预习03 二项分布与超几何分布（八大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习03 二项分布与超几何分布 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布，能用二项分布解决简单的实际问题 2．通过具体实例，了解超几何分布，能用超几何分布解决简单的实际问题 3．能够区分二项分布与超几何分布 知识点一、次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 知识点二、二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 知识点三、超几何分布 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 知识点四、二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 考点一：独立重复试验概率的求法 例1．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 变式1-1．如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 变式1-2．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动．给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品．某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对．剩下的每道题他做对的概率均为． (1)当时，求该居民最终恰好得到8分的概率． (2)记该居民答对道题且获得奖品的概率为，求． 考点二：二项分布的概率计算问题 例2．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 变式2-1．已知随机变量，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 变式2-2．已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，且，求Y的分布列． 考点三：二项分布模型的应用 例3． 个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 变式3-1．某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 变式3-2．为贯彻落实（全国青少年学生读书行动实施方案），某校持续开展“学习新思想、做好接班人”“典耀中华”“学科学、爱科学”等主题读书活动．为了解学生的主题读书活动情况，从全校学生3000名中抽取了部分学生的一周阅读时间x（单位：分钟）作为样本进行统计，数据从小到大依次分为五组：，，，，，得到下面的频率分布直方图（如图所示），其中第1组的频率是第2组、第4组频率的等比中项． (1)求a，b的值； (2)以频率估计概率，从全校学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为X，求X的概率分布． 变式3-3．甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分. (1)求随机变量的分布列； (2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求. 考点四：服从二项分布的概率最值 例4．某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 变式4-1．罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 变式4-2．已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 变式4-3．随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 考点五：超几何分布的辨析 例5．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 变式5-1．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 变式5-2．（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 变式5-3．写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 考点六：利用超几何分布求概率 例6．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，求取出的球中至少有一个是红球的概率． 变式6-3．2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 考点七：利用超几何分布求分布列 例7．北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 变式7-1．新高考制度的“3+1+2”中的“1”是指从物理和历史两门科目选择一门．若某班级一组有8名女生，其中有2名选择物理，6名选择历史，现从这8名女生中任选3人，求3人中选择物理科目人数的分布列． 变式7-2．现有10件分别来自甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出． (1)求选出的3件产品来自同一车间的概率； (2)设随机变量X表示选取的产品是来自乙车间的件数，求X的分布列． 变式7-3．已知6名学生中，有4名男生，2名女生.现从这6名学生中任意抽取3名学生去参加一个趣味活动. (1)求抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率； (2)求抽出的3名学生中女生人数的分布列. 考点八：二项分布与超几何分布的综合 例8．已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为，试写出的分布列． 变式8-1．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 变式8-2．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 变式8-3．某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 一、单选题 1．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.若甲、乙两人各投球2次，则共命中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，从所有可能的取值中任取3个，在取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 8．排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用5局3胜制．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．在决胜局（第五局）采用15分制，某队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是（    ） A．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛 B．若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是 C．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为 D．已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为2或4 三、填空题 9．某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过评比后，评出4篇文章获得优胜奖．若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有 篇． 10．2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为两档，当预定A档未成功时，系统自动进入档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（A、档皆可），他预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为 ． 11．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 四、解答题 12．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列． 13．