4 解直角三角形&易错疑难集训一-【勤径学升】2024-2025学年九年级下册数学同步练测（北师大版）

参考答案及解析 (3)sin18°+cos55°-tan59°-0.7817. 2.解：如答图，过点C作CE⊥AB于E, .DP-PF-CF 则∠AEC=∠BEC=90. 根据题意可知，∠CDB=∠ABD=90°，∠ADB=45°， 在RIAPBF中，tanLBPF=F=2 ∠ACE-35°，AB=20米. ∠APD=∠BPF,∴.lanm∠APD=2. ∠BEC=∠CDB=∠ABD=9O°， 5.C[解析]如答图，延长AC到 .四边形CDBE为矩形， D,连接BD, ∴.CE=BD=AB=20米，CD=BE. AD2=20,BD=5,AB=25, 在R△MGE中，mLA0E-发即m35° .AD+BD'=AB, CE ∠ADB=90°， ∴，4E=20×tan35°≈20×0.70=14（米）， ,CD=BE=AB-AE=6(米). 5题容图 答：起点拱门CD的高度约为6米. r品层 6.B[解析]PM⊥OA于点M,且PMOP=4:5,设 PM=4a,则OP=5a,在R△PM0中，OM= 45 Op-P=(5a)(4a)3a,tan a=oM [解析]设AC=a(a>0),则BC=2a,:∠C= D B 2题答图 90°，AB=VAC+BC=5a.csA=4C=a 专项1求锐角三角函数值 AB5a 1.解：∠C=90°，AB=5,BC=3, ,AC=√AB-BC=√52-32=4， 8.解：如答图，连接EF,设CF=k,由题意可得CD= 血4-船号 AD=AB=BC=4k,BE =EC=2k,DF=3k. 2.A[解析]在R△ABC中，AB=√AC+BC= 、32+4=5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1 AB于点.LACD=LB,csa=B=6= 号故选 3.解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10.BC=6. 8题答图 AC=8. 根据勾股定理，得AF=5k,EF=√5k,AE=25k. DE⊥AB,∠ACB=90,∴.∠DEB=∠ACB. .EF +AE AF 又：∠B=∠B,.△ACB△DEB,.∠BDE=∠A. .△AEF是直角三角形，且∠AEF=90 sin BDE sin A=BC=63 =AB=10=5 sim∠EAF=EE=5k_S AF=5k=5 cos∠BDE=cosA= AC84 B=10=5 Lw--2-25 m∠mE=mA-e-合-子 5 4解直角三角形 4.解：如答图，连接BE交CD于F 【基础巩圈练】 四边形BCED是正方形. 1.C[解析]在R△ABC中，：AB=4,AC=22,∠C .DF=CF=CD.BF-BE. =90°，÷0sA=4C=22-2 AB4=2∠A=459 CD=BE,BE⊥CD 2.A[解析]在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,sinA ∴.BF=CF,根据题意，得AC∥BD, 4题答图 ∴.△ACP∽△BIDP, 号对血4=胎了中g分解得C=2 ∴DP:CP=BD:AC=1:3,∴.DPDF=1:2, 故选A ·5 九年级数学·北师版（下册） 3.D[解析]在Rt△ABC中，∠C=90,则mA=B AC =ac=cc+c=AG(停 D +BC2=4,.BC2=12..BC=25.故选D. 8题答图 4.解：(1)：在R△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.c=10, 【能力提升练】 5LA=900-∠B=90-309=60°.6=7=5 1.D[解析]：2CD=6,CD=3.amC=2,CD AD a=c-6=√102-5=53. =2,AD=6.在R1△ABD中，由勾股定理，得AB= (2):在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9,c=63, /AD+BD=√6+6=62，故选D. .a=√c-b=35. 2.C[解析]如答图，过点D作DE⊥AB于E sin A=a=3/1 e632 m-宁m∠0-张分 ∴AE=2DE,BE=3DE,∴.2DE+3DE=5DE=AB, .∠A=30°.∴.∠B=90°-∠A=90°-30°=60. 