12.11 勾股定理（23大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形 12.11 勾股定理（23大题型提分练） 题型一 用勾股定理解三角形 1．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程是（   ） A． B． C． D．， 3．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 4．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为 ． 5．如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 题型二 己知两点坐标求两点距离 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 4．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 5．定义：平面直角坐标系中，点和点的距离为，例如：点和的距离为． (1)在平面直角坐标系中，点和点的距离是 ，点和点的距离是 ； (2)在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点M的对应点是，点N的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标； (3)已知在平面直角坐标系内两点坐标，，那么这两点之间距离公式为，求：的最小值． 题型三 勾股树(数)问题 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．、、 B．6，8，9 C．5，12，13 D．，， 3．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ． 4．如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    5．满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整：①______，8，10；②9，______，15；③9，40，______． (2)小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，，请你帮小明证明这三个数，，是勾股数组． (3)如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则______． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．则下列选项一定正确的是（   ） A．直角三角形的面积 B． C． D．较小两个正方形重叠部分的面积 2．如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　　） A． B． C． D． 3．如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ． 4．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    5．如图，在中，，，． (1)的面积等于_______． (2)D为的中点，P是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明） 题型五 勾股定理与网格问题 1．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 3．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 5．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以为底边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上． 题型六 勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　） A．2 B． C． D．3 2．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 4．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 5．如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 1．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 3．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 4．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 5．（1）计算：． （2）在直角三角形ABC中，斜边，求的值． 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 2．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边 ． 4．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 5．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 题型九 勾股定理的证明方法 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 3．一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少长 米． 4．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是1．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点D，且点D所表示的数是d． （1） ． （2） ． 5．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    题型十 以弦图为背景的计算题 1．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入“长方形，则该长方形的面积为（    ） A．120 B．140 C．130 D．110 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 3．数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为 ； 4．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为 ． 5．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 1．甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲向西跑了16米，乙向北跑了30米，此时他们两人之间的距离为（   ） A．28米 B．30米 C．32米 D．34米 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 3．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑 米． 4．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 5．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 题型十二 勾股定理与无理数 1．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ． 4．如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 5．观察图，每个小正方形的边长均为1． (1)【理解】图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长是______． (2)【作图】请你在数轴上，利用尺规作图的方法表示出点的位置． (3)【识图】过数轴的原点O作垂线l，以点A为圆心，为半径画弧，交l于点C，以O为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 题型十三 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 1．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 2．《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 4．《九章算术》是我因古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为 ． 5．如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 题型十四 求旗杆高度(勾股定理的应用) 1．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 2．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退后发现绳子末端到地面的距离为，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 3．一根旗杆在离地面6米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部8米处，旗杆高 米． 4．如图，有一个水池，水池是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇（即尺），它高出水面2尺（即尺，），如果把这根芦苇拉向水池一边的终点B，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是 尺． 5．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．    题型十五 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 1．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 2．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 4．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 5．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 题型十六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 1．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．一座桥横跨一江，桥长，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头，则小船实际行驶 ． 4．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 5．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 题型十七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是 寸． 4．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 5．如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 题型十八 解决航海问题(勾股定理的应用) 1．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（     ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 2．如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 3．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 4．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 5．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 题型十九 求河宽(勾股定理的应用) 1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 2．