6.1.2向量的加法（同步课件）数学人教B版必修第二册

6.1 平面向量及其线性运算 6.1.2 向量的加法 第6章 平面向量初步 情境引入 情境与问题：如图所示，假设某人上午从点到达了点、下午从点到达了点. (1)分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； (2)这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述. 新知探索 位移可以看成位移与的和. 一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点，作，作出向量，则向量称为向量与的和(也称为向量与的和向量).向量与的和向量记作，因此 . 新知探索 当与不共线时，求它们的和可用下图所示.因为此时，，正好构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则. 新知探索 当与共线时，求它们的和可用下图所示. 值得注意的是，对任意向量，有. 由上可看出，向量的模与的模之间满足不等式 . 例析 例1 已知，，求的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时与的关系. 解 由， 可知，的最大值为， 当且仅当与方向相同时取得最大值. 由， 可知，的最小值为， 当且仅当与方向相反时取得最小值. 新知探索 情境与问题：从物理学中我们已经知道，力既有大小也有方向，因此力是向量. 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力或所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？ 我们知道，物理学中力的合成遵循平行四边形法则.因此，情境中的物体不会沿着或所在的方向运动，其会沿着以，为邻边的平行四边形的对角线运动. 新知探索 一般地，向量的加法也满足类似的法则，这就是说，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如下图所示，平面上任意给定两个不共线的问量，在该平面内任取一点，作，，以，为邻边作一个平行四边形，作出向量，因为，所以 . 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则. 新知探索 由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量，都有 . 新知探索 从前面已经知道，两个向量的和还是一个向量，因此我们可以用得到的和向量与另外一个向量相加.而且我们也已经知道，如同数与数的加法一样，向量相加满足交换律，那么向量相加是否满足结合律呢？也就是说，三个向量相加时，最后的结果是否与求和的顺序有关呢？ 如下图所示，(1)中给出了三个向量；(2)中先作出了向量，然后作出了向量；(3)中首先作出了向量，然后作出了向量 . 新知探索 不难看出 ，即向量的加法运算满足结合律. 因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序.例如，因此，以上运算我们都可用来表示. 新知探索 另外，由上图可以看出，为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如下图所示. 左图中的和，与向量相加的顺序有关吗？为什么？ 左图中的和与向量相加的顺序无关，因为向量的加法满足交换律和结合律；在作图时，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是和向量. 例析 例2 化简下列各式： (1)；(2). 解 (1). (2) . 新知探索 探索与研究：在求作两个向量的和时，可以选择不同的始点.想一想，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，作出的向量和显然都是相等的.当然，这里你的“显然”是对的，你能根据右图说明这个结论的正确性吗？ 新知探索 求两个向量的和时，选择不同的始点求和，作出的向量和都相等.证明如下： 如图所示，∵，∴四边形为平行四边形， ∴，同理，∴， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵与方向相同，∴，即结论成立. 练习 题型一：向量加法法则的应用 例1.(1)如图甲所示，求作向量 (2)如图乙所示，求作向量. 解：(1)首先作向量，然后作向量 则向量如下图所示. 图甲 图乙 • 练习 解：(2)(三角形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量则向量然后作向量则向量，即为所求. (平行四边形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量以为邻边作平行四边形□，连接则再以为邻边作平行四边形□，连接则向量即为所求. 练习 答案：(1);(2);(3). 解：(1)∵四边形是以为邻边的平行四边形， 是其对角线，故 (2)∵故与的方向相同，长度为的2倍， 故 (3)∵故 变1.如图所示，为正六边形的中心，化简下列向量： (1); (2); (3). 练习 方法技巧： 利用向量加法法则的注意点 利用三角形法则要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量. 练习 题型二：向量加法的运算律 例2.如图所示，四边形为等腰梯形，，，，为的的中点.试求： (1)(2) (3) 解：由已知，得：四边形、四边形均为平行四边形. (1) (2) (3) 练习 答案：(1);(2);(3). 解：(1) (2) (3)∵分别是的中点， ∴，.∴ ∴ 变2.如图所示，在中，为重心，分别是的中点，化简下列三式. (1);(2);(3). 练习 方法技巧： 解决向量加法运算时的两个关注点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形后，再化简或计算. (2)要灵活运用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将写成0. 练习 题型三：向量加法的实际应用 例3.在某地抗震救灾中，一架飞机从地按北偏东35°的方向飞行到达地接到受伤人员，然后又从地按南偏东55°的方向飞行送往地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 解：如图所示，设，分别表示飞机从地按北偏东35°的方向飞行，从地按南偏东55°的方向飞行.则飞机飞行的路程指的是+，两次飞行的位移的和指的是. 练习 例3.在某地抗震救灾中，一架飞机从地按北偏东35°的方向飞行到达地接到受伤人员，然后又从地按南偏东55°的方向飞行送往地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 依题意，有+.又，.，所以 . 其中，所以方向为北偏东.从而飞机飞行的路程是，两次飞行的位移和的大小为，方向为北偏东. 练习 解：如图所示，设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的和位移，即.过作，在中，，，则，.在中，，即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地处. 变3.一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了到达地，再由地沿正北方向飞行到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 练习 方法技巧： 向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是弄清2构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解. 课堂小结&作业 1.向量的加法的运算法则 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形 法则 已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即 平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作□，则以为起点的向量(是□的对角线)就是向量与的和 课堂小结&作业 2.向量的加法 (1)规定：对于零向量与任意向量，我们规定： (2)位移的合成可以看做向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. (3)一般地，我们有当且仅当方向相反或相同时等号成立. 3.向量加法的运算律 (1)交换律：. (2)结合律： 课堂小结&作业 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P145的练习，练习. 谢谢学习 Thank you for learning $$