高频考点1 勾股定理（共38题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末高频考点复习巩固卷（沪教版，上海专用）

高频考点1 勾股定理（共38题） 一．选择题（共5小题） 1．如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，面积分别是，，，则它们之间的关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积． 【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是，，． 则，，． 又， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式． 2．（2012秋•杭州期末）在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①，②，③，④始终为等腰直角三角形．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质得，，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判断，所以，，易得，△等腰直角三角形；再由得，于是；然后根据，，判断． 【解答】解：连接，如图， ，点为中点．， ，，， ，即， 而， ， 在和中， ， ， ，， ，故①正确； ， 始终为等腰直角三角形，故④正确； ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故②正确． 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理． 3．（2023秋•宝山区期末）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【解答】解：直角三角形的两条直角边分别为1和， 斜边长， 它斜边上的中线长是， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 4．（2022秋•杨浦区期末）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是　　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边分别为厘米、厘米，由题意可得①，②，由①②求得，再求三角形的面积即可． 【解答】解：直角三角形斜边上的中线长为2厘米， 直角三角形的斜边长为4厘米， 直角三角形的周长为厘米， 直角三角形的两条直角边长和为厘米， 设直角三角形的两条直角边分别为厘米、厘米， ①， 又②， 由①②可得，， 平方厘米， 故选：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，完全平方公式是解题的关键． 5．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是　　 A．点在的垂直平分线上 B．点到直线的距离为1 C．点到直线的距离为2 D．点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据三角函数的定义得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，求得点在的垂直平分线上，过作于，求得点到的距离为1，，得到点到的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为． 【解答】解：在中，，， ， ， 平分， ， ，， ， 点在的垂直平分线上． 故选项结论正确； 过作于， ， 点到的距离为1（故选项结论正确），， 点到的距离为， 故选项结论正确； 过作交的延长线于， ， 点到的距离为， 故选项结论不正确； 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 二．填空题（共25小题） 6．（2023秋•长宁区校级期末）已知直角坐标平面上点和，那么　　． 【答案】． 【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可． 【解答】解：直角坐标平面上点和， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式及勾股定理，熟知若两点的坐标分别为，，，，则这两点的距离是解题的关键． 7．（2020秋•浦东新区期末）已知点，，，且，则　7或　． 【分析】利用勾股定理求得、的长度，然后结合已知条件列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：依题意，得． 解得或． 故答案为：7或． 【点评】本题主要考查了勾股定理和两点间的距离公式，解方程时注意：的值有2个． 8．（2023秋•闵行区期末）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，那么这个直角三角形面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：一个直角三角形两条直角边的比是， 设两条直角边分别为，， 根据勾股定理得，， ， 两条直角边分别为和， 这个直角三角形面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（2023秋•闵行区期末）已知直角坐标平面内两点和，那么、两点间的距离等于 　　． 【分析】直接根据两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：， 即、两点间的距离等于， 故答案为： 【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键． 10．（2023秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是 　4或　． 【答案】4或． 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积4；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是． 【解答】解：当时，如图 ，，， ， 将折叠，使点与点重合， ， 的面积是； 当时，过作于，如图 ，，， ， 设，则， 将折叠，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：4或． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 11．（2023秋•松江区期末）在中，，是边的中线，如果，，那么　6　． 【答案】6． 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：在中，，是边的中线，， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键． 12．（2023秋•浦东新区期末）已知直角坐标平面上点和，那么　5　． 【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可． 【解答】解：和， ， 故答案为：5 【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式：若两点的坐标分别为，，，，则这两点的距离． 13．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，平分，，，那么　30　度． 【答案】30． 【分析】作于，利用角平分线的性质可得，再利用，可得答案． 【解答】解：作于， 平分，，， ， ， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 14．