15.2.2 分式的加减　讲义　2024—2025学年人教版数学八年级上册

15.2.2 分式的加减 一、复习 1. 分式的定义 形如（、是整式，且中含有字母，）的式子叫做分式。例如：，等都是分式。 2. 分式有意义的条件 分母不为零。比如对于分式，当，即时，该分式有意义。 二、分式加减法的类型及法则 同分母分式加减法 1. 法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为：（）。 2. 例题 计算：，这里分母都是，根据法则，分母不变，分子相加，可得：； 再如：。 异分母分式加减法 1. 法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式加减法的法则进行计算。通分就是根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母（最简公分母）。 2. 例题 计算：。 步骤一：确定最简公分母 和的最简公分母为。 步骤二：通分 将通分变为，将通分变为。 步骤三：按照同分母分式加减法法则计算 。 三、分式加减法的易错点及注意事项 1. 通分问题 一定要准确找到最简公分母，否则后续计算都会出错。比如在计算含有多项式分母的分式加减法时，要先对多项式进行因式分解再确定最简公分母。像上面例子中对于分母是的分式，要先分解为来准确通分。 2. 符号问题 在去括号或者计算分子相加减的过程中要注意符号的变化。例如在计算时，去括号后变为，这里要特别留意符号的正确处理，最终结果是（）。 3. 结果化简问题 计算完成后，要检查结果是否可以约分进行化简，保证结果是最简分式。像前面计算得到的可以化简为。 四、分式加减法的应用 1. 化简求值类题目 例题：已知，求的值。 解：先化简式子： 对化简得，那么原式就变为。 再代入求值： 把代入化简后的式子，得到。 2. 实际应用题 比如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度是千米/小时，乙的速度是千米/小时，经过小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。 根据路程 = 速度×时间，甲走的路程是千米，乙走的路程是千米，那么 A、B 两地的距离就是两人路程之和，可表示为，进一步可以写成，利用分式加法进行计算（这里是整式形式的分式，分母为 1），结果就是千米。 练习 题型一、同分母分式加减法 1.计算： A. B. C. -2 D. 2 2.设，，则，的关系是() A. B. C. D. 3.若分式的计算结果为3，则“?”中的式子是() A. B. C. D. 4.如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是() A. B. C. D. 1 5.化简结果正确的是() A. 1 B. C. D. 6. 计算： (1) (2) (3) (4) - 题型二、异分母分式加减法 1.计算______。 2.化简的结果是______。 3.计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4.已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.实数、、、满足，，若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 题型三、整式与分式加减 1.计算______。 2.计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 3.若，则（ ） A. -2 B. 2 C. 0 D. 无法计算 4.若，则______。 题型四、已知分式恒等式，确定分子或分母 1.阅读下列材料： 若，试求、的值。 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得。 仿照以上解法，解答下题。 (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______。 (3)计算： ______。 2.对于任意的值都有，则、值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.课堂上，李老师出了这样一道题： 已知，求整式，。 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得，已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得，。 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知，求，的值。 阅读：分式可进行如下变形：。 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中，，为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值。 题型五、分式加减混合运算 1.计算 (1) ； (2) 。 (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2.计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 题型六、分式加减的实际应用 1.小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为v1千米/时，下山的速度为v2千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（ ） A. 千米/时 B. 千米/时 C. 千米/时 D. 千米/时 2.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m（m>1）米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（m - 1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（ ） A. “丰收1号”高 B. “丰收2号”高 C. 一样高 D. 无法确定哪个高 3.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天的工作量是______。 4.一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时。若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加a千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少______小时。 5.小强的爸爸开汽车到距离s km外的单位去上班，在正常情况下经过t h可以到达。但是有一天由于汽车需要维修晚出发2h，小强的爸爸每小时应该多走多少km，才能按时到达单位？ 题型七、分式加减乘除混合运算与化简求值 1.化简： (1) ； (2) 。 (3) 。 (4) ； 2.(1)先化简，再求值：，其中。 (2) 先化简，再求值：，其中。 3.(1) 先化简，再从 - 1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2) 先化简，再求值：，其中满足。 学科网（北京）股份有限公司 $$