5.D[解析]：Rt△ABC中斜边上的中线长是3cm, 在m△C中，mA=宁C=5e-亮 AB=6 em.'inA=行Bc=2em 子，解得AC=25AB=AC+BC-5,DE AC=√AB-BC=42(cm), =1,AE=2,.AD=AE+DE=2+1下= Sx=2BC×AC=42(em月. 5, 6.B[解析]过点A作AE⊥BC,垂足为点E,过点P .CD=AC-AD=5,故选C. 作PF⊥QR,交QR的延长线于点F,如答图.在 R1△AEC中，AC=5,∠C=45°，，h1=AE=ACsin45 D =5sin45°，·∠PRQ=125°，，∠PRF=180° ∠PRQ=180°-125°=55°.在Rt△PRF中，h2=PF =PRsin55°=5sin55°，.h1<h.故选B. 2题答图 3.解：(1)如答图，过点C作CE⊥AB于E.设CE=x, 在R△ACE中，anA-G华= AE=2, 1259 45 .AE=2x,.AC=t+(2x)=5x, 6题答图 ∴.5x=35,解得x=3..CE=3,AE=6. 7,号〔解析]如答周，过点D作DE1 在胜△BCE中，血B=只 BC,垂足为E.:∠ACB=90°，DE⊥ ∴.∠B=45°，∴.△BCE为等腰直角三角形， BC,∴.DE∥AC.又D为AB边的中 ∴.BE=CE=3,∴AB=AE+BE=9 点E=BC=BC=2在 B△DCE中，eos LDCB=EC=2 CD=3 7题答图 D 8.解：如答图，过点A作AD⊥BC,垂足为D, 3题答图 ∴.△ABD,△ACD均为直角三角形. (2):CD是边AB上的中线， 在△4CD中，mC=品号A0=号cn D=2B=4.5DE=15 .AD CD=AC,AC=2/13, m∠0E=能2=2.即am∠CB的值为2 (房c0+m=2, 4.(1)证明：如答图①，取AC的中点D,连接BD. 解得CD=6(负值已舍去)，∴.AD=4. 在Rt△ABD中，∠B=45°，∴.∠B=∠BAD, “2c=0m4-号e-号 ∴，BD=AD=4,∴.BC=BD+CD=4+6=10 .设BC=3x(x>0),则AC=2x 6· 参考答案及解析 :D是AC的中点CD=24C= .BD=x+53=33+53=83. .BD=√/CD+BC=√+3x2=2x 在Rt△ADB中，：cosB= 赠--， ,AC=BD,△ABC是“好玩三角形”. ∴∠B=30 (2)解：分情况讨论： 易错疑难集训一 ①如答图②，取DE的中点G,连接FG,则FG=DE. 1.解：由a=13,b=12,c=5,得a2=b2+c2, 又：DF=BF,DG=DE=c,FGLE 所以△ABC为直角三角形，且∠A为直角， ,在R△FDG中，由勾股定理，得 所以sinB=么=2 a13 FD=√DG+FG=5DG 【易错分折， “记--即腰长和底边长的比为受 本题的易错点有两处：一是想当然地直接 把△ABC当作直角三角形，而不利用勾股定理 ②如答图③，取EF的中点M,连接DM. 的逆定理加以说明；二是没有找准边、角的对应 由题意，知DM=EF=DF 过点D作DH⊥EF于点H,则FH=MH 关系，而得出血B=名一号的错误答案，防止 设FH=MH=x(x>0),则ME=2x,FD=4x. 出错的关键是画出图形，对照图形准确地找到 在t△DFH中，根据勾股定理，得DM=15x 边、角的对应关系 在Rt△DEH中，根据勾股定理，得DE=26x 2.解：示意图如答图 FD,4即腰长与底边长的比为% DE 26x 6 、综上所述，腰长和底边长的比为或 2题答图 tanA= F3,tamB=1,∠A=30°，∠B=45 CD⊥AB,∠CDB=90°， ∴∠DCB=∠B=45°，∴.CD=BD=4, 4题答图① 4题答图2 4题答图③ AD=CD=4=45 tan A 3 题型变式 3 1.解：在Rt△ACD中， .AB=BD+AD=4+43. ∠C=90,4C=4,AD=8 :N易错分析 3 此题易忽略直角三角形的条件，直接使用 os∠CAD=4C=B A0=2∠C1D=309 血B=C得出错误结论，使用锐角三角函数求 AD平分∠CAB,∠CAB=2∠CAD=60°， 值时，必须在直角三角形中，若没有直角三角 .∠B=90°-60°=30°. 形，侧需先构造直角三角形再求解 nCACC.wmC 3.C[解析]由题意可知，mA=子mB=1,所以LA c0s∠CB=4C AB= AC 0s606=8. =60°，∠B=45°，所以∠C=180°-∠A-∠B=75°. 2.解：如答图，过点A作AD⊥BC,交 4.B[解析]2c0s30°-tan45°-√(1-an60)下= BC的延长线于点D. 