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示： 产品类型 医用普通口罩 医用外科口罩 医用防护口罩 样本数量（件） 40 40 20 (1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率； (2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望. 14．从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.    (1)求第七组的频率； (2)估计该校名男生的身高的中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求. 15．同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. (1)若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习03 二项分布与超几何分布 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布，能用二项分布解决简单的实际问题 2．通过具体实例，了解超几何分布，能用超几何分布解决简单的实际问题 3．能够区分二项分布与超几何分布 知识点一、次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 知识点二、二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 知识点三、超几何分布 定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 知识点四、二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 考点一：独立重复试验概率的求法 例1．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 【答案】D 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 变式1-1．如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和，且两种方式第次移动向左向右均可以， 所以该质点共两次到达1的位置的概率为. 故选：A. 变式1-2．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置， 故此时概率为：. 故选：A 变式1-3．为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动．给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品．某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对．剩下的每道题他做对的概率均为． (1)当时，求该居民最终恰好得到8分的概率． (2)记该居民答对道题且获得奖品的概率为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，该人已经完成了前5道题的作答，且都答对， 若该居民最终恰好得到8分，则参赛者共答对9道，答错或放弃1题， 所以概率为. （2）根据题意，该人要获得奖品，则他获得6分（含6分）以上， 当10道试题都答对时，得分为10分，概率为， 当答对9道，答错或放弃1道时，得分为8分，概率为， 当答对8道，答错或放弃2道时，得分为6分，概率为， 综上可得：. 考点二：二项分布的概率计算问题 例2．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 【答案】C 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：C． 变式2-1．已知随机变量，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为，则， 且，整理可得，解得或. 故选：D. 变式2-2．已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由二项分布的知识得， 得，又，所以， 所以． 故选：D． 变式2-3．已知，且，求Y的分布列． 【答案】见解析 【详解】故X可能取值为0,1,2,3，则的可能取值为1,3,5,7 ， ， 故分布列为： 1 3 5 7 P 考点三：二项分布模型的应用 例3． 个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 【答案】/ 【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，， 用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：. 变式3-1．某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【答案】 【详解】由题意，小王购买了价值3800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券， 因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数服从， 又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次， 所以小王得到750元现金券的概率为． 故答案为：. 变式3-2．为贯彻落实（全国青少年学生读书行动实施方案），某校持续开展“学习新思想、做好接班人”“典耀中华”“学科学、爱科学”等主题读书活动．为了解学生的主题读书活动情况，从全校学生3000名中抽取了部分学生的一周阅读时间x（单位：分钟）作为样本进行统计，数据从小到大依次分为五组：，，，，，得到下面的频率分布直方图（如图所示），其中第1组的频率是第2组、第4组频率的等比中项． (1)求a，b的值； (2)以频率估计概率，从全校学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为X，求X的概率分布． 【答案】(1) (2)X的概率分布见解析 【详解】（1）因为第1组的频率是第2组、第4组频率的等比中项， 所以，解得， 又，解得． 所以， （2）第3组的频率为：， 以频率估计概率，从全校3000名学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为，则， ， ， ， ， ， 故的概率分布如下 0 1 2 3 4 变式3-3．甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分. (1)求随机变量的分布列； (2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）因为甲队中每人答对的概率均为， 由题意可知：，则的可能取值为0，1，2，3， 且，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）甲得2分，乙得1分，两事件是相互独立的， 由（1）可知：甲得2分，其概率， 乙得1分，用表示事件“乙得1分”，则． 根据相互独立事件的概率公式得. 考点四：服从二项分布的概率最值 例4．某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18 【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大， 即后面80次中出现13次点数6的概率最大， 加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18. 变式4-1．罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 【答案】4 【详解】设该名运动员通过罚球命中的次数为，则， 则， 再设最有可能得分，其中， 则，即， 解得，所以则，所以该名运动员通过罚球最有可能得分． 故答案为：. 变式4-2．已知4个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状态，某种险情发生时每个报警器都有的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为. (1)求的分布列与数学期望； (2)求的值使某次险情发生时有最大的概率有个报警器发出警报. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）根据题意，,可以取0、1、2、3、4， ， ， ， ， 所以，的分布列： X 0 1 2 3 4 P                                                              故 （2） 则：，化简得, 继续化简得到，解得：，又由于，故 变式4-3．随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 【答案】(1)100 (2)18或19 【详解】（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障， 所以主办方至少要为该通道预留100张票. （2）若小林额外找个人帮他一起抢票， 则抢到票的概率为， 可得， 令，解得；令，解得；令，解得； 即， 所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票. 