高频考点3 线段垂直平分线的性质（上海期末精选共33题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末高频考点复习巩固卷（沪教版，上海专用）

高频考点3 线段垂直平分线的性质（共33题） 一．选择题（共10小题） 1．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是　　 A．点在的垂直平分线上 B．点到直线的距离为1 C．点到直线的距离为2 D．点到直线的距离为 2．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 3．（2023秋•松江区期末）下列说法中正确的是　　 A．“对顶角相等”没有逆命题 B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线 D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等 4．（2023秋•静安区校级期末）下列命题为真命题的是　　 A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 5．（2023秋•宝山区期末）下列命题中，逆命题是假命题的是　　 A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 6．（2016•毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的　　 A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 7．（2023秋•虹口区校级期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为19，的周长为13，则的长为　　 A．16 B．3 C．12 D．6 9．（2024•石家庄模拟）如图，在中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2022秋•宝山区期末）下列命题中，假命题是　　 A．若点、在线段的垂直平分线上，则， B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点在线段的垂直平分线上 D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线 二．填空题（共10小题） 11．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰中，如果，，是的垂直平分线，那么　 　度． 12．（2020春•张店区期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　　． 13．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　　． 14．（1997•广西）如图，，是、的垂直平分线的交点，那么　　． 15．（2021春•毕节市期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则 　　． 16．（2023秋•闵行区期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点、，垂足为、，若，则　　度． 17．（2023秋•浦东新区期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　　度． 18．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边、于点、，如果，那么　　． 19．（2023秋•黄浦区期末）已知等腰中，，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 　　． 20．（2023秋•杨浦区期末）如图，在△中，，边的垂直平分线交于，，，则 　　． 三．解答题（共13小题） 21．（2017秋•石景山区期末）为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图，表示两条公路，点，表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 22．如图所示，已知中，，的垂直平分线交于，交于，若，．求的长． 23．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 24．（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．（说明：此题的证明过程需要批注理由） 25．（2023秋•闵行区期末）如图，在△中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点，求证：过点、的直线垂直平分线段． 26．（2023秋•松江区期末）已知：如图，点在上，，，垂直平分线段． （1）求证：； （2）联结、，求证：是等腰直角三角形． 27．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 28．（2023秋•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图象上的两点，联结． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 29．（2018•陕西二模）如图，已知与点、，求作一点，使点到边、的距离相等，且（保留作图痕迹，不写作法）． 30．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，联结． （1）求的度数； （2）求的长． 31．（2023秋•静安区校级期末）已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，联结，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：　　． 证明： 32．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 33．（2023秋•普陀区期末）已知：如图，在△中，点在边的垂直平分线上，直线经过点，、分别垂直于直线，垂足分别为点、，且． （1）求证：△△； （2）取边的中点，连接，求证：平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高频考点3 线段垂直平分线的性质（共33题） 一．选择题（共10小题） 1．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是　　 A．点在的垂直平分线上 B．点到直线的距离为1 C．点到直线的距离为2 D．点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据三角函数的定义得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，求得点在的垂直平分线上，过作于，求得点到的距离为1，，得到点到的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为． 【解答】解：在中，，， ， ， 平分， ， ，， ， 点在的垂直平分线上． 故选项结论正确； 过作于， ， 点到的距离为1（故选项结论正确），， 点到的距离为， 故选项结论正确； 过作交的延长线于， ， 点到的距离为， 故选项结论不正确； 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 2．（2023秋•长宁区校级期末）下列说法错误的是　　 A．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 B．等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D．到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 【分析】利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解． 【解答】解：、到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选项不符合题意； 、等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段中点除外），故选项符合题意； 、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故选项不符合题意； 、到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 3．（2023秋•松江区期末）下列说法中正确的是　　 A．“对顶角相等”没有逆命题 B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线 D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】 【分析】根据对顶角的性质、全等三角的判定定理，等腰三角形的性质判断即可． 