课时2 三角函数的应用(二)-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 课时2 三角函数的应用(二) [答案 20] <基础巩固练 点解决与坡度、坡角有关的问题 细观②解决其他实际问题 1(贵州毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物 3(浙江台州中考)图①是放置在水平地面上的落 的截面图的高BC=5m.坡面AB的坡度为 地式话简架实物图,图②是其示意图.支撑杆AB _ 1:3,则AB的长度为 垂直于地面/.活动杆CD固定在支撑杆上的点 E处.若 AED=48*.BE=110 cm.DE=80 m$ 求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确 到1cm.参考数据:sin48*-0.74.cos48。 1题图 0.67,tan48*~1.11) D.53m B.10/3m C.5m A.10m ## (重庆沙坪坝区月考)水务部门为加强防讯工 作,决定对马边河上某电站大坝进行加固.原大 坝的横断面是梯形ABCD,如图所示,已知迎水 3题图① 3题图② 面AB的长为20米,B=60 ,背水面DC的长 为20/3来,加固后大坝的横断面为梯形ABED CE的长为5来. (1)已知需加固的大坝长为100来,求需要填方 多少立方米; (2)求新大坝背水面DE的坡度.(计算结果保 留根号) (湘潭中考)湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文 化底蕴,已成为石鼓乡村旅游的一张规丽名片. 某中学八年级数学兴趣小组参观后,进行了设 ##。 计伞的实践活动小文依据黄金分制的美学设 2题图 计理念,设计了中截面如图所示的伞骨结构(其 A -0.618);伞柄AB始终平分乙BAC,AB= AC=20cm.当/BAC=120*时,伞完全打开,此 时/BDC=90*,请问最少需要准备多长的伞柄 (结果保留整数,参考数据:3~1.732) 4题图 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 九年级数学·北师版(下册) [答案 能力提升练) P10] (河北哪鄣三模)如图是某厂家新开发的一款摩 (宁婆中考)每年的11月9日是我国的“全国消 托车,它的大灯射出的光线AB.AC与地面MN 防安全教育宜传日”,为了提升全民防灾减灾意 的夹角分别为8和10{},该大灯照亮地面的宽度 识,某消防大队进行了消防演习,如图①,架在 BC的长为3.5米,则该大灯距地面的高度约为 消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m). 9 (参考数据:sin80~4 ~2.tan8~1 7,sin10。~ 且可绕点B转动,其底部B离地面的距离BC为 50' 2m.当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时. ( 底部B到EF的距离BD为9m. C.4.5米 (1)若乙ABD=53*,求此时云梯AB的长; A.3.5米 B.2.5米 D.5.5米 (2)如图②,若在建筑物底部E的正上方19m 处突发险情,请问在该消防车不移动位置的 ## 前提下,云梯能否伸到险情处,请说明理由 (参考数据:sin53*-0.8.cos53*~0.6.tan53 水平地面 ~1.3) 1题图 2题图 _:来 (十埋中考)如图,坡角为a的斜坡上有一棵垂 直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线 成45*角沿斜坡照下时,在斜坡上的树影BC长 为m.则大树AB的高为 ( B.m(sina-cosa) 4题图① A.m(cos a-sina) 4题图② C.m(cosa-tana) sinx cos a (湖南株洲中考)如图①所示,某登山运动爱好 者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C 处.再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B ②题型变式 处.如图②所示,将直线7视为水平面,山坡①的 讲本P12 答案P11 坡角乙ACM=30*,其高度AM为0.6千米,山坡 1 (题型3囊盛)为做好防讯工作,防讯指挥部决 ②的坡度i=1:1.BN11于N.且CV=/2千米. 定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的 (1)求乙ACB的度数; 方案是:水坝加高2米(即CD=2米).背水坡 (2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的 DE的坡度i=1:1(即DB:EB=1:1).如图,已知 路程 AE=4米,乙EAC=130*},求水坝原来的高度 BC.(参考数据:sin50*~0.77.cos50*~0.64 tan50。~1.2) D 3题图① 3题图② 1题图 见此图标跟抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩参考答案及解析 4.123[解析]过点D作DE⊥AB于点E,则四边形 AE=DC,DE=AC=12米，在Rt△ADE中，∠ADE= BCDE是矩形，根据题意，得∠ACB=∠B=60°， ∠ADE=∠a=30°，DE=BC=18m,CD=BE.