高频考点6 角平分线的性质-2024-2025学年上学期八年级数学期末高频考点巩固复习卷（沪教版，上海专用）

高频考点6 角平分线的性质 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 【分析】利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解． 【解答】解：、到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选项不符合题意； 、等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段中点除外），故选项符合题意； 、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故选项不符合题意； 、到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 2．（2023秋•上海期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的　　 A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．（2023秋•嘉定区期末）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，再根据，即可得出答案． 【解答】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长 ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出的周长是解题的关键． 4．（2022秋•宝山区校级期末）下列命题中，是假命题的是　　 A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可． 【解答】解：．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“”；故本选项是正确； 、每个命题都有逆命题，所以选项正确； 、每个定理不一定有逆定理，所以选项错误； 、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键． 5．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是　　 A．点在的垂直平分线上 B．点到直线的距离为1 C．点到直线的距离为2 D．点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据三角函数的定义得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，求得点在的垂直平分线上，过作于，求得点到的距离为1，，得到点到的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为． 【解答】解：在中，，， ， ， 平分， ， ，， ， 点在的垂直平分线上． 故选项结论正确； 过作于， ， 点到的距离为1（故选项结论正确），， 点到的距离为， 故选项结论正确； 过作交的延长线于， ， 点到的距离为， 故选项结论不正确； 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 二．填空题（共8小题） 6．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，平分，，，那么　30　度． 【答案】30． 【分析】作于，利用角平分线的性质可得，再利用，可得答案． 【解答】解：作于， 平分，，， ， ， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 7．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的面积为 　20　． 【答案】20． 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，于是得到的面积． 【解答】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积． 故答案为：20． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到． 8．（2023秋•宝山区期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 　24　． 【答案】24． 【分析】过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【解答】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 给答案为：24． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到． 9．（2023秋•虹口区校级期末）如图，已知，点为、的平分线的交点．，且，则两平行线、间的距离等于 　　． 【答案】． 【分析】过点作，交于点，交于点，则，即可得出的长为两平行线、间的距离，根据角平分线的性质求出，则可求． 【解答】解：过点作，交于点，交于点， ， ， 平分，， ， 平分，， ， ， ， ， 即两平行线、间的距离为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等． 10．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知中，，，平分，且交于点，，那么的长是 　　． 【答案】． 【分析】由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【解答】解：，， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 11．（2022秋•宝山区期末）在中，和的平分线交于点，于点，如果，的面积是6，则的周长是 　12　． 【答案】12． 【分析】过点作于，于，连接，根据角平分线的性质得到，，再根据三角形的面积公式得到即可解答． 【解答】解：过点作于，于，连接， ，分别是和的角平分线， ，， ． ， 即的周长是12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 12．（2022秋•杨浦区期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 　3　． 【答案】3． 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，，根据，，求得即可求解． 【解答】解：过点作于点， ，是中的角平分线，于， ， ，， ， ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 13．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在中，平分角，，，的面积为9，则的面积为　6　． 【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：作于，于， 平分角，，， ， 的面积：的面积， 的面积为9， 的面积为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 三．解答题（共12小题） 14．（2023秋•宝山区期末）如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，若．求证：平分． 【分析】要证平分，只需证．可通过证△△来实现． 根据已知条件，利用可直接证明△△，从而可得出平分． 【解答】证明：，， ． 在△与△中， ， △△． ， 是的平分线． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△△是正确解答本题的关键． 15．（2023秋•上海期末）如图，已知与点、，求作一点，使点到边、的距离相等，且（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】①作的平分线，②作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【解答】解：①作的平分线，②作线段的垂直平分线，交于点． 点即为所求． 【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 16．（2023秋•崇明区期末）如图，在中，平分，，，的面积等于9． 求：的面积． 【分析】过点作垂直于，垂直于，由为角的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比等于的比值，把的面积以及、的值代入即可求出的面积． 【解答】解：过点作于，于． 为的平分线， ，，，且， ， 则． 【点评】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题． 17．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）过点作于点，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【解答】证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 18．（2023秋•静安区校级期末）已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，联结，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：　　． 证明： 【分析】操作：根据要求作出图形即可 猜想：． 证明：取的中点，连接，证明，即可． 【解答】操作：解：图形如图所示： 猜想：解：结论：． 故答案为：． 证明：取的中点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 19．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在△中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 （1）若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时　　； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时　　． 【答案】（1）6.25； （2）． 【分析】（1）连接，根据勾股定理得到即可得到结论． （2）过作，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可． 