4.3.1等比数列的概念及通项公式第一课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式   1.通过实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义,了解等比中项的概念.　 2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.　 3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系. [学习目标] ADD YOUR TITLE HERE 情景导入 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察下列几个问题中的数列，它们有什么规律？ 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录的数列: ① 100， ③ 2.《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ·· ④ 课本P27 ADD YOUR TITLE HERE 情景导入 3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 4.某人存入银行a元，存期为５年，年利率为r，那么 按照复利，他５年内每年末得到的本利和分别是 a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察下列几个问题中的数列，它们有什么规律？ 思考1：观察上述数列中的项，每一项与它前一项之间有什么关系？ 每一项与它的前一项的比都等于 常数. 第2项起， 同一个 ① 100， ③ ·· ④ 2,4,8,16,32,64,… ⑤ a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ ADD YOUR TITLE HERE 情景导入 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点一 等比数列的定义 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列; 这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q≠0)表示. 递推公式: (q为常数，且q≠0 ) 或 (q为常数，且q≠0 ，n≥2) 大本P23 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 　判断下列数列是否为等比数列,如果是,写出它的公比. (1)1,,,,,…; (2),,,,…; 大本例1 (1)不是等比数列; (2)是等比数列,公比为; (3)1,0,1,0,1,0,…; (3)不是等比数列; (4)1,-4,16,-64,256,…; (4)是等比数列,公比为-4; (5)a,a,a,a,a…. (5)当a=0时,不是等比数列,当a≠0时,是等比数列,公比为1. ADD YOUR TITLE HERE 方法小结 (2)公比q 一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0； (1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (3)若q＝1，则该数列为非零常数列． (4)常数列 a, a , a , a , … 时,既是等差数列，又是等比数列; 时,只是等差数列，而不是等比数列. 1.数列1,1,1,…,1,…必为(　　) A.等差数列,但不是等比数列 B.等比数列,但不是等差数列 C.既是等差数列,又是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 跟踪训练 C 2.在数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A.充分不必要条件　　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点二 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列， 那么称这个数G为a与b的等比中项. （ab>0) （ab>0) 注意： 若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列. 若a，b异号则无等比中项; 若a，b同号则有两个等比中项. 　若5是a与b的等差中项,3是a与b的等比中项,则 a2+b2=　　　　　.  大本例2 82 由已知a+b=10,ab=9,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=100-18=82. 1.由等比中项的定义可知,所以只有a,b同号时,a,b才有等比中项,且有两个,异号时,没有等比中项. 2.在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 思维提升 3.在等比数列中,a2=4,a4=16,则a2与a4的等比中项为(　) A.8　　　　　　　　　　　 B.10 C.±8 D.±10 跟踪训练 C 4.已知数列是首项为2公差不为0的等差数列,且其中a1,a2,a7三项成等比数列,则数列的通项公式 an=　　　　　.  8n-6 变式训练 （1）2，x，8成等比数列，则x=_______; （2）2 , x , 8 , -16 成等比数列，则x=______. ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的通项公式 方法1： 不完全归纳法 等差数列 …… 由此归纳等差数列 的通项公式可得： …… 由此归纳等比数列 的通项公式可得： 等比数列 类比 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的通项公式 方法2： 累乘法 类比 …… +） 等差数列 累加法 …… 共n – 1 个 ×） 等比数列 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 思考2：如何用方法2（累乘法）对其加以严格的证明呢？ 证明： 将等式左右两边分别相乘可得： 此式对n=1也成立 ∵ ，… ， …… …… ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的通项公式 等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为 注意： a1≠0,q≠0 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即　　　　　　　　.  (2)任给函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为　　　,公比为　　　　.  an=f(n)　 ka　 a 大本P24 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项. (1)若等比数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则其通项公式是：＿＿＿＿＿＿ 　在等比数列{an}中. (1)a1=1,a4=8,求an; 大本例3 [解]　(1)因为a4=a1q3,所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1. (2)an=625,n=4,q=5,求a1; [解]　(2)a1==5,故a1=5. (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. [解]　(3) 因为 由,得q=,从而a1=32.又因为an=1,所以32×=1,即26-n=20,故n=6. 等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解. 思维提升 5.已知数列为等比数列,若数列(λ≠0)仍为等比数列,且a3=3,则a2 024的值为(　　) A.1　　　　　B.3 C.32 022 D.32 024 跟踪训练 B 6.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 D $$