2x9-1-(5-0=5-1-5+1=0 设DC=x,则BD=x+5,3 X易错分析… 在RI△ADC和Rt△ADB中， 本题的易错之处：(1)对特殊角的三角函数 由勾股定理，得 AD =AC2-DC2 AB DB, 2题答图 值不熟悉，相互混淆：(2)对v(1-tan60)化 简时忽视算术平方根的非负性，直解化简成1 即91-x2=163-(x+55)2. 化简得91-x2=256-x2-10、3x-75. 解得x=33. 5.C【解折]原式=了+1=1.数选C ·7 九年级数学·北师版（下册） 翼易错分析 9.解：(1)当等腰三角形ABC的腰长为6cm,底边长 为8cm时，如答图①，过点A作底边BC的高AD, 熟记30°，45°，60°角的三角函数值是解决 则BD=CD=4cm. 特殊角的三角函数值的混合运算的关键，特别 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AB=6cm,BD=4cm, 地，千万不要把cs60°的值记错了，若不确定， 可画直角三角形进行简单推导， .AD=/AB-BD=√6-4=25(m), 6.解：(1)2sin30°+3cos60°-41an45 ∴mB=40-25=适 BD 4 -2 *3×1 =2x1 -4x1 1号 3 =-2 B B D （2,20+m20 9题答图① 9题客图② (2)当等腰三角形ABC的腰长为8cm,底边长为 6cm时，如答图②，过点A作底边BC的高AD,则 +(3)2 BD CD =3 cm. 1+3 在R1△ADB中，∠ADB=90°，AB=8cm,BD=3cm, 3 .AD=√/AB-BD=√82-3=55(cm). *3 anB=40、55 BD 3 2 综上可知，底角的正切值为？ -2 :凰易错分析 79或5 [解析]若∠B=90°，设AB=x,则AC= 对于不确定的图形要分类讨论，此题中的 等腰三角形的腰和底不确定，要分类讨论，不能 2x.BC=x)=x.cos C=BC=Bx 遗漏任何一种情况 5三角函数的应用 =号；若∠A=90°设AB=x,则AC=2x,心BC3 课时1三角函数的应用（一） 【基础巩囿练】 V(2x)+7=5x,csC=4C=2x_25 BC5x=5;若 1.C[解析]如答图，过点A作AE⊥BC于E,则CE =AD=1.5m,AE=CD=200m.在R△ABE中， ∠C=90°，2AB=AC,不符合直角三角形的边角关 ∠BAE=x,∴.BE=AE·tana=200tanx(m）,∴.BC 系故omC=停2 =BE+EC=(1.5+200tana)m.故选C B ,易错分析… 当所给条件未指明哪个角是直角时，应对 直角进行分类过论：防止漏解面出现错误 8.解：(1)当6和8都是直角边长时，斜边长是10， %1A D 六最短边长是6最小角的正弦值是品-子 1题答图 (2)当8是斜边长时，另一直角边长是√8-6=2万】 2.B[解析]由题意可知，AD⊥BC,AD=100m, ∠BAD=36°，∠DAC=60°，∴.BD=AD·tan36°≈ 一最短边长是2,7，最小角的正弦值是，.石 8=4 100×0.73=73(m),CD=AD·tan60°=100×3= 统上所达北三角形最小角的正弦值是子或子 173(m),.BC=BD+CD=73+173=246(m.故 选B ,易错分析 3.8.4[解析]根据题意可知，DE=BC=12米，BE= 解答不确定的图形问题时，一般要分类讨 论，此题中给出的直角三角形的两边长，没有指 GD=L5米，则AE=DE·m30°=12×5 明两条边都是直角边，还是一条是直角边，另一 43(米)，故旗杆的高度AB=AE+BE=43+1.5 条是斜边：故需分类过论进行求解.」 ..c.c--------------3 =8.4(米)，故答案为8.4. ·8九年级数学·北师版（下册） 4解直角三角形 《基础巩固练>： [答案5] 如腰点①解直角三角形 6(山东淄博期末)如图，∠ACB=45°，∠PRQ= 在Rt△ABC中，AB=4,AC=2,5,∠C=90°，则 125°，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边 ∠A的度数为 ( QR上的高为h2,则有 () A.30°B.40° C.45° D.60° 2(四川成都期末)如图，在Rt△ABC中，∠C= 45 125/ 90,AB=4,nA=分，则BC的长为 () C 0 6题图 A.hy =h2 B.h <hz C.h>h D.