考点五：超几何分布的辨析 例5．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 变式5-1．下列随机变量服从超几何分布的是（    ） A．表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数 B．表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和 C．有一批产品共有件，其中次品有件（），采用有放回抽取方法抽取次（），抽出的次品件数为 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为 【答案】D 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，可取， 且， ， ， ， 所以随机变量不服从超几何分布，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，可取，且 0 1 k n 所以随机变量服从超几何分布，故D正确. 故选：D. 变式5-2．（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】BD 【详解】对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确； 对于C，取出2个白球的概率为，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为，故D正确． 故选：BD． 变式5-3．写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3)分布列见解析，服从超几何分布 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 考点六：利用超几何分布求概率 例6．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 变式6-1．数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A 变式6-2．袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，求取出的球中至少有一个是红球的概率． 【答案】 【详解】由题意，取出的两个球都是红球的概率为，即， 所以， 取出的两个球一红一黄的概率为，即， 所以，， 若取出的球中至少有一个是红球，则的所有可能取值为1，2， 所以取出的球中至少有一个是红球的概率为． 变式6-3．2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 【答案】(1)80 (2)①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得：， 又“青年人”占比为， 所以所抽取的“青年人”人数为人； （2）①先将10名参会者进行编号：1、2、、10，并将10个号码写在完全相同的纸片上， 放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人， ②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为， 所以10人中“中年人”共有5人， 2人均为“中年人”的概率， 2人中至少有1人为男性的概率， 2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率， 因为，所以事件A与事件B不独立. 考点七：利用超几何分布求分布列 例7．北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲比乙闯关成功的可能性大 【详解】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则． （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为．因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 变式7-1．新高考制度的“3+1+2”中的“1”是指从物理和历史两门科目选择一门．若某班级一组有8名女生，其中有2名选择物理，6名选择历史，现从这8名女生中任选3人，求3人中选择物理科目人数的分布列． 【答案】答案见解析 【详解】设“3人中选择物理科目人数”为，则的可能取值为0，1，2 所以； ．则的分布列如下： 0 1 2 变式7-2．现有10件分别来自甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出． (1)求选出的3件产品来自同一车间的概率； (2)设随机变量X表示选取的产品是来自乙车间的件数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）依题意，从这10件产品中任选3件的不同取法数为， 3件产品来自同一车间的取法数有， 所以选出的3件产品来自同一车间的概率． （2）依题意，X的所有可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 变式7-3．已知6名学生中，有4名男生，2名女生.现从这6名学生中任意抽取3名学生去参加一个趣味活动. (1)求抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率； (2)求抽出的3名学生中女生人数的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）抽出的3名学生中恰好有一名是女生的概率，即抽出的3名学生是2名男生和1名女生的概率为： ； （2）设抽出的3名学生中女生人数为，则可能取值为0，1，2.               的分布列如下 0 1 2 考点八：二项分布与超几何分布的综合 例8．已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为，试写出的分布列． 【答案】答案见解析 【详解】若采用有放回抽样，的可能取值为0，1，2，3， 则服从二项分布，即，其分布列为，； 若采用不放回抽样，的可能取值为0，1，2，3， 表示“取出的3件产品中恰有件次品”，， 从4件次品中取出件，再从6件正品中取出件，共有种取法， 所以的分布列为，． 变式8-1．某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. (1)若有放回的抽取，求X的分布列； (2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）有放回的抽取时，P（取到合格品）（取到次品）， 根据题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， . X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （2）由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中合格品的比例大于等于且小于等于，即样本中合格品的个数为2或3， ， ， 所以P（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）. 变式8-2．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20． (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20． （2）由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在三组内的学生人数分别为． 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，现从这10人中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3），理由如下： 由频率分布直方图得抽取的学生中日平均阅读时间在内的概率为0.50，所以从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列大致服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大． 变式8-3．某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【详解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为, 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 一、单选题 1．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：. 故选：C. 3．