精品解析：陕西省西安市新城区西光中学教育集团联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

西安市西光中学教育集团 2024-2025学年第一学期第二次月考九年级数学试题 一．选择题（共8小题） 1. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A. 8 B. ﹣8 C. 4 D. ﹣4 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（共5小题） 9. 若，则__________． 10. 若锐角α满足，则___________． 11. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为__________． 12. 如图，的半径为，弦的长度为，则图中阴影部分的面积为_____． 13. 如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为______． 三．解答题（共11小题） 14. 计算：． 15. 计算：先化简，再求值：，其中． 16. 解分式方程：． 17. 已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 18. 某农场拟建矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长为），另外三面及中间用围栏围起来（中间的围栏把矩形分成两个小矩形），并在如图所示的三处各留宽的门，已知可用围栏（不包括门）的总长为，若建成的矩形饲养室总面积为，求围栏的长． 19. 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 20. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 21. 如图，四边形内接于，，，过点作，使得，交的延长线于点．求证：； 22. 晓华和小菲一起合作来测量某建筑物顶部广告牌的高．如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端的影子在处，同时，晓华站在处的影长为，；然后，小菲在处测得楼房的顶端的仰角为，．晓华的身高，点在同一水平线上，点在上，，，根据以上测量方法和数据请求出广告牌的高．（参考数据：，，） 23. 如图，为的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 24. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出关于的函数表达式______________． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润为元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，且的坐标为，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线，为第一象限内抛物线上的一个动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． （1）抛物线的表达式． （2）抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 26. 【初步探究】 （）如图，在中，点分别在上，连接．已知四边形是平行四边形，． ①若，求线段的长； ②若的面积为，求平行四边形的面积． 【深入探究】 （）如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上．设矩形铁皮的边，矩形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求矩形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市西光中学教育集团 2024-2025学年第一学期第二次月考九年级数学试题 一．选择题（共8小题） 1. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 2. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得，解得， ， 的值可以为， 故选：A． 3. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵和是同弧所对的圆心角和圆周角，且， ． 故选：C． 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质，从而推出，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设中边上的高为， 则，， ， ， 平行四边形中， ， ,即， 解得， ， ， 故选：A． 6. 如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A. 8 B. ﹣8 C. 4 D. ﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥x轴， ∴四边形ADOE为矩形， ∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE， 而S矩形ADOE=|k|， ∴|k|=8， 而k＜0 ∴k=-8． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 8. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴与轴的交点到对称轴距离为， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为， 补图如下： ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧，a、b异号， ∴， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ∴， ∴，故①正确， 抛物线的对称轴是直线即， ∴， ∴，故②正确； ∵该抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，故③正确； ∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵当时，该函数取得最大值，此时， ∵点在该抛物线上，则，故⑤正确； 综上所述：正确的个数有5个． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 9. 若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，用表示出是解题的关键． 先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 10. 若锐角α满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值可得，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 11. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，旋转的性质，掌握二次函数图像的顶点式，旋转的性质是解题的关键． 根据题意，可得抛物线中，图像开口向上，顶点坐标为，由点的旋转可得图像开口向下，顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中， ∵， ∴图像开口向上，顶点坐标为， ∵将抛物线绕原点旋转， ∴图像开口向下，顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线解析式为：， 故答案为： ． 12. 如图，的半径为，弦的长度为，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，勾股定理的逆定理，求出是解题的关键． 连接，，得出，则，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：连接，， 在中，，， ，， ， ， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点Q，连接，先证明和全等，进而根据全等三角形的性质得，由此的，则，然后根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出为最小． 【详解】解：取的中点Q，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当B，P，Q在同一条直线上时，为最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用直角三角形斜边中线的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（共11小题） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15. 计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算小括号内的分式加法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 16. 解分式方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程化为整式方程，求解后，验根即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 原分式方程无解． 17. 已知弧，请用尺规作出弧所在圆的圆心（不写作图步骤，但保留作图痕迹）． 【答案】 如图，点为所作． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，先作的垂直平分线，交于点C，再作的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】略 18. 某农场拟建矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长为），另外三面及中间用围栏围起来（中间的围栏把矩形分成两个小矩形），并在如图所示的三处各留宽的门，已知可用围栏（不包括门）的总长为，若建成的矩形饲养室总面积为，求围栏的长． 【答案】围栏的长米； 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决形积问题，根据总长表示出长宽，列方程求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得设宽为米，则长为：米，由题意可得， ， 解得：，， 当时，不符合题意， 当时，符合题意， ∴， 答：围栏的长米． 19. 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：略． 20. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1）结果变红色的概率是； （2）两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 【解析】 【分析】（）直接根据概率公式求解即可； （）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可； 本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图， 共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色,，共种结果， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 21. 如图，四边形内接于，，，过点作，使得，交的延长线于点．求证：； 【答案】 证明：如图，连接． ， ． ， ，， 四边形内接于， ， 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查弧和弦的关系、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答的关键．连接，先根据等弧所对的弦相等得到，进而等量代换和已知得到，，根据圆内接四边形的外角等于内对角得到，然后证明即可证得结论． 【详解】略 22. 晓华和小菲一起合作来测量某建筑物顶部广告牌的高．如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端的影子在处，同时，晓华站在处的影长为，；然后，小菲在处测得楼房的顶端的仰角为，．晓华的身高，点在同一水平线上，点在上，，，根据以上测量方法和数据请求出广告牌的高．（参考数据：，，） 【答案】广告牌的高为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影的性质，先根据同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等，可求出，再由三角函数可求出，利用线段的和差关系即可求出的高，掌握平行投影的性质及解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等，，， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴广告牌的高为． 23. 如图，为的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是的平分线， ． ， ， ， ， ， ． 为的半径， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得，等腰三角形的性质得可证明，得到，根据切线的判定定理证明； （2）连接，设，结合余弦定理得，利用勾股定理求得和，进一步证明，有，即可求得半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． ，， 设，则， ． ， 即， ，， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、以及解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 24. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出关于的函数表达式______________． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润为元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ，． 函数图象开口向下，对称轴是直线． ，此时随的增大而增大， 当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，且的坐标为，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线，为第一象限内抛物线上的一个动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． （1）抛物线的表达式． （2）抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）存在，1或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质； （1）根据点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线得出点的坐标为，根据抛物线的表达式为，即可求解； （2）由（1）知点．则点，则，．于点E，，则，根据相似三角形的性质可得或，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线 点的坐标为， 则抛物线的表达式为， 解得， 故抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：存在． 由（1）知点．则点，则，． 又∵点的坐标为，点． ∴ ∵于点E，，则 若以点，，为顶点的三角形与相似， 则或，即或， 即或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 经检验，和均符合题意， 故的值为1或． 26. 【初步探究】 （）如图，在中，点分别在上，连接．已知四边形是平行四边形，． ①若，求线段的长； ②若的面积为，求平行四边形的面积． 【深入探究】 （）如图，某工厂有一块形如四边形的铁皮，其中，，，．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮（阴影部分）备用，点分别在上．设矩形铁皮的边，矩形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求矩形面积的最大值． 【答案】（）；；（），最大值为． 【解析】 【分析】（）证明即可求解；利用相似三角形的性质分别求出和的面积，即可求解； （）过点作于点，交于点，设，证明，得到，根据矩形面积公式即可得到与之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值． 【详解】解：（）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为； ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为； （）过点作于点，交于点，则，，， ∴，， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $