6 利用三角函数测高-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 6利用三角函数测高 《基础巩固练 [客案PI] 知调点©测量倾斜角 3(天津中零)如图，某座山AB的顶部有一座通讯 ①如图，分别表示用测倾器测量观测目标P的仰 塔BC,且点A,B.C在同一条直线上，从地面P 角和俯角，铅垂线所指的度数分别为《，B,那么 处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角 我们就说观测目标P的仰角为《，俯角为B,这 为35°.已知通讯塔BC的高度为32m,求这座山 种说法正确吗？请说明原因。 AB的高度（结果取整数）.（参考数据：lan35°≈ P.90 0.70.tan42°=0.90) 90° 仰角 B--- B Da 俯角 909 D 0 十90°P 1题图①D 1题图2 2 3题图 四限息③测量底部不可以到达的物体的高度 ④下表是小红填写的实践活动报告的部分内容： 设铁塔顶端到地面的高度FE为xm,根据以上 条件，可以列出的方程为 ( 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量 知腮点②测量底部可以到达的物体的高度 目标 示意 2(日照中专)如图，在一次数学实践活动中，小明 图 同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度， 相关 他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的 GD=10m,a=45°，B=509 数据 底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最 佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为 A.x=(x-10)tam50°B.x=(x-10)cos50° C.x-10=xtan 50 D.x=(x+10)sin50° 30°，已知斜坡的斜面坡度i=1:3,且点A,B, C,D,E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的 ⑤[传绕文化]济南大明湖畔的“超然楼”被称作 高度是 “江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼 的高度进行了测量.如图，他们在A处仰望塔 顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至 B处，测得仰角为60°，若 D 学生的身高忽略不计，3 2题图 ≈1.7，结果精确到1m,则 A.(103+20)m B.(103+10)m 该楼的高度CD约为 B 5题图 C.203m D.40m 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 15 九年级数学·北师版（下册） [瓷案p11] 《能力提升练 (深圳光明区二模)某校积极开展综合实践活 1米，求旗杆MN的高度.（结果保留两位小数 动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被 参考数据：sim31°≈0.52，c0s31°=0.86，an31 强台风摧折的大树，其残留的树桩DC的影子的 0.60)》 一端￡刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上 利用其测量旁边钟楼AB的高度.如图是根据测 量活动场景抽象出的平面图形.活动中测得的 数据如下：①大树被摧折倒下的部分DE=10m: 4 ②an∠CDE=3;8点E到钟楼底部的距离EB 1题图 =7m:④钟楼AB的影长BF=(203+8)m: ⑤从D点看钟楼顶端A点的仰角为60°.已知点 C,E,B,F在一条直线上.请你选择几个需要的数 据，用你喜欢的方法求钟楼AB的高度，则AB为 太阳光线 太阳光D0月 CEB 1题图 2(题型2变式)如图，某中学数学活动小组在学 A.155m B.(153+6)m 习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对 C.(123+6)m D.15m 岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D 2(宝鸡陈仓区二模)小宸想利用测量知识测算湖 处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地 中小山的高度.他站在湖边看台上，清晰地看到 面的高度DE=5m,坡底EA=30m,然后在A处 小山倒映在平静的湖水中，如图所示.他在点0 测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E,A,C在同 处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水 一水平线上，求建筑物BC的高.（结果用含有根 中倒影A'的俯角为60°，已知点0到湖面的距离 号的式子表示) OD=3m,OD⊥DB,AB⊥DB,A,B,A'三点共线， A'B=AB,则小山的高度AB为 m.(光 线的折射忽略不计，结果保留根号) D309 60 A由C 2题图 2题图 ⑦题型变式 讲本P川4答案I2 (题型1变式)如图，小明所在教学楼的每层高 度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教 学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角 为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为 31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为 166 见此图标跟抖音/疑信扫码领取配套资源稳步是升成绩参考答案及解析 AB=AD+BD=$1 17*+9=/370(m)$$$ |4.A [解析]由题意,得四边形DCEH是矩形,:HE .370m<20m. =$CD=10$CE=DH .$FH=$- $0' FDH==$ $ 5 *} DH=FH=x-10.CE=x-10.'tan$B= 2.