精品解析：安徽省芜湖市2024-2025学年高一上学期期中普通高中联考数学试卷

芜湖市2024~2025学年度第一学期期中普通高中联考试卷 高一数学 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 已知集合，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解. 【详解】集合，由， 得，解得，此时集合中与矛盾； 或，解得，此时，符合题意， 所以. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，解得， 由，解得或， “”成立，则“或”成立， 而“或”成立，“不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可． 【详解】由题：的定义域为，即， 所以的定义域为， 又中， 综上：的定义域为， 故选：D． 5. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数在各自段上单调递减，再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】要使在上是减函数，需满足：， 解得，则的取值范围为. 故选：A. 6. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式并确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】设幂函数，由，得，解得，， 函数在定义域上单调递增， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 8. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得. 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得，则， 结合x为正数，得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：ABD. 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，且，那么的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A利用二次函数性质判断；对于B、C应用基本不等式判断即可；对于D应用基本不等式“1”的代换判断. 【详解】对于A：，显然时取到最大值，故A正确； 对于B：由，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C：， 当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，故C错误； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BC. 11. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 的图象关于轴对称 D. 存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 【答案】BCD 【解析】 【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C. 【详解】对于A，当，时，，，，故A错误； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 若是无理数，则是无理数，所以，； 若是有理数，则是有理数，所以，； 所以，故是偶函数，图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由B可知，，所以， 故是偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，设， ，， 则，所以是等边三角形， 又因为，，，所以的顶点均在的图象上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 【答案】f（x）＝x2+2x 【解析】 【分析】 根据偶函数的性质f（x）＝f（﹣x）即可得出答案． 【详解】当x＜0时，﹣x＞0， ∴f（﹣x）＝x2+2x， 又f（x）是偶函数， ∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x． 故答案为：f（x）＝x2+2x． 【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质的应用，属于基础题． 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，又，则将所求分组为，即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以 . 故答案为：. 14. 设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________． 【答案】39 【解析】 【详解】由，知． 若，则，矛盾． 因此，． 则，，，． 又，故，，，． 因为，，所以，，． 因此，． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足， 所以或. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解， 所以实数的取值范围是. 16. 根据下列条件，求的解析式. （1）是一次函数，且满足； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【小问1详解】 由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. 【小问2详解】 因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 17. 解关于的不等式. 【答案】 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为; 【解析】 【分析】由题意可知，可化为，再对进行分类讨论，比较根的大小，即可得答案. 【详解】由题意可知，可化为 （1）当时，不等式化为，解得， （2）当时，不等式化为，解得， （3）当时，不等式化为，解得或， （4）当时，不等式化为，解得， （5）当时，不等式化为，解得或， 综上所述， 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为; 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可； （2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可； （3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，得到， 所以，整理得到，所以， 又，得到，解得. 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知. 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为. 【小问3详解】 由（2）知，可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为. 19. 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集. （1）分别判断集合是不是理想数集； （2）任取一个元理想数集，求证：； 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【答案】（1）集合是理想数集，集合不是理想数集 （2） 不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且，使得. 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）由理想数集的定义即可判断； （2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证. 【小问1详解】 设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖市2024~2025学年度第一学期期中普通高中联考试卷 高一数学 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ） A. 定义域为 B. 值域为 C. 在上单调递减 D. 图象关于原点对称 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，且，那么的最小值为 11. 著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函数：定义在上的函数.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导.根据该函数，以下是真命题的有（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 的图象关于轴对称 D. 存在一个正三角形，其顶点均在的图象上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 13. 已知，则___________. 14. 设定义在上，其值域，且对任意，都有，及．则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 根据下列条件，求的解析式. （1）是一次函数，且满足； （2）. 17. 解关于的不等式. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 19. 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集. （1）分别判断集合是不是理想数集； （2）任取一个元理想数集，求证：； 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $