2.3 确定二次函数的表达式 课件 -2024-2025学年北师大版数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 复习回顾 一般式 y =ax2＋bx＋c（a≠0) 顶点式 y =a(x－h)2＋k（a≠0) 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) 如何确定二次函数解析式 类型1 已知一点或两点坐标求二次函数解析式 1.已知二次函数 y =x2＋bx＋1的图像经过点(1,3)，则该二次函数的解析式为________________. y =x2＋x＋1 思路解析 1＋b＋1=3 b=1 类型1 已知一点或两点坐标求二次函数解析式 2.若二次函数 y =ax2＋bx－3 的图像经过点(-1,0)(3,0)，则其表达式为________________. 思路解析 a－b－3=0 9a＋3b－3=0 a=1 b=-2 y =x2－2x－3 类型2 已知三点坐标设“一般式”求二次函数解析式 3.已知抛物线图像经过点(-1,-5)(0,-4)(1,1)，则该抛物线的解析式为________________. 思路解析 a－b＋c=-5 a＋b＋c=1 a=2 b=3 c=-4 c=-4 y =2x2＋3x－4 设一般式 y =ax2＋bx＋c（a≠0) Tips：已知抛物线上三点坐标，一般用一般式转化为三元一次方程组求解 类型3 设“顶点式”求二次函数解析式 4.已知二次函数的图像经过点(1,10)，顶点坐标为(-1,-2)， 则此二次函数的解析式为________________. 思路解析 由顶点坐标为(-1,-2) 顶点式 y =a(x－h)2＋k（a≠0) 可设 y =a(x＋1)2－2（a≠0) 将点(1,10)代入 a=3 y =3(x＋1)2－2 y =3x2＋6x＋1 类型3 设“顶点式”求二次函数解析式 5.已知二次函数的图像经过点(-1, )和点(-3, )，且该二次函数的最小值为3，则此二次函数的解析式为___________________. 思路解析 由对称性可得抛物线对称轴为直线x=-2 由顶点坐标为(-2,3) 顶点式 y =a(x－h)2＋k（a≠0) 可设 y =a(x＋2)2＋3（a≠0) a= y = (x＋2)2＋3 类型3 设“顶点式”求二次函数解析式 6.已知二次函数图像顶点坐标为(-1,3),且与y轴的交点到x轴的距离为1，则该二次函数的解析式为___________________. 思路解析 由顶点坐标为(-1,3) 顶点式 y =a(x－h)2＋k（a≠0) 可设 y =a(x＋1)2＋3（a≠0) y =-2(x＋1)2＋3 或y =-4(x＋1)2＋3 易错点 截距为1 a=-2 截距为-1 a=-4 Tips：①已知顶点坐标和另一点 ②已知对称轴和另一点 ③已知抛物线纵坐标相同 的两点和另一点 类型4 设“交点式”求二次函数解析式 7.若抛物线经过(0,1)(-1,0)(1,0)三点，则此抛物线的解析式为（ ）. A.y=x2＋1 B.y=x2－1 C.y=-x2＋1 D.y=-x2－1 思路解析 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) (-1,0)(1,0) 可设 y =a(x＋1)(x－1)（a≠0) 将(0,1)代入 a=-1 C 类型4 设“交点式”求二次函数解析式 8.经过A(4,0)，B(-2,0)，C(0,3)三点的抛物线的解析式为____________________________. 思路解析 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) (4,0)(-2,0) 可设 y =a(x－4)(x＋2)（a≠0) 将(0,3)代入 a=- y =- (x－4)(x＋2) 类型4 设“交点式”求二次函数解析式 9.如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0)且与y轴相交于点C.若OC=2，其中O点为坐标原点，则这条抛物线解析式为____________________________. 思路解析 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) (2,0)(-1,0) 可设 y =a(x－2)(x＋1)（a≠0) 将(0,2)代入 a=-1 y =-x2-x＋2 易错点 将(0,-2)代入 a=1 或 y =-x2-x＋2 O y x C C 类型4 设“交点式”求二次函数解析式 10.已知抛物线y =ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(-1,0)(3,0),其形状与抛物线y =-3x2相同，则该二次函数解析式为____________________________. 思路解析 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) (-1,0)(3,0) 可设 y =a(x＋1)(x－1)（a≠0) a=-3 易错点 或a=3 y =-3(x＋1)(x－1) 或y =3(x＋1)(x－1) Tips：已知抛物线与 x轴 两交点的横坐标和 另一点转化成交点 式解决 类型4 设“交点式”求二次函数解析式 11.二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线x=-1，则这个二次函数的表达式为（ ） A.y =- x2＋2x＋3 B.y = x2＋2x＋3 C.y =- x2＋2x－3 D.y =- x2－2x＋3 D 类型4 设“交点式”求二次函数解析式 7.若抛物线经过(0,1)(-1,0)(1,0)三点，则此抛物线的解析式为（ ）. A.y=x2＋1 B.y=x2－1 C.y=-x2＋1 D.y=-x2－1 思路解析 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) (-1,0)(1,0) 可设 y =a(x＋1)(x－1)（a≠0) 将(0,1)代入 a=-1 C 复习总结 一般式 y =ax2＋bx＋c（a≠0) 顶点式 y =a(x－h)2＋k（a≠0) 交点式 y =a(x－x1)(x－x2)（a≠0) 如何确定二次函数解析式 已知三点坐标 已知顶点坐标和另一点 已知对称轴和另一点 已知抛物线纵坐标相同的两点和另一点 已知抛物线与x轴两交点的横坐标和另一点 易错点 易错点 易错点 类型5 利用图形变形求二次函数解析式 （1）二次函数的平移变化 抛物线y =ax2＋bx＋c向左（右）平移m(m＞0)个单位长度，得到y =a(x±m)2＋b(x±m)＋c 抛物线y =ax2＋bx＋c向上（下）平移n(n＞0)个单位长度，得到y =ax2＋bx＋c±n （2）二次函数的对称变化 抛物线y =ax2＋bx＋c关于x轴对称后，得到y =－ax2－bx－c 抛物线y =ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到y = ax2－bx＋c 抛物线y =ax2＋bx＋c关于原点中心对称后，得到y =－ax2＋bx－c （3）二次函数的旋转变化 抛物线y =ax2＋bx＋c绕顶点旋转180°，得到y =－ax2－bx＋c－ 类型5 利用图形变形求二次函数解析式 （1）二次函数的平移变化 抛物线y =a(x－h)2＋k向左（右）平移m(m＞0)个单位长度，得到y =a(x－h±m)2＋k 抛物线y =a(x－h)2＋k向上（下）平移n(n＞0)个单位长度，得到y =a(x－h)2＋k±n （2）二次函数的对称变化 抛物线y =a(x－h)2＋k关于x轴对称后，得到y =－a(x－h)2－k 抛物线y =a(x－h)2＋k关于y轴对称后，得到y = a(x＋h)2＋k 抛物线y =a(x－h)2＋k关于原点中心对称后，得到y =－a(x＋h)2－k 抛物线y =a(x－h)2＋k关于点(m,n)对称后，得到y =－a(x＋h－2m)2＋2n－k （3）二次函数的旋转变化 抛物线y =a(x－h)2＋k绕顶点旋转180°，得到y =－a(x－h)2＋k 谢谢聆听 $$