以上都有可能 7如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中 2题图 点，连接CD,若BC=4,CD=3,则cos∠DCB的 值为 A.2 B.3 C.3 D.23 3(浙江机州萧山区期中)在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AB=4,lanA=3,则BC的长为() A.3. B.2 C.3 D.25 4(教材P17T1变式)根据下列条件解直角三角形， 7题图 (1)在R△4BC中，∠C=90°，c=10,∠B=30°； 8(北京石景山区期末)如图，在△ABC中，∠B= (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9,c=63. 45,mC=号，4C=2B,求BC的长 8题图 如圆点@解简单的斜三角形 5(广州越秀区月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，斜 边上的中线长是3m,mA=号，则Sc ( A.2 cm2 B.2.2 cm2 C.3/2 cm2 D.4/2 cm2 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第一章直角三角形的边角关系 《能力提升练> [客案%] ①（陕西中考A卷）如图，AD是△ABC的高.若BD 形”，DF=EF,求腰长和底边长的比 =2CD=6,tanC=2,则边AB的长为() A.32B.35 C.37 D.62 4题图① 4题图② 1题图 2题图 2在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，点D是AC 上-点，连接BD,若anA=) mL40=分 则CD的长为 ○题型变式 讲本四客素门 A.25B.3 C.5 D.2 3如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B ①（题型1变式）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 是领角，且s血B=受mA=7,4C=35 AC=4,LCB的平分线AD.8日求∠B的度 (1)求∠B的度数与AB的长； 数及边BC,AB的长 (2)求tan∠CDB的值 D 1题图 3题图 2(题型2变式)如图，在△ABC中，AB=16,AC= √91，BC=55,求∠B的度数 2题图 ④[核心素养]定义：如果三角形某一边上的中线 长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好 玩三角形” (1)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 复求证：△ABC是“好玩三角形， (2)如图②，若等腰三角形DEF是“好玩三角 见此图标服井青/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 九年级数学·北师版（下册） 易错疑难集训一 [客案7] 圆错圈通盒@没有明确三角形是否为直角三角形/6计算： ①已知△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a, (1)2sin30°+3cos60°-4tan45°； b,c,且a=13,b=12,c=5,求sinB的值 （21020+m260 易腿赠点③题中无图，忽略分类讨论 7在直角三角形ABC中，若2AB=AC,则cosC= 回在△ABC中，amA=号，mB=l,CD⊥AB于点 8已知Rt△ABC的两边长分别是6和8，求此三角 形最小角的正弦值 D,且BD=4,请画出示意图并且求边AB的长. 9已知一个等腰三角形的两边长分别是8cm和 6cm,求底角的正切值 易错遗避息②混淆特殊角的三角函数值 3已知∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角，且满 足sA-+-mB=0,则∠C的大小 为 ( A.30° B.60 C.75° D.1059 ④（石家庄期末）2c0s30°-tan45°-√(1-tan60)7 的值为 A.25-2B.0 C.23 D.2 5计算cos60°-sin30°+tan45°的值为( A.2 B.-2 C.1 D.-1 10g 见此图标眠科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