（2024•和平区校级模拟）在中，，，点为边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，联结，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长等于 　12或　． 【答案】12或． 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】解：①当时，如图， 此时，四边形是正方形， 则， 又是等腰直角三角形， 所以， 所以； ②当时，如图， 设，则，， 由折叠可知，， 由题意可知，， ， ， 即是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：12或． 【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 15．（2023秋•宝山区期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 　12　． 【答案】12． 【分析】求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， 等腰直角三角形斜边上的高为6，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为12． 故答案为：12． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 16．（2007•徐州）如图，已知中，，，，现将进行折叠，使顶点、重合，则折痕　1.875　． 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【解答】解：在直角中．则． 设，易得， 故有； ； 解可得． 故答案为：1.875． 【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 17．（2023秋•金山区期末）已知直角坐标平面内两点和，则线段的长为 　5　． 【答案】5． 【分析】解法一：连接，过一点作关于坐标轴的平行线，再过另一点作平行线的垂线，最后利用勾股定理即可求解． 解法二：直接利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：解法一：如图，连接，过点作关于轴的平行线，过点作，垂足为， 则，， ． 解法二：，， ． 故答案为：5． 【点评】本题主要靠考查勾股定理、两点间的距离公式，解题关键熟记两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 18．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，然后由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【解答】解：，点是边的中点， ， ， ， 即， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 19．（2023秋•金山区期末）如图，在△中，，，垂足为点，点为的中点，联结、交于点，若，则　　． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据重心的概念得到，，设，根据勾股定理用表示出，计算即可． 【解答】解：如图，过点作于，于， ，， ，平分， ， 点为的中点，， ， ， ， ， 同理：， 设，则， 在△中，， ， ， 由勾股定理得：， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 20．（2010•天津）如图，已知正方形的边长为3，为边上一点，．以点为中心，把顺时针旋转，得，连接，则的长等于　　． 【答案】． 【分析】根据旋转的性质得到：，在直角△中，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：根据旋转的性质得到：，在直角△中：，． 根据勾股定理得到：． 故答案为：． 【点评】本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到的长度，是解决本题的关键． 21．（2023秋•静安区校级期末）如果一个直角三角形两条边的长分别为5、12，那么斜边上中线的长为 　6.5或6　． 【答案】6.5或6． 【分析】根据题意不能确定斜边，分情况讨论，当以12为斜边时，根据直角三角形的性质得出答案；当以12，5为直角边时，根据勾股定理求出斜边，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出答案． 【解答】解：当以12为斜边时，即， 在中，为斜边的中线， 所以； 当以5，12为直角边时，如图，根据题意可知，， 勾股定理可知． 因为是斜边上的中线， 所以． 故答案为：6.5或6． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 22．（2023秋•嘉定区期末）已知直角坐标平面上点和，则　　． 【答案】． 【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可． 【解答】解：和， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式：若两点的坐标分别为，，，，则这两点的距离． 23．（2005•荆门）已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为　　． 【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0； 另外已知直角三角形两边、的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论． 【解答】解：，， ，， 或（舍去），或3， ①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：； ②当2，3均为直角边时，斜边为； ③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是． 【点评】本题考查了有理数加法法则，非负数的性质，另外考查勾股定理的应用． 24．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　　． 【答案】． 【分析】由勾股定理可求，，由旋转的性质可得，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，，，， ， ， ， ， 将绕着点旋转得到△， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 25．（2020秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　1或　． 【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，即得的面积1；当时，过作于，设，则，可得，，又，即得，可解得，，即知，故的面积是． 【解答】解：当时，如图： ，，， ， 将折叠，使点与点重合， ， 的面积是； 当时，过作于，如图： ，，， ， 设，则， 将折叠，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， 的面积是； 故答案为：1或． 【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及三角形面积、勾股定理，三角形相似判定与性质等知识，解题的关键是分类画出图形，求出边上的高． 26．（2022秋•宝山区期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为13，那么这个直角三角形斜边的长为 　26　． 【答案】26． 【分析】根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以解答本题． 