抛物线的表达式为y=(x-1-2)2+4+3= =a(x-2)(x+1)得a·(-2)·1=-2,解得a= (x-3)2+7. 1,此时抛物线的表达式为y=(x-2)(x+1),即y 5.C[解析]，y=2+bx+c的图象开口向下，∴.a =x2-x-2.故抛物线的表达式为y=-x2+x+2 <0.对称轴在y轴的左侧，b<0,.一次面数y 或y=x2-x-2.故选D. =ar+b的图象经过第二、三、四象限，故选C 7.(0,0)y=-x2+4x 3确定二次函数的表达式 [解析]抛物线经过点(4,0)，对称轴为直线x=2, 【基础巩囿练】 ,抛物线与x轴的另一个交，点为(0,0).设抛物线 1.A[解析]由x=1,ax=1得a=1.将(-1,8)，(0， 的表达式为y=ax(x-4).把(1,3)的坐标代入表 3)分别代入y=+低+c中，得-b+=8,解得 达式得a·1·(-3)=3,解得a=-1.∴抛物线的 e=3. 表达式为y=-x(x-4),即y=-x+4. C=3,函数关系式是y=一4x+3.故选A 8.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-4) 把点(0,6)的坐标代入y=a(x+2)(x-4), 2.A[解析]根据题意，得：8+C、-山解得 la+4+e=5, 得6=a(0+2)×(0-4),解得a=-3 4 =2,所以此二次画教表达式为y=2x+4红-1 le=-1. 二次函数的表达式为y=}(x+2)(任-4)， 故选A. 32 3 3.B[解析]由题图，可知图象的顶点坐标是(1，-4)， 即y=-4+2+6 与x轴的交点坐标是(-1,0)，所以可设二次函数 (2)设点(，-子+2+6 的表达式是y=a(x-1)2-4,把(-1,0)代入，得 a(-1-1)2-4=0,解得a=1.所以y=(x-1)2-4 ,△ABD的面积是△ABC面积的一半， =x2-2x-3. ×2+4)x[-(-+2+6-x 4.D[解析]，二次函数在x=1时，有最大值8， 顶点坐标为(1,8)..可设该二次函数的表达式 ×(2+4)×6, 整理，得12-21-12=0， 为y=a(x-1)3+8,又：其图象的形状、开口方向 均与抛物线y=-2x2相同，∴.a=-2,.该二次函 解得1=1+13,2=1-√13 数的表达式为y=-2(x-1)2+8=-2x2+4x+6. 点D的坐标为(1+√13，-3)或(1-13，-3) 5.解：(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4，-3)， 【能力提升练】 所以可设该二次函数的表达式为y=a(x-4)-3, 1.B[解析]将，点(0,3)，(2,3)，(3,6)代入到二次函 把A(1,0)的坐标代入，得0=a(1-4)2-3. rc=3, 数y=ax2+br+c中，得 4a+2b+c=3,解得 解得a=3 9a+3b+c=6, 故该二次函数的表达式为 ra=1, y=3-42-3=2-景+ 7 b=-2,.二次函数的表达式为y=x2-2x+3= e=3. ·19. 九年级数学·北师版（下册）】 (x-1)2+2,抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, 顶点坐标为(1,2)，，自变量x满足-1≤x≤4时，y 解得6=2， c=-3. 有最小值2，x=4时，y有最大值为(4-1)+2= ∴.抛物线的表达式为y=x2-2x-3, 11,当自变量x满足-1≤x≤4时，y有最大值 化成顶点式为y=(x-1)2-4, 11,有最小值2，故远B. .顶点坐标为(1，-4) 2.A[解析]y=x2-4x+5=(x-2)2+1,所以抛物 (2),抛物线的对称轴为直线x=1,且开口向上， 线y=x-4x+5的顶点坐标是(2,1)，令x=0,得y 当x=1时，y绿小值=-4， =5,所以C(0,5).因为(2,1)关于(0,5)的对称，点 .当-1<1≤3，x=-1或x=3时，30大=0， 为(-2,9)，所以抛物线y=x2-4x+5关于点C成 ∴.此时最大值与最小值的差为0-(-4)=4<9， 中心对称的抛物线的顶点坐标是(-2,9)，所以抛 1>3,当x=t时，y大值=-21-3， 物线y=x2-4x+5关于点C成中心对称的抛物线 则有2-21-3-(-4)=9 的表达式为y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5. 解得11=-2（舍去），4=4， 3.A[解析]y=a2+bx+c的图象是由y=2 ∴.t的值为4. 的国象经过平移得到的a=弓心y=产+： 7.解：0对于y之+4，当=0时y=4A0,4 +6抛物线过点C(-1,0),0,）号-b+ 当)=0时，-之+4=0，解得x=8(8.0). c=0e=b=3y=++3-易 b 设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-8), 将点A(0,4)的坐标代入，得-16a=4,解得a=一 -3,4c-=-2,顶点B的坐标为(-3，-2). 4a y=- 3 :抛物线的对称轴为直线x=-3,C(-1,0),A +2-8)=-2+子+4 点坐标为(-5,0)，.AC=4.