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 3．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 s． 4．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 5．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 题型二十 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 1．如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 3．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米． 4．如图，一圆柱的高为，它的底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 5．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    题型二十一 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 2．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 3．如图，一圆柱高8厘米，底面周长是12厘米，一只蚂蚁从A点爬到B点，则爬行的最短路程是 （取3） 4．如图，中，是边的中线，，，，的面积为 ． 5．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 题型二十二 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 1．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 2．圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（    ） A．20 B．10 C．14 D．无法确定 3．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 4．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 5．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 题型二十三 求最短路径(勾股定理的应用) 1．一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 2．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 3．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 4．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 5．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 1．如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 2．如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，，边上的高为12，则的面积为 ． 7．已知直角三角形的两边长是3和5，则第三边长为 ． 8．如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为 ．    9．在直角坐标平面中，已知，，那么 ． 10．若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 ． 11．据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式． (2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明． (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦． 12．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 13．项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 14．已知三角形三边a，b，c的长分别为，，．求这个三角形的周长和面积． 15．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形 12.11 勾股定理（23大题型提分练） 题型一 用勾股定理解三角形 1．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题，利用勾股定理求出圆的半径是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，所以其对角线的长度为，即圆的半径为，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为1，则正方形的对角线的长度是， ∴圆的半径为， ∴点A表示的数是． 故选C． 2．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路绕过村庄间的大山，打通A、B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，再求出的值即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程是， 故选：B． 3．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ． 【答案】17，144，145 【分析】观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题．本题考查了勾股数的运用以及数字规律． 【详解】解：①；；． ②；；． ③；；． ④；；． 则第组勾股数的第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 4．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：3． 5．如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，实数大小比较，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果； （3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为； （2）解：∵，， 又∵， ∴ （3）解：如图，点G表示的数为． 题型二 己知两点坐标求两点距离 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：C 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面上两点间的距离，掌握距离公式是解题的关键． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选C． 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 4．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案． 【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得： ， 故易知阴影为正方形， 故 故答案为： 5．定义：平面直角坐标系中，点和点的距离为，例如：点和的距离为． (1)在平面直角坐标系中，点和点的距离是 ，点和点的距离是 ； (2)在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点M的对应点是，点N的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标； (3)已知在平面直角坐标系内两点坐标，，那么这两点之间距离公式为，求：的最小值． 【答案】(1)6；5 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用： （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把变形为，则y可以看作是点到点和的距离之和，从而得到当点时，在以点和为端点的线段上时，点到点和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：点和点的距离是， 点和点的距离是； 故答案为：；5 （2）解：∵，的坐标是，， ∴， 解得：或12， ∴的坐标是或， 当的坐标是时，点M先向左平移6个单位，再向下平移8个单位到达点的位置， ∵，将线段平移到， ∴点的坐标为，即； 当的坐标是时，点M先向左平移6个单位，再向上平移8个单位到达点的位置， ∵，将线段平移到， ∴点的坐标为，即； 终上所述，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， ∴y可以看作是点到点和的距离之和， ∴当点在以点和为端点的线段上时，点到点和的距离之和最小， 即y的最小值为点和之间的距离，为． 题型三 勾股树(数)问题 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、这组数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵， ∴2，8，10不是勾股数，不符合题意； D、1，，这组数不都是正整数，故1，，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．、、 B．6，8，9 C．5，12，13 D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可． 此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、、、都是无理数，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，，，都是小数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查勾股定理，根据勾股定理得出，的长度，然后分为是斜边和是直角边进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：，， 当是斜边时，， 当是直角边时，， 故答案为：或． 4．如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5．满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整：①______，8，10；②9，______，15；③9，40，______． (2)小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，，请你帮小明证明这三个数，，是勾股数组． (3)如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则______． 【答案】(1)6，12，41 (2)见详解 (3)7 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算，完全平方公式，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； （3）先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：①设空缺的数为x， 则有三种情况：，，， 解得：，， ∵x要为正整数， ∴仅有满足题意， 同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41， 故答案为：6，12，41； （2）证明：， ， ， 显然，， 即：， ∴，，是勾股数组； （3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25， 其中，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．则下列选项一定正确的是（   ） A．直角三角形的面积 B． C． D．较小两个正方形重叠部分的面积 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积． 【详解】解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积两个小正方形面积+重叠部分面积， 根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和， 所以阴影部分面积=重叠部分面积， 故选：D． 