【解答】解：等腰直角三角形斜边上的高为13， 等腰直角三角形斜边上的中线长为13， 这个等腰直角三角形的斜边长为， 故答案为：26． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确直角三角形斜边上的中线与斜边的关系． 27．（2022秋•杨浦区期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 　3　． 【答案】3． 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，，根据，，求得即可求解． 【解答】解：过点作于点， ，是中的角平分线，于， ， ，， ， ． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 28．（2022秋•徐汇区期末）在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　　． 【答案】． 【分析】过点作，交的延长线于，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于， 将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 29．（2014•崇左）已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 　5　． 【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【解答】解：由勾股定理得，斜边， 所以，斜边上的中线长． 故答案为：5． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 30．（2022秋•博山区校级期末）已知平面直角坐标内的两点、，那么，两点的距离等于 　5　． 【答案】5． 【分析】根据勾股定理进行计算即可求解． 【解答】解：、， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理求两点距离，掌握勾股定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 31．（2023秋•长宁区校级期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1）的度数为； （2）的长为1.4． 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， ， ，是边上的中线， ， ， ， 的度数为； （2）在中，，， ， 的面积， ， ， 解得：， ， ， 的长为1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 32．（2023秋•闵行区期末）如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【分析】（1） 直接根据勾股定理求出的长； （2） 根据勾股定理的逆定理即可得出结论 ． 【解答】解： （1） ， 在中，，， 根据勾股定理， 得， （2） 证明： 在中， ， ， 是直角三角形 ． 【点评】本题考查了勾股定理， 勾股定理逆定理， 求出是解本题的关键 ． 33．（2019秋•浦东新区期末）已知：如图，，是上一点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：． 【分析】根据题意，连接，可知，然后等边三角形的判定与性质，可以求得的度数，从而可以证明结论成立． 【解答】证明：连接， ，， 是等边三角形， ，， 又， ， ， ， 即． 【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 34．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在△中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 （1）若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时　　； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时　　． 【答案】（1）6.25； （2）． 【分析】（1）连接，根据勾股定理得到即可得到结论． （2）过作，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可． 【解答】解：（1）连接， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：6.25； （2）当点在的平分线上时，如图，过点作于点， 此时，，， 在△中，， 即：， 解得：， 当时，点恰好在的平分线上． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键． 35．（2023秋•静安区校级期末）如果点、分别在角的两边上，且到该角平分线上的点的距离相等，就称点、是关于点的“制衡点”，而叫点的“制衡三角形”，已知，如图，，为平分线上一点，，交于点，，垂足为，． （1）求的长； （2）如果点、是关于点的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点，并求出点的“制衡三角形”的周长． 【答案】（1）2； （2）6或． 【分析】（1）在上取一点，使得．利用全等三角形的性质证明即可； （2）分两种情形：在线段或在的延长线上两种情形分别求解． 【解答】解：（1）在上取一点，使得． ，，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ，； （2）如图，点，即为所求． 连接． 由题意，点、是关于点的“制衡点”， ，， 是等边三角形， 的周长为6； 当时，， ， ， ， ， 的周长． 综上所述，点的“制衡三角形”的周长为6或． 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 36．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）依据题意，由的垂直平分线经过点，从而，故，再结合，求出，最后，进而计算可以得解； （2）依据题意，取的中点，连接，可得，即，从而．，再由，故，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，分在边上时和在的延长线上两种情况，然后在中和在中利用勾股定理建立方程进而计算可以得解． 【解答】（1）解：的垂直平分线经过点， ． ． 又， ． ． 又， ． （2）证明：如图1，取的中点，连接． ， ． ， ． ． ． ． ． （3）解：如图2，当在边上时，作于， 又， ． 设， ． ． ，． ，． 在中，， 在中，， ． ，即． 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意，， ． ． ． 又， ． 设， ． ． ． ． ． ． 在中，， 在中，， ． ，即． 综上，的长为或． 【点评】本主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 37．如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，，垂足为点，且点是中点，若，，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）在中，勾股定理得出，继而得出，在中，勾股定理求得的长； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得出是等边三角形，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据（1）的结论得出是等腰直角三角形，根据即可求解． 