【解答】解：、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，故不符合题意； 、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故符合题意； 、以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线（底边的中点除外），故不符合题意； 、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是轨迹，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（2023秋•静安区校级期末）下列命题为真命题的是　　 A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】 【分析】、根据角平分线的定义即可判断； 、根据线段的垂直平分线的定义即可判断； 、根据三角形的外角与内角的关系即可判断； 、根据全等三角形的定义即可判断． 【解答】解：、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和三角形的顶点确定的线段是三角形的角平分线，故结论错误，是假命题； 、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故结论正确，是真命题； 、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故结论错误，是假命题； 、面积相等的两个三角形不一定全等，故结论错误，是假命题． 故选：． 【点评】此题分别考查了轨迹、线段的垂直平分线的性质、命题与定理、三角形的内角与外角的关系，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 5．（2023秋•宝山区期末）下列命题中，逆命题是假命题的是　　 A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】 【分析】关键逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【解答】解：、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； 、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； 、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； 、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．（2016•毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的　　 A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可． 【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．（2023秋•虹口区校级期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可求，根据垂直平分线性质，，，则，，从而可得，即可得到，即可得解． 【解答】解：， ， 的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点， ，， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求的关系式是关键． 8．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为19，的周长为13，则的长为　　 A．16 B．3 C．12 D．6 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，则利用的周长为13和等线段代换得到，然后根据的周长为19可求得的长． 【解答】解：的垂直平分线交于点， ， 的周长为13， ， ， 即， 的周长为19， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 9．（2024•石家庄模拟）如图，在中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用基本作图得，，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，所以． 【解答】解：由作法得，， 垂直平分， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 10．（2022秋•宝山区期末）下列命题中，假命题是　　 A．若点、在线段的垂直平分线上，则， B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点在线段的垂直平分线上 D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线 【答案】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质分别判断即可． 【解答】解：、若点、在线段的垂直平分线上，则，，正确，是真命题，不符合题意； 、若，，则直线是线段的垂直平分线，正确，是真命题，不符合题意； 、若，则点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、若，则过点的直线不一定是线段的垂直平分线，故错误，是假命题，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段的垂直平分线的性质及判定方法，难度较小． 二．填空题（共10小题） 11．（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰中，如果，，是的垂直平分线，那么　30　度． 【分析】根据等边对等角，由已知的得到与相等，由的度数求出的度数，然后由为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到与相等，再根据等边对等角得到与相等，由与相减即可求出所求角的度数． 【解答】解：，且， ， 又是的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：30 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．其中线段垂直平分线性质为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 12．（2020春•张店区期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　20　． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半求出的长． 【解答】解：是边的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　16　． 【答案】16． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（1997•广西）如图，，是、的垂直平分线的交点，那么　　． 【分析】根据题意确定点是的外心，所以连接．利用圆周角定理可知，然后等腰的性质和三角形内角和定理来求的度数即可． 【解答】解：是、的垂直平分线的交点， 点是的外心． 如图，连接． 则． 又， ． ， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来． 15．（2021春•毕节市期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则 　40　． 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16．（2023秋•闵行区期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点、，垂足为、，若，则　40　度． 【答案】40． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：， ， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， 故选：40． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17．（2023秋•浦东新区期末）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　40　度． 【答案】40． 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，进而求出，结合图形计算即可． 【解答】解：， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 18．（2023秋•静安区校级期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边、于点、，如果，那么　　． 【答案】． 【分析】利用的垂直平分线的性质得到：，利用等腰三角形的性质得到，然后求即可． 【解答】解：边的垂直平分线分别交边、于点、， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得到相等的线段． 19．（2023秋•黄浦区期末）已知等腰中，，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为 　或或　． 【答案】或或． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：如图1，是等腰三角形， ，， 垂直且平分， ， ， ， ． 如图2，同理可得， 如图3，同理可得， 综上所述或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 20．（2023秋•杨浦区期末）如图，在△中，，边的垂直平分线交于，，，则 　　． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用勾股定理计算出，，则，接着证明△△，所以，则，然后根据三角形内角和计算出的度数． 