12.11 勾股定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

12.11 勾股定理 数学（北京版） 八年级 上册 第十二章 三角形 学习目标 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系； 2.能够运用勾股定理进行简单的计算； 3.学会用几种方法验证勾股定理； 4.能够运用勾股定理解决简单问题； 　 导入新课 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧. 讲授新课 知识点一 勾股定理的初步认识 思考1： 《周髀算经》 讲授新课 思考2： 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 右图称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　 勾 股 弦 讲授新课 思考3： 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ 讲授新课 填一填. 观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）. A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方形C的面积呢？ 9 16 9 讲授新课 方法： 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 讲授新课 分析表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. SA+SB=SC 讲授新课 猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？ A B C a c b a2+b2=c2 讲授新课 勾股定理（毕达哥拉斯定理） ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. b （股） B A C a（勾） c(弦） ∟ 定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 勾2+股2=弦2 　 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 几何语言： 讲授新课 典例精析 【例1】求出下列直角三角形中未知边的长度. 解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2 x2 =100 x2=62+82 ∵x>0， y2+52=132 y2=132-52 y2=144 ∴ y=12. (2)在Rt△ABC中，由勾股定理得: AC2+BC2=AB2 ∵y>0， A 6 8 x C B 5 y 13 C A B ∴ x=10. (1) (2) 讲授新课 练一练 1、如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2. 解:由图形可得 S1=π()2=， S2=π()2=， S3=π()2=， AB2+AC2=BC2，∴S1+S2=(AC2+AB2)=BC2=S3 . ∴S2=S3-S1=25-9=16. 讲授新课 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c. (1)若c=15，b=12，求a的长; (2)若a=11，b=60，求c的长; (3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的长. 解：(1)∵a2+b2=c2， ∴a2=c2-b2=152-122=81. ∴a=9. (2)∵a2+b2=c2， ∴c2=112+602=3721. ∴c=61. (3)∵a∶b=3∶4， ∴设a=3x，b=4x(x>0). ∵a2+b2=c2， ∴(3x)2+(4x)2=102, 整理，得25x2=100， ∴x2=4. ∴x=2. ∴a=3x=6，b=4x=8. 讲授新课 知识点二 勾股定理的验证 问题：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的拼法吗？ 讲授新课 a a a a b b b b c c c c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 验证方法一 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4•ab/2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 讲授新课 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图 b c a b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . ∵ c2= 4• ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4•ab/2+(b- a)2 讲授新课 a b c ① ② ③ ④ ⑤ 验证方法三 讲授新课 课外链接 　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形…… 勾股定理的“总统”证法 讲授新课 于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法． 　　1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法． 　　1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法． 讲授新课 美国总统证法 b c a b c a A B C D 讲授新课 知识点三 勾股定理的简单应用 【例2】我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 B C A 400m 500m 解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h. 当堂检测 1. 如图，一个高3 米，宽4 米的大门，需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为 ( ) A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米 C 3 4 C B A 当堂检测 2.如图，正方形中的数据表示它的面积，则第三个正方形的面积为(　 ) A.69 B.18 C.19 D.20 C 25 44 A B C 当堂检测 3.如图，根据图中的标注求各直角三角形中的未知边长x、y、z的值. x=　　　　，y=　　　　，z=　　　　.  12 8 15 当堂检测 解:在Rt△ABC中，∠B=90°, ∴由勾股定理得： AC2=AB2+BC2=1+1=2. 在Rt△ACD中，∠ACD=90°, ∴由勾股定理得： ∴AD2=AC2+CD2=2+1=3， 即x2=3. 4.求下列直角三角形中未知边的长度. B A C D 1 1 1 x 当堂检测 5.如图，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24 cm.求△ABC的面积. B A C M 解：∵AB=AC，BM=CM， ∴AM⊥BC，即∠AMB=90°. 在△ABM中，∠AMB=90°，AB=13 cm， BM=CM=BC=12 cm, 根据勾股定理，得 AM2=AB2-BM2=132-122=25. ∴AM=5 cm. ∴S△ABC=BC·AM=×24×5=60(cm2). 当堂检测 6.如图，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分别以△ABC和△DEF的各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面积吗？ 当堂检测 在Rt△ABC中，a=5，b=12，求c2. 解：由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169. 上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明错误的原因并改正. 解：①若c为斜边，由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169； ②若b为斜边，由勾股定理得：c2=b2-a2=122-52=119. 综上可知，c2的值为169或119. 当堂检测 7、两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 分析：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理求解． 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 课堂小结 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 利用勾股定理进行计算 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 谢 谢~ $$