在 30,45=B·m30°=12×号=4,5（来）. Rt△ABC中，AB=BC·tan∠ACB=18×tan60°= ∴.AD=2AE=8,3米，∴.CD=AE=45=6.8(米)， 183(m),在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=18 故②不正确：在Rt△BED中，BE=DE·an45°= ×tan30°=63(m),∴.DC=BE=AB-AE=183 12米，，AB=AE+BE=45+12=18.8(米)，故① -63=123(m). 正确；AD=83=13.6(米)，AB>AD,.若直 5.B[解析]在R△PQT中，∠QPT=90°，∠PQT= 接从点A处欧伐，树干倒向教学楼CD方向会对教 90°-70°=20°，∠P70=70°，am70°= 学楼有影响，故③正确：AB-8=18.8-8= PT 10.8(米)，10.8米<13.6米，若第一次在距点A m%20中河有20未 的8来处的树千上砍伐，不会对教学楼CD造成危 害，故④正确。 6.87[解析]如答图，过点P 题型变式 作PC⊥AB,垂足为点C,设 30P 1.由题意知，∠AEB=∠FED=45°，∴.∠AEF=90°. PC=x米，在Rt△APC中， '60 在Rt△AEF中，∠AEF=90°， ∠APC=30°，·AC=PC· P ∠AFE=39.3°+45°=84.3°. m0=停：来在m△CB AE 6题答图 FE=tan LAFE=tan 84.310.02. 中，∠CPB=60°，∴.BC=PC·tan60°=3x米AC 在△ABE和△FDE中， ∠ABE=∠FDE=9O°，∠AEB=∠FED. +BC=AB=200米，3x+3x=200x=503 △AEn△FmE9- =10.02. 87,.PC=87米，点P到赛道AB的距离约为87米 7.解：过点P作PC⊥直线AB于点C ,AB≈10.02×FD=18.036=18(米). 由题意可知，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20海里。 答：旗杆AB的高度约为18米 2.解：(1)如答图，过点C作CD⊥AB于点D. 在R△APC中.：es∠APC= AP .P℃=20·c0%60°=10（海里）， .AC=√AP-PC=√20-10=103（海里）. 在Rt△PBC中，∠BP℃=45°， ∴.△PBC为等腰直角三角形， ∴，BC=PC=10海里， 2题答图 AB=AC-BC=103-10≈7.3（海里）. 依题意，得∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°. 设CD的长为x海里， 答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45 方向上的B处. 在△ACD中，tan42°= CD' 则AD=x·tan42°， 【能力捉升练】 1.A[解析]如答图，过点 在Rt△BCD中，tan55o= 则BD=·an5, BD C作AB的垂线交AB于，点A AB=80海里，AD+BD=80海里. D.,点B在点A的正东 北 .x·lan42°+x·lan55o=80,解得x≈34.4. 方向上，，∠ACD=45°， 十→东 答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离约为 ∠DCB=35°.在Rt△BCD 34.4海里. 中，，BG=100米，∴.DB= 1题答图 BC·sin35°=100·sin35(米)，CD=BC·cos35°= (2)在Rt△BCD中，cs55°=GD BC' 100·cos35(米).在R1△MCD中，MD=CD,∴.AB= BC=CD AD+DB=100(sin35°+c0%35)(米)，故选A. Fcs550=60(海里). 2.D[解析]在R△ABC中，∠ACB=90°，BC= 答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里. 6米，又：血∠MC=g=血37°0.6=3 课时2三角函数的应用（二）】 AB AB 【基础巩固练】 =号BC=号x6=10(来).故选D 1.A[解析]：坡面AB的坡度为1：3，BC=5m, 3.①3④[解析]过点D作DE⊥AB,垂足为E,则 能无方解得c=55(.8 ·9· 九年级数学·北师版（下册） AC+BC=10(m).故选A. 2.解：(I)如答图，分别过点A,D作AF⊥BC,DG⊥ BC,垂足分别为F,G,则四边形AFGD为矩形. D 4题答图 【能力提升练】 60hh 1.B[解析]过点A作AD⊥MN于点D,如答图所示： B F G C E 2题答图 在R△ABF中，AB=20米，∠B=60°，imB= AB' B M AF=20×5 =10,5（米）D=AF=103米. 1题客图 在R△ADB中，an∠ABD=4D Sm=E:G=x5×05=255(平方米) DB DB= AD an∠ABD ≈7AD,在Ri△ACD中，an∠ACD=D 100×253=25003(立方米). CD CD 答：需要填方25005立方米 mD学0，m-0=c7D-受40 (2)如答图，在Rt△DGC中，DC=203米 =3.5,解得AD=2.5米，即该大灯距地面的高度约 GC=DC-DC=(203)2-(103)2=30(米)， 为2.5来，故选B. ∴.GE=GC+CE=35米. 2.A[解析]如答图，过点C作水平地面的平行线， 新大坝背水面DE的坡度 交AB的延长线于点D,则∠BCD=a.在RL△BCD m=-529 中，BC=m,∠BCD=&,则BD=BC·sin∠BCD= 7 msin a,CD=BC·cos∠BCD=mcos a.在Rt△ACD 答：新大坝背水坡E的坡度为 中，∠ACD=45°，则AD=CD=mCs&,AB=AD BD mcos a-msin a m(cos a-sin a). 