【解答】解：垂直平分， ，，， 在△中，， ， 在△中，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 三．解答题（共13小题） 21．（2017秋•石景山区期末）为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图，表示两条公路，点，表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论． 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【解答】解：点为线段的垂直平分线与的平分线的交点，则点到点、的距离相等，到、的距离也相等，作图如下： 【点评】此题考查作图应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键． 22．如图所示，已知中，，的垂直平分线交于，交于，若，．求的长． 【答案】12． 【分析】首先连接，由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，可设，则，然后由中，，，由勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得的长，继而求得的长． 【解答】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， 在中，，， ， 解得：， ，， ， 在中，． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是关键． 23．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 【答案】见解答． 【分析】过点作于点，连接，如图，先根据角平分线的定义和角平分线的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后利用等线段代换得到结论． 【解答】证明：过点作于点，连接，如图， ，平分，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 而，， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了角平分线的性质． 24．（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，联结．求证：．（说明：此题的证明过程需要批注理由） 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形30度的性质得和的关系，从而得出结论． 【解答】证明：连接， 是的垂直平分线（已知）， ，（线段垂直平分线的性质）， （等边对等角）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 中，是的中点（已知）， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 中，（已知）， （直角三角形角所对的直角边是斜边的一半）， （等量代换）． 【点评】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题． 25．（2023秋•闵行区期末）如图，在△中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，并延长交于点，求证：过点、的直线垂直平分线段． 【分析】（1）证明△△，得出．则可得出结论； （2）得出，则平分，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】证明：（1），， ． ， ， ． 在△与△中， ， △△． ． ． （2）如图， △△， ，． ， ． ，， ， ． ，，， 平分． 即平分． ， ，， 即过点、的直线垂直平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（2023秋•松江区期末）已知：如图，点在上，，，垂直平分线段． （1）求证：； （2）联结、，求证：是等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）垂直平分线段， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）延长交的延长线于， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 27．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解答过程． 【分析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，根据等腰三角形的性质进一步得出结论． 【解答】证明：如图， 连接，， ， ，， ， 点是的中点， ， 垂直平分． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 28．（2023秋•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图象上的两点，联结． （1）求反比例函数的解析式； （2）线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； （2）点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【解答】解：（1）是反比例函数的图象上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法已经线段垂直平分线的性质是解题的关键． 29．（2018•陕西二模）如图，已知与点、，求作一点，使点到边、的距离相等，且（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】①作的平分线，②作线段的垂直平分线，交于点，点即为所求． 【解答】解：①作的平分线，②作线段的垂直平分线，交于点． 点即为所求． 【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 30．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，，，垂直平分，分别交边、于点、，联结． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可为直角三角形，，由含30度角的直角三角形性质知； （2）由线段垂直平分线的性质得，易得，设，则，在中，利用含30度角的直角三角形性质求解即可． 【解答】解：（1），，， ， 为直角三角形，， 又， ． （2）垂直平分， ， ，， 设，则， 在中，，， ，即， 解得：， ． 【点评】本题主要考查勾股定理、含30度角的直角三角形性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 31．（2023秋•静安区校级期末）已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，联结，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：　　． 证明： 【分析】操作：根据要求作出图形即可 猜想：． 证明：取的中点，连接，证明，即可． 【解答】操作：解：图形如图所示： 猜想：解：结论：． 故答案为：． 证明：取的中点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 32．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）依据题意，由的垂直平分线经过点，从而，故，再结合，求出，最后，进而计算可以得解； （2）依据题意，取的中点，连接，可得，即，从而．，再由，故，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，分在边上时和在的延长线上两种情况，然后在中和在中利用勾股定理建立方程进而计算可以得解． 【解答】（1）解：的垂直平分线经过点， ． ． 又， ． ． 又， ． （2）证明：如图1，取的中点，连接． ， ． ， ． ． ． ． ． （3）解：如图2，当在边上时，作于， 又， ． 设， ． ． ，． ，． 在中，， 在中，， ． ，即． 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意，， ． ． ． 又， ． 设， ． ． ． ． ． ． 在中，， 在中，， ． ，即． 综上，的长为或． 【点评】本主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 33．（2023秋•普陀区期末）已知：如图，在△中，点在边的垂直平分线上，直线经过点，、分别垂直于直线，垂足分别为点、，且． （1）求证：△△； （2）取边的中点，连接，求证：平分． 【答案】（1）（2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，利用即可证明△△； （2）连接，作于，作于，设交于，可证得△△，从而，进而得出结论． 【解答】证明：（1）点在边的垂直平分线上， ， 、分别垂直于直线， △和△是直角三角形， 在△和△中， ， △△； （2）如图，连接，作于，作于，设交于， ， 由（1）知：△△， ， ， ， ，是的中点，， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， 平分． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$