2．如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识．由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆的面积即可得出答案． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为a，b，c，则三个半圆的半径分别为，，， 由勾股定理得，则， 两边同时乘以得， 即之间的关系为， 故选：A． 3．如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ． 【答案】 【分析】求的面积，边是的高，有，利用勾股定理可求出边即可．本题考查了折叠与勾股定理． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 设， ∵使点B与点D重合，折痕为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 的面积为． 故答案为：． 4．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 5．如图，在中，，，． (1)的面积等于_______． (2)D为的中点，P是上的动点，连接，．当取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点P；并简要说明点P的位置是如何找到的．（保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作轴对称点， （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）作点B关于的对称点，连接交于点P，，结合两点之间线段距离最短点P即为所求． 【详解】（1）解：（1）∵，，， ∴． 故答案为：6； （2）如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求． 题型五 勾股定理与网格问题 1．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据正方形网格（每个小正方形的边长都是1）列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 3．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 5．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以为底边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理： （1）如图所示，取格点B，连接，则等腰三角形即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，则等腰三角形即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，等腰三角形即为所求； （2）解：如图所示，等腰三角形即为所求． 题型六 勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，在中，根据勾股定理先求出的值，设，由折叠得，在中，利用勾股定理可求出x的值，即为的长． 【详解】解：在中，， ， 由折叠得，， 设，则，， 在中，， ， 解得， 即， 故选：B． 2．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 3．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 4．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 5．如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 1．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】解：以4，5为直角边的直角三角形斜边长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【答案】A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 4．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边． 先设直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，则， ∴， ∵大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是， ∴， 解得（舍去负值）， ∴小正方形的边长为：． 故答案为：． 5．（1）计算：． （2）在直角三角形ABC中，斜边，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，勾股定理； （1）根据二次根式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1） （2）依题意， 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 2．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，，是中，，的对边， 若，则； 若，则； 若，则； 故①②③正确； 只有当时才有， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意可得，结合,，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是直角三角形，， ∴，，且， ∴， 故答案为： ． 4．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20米/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 5．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型九 勾股定理的证明方法 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为c的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论． 【详解】解：大正方形是边长为c的正方形，则其面积为， 中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为， 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， ∴，即， 故选：C． 3．一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少长 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 根据长方形的性质可得木条的长度等于长方形的长和宽的平方和的算术平方根． 【详解】解：木条的长为（米）． 故答案为：． 4．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是1．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点D，且点D所表示的数是d． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，多项式乘多项式以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得出，结合勾股定理得，结合，即可作答． （2）结合代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵数轴上A表示的数是，点B表示的数是1， ， ，， ∴在中，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d， ， 即， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 5．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 题型十 以弦图为背景的计算题 1．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入“长方形，则该长方形的面积为（    ） A．120 B．140 C．130 D．110 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，延长交于点O，延长交于点P，证，得，同理，得，再证明，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，延长交于点P，如图2所示： 根据题意可得， 四边形是正方形， ， ， 又中，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，即， ， ， 长方形的面积为：， 故选：D． 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 3．数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据点P的位置即可得出结论． 【详解】解：如图，设数轴上表示2的数为点Q， ∵正方形的边长为1， ∴P点表示． 故答案为：． 4．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．在和中分别利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得， 在中，m，m， 根据勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 5．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 1．甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲向西跑了16米，乙向北跑了30米，此时他们两人之间的距离为（   ） A．28米 B．30米 C．32米 D．34米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设甲乙同时从点C出发，甲向西跑了16米为点A，以向北乙向北跑了30米为点B， 甲乙二人所走路线构成一个直角，如图所示： ，，， 在中， 米 故选：D． 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 3．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑 米． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得、，进而求得即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故滑杆顶端A下滑5米， 故答案为：5． 4．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 【答案】15 【分析】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．设，根据题意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，， 设， ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 即：这棵树的高度为． 故答案为：． 5．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出的长，进而求出的长，即可得出答案，根据题意求出的长是解题关键． 【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下： 如图，设与矩形的宽的交点为E，   ， ， ∴， ∴这辆货车不能通过这个大门． 题型十二 勾股定理与无理数 1．如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解题的关键．根据勾股定理以及数轴上的点表示的数解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴点A所表示的数为． 故选：C． 2．如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，勾股定理求出的长，进而得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点C表示的数为； 故选A． 3．