27.2.2相似三角形的性质 课时作业2024-2025学年人教版数学 九年级下册

人教版九年级下册数学27.2.2相似三角形的性质 课时作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，于点，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则与的相似比是(　　) A． B． C． D． 3．如图，中，，，，是的中点，，分别在边，上，若为等边三角形，则等边的边长为（ ） A． B． C． D． 4．如图，是面积为1的等边三角形，取边中点，作，，，．分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E， 过  点D作的垂线交于点，若，且的面积为2cm2，则的长为（     ） A．cm B．5 cm C．cm D．10cm 6．如图，正方形的边长是3，，连接，D交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，ABCD是正方形， G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，给出以下结论：①△AED≌△BFA；②DE﹣BF=EF；③△BGF∽△DAE；④DE﹣BG=FG，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC．若AD＝3BD，△ADE的周长为3，则△ABC的周长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 二、填空题 9．如图，矩形的边在的边上，点在边上，点在边上，的面积是，的面积是，则的值为 ． 10．如图，是三条角平分线的交点，过点作的垂线交边、于点、，已知，，则的长为 ． 11．如图矩形中，，点分别在边上，且，连与分别交于点．则 ．    12．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是 ． 13．如图，在等边三角形中，，在边上取一点，连接，，为边上一动点，于点，于点，连接，则长度的最小值为 ． 三、解答题 14．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区周边的景色都很美．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“飞虹塔”的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的高度． 15．如图，在等边中，是边延长线上一点，连接交的外接圆于点，延长至，使得，连接、， (1)求证：是等边三角形； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)：：，，求等边的边长．    16．（1）如图1，在上作点，使； （2）如图1，点为与网格的交点，在上作点，使； （3）如图2，在上作点，使． 17．如图所示，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P、Q分别从点A，B同时出发，问： (1)经过几秒后，？ (2)经过几秒后，的面积等于？ (3)经过几秒后， 与相似？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C A C C A 1．D 【分析】A．利用同角的余角即可推出结果；B．证△ADC∽△CDB，由性质得即可；C．利用三角形面积两种求法相等即可；D．证△ABC∽△CBD，由性质得即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ，正确，不符合题意； B．，， ∴∠A+∠B=90º，∠A+∠ACD=90º，∠ADC=∠CDB=90º， ∴∠ACD=∠B， ∴△ADC∽△CDB， ， ，正确，不符合题意； C．由三角形的面积公式得，， ，正确，不符合题意； D．，， ∴∠A+∠B=90º，∠BCD+∠B =90º，∠ACB=∠CDB =90º， ∴∠A=∠BCD， ∴△ABC∽△CBD， ∴． ，错误，符合题意； 故选择：． 【点睛】本题考查同角的余角性质，三角形面积的求法，三角形相似的判定与性质，比例中项问题，掌握同角的余角性质，会用三角形面积的求法证等积式，三角形相似的判定与性质证比例中项问题是解题关键． 2．B 【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．A 【分析】过点A作交延长线于H，连接，证明得到，，再证明，得到，则；进一步证明，得到，设，则，则，可得，解得，则，即可得到，则的边长为． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的边长为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先根据，为的中点，利用三角形相似的性质得到四边形的面积是面积的一半，再利用同样的办法求出，找出，之间的规律，根据规律得出的值． 【详解】解：， ． 点为边的中点． ． ． ． ． 同理，． ． 同理，． ． 故选C． 5．A 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据已知条件可证得，得到AE=CE，求得DE=BC，同理可求得DF=AH，根据三角形的面积公式得到DE⋅DF=4，得到AB⋅AC=16，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点A作AH⊥BC于点H， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=AB， ∵， ， ， ∴AE=CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵DF⊥BC，， ∴，DF⊥DE， 同理可证得DF是△ABH的中位线， ∴DF=AH， ∵△DFE的面积为2， ∴DE⋅DF=2， ∴DE⋅DF=4， ∴BC⋅AH=2DE⋅2DF=4×4=16， ∴AB⋅AC= BC⋅AH=16， ∵AB=CE， ∴AB=AE=CE=AC， ∴AB⋅2AB=16， ∴(负值舍去)， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 6．C 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据角的和差可得，由此可判断结论AB正确；先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，假设，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，根据得出，由此得出矛盾，即可判断结论C错误；先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断结论D正确． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，，故选项A正确； ， ， ，故选项B正确； 在和中， ， ， ，即， 假设，则， 垂直平分， ， 又在中，， ，这与相矛盾， 则假设不成立，故选项C确错误，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，正确找出相似三角形和全等三角形是解题关键． 7．