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜， 故所求概率为. 故选：. 4．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.若甲、乙两人各投球2次，则共命中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，解得， 记甲投球2次，命中次数为随机变量，则，乙投球2次，命中次数为随机变量，则, 则甲、乙两人各投球2次，则共命中2次可表示为: . 故选：D. 5．已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 6．已知随机变量，从所有可能的取值中任取3个，在取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， ，， 在取出的条件下的事件为，则， 取出的3个值的概率之和超过的事件为，则， 所以所求概率. 故选：C 二、多选题 7．已知一袋中有大小、质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有（    ） A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球的次数的方差为 C．现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D．从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，恰有1个白球的概率，故A正确； 对于B，每次任取1个球，取到红球的次数， 则方差为，故B正确； 对于C，设为事件“第一次取到红球”，为事件“第二次取到红球”， 则，，所以，故C错误； 对于D，每次取到红球的概率， 所以有放回地取球3次，每次任取1个球，取到两次红球的概率为，故D正确， 故选：ABD． 8．排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用5局3胜制．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．在决胜局（第五局）采用15分制，某队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是（    ） A．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛 B．若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是 C．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为 D．已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为2或4 【答案】AD 【详解】 对于选项A:若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛，故A正确; 对于选项B:甲队赢得整场比赛的概率是: ，故B错误; 对于选项C:若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，故C错误; 对于选项D:若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在第五局中，两队当前的得分为各分，若两队打了个球后甲赢得整场比赛， 所以甲接下来可以以或赢得比赛，则x的取值为2或4，故D正确. 故选:AD． 三、填空题 9．某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过评比后，评出4篇文章获得优胜奖．若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有 篇． 【答案】5 【详解】设高一年级上交了篇文章，则高二年级上交了篇文章． 设“这4篇优胜文章恰有3篇是高一年级上交的”为事件， 则， 又，所以 故高一年级上交的文章有5篇． 故答案为：5 10．2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为两档，当预定A档未成功时，系统自动进入档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（A、档皆可），他预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为 ． 【答案】/0.275 【详解】获得开幕式门票的概率为， 获得赛事门票的概率为， 甲获得开幕式门票和赛事门票共2张门票，且乙获得0张门票或1张门票的概率为 ， 甲获得1张门票，且乙获得0张门票的概率为， 故甲获得的门票数比乙多的概率为. 故答案为： 11．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】设黄色小球有个，则， 则， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 12．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1)若从10件产品中任意抽取1件，设取到一等品的件数为，求的分布列； (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都放回，设取到一等品的件数为，求的分布列； (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件．每次抽取后都不放回，设取到一等品的件数为，求的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）若只抽取1件，则只有抽到一等品与抽不到一等品两种情况，故的取值只有0和1两种情况，服从两点分布， ，则． 因此随机变量的分布列为 0 1 （2）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3次独立重复试验， 因此，所以， ，， ． 因此随机变量的分布列为 0 1 2 3 （3）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品的件数服从参数10，3，3的超几何分布， 即， 所以从10件产品中任取3件，其中恰有件一等品的概率为，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 13．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示： 产品类型 医用普通口罩 医用外科口罩 医用防护口罩 样本数量（件） 40 40 20 (1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率； (2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.48 (2)分布列见解析，1.2 【详解】（1）记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩， 则，且两两互斥， 由题意：， 记事件为“选到绑带式口罩”，则， 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为： . . （2）由题意知，， ， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 . 14．从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人.    (1)求第七组的频率； (2)估计该校名男生的身高的中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知身高在的频率为， 频数为， 所以第七组的人数为人， 频率为； （2）设中位数为， 由频率分布直方图可知， ， 所以中位数， 即， 解得； （3）由已知， 则事件表示抽取的两人出自同一组， 又第六组共人，第八组共人， 所以. 15．同学参加学校举办的数学比赛活动，比赛规则是：该同学每轮比赛都需要回答2道“圆锥曲线”和2道“导数”相关的题目.在每一轮比赛中，若答对题数不少于3题，则可以晋级一次，已知该同学答对每道“圆锥曲线”和“导数”题的概率分别为，且每道题答对与否相互独立. (1)若，则在第一轮比赛中，求同学能晋级的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，如果同学在此次数学比赛活动中要想晋级9次，那么理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】(1) (2)至少要进行16轮比赛 【详解】（1）第一轮比赛中同学能晋级有两种情况：答对题为3道或4道， 概率为：. （2）同学在第一轮比赛中晋级的概率为 . ， 由于， 因此，故. 令，则， 当时，可得， 同学在轮比赛中晋级的次数， 由，知， 即要想晋级9次，那么理论上至少要进行16轮比赛. ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$