课时1 三角函数的应用(一)-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

九年级数学·北师版（下册） 翼易错分析 9.解：(1)当等腰三角形ABC的腰长为6cm,底边长 为8cm时，如答图①，过点A作底边BC的高AD, 熟记30°，45°，60°角的三角函数值是解决 则BD=CD=4cm. 特殊角的三角函数值的混合运算的关键，特别 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AB=6cm,BD=4cm, 地，千万不要把cs60°的值记错了，若不确定， 可画直角三角形进行简单推导， .AD=/AB-BD=√6-4=25(m), 6.解：(1)2sin30°+3cos60°-41an45 ∴mB=40-25=适 BD 4 -2 *3×1 =2x1 -4x1 1号 3 =-2 B B D （2,20+m20 9题答图① 9题客图② (2)当等腰三角形ABC的腰长为8cm,底边长为 6cm时，如答图②，过点A作底边BC的高AD,则 +(3)2 BD CD =3 cm. 1+3 在R1△ADB中，∠ADB=90°，AB=8cm,BD=3cm, 3 .AD=√/AB-BD=√82-3=55(cm). *3 anB=40、55 BD 3 2 综上可知，底角的正切值为？ -2 :凰易错分析 79或5 [解析]若∠B=90°，设AB=x,则AC= 对于不确定的图形要分类讨论，此题中的 等腰三角形的腰和底不确定，要分类讨论，不能 2x.BC=x)=x.cos C=BC=Bx 遗漏任何一种情况 5三角函数的应用 =号；若∠A=90°设AB=x,则AC=2x,心BC3 课时1三角函数的应用（一） 【基础巩囿练】 V(2x)+7=5x,csC=4C=2x_25 BC5x=5;若 1.C[解析]如答图，过点A作AE⊥BC于E,则CE =AD=1.5m,AE=CD=200m.在R△ABE中， ∠C=90°，2AB=AC,不符合直角三角形的边角关 ∠BAE=x,∴.BE=AE·tana=200tanx(m）,∴.BC 系故omC=停2 =BE+EC=(1.5+200tana)m.故选C B ,易错分析… 当所给条件未指明哪个角是直角时，应对 直角进行分类过论：防止漏解面出现错误 8.解：(1)当6和8都是直角边长时，斜边长是10， %1A D 六最短边长是6最小角的正弦值是品-子 1题答图 (2)当8是斜边长时，另一直角边长是√8-6=2万】 2.B[解析]由题意可知，AD⊥BC,AD=100m, ∠BAD=36°，∠DAC=60°，∴.BD=AD·tan36°≈ 一最短边长是2,7，最小角的正弦值是，.石 8=4 100×0.73=73(m),CD=AD·tan60°=100×3= 统上所达北三角形最小角的正弦值是子或子 173(m),.BC=BD+CD=73+173=246(m.故 选B ,易错分析 3.8.4[解析]根据题意可知，DE=BC=12米，BE= 解答不确定的图形问题时，一般要分类讨 论，此题中给出的直角三角形的两边长，没有指 GD=L5米，则AE=DE·m30°=12×5 明两条边都是直角边，还是一条是直角边，另一 43(米)，故旗杆的高度AB=AE+BE=43+1.5 条是斜边：故需分类过论进行求解.」 ..c.c--------------3 =8.4(米)，故答案为8.4. ·8 参考答案及解析 4.123[解析]过点D作DE⊥AB于点E,则四边形 AE=DC,DE=AC=12米，在Rt△ADE中，∠ADE= BCDE是矩形，根据题意，得∠ACB=∠B=60°， ∠ADE=∠a=30°，DE=BC=18m,CD=BE.在 30,45=B·m30°=12×号=4,5（来）. Rt△ABC中，AB=BC·tan∠ACB=18×tan60°= ∴.AD=2AE=8,3米，∴.CD=AE=45=6.8(米)， 183(m),在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=18 故②不正确：在Rt△BED中，BE=DE·an45°= ×tan30°=63(m),∴.DC=BE=AB-AE=183 12米，，AB=AE+BE=45+12=18.8(米)，故① -63=123(m). 正确；AD=83=13.6(米)，AB>AD,.若直 5.B[解析]在R△PQT中，∠QPT=90°，∠PQT= 接从点A处欧伐，树干倒向教学楼CD方向会对教 90°-70°=20°，∠P70=70°，am70°= 学楼有影响，故③正确：AB-8=18.8-8= PT 10.8(米)，10.8米<13.6米，若第一次在距点A m%20中河有20未 的8来处的树千上砍伐，不会对教学楼CD造成危 害，故④正确。 6.87[解析]如答图，过点P 题型变式 作PC⊥AB,垂足为点C,设 30P 1.由题意知，∠AEB=∠FED=45°，∴.∠AEF=90°. PC=x米，在Rt△APC中， '60 在Rt△AEF中，∠AEF=90°， ∠APC=30°，·AC=PC· P ∠AFE=39.3°+45°=84.3°. m0=停：来在m△CB AE 6题答图 FE=tan LAFE=tan 84.310.02. 中，∠CPB=60°，∴.BC=PC·tan60°=3x米AC 在△ABE和△FDE中， ∠ABE=∠FDE=9O°，∠AEB=∠FED. +BC=AB=200米，3x+3x=200x=503 △AEn△FmE9- =10.02. 87,.PC=87米，点P到赛道AB的距离约为87米 7.解：过点P作PC⊥直线AB于点C ,AB≈10.02×FD=18.036=18(米). 由题意可知，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20海里。 答：旗杆AB的高度约为18米 2.解：(1)如答图，过点C作CD⊥AB于点D. 在R△APC中.：es∠APC= AP .P℃=20·c0%60°=10（海里）， .AC=√AP-PC=√20-10=103（海里）. 在Rt△PBC中，∠BP℃=45°， ∴.△PBC为等腰直角三角形， ∴，BC=PC=10海里， 2题答图 AB=AC-BC=103-10≈7.3（海里）. 依题意，得∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°. 设CD的长为x海里， 答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45 方向上的B处. 在△ACD中，tan42°= CD' 则AD=x·tan42°， 【能力捉升练】 1.A[解析]如答图，过点 在Rt△BCD中，tan55o= 则BD=·an5, BD C作AB的垂线交AB于，点A AB=80海里，AD+BD=80海里. D.,点B在点A的正东 北 .x·lan42°+x·lan55o=80,解得x≈34.4. 方向上，，∠ACD=45°， 十→东 答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离约为 ∠DCB=35°.在Rt△BCD 34.4海里. 中，，BG=100米，∴.DB= 1题答图 BC·sin35°=100·sin35(米)，CD=BC·cos35°= (2)在Rt△BCD中，cs55°=GD BC' 100·cos35(米).在R1△MCD中，MD=CD,∴.AB= BC=CD AD+DB=100(sin35°+c0%35)(米)，故选A. Fcs550=60(海里). 2.D[解析]在R△ABC中，∠ACB=90°，BC= 答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里. 6米，又：血∠MC=g=血37°0.6=3 课时2三角函数的应用（二）】 AB AB 【基础巩固练】 =号BC=号x6=10(来).故选D 1.A[解析]：坡面AB的坡度为1：3，BC=5m, 3.①3④[解析]过点D作DE⊥AB,垂足为E,则 能无方解得c=55(.8 ·9·第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 课时1 三角函数的应用(一) [答案 P8] 基础巩固练 解决与仰角、俯角有关的问题 ②解决与方位角有关的问题 (言林长春宽城模拟)如图,在离铁塔200m的A 5(课圳中考)如图,为了测量一条河流的宽度,一 处,用测倾仪测得塔顶的仰角为x,测倾仪的高 测量员在河岸边相距200米的P,0两点分别测 AD为1.5m,则铁塔 定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,目 的高BC为 ) T在0的北偏西70*方向,则河宽(PT的长)可 以表示为 A.(1.5+200sing)m ) “A B.(1.5+200cos g)m A. 200tan70米 C-200米→D C.(1.5+200tanx)m 200 .