专项2 三角函数的实际应用中的常见模型-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 专项2三角函数的实际应用中的常见模型 [客案P川2] 类型①“单一”型三角形 3(广东广州越秀模拟)如图，睿智数学兴趣小组 模型展示)=·一一…-·-· 为了测量河对岸L,的两棵古树A,B之间的距 离，他们在河边沿着与AB平行的直线2取C,D 两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若I1,L2之 间的距离CE为50m,则古树A,B之间的距离 为 m.(结果保留根号)》 --=-《 ①图①是一辆吊车的实物图，图②是其示意图，AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的 高度AH为3.4m.当起重臂AC的长度为9m, D 张角∠HAC为I18°时，求操作平台C离地面的 3题图 高度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin28°每 ④（广西梧州中考）去年，我国“巅峰使命”2022珠 0.47,c0s28°≈0.88，tan28°≈0.53) 峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭 建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放 气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开 展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高 BΠ 1题图① 1题图②) 度AB.如图，在平面内，点B,C,D在同一直线 上，AB⊥CB,垂足为点B,∠ACB=52°，∠ADB= 60°，CD=200m,求AB的高度.（精确到1m.参 考数据：sin52°≈0.79，cos52°=0.62， tan52°≈1.28,51.73) 气球 C/D B 地面 类型②“母子”型三角形 4题图 心模型展示>-·一 2(湖北十堰郑阳模拟)如图，为测量建筑物CD的 高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°， 再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物 顶部D点的仰角为60°(A,B,C三点在一条直线 上)，则建筑物C的高度为 ( A.(15+153)米 B.(45+153)米 C.(153-15)米 D.(45-153)米 2题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 九年级数学·北师版（下册） 类型③“背靠背”型三角形 类型⑨“拥抱”型三角形 摸型展示)>一一一--一- 心模型展)>…一·…-一-- :·4…-…---《用 (河南洛阳期末)大楼AB是某地标志性建筑，如 5如图是拱桥的示意图，P处有一照明灯，水面OA 图，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高 宽4m,从O,A两处观测P处，仰角分别为α，B, 度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用 且ama=), mB=,以0为原点.0A所在直 高为1.5米的测杆CE观测大楼AB顶端B处的 仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测 线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建 大楼AB底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高 立平面直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 是45米.根据以上观测数据，求大楼AB的高 m. 度.（结果精确到0.1米.参考数据：3≈1.732， sin72°=0.951，cos72°=0.309，tan72°≈ 3.078) 5题图 6(四川泸州中考)如图，海中有两小岛C,D.某渔 船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小 岛D位于南偏东30°方向，且A,D相距 10 n mile.该渔船自西向东航行一段时间后到达 7题图 点B,此时测得小岛C位于西北方向且与点B 相距8√2 n mile.求B,D间的距离.（计算过程中 的数据不取近似值) ⑧（鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢 北 纽—鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成 首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历 史时刻，如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角 为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看 D 见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比= 6题图 1:3,铅垂高度DG=30米（点E,G,C,B在同一 水平线上).求： (1)两位市民甲、乙之间的距离CD: (2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号) E 145 8题图 18g 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩九年级数学·北师版（下册） 题型变式 3x米.在R△ACD中，AC=(30+x)米，∠A=45°， 1.解：如答图，过点M的水平线交直线AB于点H.