【解答】解：（1）连接， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：6.25； （2）当点在的平分线上时，如图，过点作于点， 此时，，， 在△中，， 即：， 解得：， 当时，点恰好在的平分线上． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键． 20．（2023秋•静安区校级期末）如果点、分别在角的两边上，且到该角平分线上的点的距离相等，就称点、是关于点的“制衡点”，而叫点的“制衡三角形”，已知，如图，，为平分线上一点，，交于点，，垂足为，． （1）求的长； （2）如果点、是关于点的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点，并求出点的“制衡三角形”的周长． 【答案】（1）2； （2）6或． 【分析】（1）在上取一点，使得．利用全等三角形的性质证明即可； （2）分两种情形：在线段或在的延长线上两种情形分别求解． 【解答】解：（1）在上取一点，使得． ，，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ，； （2）如图，点，即为所求． 连接． 由题意，点、是关于点的“制衡点”， ，， 是等边三角形， 的周长为6； 当时，， ， ， ， ， 的周长． 综上所述，点的“制衡三角形”的周长为6或． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（2022秋•长宁区校级期末）如图，平分，，点在线段上，． （1）求证：； （2）若，，，求△的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，从而可证明△△，得出，△△，得出，即可推出结论； （2）根据等面积法求出的长，从而得出的长，得出△的面积，可推出结果． 【解答】（1）证明：如图，过点作于， 又，平分， ， 在△与△中， ， △△， ， 在△与△中， ， △△， ， ； （2）解：， △是直角三角形，且， ， ， ， ， ． 由（1）知，△△， △的面积为． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． 22．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，直线，垂足为点． （1）如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点； （2）在第（1）题的条件下，连接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）为直角三角形；理由见解答． 【分析】（1）作的平分线交直线于点，根据角平分线的性质可判断点满足条件； （2）利用三角形面积公式可得到，即，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【解答】解：（1）如图，点为所作； （2）为直角三角形． 理由如下： ，点到两边的距离相等， ， 即， ， ，， ， 为直角三角形． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理的逆定理． 23．（2023秋•普陀区期末）已知：如图，在△中，点在边的垂直平分线上，直线经过点，、分别垂直于直线，垂足分别为点、，且． （1）求证：△△； （2）取边的中点，连接，求证：平分． 【答案】（1）（2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，利用即可证明△△； （2）连接，作于，作于，设交于，可证得△△，从而，进而得出结论． 【解答】证明：（1）点在边的垂直平分线上， ， 、分别垂直于直线， △和△是直角三角形， 在△和△中， ， △△； （2）如图，连接，作于，作于，设交于， ， 由（1）知：△△， ， ， ， ，是的中点，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， 平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 24．（2023秋•上海期末）为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图，表示两条公路，点，表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【解答】解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【点评】此题考查作图应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键． 25．（2023秋•上海期末）如图，平分，，，垂足分别为点，，． （1）求证：； （2）如果，，求证：． 【分析】（1）证明，；进而证明，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）平分，，， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，，， ， ． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高频考点6 角平分线的性质 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 2．（2023秋•上海期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的　　 A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．（2023秋•嘉定区期末）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•宝山区校级期末）下列命题中，是假命题的是　　 A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 5．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是　　 A．点在的垂直平分线上 B．点到直线的距离为1 C．点到直线的距离为2 D．点到直线的距离为 二．填空题（共8小题） 6．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，平分，，，那么　　度． 7．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的面积为 　　． 8．（2023秋•宝山区期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 　　． 9．（2023秋•虹口区校级期末）如图，已知，点为、的平分线的交点．，且，则两平行线、间的距离等于 　　． 10．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知中，，，平分，且交于点，，那么的长是 　　． 11．（2022秋•宝山区期末）在中，和的平分线交于点，于点，如果，的面积是6，则的周长是 　　． 12．（2022秋•杨浦区期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 　　． 13．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在中，平分角，，，的面积为9，则的面积为　 　． 三．解答题（共12小题） 14．（2023秋•宝山区期末）如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，若．求证：平分． 15．（2023秋•上海期末）如图，已知与点、，求作一点，使点到边、的距离相等，且（保留作图痕迹，不写作法）． 16．（2023秋•崇明区期末）如图，在中，平分，，，的面积等于9． 求：的面积． 17．（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 18．（2023秋•静安区校级期末）已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，联结，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：　　． 证明： 19．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在△中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 （1）若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时　　； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时　　． 20．（2023秋•静安区校级期末）如果点、分别在角的两边上，且到该角平分线上的点的距离相等，就称点、是关于点的“制衡点”，而叫点的“制衡三角形”，已知，如图，，为平分线上一点，，交于点，，垂足为，． （1）求的长； （2）如果点、是关于点的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点，并求出点的“制衡三角形”的周长． 21．（2022秋•长宁区校级期末）如图，平分，，点在线段上，． （1）求证：； （2）若，，，求△的面积． 22．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，直线，垂足为点． （1）如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点； （2）在第（1）题的条件下，连接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 23．（2023秋•普陀区期末）已知：如图，在△中，点在边的垂直平分线上，直线经过点，、分别垂直于直线，垂足分别为点、，且． （1）求证：△△； （2）取边的中点，连接，求证：平分． 24．（2023秋•上海期末）为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图，表示两条公路，点，表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 25．（2023秋•上海期末）如图，平分，，，垂足分别为点，，． （1）求证：； （2）如果，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$