C 【分析】由四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，由DE⊥AG，BF∥DE，易证得BF⊥AG，又由同角的余角相等，可证得∠BAF=∠ADE，则可利用AAS判定△AED≌△BFA；由全等三角形的对应边相等，易证得DE-BF=EF；有两角对应相等的三角形相似，可证得△BGF∽△DAE；利用排除法即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，AD∥BC， ∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG， ∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°， ∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠BAF=∠ADE， ∴△AED≌△BFA（AAS）；故A正确； ∴DE=AF，AE=BF， ∴DE-BF=AF-AE=EF，故B正确； ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BGF， ∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AED=∠GFB=90°， ∴△BGF∽△DAE，故C正确； ∵DE，BG，FG没有等量关系， 故不能判定DE-BG=FG正确．故D错误（也可以用排除法判断）； 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．熟练掌握相关知识点是解题关键． 8．A 【分析】先求出，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比计算△ABC的周长. 【详解】∵AD＝3BD， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE的周长：△ABC的周长=3:4， ∵△ADE的周长为3， ∴△ABC的周长＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，熟记相似三角形周长比等于相似比是解决此题的关键. 9．2 【分析】由得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比． 【详解】解：∵矩形的边在的边上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴整理得2， ∴的值是2， 故答案为：2． 10． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． 先证明，同理可得，则,则,证明，则，得到，则，即可得到． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴，， ∵过点作的垂线交边、于点、， ∴， ∴, ∴， 又∵ ∴， 同理可得， ∴, ∴, ∵，,， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 11． 【分析】作，得到多个相似三角形，由得出，再由得出，最后由得出， 所以可计算出． 【详解】解：作交AF于点I，则，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质，解题的关键是利用相似三角形的性质将线段都用表示出来，从而求解． 12．． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°， ∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△DAB，∴， ∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2， ∴AE==，BD==， ∴BF= =，过F作FG⊥BC于G， ∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴，∴FG=，BG=， ∴CG=，∴CF==， 故答案为． 13． 【分析】连接，取中点，连接，，则有，由，即，故最小时，最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，此时，由是等边三角形， 得，，根据直角三角形的性质得，，设，则，求出，，，则，从而可知，，，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴最小时，最小， 根据垂线段最短可知，当时，最小，此时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，三角形三边关系，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 14．飞虹塔的高度为47米 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答．证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为47米． 15．(1)证明见解析 (2)是的切线，理由见解析 (3)等边的边长是 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，，求得，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据角的和差得到，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：在与中， ，，， ， ，， ﹣﹣，即， 是等边三角形； （2）是的切线，理由如下， 连接．．， 在与中， ，，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）， ， ， ， ， ， ， 等边的边长是． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16．作图见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定与性质，构造以为直角边、为直角顶点的等腰直角三角形即可得到答案； （2）根据题意，在上作点，使，由于在和中是同一个公共角，则两个三角形相似，从而，取中点为，连接，根据等腰直角三角形性质即可得到，从而得到答案； （3）根据题意，在上作点，和高相同，由得到，利用平行线分线段成比例，过的处作平行线即可得到结论． 【详解】解：（1）构造以为直角顶点、为直角边的等腰直角三角形，如图所示： 与的交点，使； （2）由（1）中图，取中点为，连接，如图所示： ， 在和中，由三角形内角和定理可知与的交点，使； （3）在上取点，使，过作平行线交于，如图所示： 在上的点，使． 【点睛】本题考查网格中作图，涉及等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、同高三角形面积比等于底的比等知识，熟练运用相关性质辅助作图是解决问题的关键． 17．(1)2秒 (2)1秒或3秒 (3)秒或秒 【分析】（1）设经过秒后，，则，，据此列出方程求解即可． （2）设经过秒后，的面积等于，则，，利用三角形的面积公式结合的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）分，两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒后，，则，， 依题意，得， 解得． 答：经过2秒后，． （2）解：设经过秒后，的面积等于，则，， 依题意，得， 化简，得， 解得， 答：经过1秒或3秒后，的面积等于； （3）设经过秒后， 与相似，则，， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上，经过秒或秒后， 与相似 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$