学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，可得，，由勾股定理得，即可求解；能将问题转化为勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为， 如图，    ， ， ， ， 解得：， ， 旗杆的高度为， 故答案：． 4．如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离． 故答案为：． 5．观察图，每个小正方形的边长均为1． (1)【理解】图中阴影部分（正方形）的面积是______，边长是______． (2)【作图】请你在数轴上，利用尺规作图的方法表示出点的位置． (3)【识图】过数轴的原点O作垂线l，以点A为圆心，为半径画弧，交l于点C，以O为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为______． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3) 【分析】本题主要考查数轴由实数的对应关系，勾股定理的运用， （1）根据格点的特点计算面积，根据求一个数的算术平方根计算正方形的边长； （2）运用勾股定理，即可求解； （3）根据题意可的，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴阴影部分的边长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴作图如下， ，， ∴， 以点O为圆心，为半径画弧交数轴于点， ∴点表示的数是； （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 题型十三 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 1．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 2．《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：A． 3．如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高3米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 4．《九章算术》是我因古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 5．如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的底端离墙面有20米； (2)梯子的底端向右滑动了4米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求解即可； （2）首先求出（米），然后根据勾股定理求出（米），进而求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，， ∴（米）， ∴这架云梯的底端离墙面有20米； （2）解：∵梯子的顶端下滑了8米， ∴米， ∴（米）， ∵梯子长度不变 ∴米， ∴（米）， ∴（米）． ∴梯子的底端向右滑动了4米． 题型十四 求旗杆高度(勾股定理的应用) 1．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为（　　） A．8米 B．15米 C．17米 D．25米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．根据电线杆与地面垂直得，由题意得、，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：由题意得，、，， 故地面电缆固定点到电杆底部的距离为：． 答：地面电缆固定点到电线杆底部的距离为． 故选：A. 2．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退后发现绳子末端到地面的距离为，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形． 【详解】解：如图，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，过点C作于点E， 则，， 在中， 根据勾股定理可得， 解得， 旗杆的高度是， 故选：B． 3．一根旗杆在离地面6米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部8米处，旗杆高 米． 【答案】16 【分析】此题主要考查勾股定理的实际应用．根据题意列出已知条件再勾股定理求得的长，从而即可求得旗杆折断前的高度． 【详解】解：根据题意，在中，米，米，    由勾股定理得，， ∴米． ∴旗杆折断前高16米． 故答案为：16． 4．如图，有一个水池，水池是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇（即尺），它高出水面2尺（即尺，），如果把这根芦苇拉向水池一边的终点B，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是 尺． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设这根芦苇的长度是x尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则，， 在中，， 解得：， 即这根芦苇的长度是10尺． 故答案为：10． 5．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度为，将它往前推送6（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终拉得很直．若踏板垂直高度差，求绳索的长．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意知，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴绳索的长为． 题型十五 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 1．如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高5.6米，两树相距4.8米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行（   ）米． A．4.8 B．6 C．5.6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树的高度差为米，间距为米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离米， 故选：B． 2．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 3．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 4．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 5．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 题型十六 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 1．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（    ） A．2米 B．6米 C．5米 D．3米 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米 ∴， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点B离地面的高度的值为3米， 故选：D． 2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 3．一座桥横跨一江，桥长，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头，则小船实际行驶 ． 【答案】/13米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，桥长、船的航行距离及船到南岸时偏离桥南头的距离构成一直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，桥长、船的航行距离及船到南岸时偏离桥南头的距离构成一直角三角形，如下图所示： 结合图形，可知桥长，船到南岸后，偏离桥南头的距离， 小船实际行驶的距离， 故答案为： 4．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 5．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【答案】木杆断裂处离地面6米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米， 由题意得：， 解得． 答：木杆断裂处离地面6米． 题型十七 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键． 如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在中即可求出． 【详解】解：如图， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即； ∴， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， ， ∴此时， ∴， ∴吸管露在罐外部分的长度最短是． 故选：B． 2．如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， ∴的取值范围是． 故选：D． 3．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是 寸． 【答案】101 【解析】略 4．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 5．如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 题型十八 解决航海问题(勾股定理的应用) 1．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（     ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．首先根据路程=速度时间可得的长，然后连接，再利用勾股定理计算出长即可． 【详解】解：连接， 由题意得：（海里），（海里），， ， （海里） 故选：C． 2．如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解；能根据方位角等表示出位置，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：对图形进行点标注． 根据题意知3小时后，其中甲货船航行到B点，乙货船含蓄到C点，连结． ， ， ， ， ， ， ∴3小时后两船相距． 故选：C． 3．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 4．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 5．某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 题型十九 求河宽(勾股定理的应用) 1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 2．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 3．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 s． 【答案】16 【解析】略 4．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求 km． 【答案】// 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 5．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 题型二十 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 1．如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解∶如图， 由题意，得，，， ∴， 故选：B． 2．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米）， 故可得地毯长度（米）， 故选：A． 