(120 1题图 C. 200sin 70“米 200米0 (山东济南济阳区模拟) D.200 5题图 霜日 如图,热气球的探测器 □目 sin70米 显示,从热气球A处看 D 喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟,丹丹在泪罗江 一栋楼顶部B处的仰角 国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道 为36{},看这栋楼底部( 1 竞速赛,如图,赛道AB为东西方向,赛道起点/ 处的俯角为60{*,热气球 位于点P的北偏西30*方向上,终点B位于点P C A处与楼的水平距离为 2题图 的北偏东60*方向上,AB=200米,则点P到赛 100m.则这栋楼的高度为(参考数据:3。 道AB的距离约 米.(结果保留整数,参 1. 73. tan 36*-0. 73.sin 36~0. 59.cos 36* 考数据:/3~1.732) 0.81,结果保留整数) 1 二B C.254m A. 232 m B.246 m D.310m (山西太原查花岭区枚级月考)如图,某数学小 组要测量校园内旗杆AB的高度,其中一名同学 6题图 站在距离旗杆12米的点C处,测得旗杆顶端A 如图,一艘轮船位于灯塔P南偏西60{}方向,距 的仰角是30{,此时该同学的眼睛到地面的距离 离灯塔20海里的A处,它向东航行多少海里到 CD为1.5米,则旗杆的高度 ___米.(结果 达灯塔P南偏西45*方向上的B处?(参考数 精确到0.1米,/3~1.73) 据:/3~1.732.结果精确到0.1海里) .B、D D1300 3题图 4题图 7题图 (通一模)如图,两建筑物的水平距离BC为 18m.从A点测得D点的俯角g为30*,测得C 点的俯角B为60,则建筑物CD的高度为 m 见此图标抖音/微信扫码领取配套密源 梳步提升成绩 九年级数学·北师版(下册) [答案 能力提升练 P] (广东广州秋级二模)如图,小明在C处看到西 在地面上水平放置一个平面镜E,使得B.E.D 北方向上有一楼房A,北偏东35*的方向上有一 在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F 棵大树B.已知楼房A在大树B的正西方向,若 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时 _ ) BC=100米,则A.B两点相距 乙AEB=乙FED).在F处测的旗杆顶A的仰角 为39.3{*}平面镜E的俯角为45*},FD=1.8米 T 求旗杆AB的高度约为多少米.(结果保留整数, 参考数据:tan39.3*~0.82.tan84.3*~10.02) 1题图 A. 100(cos 35*+sin35*)米 B. 100(cos 35*-sin35)米 ($10) C./100 100 (100 D. 1题图 #35 0米 (湖南衡阻中考)如图是某商场营业大厅自动扶 梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37*,大厅 两层之间的距离BC为6米,则自动扶梯AB的 长约为(参考数据:sin37*~0.6.cos37*~0.8. tan37~0.75) (题型2变式)如图,一艘海轮在A点测得灯塔( ) 在它的北偏东42*方向上,它沿正东方向航行80 海里后到达B点,此时灯塔C在它的北偏西55 方向上. (1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离; 2题图 (结果精确到0.1海里) D.10米 A.7.5米 C.9米 B.8米 (2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保 (黔东南州中考)如图,校园内有 留整数.参考数据:sin55*~0.819.cos55* 0. 574. tan 55*-1. 428.tan 42*~0. 900. 一株枯死的天树AB.距树12米 tan35*~0.700.tan48*~1.111) 处有一栋教学楼CD,为了安全 30 学校决定砍伐该树,站在楼顶D A12米→C 处,测得点B的仰角为45*},点A 3题图 的俯角为30.小青计算后得到 如下结论:①AB~18.8米:②CD~8.4米:③若 直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会 2题图 对教学楼有影响;④若第一次在距点A的8米处 的树干上砍伐,不会对教学楼CD造成危害.其 中正确的是 ____.(填写序号,参考数值:3 ~1.7.2~1.4) 讲本P ②题型变式 答案 1(题型1变式)为了测量竖直旗杆AB的高度,某 综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD.并 7 见此图标国抖音/微信扫码领取配意资源 稳步提升成绩