3.如答图，过点D作DG⊥AE于点G,得矩形GBFD, 4545 ∴，DF=GB. 在Rt△GDE中，DE=80cm,∠GED=48°， B GE=DE×cos48°=80×0.67=53.6(cm), GB=GE+BE≈53.6+110=164(cm), 水平地面 .∴.DF=GB=164cm. 2题答图 3.解：(1)山坡②的坡度i=1:1,.CV=BN, D G .∠BCN=45°，∴.∠ACB=180°-30°-45°=105°. (2)在Rt△ACM中，∠AMC=90°.∠ACM=30°， AM=0.6千米. B FI .AC=2AM=1.2千米， 3题答图 在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠BCN=45. 4.解：如答图，作BE⊥AH于点E, GV=2千米，则BC= CN :∠BAC=120°，AH平分∠BAC,.∠BAE=60°， c0s∠BCN=2(千米). ,∴.该登山运动爱好者走过的路程为 AE=AB:s60=20×号=10(cm）. 1.2+2=3.2(千米). BE=AB·in60°=20x5=10v5=17.32(m. 答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米 2 4.解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m, BD=CD,∠BDC=90°，∴.∠BDE=45°， ·AB=BD9 六DE=BE=17.32cm, c0s5300.6=15(m) ,.AD=AE+DE=10+17.32=27.32(cm). ∴此时云梯AB的长约为15m 8胎-0.618H72-0618AM=72cm (2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到 AH 险情处，理由如下： ∴，最少需要准备72cm长的伞柄. 由题意得DE=BC=2m, AE=19m,∴.AD=AE-DE=19-2=17(m): 在Rt△ABD中，BD=9m, ·10 参考答案及解析 AB=√AD+BD=1172+92=、370(m), 4.A[解析]由题意，得四边形DCEH是矩形，∴HE 370m<20m, =CD=I0,CE=DH,∴.FH=x-I0.∠FDH=a= “,在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险 45°，.DH=FH=x-10,CE=x-10.tanB= 情处 an50°=EE=x CEx-10心r=(x-10)an50°.故选A 题型变式 5.51m[解析]根据题意，得∠A=30°，∠DBC= 1.解：设BC=x米，在Rt△ABC中， 60°，DC⊥AC,.∠ADB=∠DBC-∠A=30°， ∠CMB=180°-∠EAC=50°， ∠ADB=∠A,∴BD=AB=60m,∴.CD=BD· AB =-BC-BC_5BC 5 an50o=i.2=6= 6(米). m600=60×5=305≈51(m. 在Rt△EBD中，：i=DB:EB=1:1,,BD=BE. 【能力提升练】 六CD+BC=AE+AB.即2+x=4+ 6, 1.B[解析]选择：①②④.在R△DCE中，DE= 解得x=12.即BC=12米. 10m,m∠0nE=音-器设cB=4(>0),则 答：水坝原来的高度BC为12米 CD=3k,(4h)2+(3k)2=102,得k=2,.CE=8m, 6利用三角函数测高 CD=6m.由残留的树桩DC的影子的一端E刚好 【基础巩固练】 1.解：这种说法正确.理由如下： 与倒地的树梢重合，可知0.4B3 CE=BF=4.AB= 如图①，，BA为水平线，AC为铅垂线， .∠BAC=90°， (205+8)×=156+6)(m. .∠BAD+a=90° 选择：①②③⑤.如答图，过，点D作DG⊥AB于点G, ∠PAB+∠B.AD=90°，∴.∠PAB=a 如图②，AP⊥AD.∴.B+∠CAP=90 剥DG=BC,BG=GD,由DE=10m,m∠CDE=号 ∠PAB+∠CAP=90°，∴.∠PAB=B -易得CE=8m,BG=CD=6m,心DG=BC3 综上可知，α，B就是观测目标P时的仰角和俯角 2.A[解析]如答图.过点D作DF⊥BC,垂足为F, CE+EB=8+7=15(m).在RL△ADG中，∠ADG= DH=BF,BH=DF.斜坡的斜面坡度i=1:3, 60,am LADG=C=AC=/5DG=15/5m, DG 六=店，设DF=m,则CF=3mCD CF .AB=AG+BG=(155+6)m √DF+CF=2xm.,∴.2x=20.∴.x=10,.BH=DF 太阳光线。 =10m,CF=10,3m,∴.DH=BF=(105+30)m. 在Rt△ADH中，∠ADH=30°，.AH=DH· 大阳光线D60且G -F CEB m∠A0I=号x(05+30)=(10+105)(), 1题答图 2.(6+33)[解析]如答图，过点0作0E⊥AB于 AB=AH+BH=(20+105)m. 点E,则BE=OD=3m,设AE=xm,:∠AOE= 45°，∴OE=AE=xm,∴AB=(x+3)m,∴.A'E=(x Er. +6)m∠A'0E=60,m60°=4E=万，即 OE x+6=5,x=3+35,,AB=3+35+3=(6+ C B 2题答图 35)(m). 3.解：设AP=xm, 在Rt△APB中，∠APB=35°， ,AB=AP·tan35°=0.7xm BC=32m,.AC=AB+BC=(32+0.7x)m. 在R△APC中，∠APC=42°， m42-=07+2-09=1@ AB=0.7×160=112(m) 答：这座山AB的高度约为1I2m 2题答图 ·11