由题 则CD=AC,即5x=30+x,解得x=15(5+1), 意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5. .CD=15(5+1)×5=(45+155)米，故选B. 设MH=x米，则AH=x,BH=xtan31°≈0.60x, ∴，AB=AH-BH=x-0.60x=0.4x=3.5, 3.(5050 [解析]在Rt△ACE中，CE=S0m, 解得x=8.75, ∠ACE=45°，∴，AE=CE=50m,∠ACB=15, 则旗杆高度MN=8.75+1=9.75(米). .∠BCE=30.在R1△BCE中，CE=-50m,∴.BE= 答：旗杆MN的高度约为9.75米. M CE·am30°=50,3(m),5AB=AE-BE月 (0-0,n 4.解：设AB=xm.在Rt△ABC中， mL40B-m52=点 1题答图 C=2容在△AD中， 2.解：过点D作DH⊥BC于点H,如答图， 则四边形DHCE是矩形，DH=EC,DE=HC=5m :tan∠ADB= AB Dm60°=D 设建筑物BC的高为xm,则BH=(x-5)m. 在R△DHB中，∠BDH=30°，D=3(x-5). .BD= 1.73 CD=CB-DB. ∴，AC=EC-EA=3(x-5)-30. 在R△ACB中，∠BAC=60°，an∠BAC=BC “1.28.73=200,解得x≈984. AC .AB的高度约为984m =5 [解析]如答图，过点P作PH 3(x-5)-30 2 解得x=15+305,即BC-15+305 ⊥OA于点H.设PH=3xm.在 2 2 △0IP中，ana= 1 5题答图 答：建筑物BC的高为15+30,3 0=2· . 2 六OH=6xm.在R△AHP中，anB=AH=2: PH 3 六AH=2xm0A=0H+AH=8x,心8x=4,x=2, 130 H m=3x7=(m) <60° E AC 6.解：由题意，得∠C4B=∠ABC=45°，BC=8,2 n mile. 2题答图 ,.∠C=90°，AC=BC=82 n mile. 专项2三角崩数的实际应用中的常见模型 1.解：如答图，过点C作CE⊥BD于 .AB =AC +BC =2BC 点E,过点A作AF⊥CE于点F =2×82=16(n mile）. 易得四边形AHEF为矩形， 如答图，过点D作D⊥AB于点H, ”EF=A=3.4m,∠F90°，B分 则∠AHD=∠BHD=90°. ∴∠CAF=∠CAH-∠HAF 在R△ADH中，∠ADH=30°，AD=10 n mile, =118°-90°=280 1题答图 在R△ACF中，'sinL CAF=GE os∠ADH=DH-3 0受n∠Am-分， AC CF=9·sin28°=9×0.47=4.23(m). .llAD=5(n mile). CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m). 答：操作平台C离地面的高度约为7.6m. m=0=10x号=5ami 2.B[解析]由题意可得，AB=30米，∠A=45°， .BH=AB-AH=16-5=11(n mile). ∠DBC=6O°.在R△BCD中，设BC=x米，则 在Rt△BDH中， mLDC=um60=品-=不，解得D BD=√D㎡+Bf=√(53)2+112=14(n mile). 答：B,D间的距离是l4 n mile. ·12· 参考答案及解析 真颧检测训练 1.B[解析]∠ACB=90°，AC=1,AB=2,∴sinB 一治宁故选队 2号 [解析]如答图，∠C=90°，AC=5,BC=12. 6题答图 AB=√2'+5=13imA=BC=12 AB 13 7.解：如答图，分别过点D,E作DM⊥AB,EN⊥AB,垂 足分别为M,N. 由题意可知，CD=45米，EC=AN=1.5米， MD=NE,∠MDA=30°，∠NEB=72°. B< 在Rt△MAD中，AM=CD=45米，∠MDA=30°， 2题答图 六MD=AM tam300=453米 3.D[解析]如答图，设DE交AC 于点T过点E作EH⊥CD于点 在Rt△BNE中，EN=MD=453米，∠BEN=72°， H.∠BAC=90°，D是边BC的 .BN=EN·tan72°=453×3.078=239.9（米）， 中点..AD=DB=DC,∠B= ,AB=AN+BN=1.5+239.9=241.4(米). ∠DAB.又：∠B=∠ADE, 答：大楼AB的高度约为241.4米. .∠DAB=∠ADE,AB∥DE,B ∴.∠DTC=∠BAC=90°，：DT∥ 3题答图 AB,BD DC,..AT TC..EA EC=ED,∴.∠EDC=∠ECD.EH⊥CD,∴CH= DH.DE∥AB,.∠EDC=∠B,.∠ECD=∠B. m∠0nmB=是“-%= 2.故选D. 7题答图 8解：(1斜发CF的坡比=13…C分 4.(4,3)[解析]如答图，过点A作AGLx轴，交x 轴于点G.B,C的坐标分别是(1,0)，(0,5)， 又.DG=30米，GC=3DG=90米. .0C=5,0B=1,.BC=√/12+(5)2=2 在Rt△DGC中， DC=√DG+GC=√/30+90=3010（米）. ∠ABC=90°，∠BMC=30,AB=,BC。 2 tan 300= 答：两位市民甲、乙之间的距离CD为30√10米. 3 23.'∠ABG+∠CB0=90°，∠BC0+∠CB0=90°， 六∠ABG=∠BC0,△ABG∽△BC0.4G=B0 AB BC Dao 455H %-0号40=5，c=30ca1+3=4 B 8题答图 .顶点A的坐标是(4,3).故答案为(4,3) (2)如答图，过点D作DH⊥AB,垂足为H, 则BH=DG=30米，DH=BG 设BC=x米，在Rt△ABC中，∠ACB=45°， AB=BC·tan45°=x米， AH=AB-BH=(x-30)米， 在Bt△ADH中，∠ADH=30° 4题答图 六m0册得=050 5.解：如答图，过D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F, 由题意，得∠CDF=37°，CD=200米， 经检验，x=60,3+90是原方程的根， Ri△CDF中，sin∠CDF=Cf=sin37P=0.60 .AB=(605+90)米 答：此时飞机的高度AB为(60,3+90)米 Cos∠CDF=2=cos37°=0.80. ·13