如答图，S回造和D= 3 +5=4x2+×4x号=9 1 （2+*4=-3+2 3.) 如答图，过点M作MD⊥x轴于点D,交AB于点E, 则D=空0D=3, B 3,）则DE=多ME=D-DE= 4 3题答图 4.y=-4r2-16r-12[解析]因为抛物线的对称轴 ∴.SAMw=SAW+SAfR =子NE,0D+E·DB 为直线=一铝=-2，所以抛物线的顶点坐标为 2E0B=× 115 ×8=15. (-2,4).设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4, 把点(-3,0)的坐标代入，得a·(-3+2)2+4=0, 解得a=-4,所以二次函数的表达式为y=-4(x +2)2+4=-4x2-16x-12. 5.y=r2-2xr-3或y=-xr2+2xr+3[解析]：抛物 线过点A(-1,0)和B(3,0),设抛物线对应的函 数表达式为y=α(x+1)(x-3).又：抛物线与y轴 7题答图 交于点C,且BC=32,,0C=√(32)2-32=3. 题型变式 ,点C的坐标为(0，-3)或(0,3).把点C的坐标 1.解：(1)设其对应的二次函数的表达式为 代入y=a(x+1)(x-3),得-3=a×(-3)或3=a y=a(x-1)2+2(a≠0)， ×(-3),∴.a=1或a=-1,∴.这条抛物线对应的 把(2,3)代人，得a+2=3,解得a=1, 函数表达式为y=(x+1)(x-3)或y=-(x+1)(x 所以y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3. -3),即y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3. (2)设其对应的二次函数的表达式为 6.解：(1)抛物线y=x2-b+c经过点(3,0)，与y y=a(x+1)(x-3)(a≠0)， 轴交于点(0，-3). 把(2，-6)代入，得-3a=-6,解得a=2, 将(3,0)和(0，-3)的坐标代入，得9-3汤+c=0, 所以y=2(x+1)(x-3),即y=2x2-4x-6. lc=-3, (3)设其对应的二次函数的表达式为 ·20· 参考答案及解析 y=ax2+bx+c(a≠0). 令x=0,得y=3,∴C(0,3) ra-b+c=2, ,a=-1 令y=0,得x=1或x=-3. 则c=1, 解得 b=-2, ∴.A(1.0),B(-3,0),.0A=1.0B=3,0C=3, l4a+2b+c=-7, c=1, ..AC=OA+0C =2,BC=OB+0C=23. 所以y=-x2-2x+1. AB=4. 专项3二次函数的最值问题 .BC+AC2=AB,.BC⊥AC. 1.解：(1)抛物线经过点A(-60),B(3.0),C(0.6). 延长BC至点B,使B'C=BC,连接BM,交直线AC 1 36a-6b+c=0, a=-3 于点Q,连接BQ,BM, 9a+3b+c=0,解得 则点B,B关于直线AC对称，，QB=QB', b=-1, c=6, QB +QM QB'+QM =MB', lc=6. ∴.此时△QBM的周长最小 故抛物线的表达式为y=一了-+6 由B(-3,0).C(0.3),易得B'(3,23). 直线AD经过点A(-6,0), 设直线MB'的表达式为y=x+n, ÷-6m+2=0,解得m=3 将M(-2,3),B(3,23)的坐标分别代入， 故直线AD的表达式为y=了+2 得-2k+n=5解得 t=B 5 3k+n=23, 73 (2)设点P的坐标为，-子-1+6小-6<1<0). n=5 573 则点0的坐标为，了+2) .直线MB'的表达式为y= 5 由题意得m=(--1+-(宁+2) 同理可求得直线AC的表达式为y=-3x+5. 375「x= =-4-u+2+9 由 y= 5+ 5得 3” y=-3x+3, y= 当1=-2时，PQ有最大值，最大值为9 3 (3)AD与y轴交于点E,E(0,2),∴CE=4. 在直线4C上存在一点0(-分4号），使△0BW 若四边形PCEQ是平行四边形，则PQ=CE. 的周长最小 即-+2y+9=4 解得1=-4或1=0（會去）， 当1=4时，-写-1+6= 3 放点P的坐标为-4，》 2题答图 2解：(：抛物线的顶点N的坐标为-1,4号）) 3.解：(1)：抛物线y=a2+bx+c经过点A(1,0), B(3,0), ·可设其表达式为y=a(x+1)产+4圆 .设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-3) 31 把点C(06)代入，得a(0-1)(0-3)=6, 将M-2.5)的坐标代入，得a+45=5, n=2, 3 ∴.抛物线的表达式为 得。生一多 y=2(x-1)(x-3)=2x3-8x+6. (2):直线y=2x+b'过点A(1,0), 故抛物线的表达式为 ,2+b'=0..b'=-2, -x++4-.2 ∴.直线AD的表达式为y=2x-2. 3 3t+3. 由/p=2x-2, (2)存在.如答图，连接BC 6解0： 1y=2x2-8x+ y=6. )知y=-2+。 ∴.D(4,6). 3 A(1.0),B(3,0).∴AB=2, ·21·