3．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米． 【答案】10 【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设千米，则千米， ∵B、C两村到P站的距离相等， ∴． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键． 4．如图，一圆柱的高为，它的底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，B是的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为； 故答案为：． 5．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    【答案】612元 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】解：如图，    由题意得，， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要元． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，正确求得地毯的长与宽是解答的关键． 题型二十一 判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 2．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 【答案】B 【分析】分析题意，首先通过作图，找出A处受噪声影响火车经过的路段;根据题意可以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,求AC的长;然后根据勾股定理求出BC的长，由垂径定理即可得到BD的长，再根据火车行驶的速度，进而求出对A处产生噪音的时间. 【详解】如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而求出BD的长. 3．如图，一圆柱高8厘米，底面周长是12厘米，一只蚂蚁从A点爬到B点，则爬行的最短路程是 （取3） 【答案】10厘米 【分析】该题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键． 根据题意将圆柱展开，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ， 厘米， ∴最短路程为10厘米， 故答案为：10厘米． 4．如图，中，是边的中线，，，，的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据中线的定义得，则有.根据勾股定理的逆定理得，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵中，是边的中线， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴的面积是：． 故答案为：120． 5．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 题型二十二 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 1．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 2．圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（    ） A．20 B．10 C．14 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱体展开，如图，则即为所求， 由题意，得：， ∴， ∴要爬行的最短路程为10； 故选B． 3．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】/90度 【分析】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0） 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为（m，0）． 当△PAC为直角三角形时， ①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠ACP＝90°时，如图， ∵∠ACP＝90° ∴AC2＋PC2＝AP2， ， 解得，m＝， ∴点P的坐标为（，0）； 当△PBC为直角三角形时， ①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠BCP＝90°时， ∵∠BCP＝90°，CO⊥PB， ∴PO＝BO＝2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 5．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】(1)见解析； (2)气站E距离A处． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 题型二十三 求最短路径(勾股定理的应用) 1．一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 2．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键． 根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，的长是． 所以，． 故选：C． 3．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 4．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 5．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路径长为． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 1．如图，在中，，求的面积（    ）． A．25 B． C．50 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了建立直角坐标系、两点间距离公式等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 建立如图坐标系，则，设，根据两点间距离公式可得解得，即的边上的高为6，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：建立如图坐标系，则， 设， 则有：， 解得：， ∴的边上的高为6， ∴的面积为． 故选D． 2．如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设中边上的高是，利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，利用的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设中边上的高是， 小方格都是边长为2的正方形， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，， 由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：D． 4．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，由勾股定理可得，据此即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， 由题意可得，， 故选：． 5．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可． 【详解】解：在中，，， ， 设点A所表示的数为， ∵， ∴， ∴， 数轴上点所表示的数是：． 故选：D． 6．已知，且，，边上的高为12，则的面积为 ． 【答案】126或66/66或126 【分析】本题主要考查勾股定理，作出图象，进行分类讨论，运用勾股定理解直角三角形是解题关键．根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，边上高， 如图所示，当为锐角三角形时， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 的长为：， ∴的面积为：； 如图所示，当为钝角三角形时， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 的长为：， ∴的面积为：； 综上可得：的面积为：126或66． 故答案为：126或66． 7．已知直角三角形的两边长是3和5，则第三边长为 ． 【答案】或/或4 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键：若a、b、c表示一个直角三角形三条边的长，其中c是斜边长，则．分斜边长为5和直角边为5，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当斜边长为5时，则第三边长为； 当直角边长为5时，则第三边长为； ∴第三边长为或， 故答案为：或． 8．如图，小夏放学回家，从学校（点处）径直走到图书馆（点处），接着又径直走到小广场（点处），已知，，，那么的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了两点间的距离，勾股定理，二次根式的加减，首先根据勾股定理求出，，然后利用二次根式的加减求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴． 故答案为：． 9．在直角坐标平面中，已知，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点间的距离，掌握勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 10．若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 分两种情况讨论：当m最大时，当41最大时，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当m最大时，，不是正整数，舍去 当41最大时， ，符合题意． 故答案为：40． 11．据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式． (2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明． (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】(1)股：，弦： (2)它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦；说明见解析 (3)股：，弦： 【分析】本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比和猜想解决问题的能力．属于探索性题目，有利于培养同学们的发散思维能力． （1）通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； （2）由（1）可知，用来表示所有这些勾股数的勾，则其股是的平方减1的一半，弦是的平方加1的一半； （3）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】（1）解：，；，； 表示7、24、25这一组数的股与弦的算式股：，弦：； （2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； （3）解：用为偶数，且的代数式来表示，股：，弦：． 12．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 13．项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：；反思提升：2；理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 14．已知三角形三边a，b，c的长分别为，，．求这个三角形的周长和面积． 【答案】周长；面积 【分析】该题主要考查了勾股定理和二次根式的混合运算，解题的关键是证明三角形是直角三角形． 已知该三角形三边可以求证该三角形为直角三角形，周长为三边之和即为，故面积根据两直角边可以计算． 【详解】解：由题意得，这个三角形的周长为； ∵， ， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为． 15．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$