【解答】解：（1）， ， 在中，，， ， 又点是中点， ， ， ， 在中，； （2）如图，取的中点，连接， ， ， 在中，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键． 38．（2020秋•工业园区校级期中）如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点． （1）说明：； （2）连接，说明：； （3）若，，求边的长． 【分析】（1）通过全等三角形的对应边相等证得； （2）根据和斜边上中线的性质来证明； （3）求出的长是4，在中，，根据勾股定理求出，即可求出． 【解答】解：（1）证明：，， ， 为边上的中线， ，， ， ， 即， ， ，， ， 在和中， ， ； （2），为的中点， ， ，为的中点， ， ； （3），是边上的中线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上1的中线性质以及勾股定理等知识的综合运用，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高频考点1 勾股定理（共38题） 一．选择题（共5小题） 1．如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，面积分别是，，，则它们之间的关系是　　 A． B． C． D． 2．（2012秋•杭州期末）在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①，②，③，④始终为等腰直角三角形．其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 3．（2023秋•宝山区期末）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是　　 A． B． C．3 D． 4．（2022秋•杨浦区期末）已知直角三角形的周长为厘米，斜边上的中线长为2厘米，则这个三角形的面积是　　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．1平方厘米 D．平方厘米 5．（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是　　 A．点在的垂直平分线上 B．点到直线的距离为1 C．点到直线的距离为2 D．点到直线的距离为 二．填空题（共25小题） 6．（2023秋•长宁区校级期末）已知直角坐标平面上点和，那么　　． 7．（2020秋•浦东新区期末）已知点，，，且，则　　． 8．（2023秋•闵行区期末）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，那么这个直角三角形面积为 　　． 9．（2023秋•闵行区期末）已知直角坐标平面内两点和，那么、两点间的距离等于 　　． 10．（2023秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是 　　． 11．（2023秋•松江区期末）在中，，是边的中线，如果，，那么　　． 12．（2023秋•浦东新区期末）已知直角坐标平面上点和，那么　　． 13．（2023秋•浦东新区期末）如图，在中，，平分，，，那么　　度． 14．（2024•和平区校级模拟）在中，，，点为边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，联结，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长等于 　　． 15．（2023秋•宝山区期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 　　． 16．（2007•徐州）如图，已知中，，，，现将进行折叠，使顶点、重合，则折痕　　． 17．（2023秋•金山区期末）已知直角坐标平面内两点和，则线段的长为 　　． 18．（2023秋•金山区期末）如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为 　　． 19．（2023秋•金山区期末）如图，在△中，，，垂足为点，点为的中点，联结、交于点，若，则　　． 20．（2010•天津）如图，已知正方形的边长为3，为边上一点，．以点为中心，把顺时针旋转，得，连接，则的长等于　　． 21．（2023秋•静安区校级期末）如果一个直角三角形两条边的长分别为5、12，那么斜边上中线的长为 　　． 22．（2023秋•嘉定区期末）已知直角坐标平面上点和，则　　． 23．（2005•荆门）已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为　 　． 24．（2023秋•普陀区期末）如图，在中，，，，点在边上，且，现将绕着点旋转得到△，点、、分别与点、、对应，连接，如果点在线段的延长线上，那么　　． 25．（2020秋•闵行区期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点．如果是直角三角形，那么的面积是 　　． 26．（2022秋•宝山区期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为13，那么这个直角三角形斜边的长为 　　． 27．（2022秋•杨浦区期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 　　． 28．（2022秋•徐汇区期末）在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　　． 29．（2014•崇左）已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 　　． 30．（2022秋•博山区校级期末）已知平面直角坐标内的两点、，那么，两点的距离等于 　　． 三．解答题（共8小题） 31．（2023秋•长宁区校级期末）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． 32．（2023秋•闵行区期末）如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 33．（2019秋•浦东新区期末）已知：如图，，是上一点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：． 34．（2023秋•黄浦区期末）如图，已知在△中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（请利用尺规作图，不要求写出作法、证明和结论，但要求保留作图痕迹并标出点 （1）若点在上，且满足时，在图（1）中求作符合要求的点，此时　　； （2）若点恰好在的角平分线上（点除外），在图（2）中求作符合要求的点，此时　　． 35．（2023秋•静安区校级期末）如果点、分别在角的两边上，且到该角平分线上的点的距离相等，就称点、是关于点的“制衡点”，而叫点的“制衡三角形”，已知，如图，，为平分线上一点，，交于点，，垂足为，． （1）求的长； （2）如果点、是关于点的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点，并求出点的“制衡三角形”的周长． 36．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 37．如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，，垂足为点，且点是中点，若，，． （1）求的长； （2）求的度数． 38．（2020秋•工业园区校级期中）如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点． （1）说明：； （2）连接，说明：； （3）若，，求边的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$