高频考点7 等腰三角形的性质（上海期末精选共25题） 2024-2025学年沪教版八年级数学上册期末高频考点复习巩固卷

高频考点7 等腰三角形的性质（共25题） 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•长宁区校级期末）下列命题中，逆命题是假命题的是　　 A．两直线平行，同旁内角互补 B．直角三角形的两个锐角互余 C．两个全等三角形的对应角相等 D．两内角相等的三角形是等腰三角形 2．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 3．（2017秋•奉贤区期末）下列说法正确的是　　 A．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例 B．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例 C．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例 D．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例 4．（2023秋•黄浦区期末）下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有　　个． ①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等； ③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2022秋•杨浦区期末）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共17小题） 6．等腰三角形的顶角为150度，腰长为，则腰上的高为 　　． 7．（2023秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是 　　． 8．（2023秋•松江区期末）如图，在中，，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 　　． 9．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边、于点、，如果，那么　　． 10．（2023秋•金山区期末）如图，在△中，，，垂足为点，点为的中点，联结、交于点，若，则　　． 11．（2023秋•虹口区校级期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 　　． 12．（2023秋•虹口区校级期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 　　． 13．（2023秋•静安区校级期末）已知线段，以为顶角的等腰的顶点的轨迹是 　　． 14．（2023秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知在中，，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 　　． 15．（2023秋•黄浦区期末）已知等腰中，，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 　　． 16．（2002•烟台）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为　　． 17．（2018秋•奉贤区期末）以线段为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 　　． 18．（2023秋•普陀区期末）如图，在四边形中，，，垂足为点．如果，，那么　　． 19．（2020秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　　． 20．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰中，如果，，是的垂直平分线，那么　 　度． 21．（2000•上海）如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于　　度． 22．（2009•滕州市一模）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于　　． 三．解答题（共3小题） 23．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在中，，，，是的中点． 求证：． 24．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，是上的一点，．求证：． 25．（2022秋•宝山区期末）已知：如图，是等腰三角形，是底边上的中线，和分别垂直于、，垂足分别为点、． 求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高频考点7 等腰三角形的性质（共25题） 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•长宁区校级期末）下列命题中，逆命题是假命题的是　　 A．两直线平行，同旁内角互补 B．直角三角形的两个锐角互余 C．两个全等三角形的对应角相等 D．两内角相等的三角形是等腰三角形 【答案】 【分析】先写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解答】解：、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为两个锐角相等的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； 、逆命题为等腰三角形的两个内角相等，正确，是真命题，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 2．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 【分析】利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解． 【解答】解：、到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选项不符合题意； 、等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段中点除外），故选项符合题意； 、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故选项不符合题意； 、到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 3．（2017秋•奉贤区期末）下列说法正确的是　　 A．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例 B．面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例 C．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例 D．周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例 【答案】 【分析】根据正比例函数及反比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例，故本选项错误； 、面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例，故本选项正确； 、周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成一次函数，故本选项错误； 、周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成一次函数，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，正比例函数的定义，解决此题的关键掌握平行四边形的性质． 4．（2023秋•黄浦区期末）下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有　　个． ①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等； ③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解答】解：①全等三角形对应边相等，正确，为真命题；逆命题为对应边相等的三角形全等，正确，为真命题，符合题意； ②全等三角形对应角相等，正确，为真命题；逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意； ③等腰三角形两条腰上的高相等，正确，为真命题；逆命题为两边上的高相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等，正确，是真命题；逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个实数也相等，错误，为假命题，不符合题意； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，正确，为真命题；逆命题为如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行，正确，为真命题，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 5．（2022秋•杨浦区期末）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定定义域即可． 【解答】解：， ，即， 两边之和大于第三边， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键． 二．填空题（共17小题） 6．等腰三角形的顶角为150度，腰长为，则腰上的高为 　4　． 【答案】4． 【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：如图，顶角为， ， 腰上的高． 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 7．（2023秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是 　4或　． 【答案】4或． 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积4；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是． 【解答】解：当时，如图 ，，， ， 将折叠，使点与点重合， ， 的面积是； 当时，过作于，如图 ，，， ， 设，则， 将折叠，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：4或． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 8．（2023秋•松江区期末）如图，在中，，，点是边中点，将沿某直线翻折使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的长为 　　． 【答案】． 