在该消防车不移动位置的前提下,云梯能伸到险 情处. CE-10x=(t-10)tan 50°.故选A. 题型变式 5.51m [解析]根据题意,得 A=30{,DBC= 1.解:设BC=x米,在Rt△ABC中. $ 6 *$ $DC1AC .$ ADB= DBC- A =30$ CAB=180*- EAC=50, ' ADB= A.BD=AB=6 0 m..CD =B$D· BCBC5BC 5 AB=- sin 60-60 2 -30/3~51(m). 在Rt△EBD .i=DB:EB=1:1 B$D=BE$ 【能力提升练】 1.B [解析]选择:①②④.在Bt△DCE 中,DE= 10 m, tan乙CDE= 4 CE 3=cD 解得x=12.即BC=12来 .设CE=4k(h>0),则 答:水项原来的高度BC为12米 $$$D=3k.(4k)^}+(3k)^}=10}, k=2CE=8m$$ 6 利用三角函数测高 CD=6m.由残留的树桩DC的影子的一端E刚好 【基础巩固练】 1.解:这种说法正确,理由如下: 如图①.:限A为水平线,AC为铅垂线。 :. 乙BAC=90*. '.乙BAD+=90 选择:①②③.如答图,过点D作DG1AB于点G. .PAB+ BAD=90* PAB= :如图②.AP1AD.'.B+CAP=90 ' PAB+ CAP=90 PAB=$.$$ CE CD 易得CE=8 m.BG=CD=6m..DG=B$C=$$$$ 综上可知,g,B就是观测目标P时的仰角和俯角. 2.A [解析]如答图:过点D作DF1BC,垂足为F. CE+EB=8+7=15(m).在Rt△ADG中, AD$G=$$ $.DH=BF,BH=DF$'斜坡的斜面坡度i=1:3 60{*,tan ADG= DF1 一.设DF=xm.则CF=/3xm. . CD= AB=AG+BG=(15/3+6)m. DF}+CF$=2xm'2x=20 'x=10. BH=DF$ =1$0 m.CF=10/3m..DH=BF=(10/3+30)m. 在 Rt △ADH 中,$ ADH=30. . AH=DH·$ 1题答图 2.(6+3/3)[解析]如答图,过点0作0E1AB于 .AB=AH+BH=(20+103)m. 点 E,则BE=0D=3m,设AE=xm,' AOE=$$$ 4$ $ * $OE=AE=xm.AB=(x+3)mA'E=(x$ +6)m. .A'0E=60”,. tan 60*-4-fF =3,即 OE 63,:x-3+3/3,AB=3+33+3=(6+ C 2题答图 33)(m). 3.解:设AP=xm. 在Rt△APB中, APB=35*. . AB=AP· tan 35*-0. 7x m. ·BC=32 m.AC=AB+BC=(32+0.7x)m 在Rt△APC中,乙APC=42*. AP $.AB=0.7x160=112(m). 答:这座山AB的高度约为112m 2题答图 .11. 九年级数学·北师版(下册) 题型变式 3x米.在Rt△ACD中,AC=(30+x)米,A=45^$ 1.解:如答图,过点M的水平线交直线AB于点H.由题 则CD=AC.即/3x=30+x,解得x=15(3+1). 意,得 AMH= MAH=45^$}$$BMH=31^{$AB=3.$ $ .CD=15(3+1)$t /3=(45+15/3)米.故选B 设MH=x米.则AH=x.BH=xtan31*}~0.60t. 3.(50503) [解析]在Rt△ACE中,CE=50m, $AB=AH-BH=t-0. 60=0 4t=3.5 解得x-8.75. ACE=45$AE=CE=50m ' ACB=15 $ 则旗杆高度MN=8.75+1=9.75(米) '. BCE=30”.在Rt △BCE 中.CE=50 m.'.BE= 答:旗杆MN的高度约为9.75米. CE· tan30o503 (m).. AB=AE-BE= 3 (50-503)m. 4.解:设AB=xm.在Rt△ABC中 'tanACB-4B C.. tan 52。 BC' N 1题答图 :BC_ 1.28在R:△ABD中, 2.解:过点D作DH1BC于点HI.如答图 则四边形DHCE是矩形.DH=EC.DE=HC=5m .' tanZADB-AB . tan 60 BD 设建筑物BC的高为xm.则BH=(x-5)m. .B_x 在Rt△DHB中. BDH=30* .DH=3(x-5).$$$ 3~1.73 'CD=CB-DB. .AC=FC-EA=3(x-5)-30 在Rt△ACB中,乙 BAC=60*, tan BAC- BC AC. .AB的高度约为984m --3. 5. 3 3(x-5)-30 2 [解析]如答图,过点P作PH 15+30/3 15+30/3 10A于点H. 设PH=3xm. 在 解得x= 一.即BC PIof 2 2 2 5题答图 答:建筑物BC的高为15+30、5 2 m. .OH=6x m.在Rt△AHP中,:tanB= B 2. .AH=2x m.: 0A=0H+AH=8x.: 8x=4x=2' ,。 / H .PH-3x 60。 A:7C 6.解;由题意,得 CAB= ABC=45*$BC=8、2 nmile 2题答图 :. C=90*AC=BC=82nmile 专项2 三角函数的实际应用中的常见模型 .AB=AC+BC=②BC 1.解:如答图,过点C作CE1BD于 点E,过点A作AF1CE于点F. =2x82=16(nmile). 易得四边形AHEF为矩形. 如答图,过点D作DH1AB于点H. $.EF=AH=3.4m, HAF=90*} ### 则乙AHD= BHD=90 . 乙CAF=乙CAH- HAF 在Rt△ADH中. ADH=30*.AD=10 nmile. =118*-90*-28° 1题答图 coS2ADHD3 ,sinAD1 -AD2 在Rt△ACF中,: sin.CAF-Cf AC' . CF=9·sin 28*-9 x0.47=4. 23(m). CE=CF+EF~4.23+3.4~7.6(m). DH= ) 答:操作平台C离地面的高度约为7.6m. -5/3(nmile). 2.B [解析]由题意可得,AB=30米,乙A=45^*} :.BH=AB-AH=16-5=11(nmile) DBC=60$在Rt △BCD中,设 BC=x米,则 在Rt△BDH中, CDCD tan/DBC=tan 60o= =3,解得CD= BC= 。 $$$D=DH$+BH$=($5 /3)*}+11^}=14(nmile)$ 答:B,D间的距离是14nmile .12.