【分析】过作于，过作，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，得到，设，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过作于，过作， ， ，， ， ， ， 点是边中点， ， ， ， 设， 将沿某直线翻折使得点与点重合， 垂直平分， ， ， ， ， 解得， 的长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 9．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边、于点、，如果，那么　　． 【答案】． 【分析】利用的垂直平分线的性质得到：，利用等腰三角形的性质得到，然后求即可． 【解答】解：边的垂直平分线分别交边、于点、， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得到相等的线段． 10．（2023秋•金山区期末）如图，在△中，，，垂足为点，点为的中点，联结、交于点，若，则　　． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据重心的概念得到，，设，根据勾股定理用表示出，计算即可． 【解答】解：如图，过点作于，于， ，， ，平分， ， 点为的中点，， ， ， ， ， 同理：， 设，则， 在△中，， ， ， 由勾股定理得：， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 11．（2023秋•虹口区校级期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 　　． 【答案】． 【分析】画出图形，根据直角三角形中角所对直角边是斜边一半即可求得的大小，根据等腰三角形底角相等及三角形内角和定理即可解题． 【解答】解：如图，是边上高， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质，本题中画出图形并求得的大小是解题的关键． 12．（2023秋•虹口区校级期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 　底边的垂直平分线　． 【答案】的垂直平分线． 【分析】确定等腰三角形的两腰上的中线交点具有的共同性质是到底边两个端点的距离相等即可求解． 【解答】解：如图，，△的中线、相交于点， 、是△的中线， ，， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， ． 在的垂直平分线上， 两腰上的中线交点的轨迹是的垂直平分线． 故答案为：的垂直平分线． 【点评】此题主要考查了轨迹，同时也利用了等腰三角形的性质与判定，解题的关键是确定轨迹具有的共同性质． 13．（2023秋•静安区校级期末）已知线段，以为顶角的等腰的顶点的轨迹是 　以为圆心为半径的圆（点除外且，，不能共线）　． 【分析】根据轨迹的定义解答即可． 【解答】解：以线段为腰，以为顶角的等腰的顶点的轨迹是以为圆心为半径的圆（点除外且，，不能共线）， 故答案为：以为圆心为半径的圆（点除外且，，不能共线）． 【点评】本题考查轨迹，圆的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．（2023秋•黄浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知在中，，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，轴于点，由等腰三角形的性质得出的长，根据勾股定理得出的长，进而可得出结论． 【解答】解：如图，过点作于点，轴于点， ，点、的坐标分别是、， ， ， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，坐标与图形性质，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（2023秋•黄浦区期末）已知等腰中，，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 　或或　． 【答案】或或． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：如图1，是等腰三角形， ，， 垂直且平分， ， ， ， ． 如图2，同理可得， 如图3，同理可得， 综上所述或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 16．（2002•烟台）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为　15或75　． 【分析】因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案． 【解答】解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 根据直角三角形中角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为，此时底角为； （2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 根据直角三角形中角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为，此时顶角是，底角为． 故其底角为或． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键． 17．（2018秋•奉贤区期末）以线段为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 　线段的垂直平分线（与的交点除外）　． 【分析】满足以线段为底边且，根据线段的垂直平分线判定得到点在线段的垂直平分线上，除去与的交点（交点不满足三角形的条件）． 【解答】解：以线段为底边，， 点在线段的垂直平分线上，除去与的交点（交点不满足三角形的条件）， 以线段为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是 线段的垂直平分线，不包括的中点． 故答案为线段的垂直平分线，不包括的中点． 【点评】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质，解题的关键是熟记线段的垂直平分线的定义． 18．（2023秋•普陀区期末）如图，在四边形中，，，垂足为点．如果，，那么　72　． 【答案】72． 【分析】过作于，由等腰三角形的性质推出，，而，得到，由证明，得到，求出，即可得到． 【解答】解：过作于， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：72． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明，得到． 19．（2020秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　1或　． 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积1；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是． 【解答】解：当时，如图： ，，， ， 将折叠，使点与点重合， ， 的面积是； 当时，过作于，如图： ，，， ， 设，则， 将折叠，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：1或． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 20．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰中，如果，，是的垂直平分线，那么　30　度． 【分析】根据等边对等角，由已知的得到与相等，由的度数求出的度数，然后由为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到与相等，再根据等边对等角得到与相等，由与相减即可求出所求角的度数． 【解答】解：，且， ， 又是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：30 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．其中线段垂直平分线性质为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 21．（2000•上海）如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于　120　度． 【答案】120． 【分析】根据直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数． 【解答】解：在直角中，， ， ， ， ． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 22．（2009•滕州市一模）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于　或　． 【分析】题中只说明是等腰三角形没有指明是锐角三角形还是钝角三角形，所以应该分两情况进行分析． 【解答】解：①如图，中，，且， 中，且，， ， ． ②如图，中，，的延长线于点，且， ，，， ， ， ． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及含30度的直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用． 三．解答题（共3小题） 23．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在中，，，，是的中点． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据等腰三角形的性质可求，根据可证，根据全等三角形的性质可求，再根据等腰三角形的性质可证． 【解答】证明：， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据证明． 24．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，是上的一点，．求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后再利用直角三角形的两个锐角互余可得，，从而利用同角的余角相等可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，即可解答． 【解答】证明：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．（2022秋•宝山区期末）已知：如图，是等腰三角形，是底边上的中线，和分别垂直于、，垂足分别为点、． 求证：． 【答案】见解析． 【分析】首先等腰三角形的性质得平分，由角平分线的性质可得，又有，可证，即可得出． 【解答】证明：是等腰三角形，是底边上的中线， 平分， 、， ，， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，证是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$