专题 第二十五章 锐角的三角比章末重点题型复习（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第二十五章 锐角的三角比章末重点题型复习 题型一、求角的正弦值 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 题型二、已知正弦值求边长 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 5．（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 题型三、求角的余弦值 7．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知等腰三角形的腰与底边之比为，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 ． 8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，连接，，，，那么 ． 9．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 题型四、已知余弦求边长 10．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分，分别交、于点、，设，．    (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)过点作，垂足为点，当时，求线段的长． 11．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    12．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五、求角的正切值 13．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·上海金山·期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·上海青浦·期末）在中，，，．点D、E分别在边、上，连接，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点E与点C重合，时，与相交于点O，求的值； (2)如图2，如果，当点A、E、F在一条直线上时，求长； (3)如图3，当，时，连接，求的正切值． 题型六、已知正切值求边长 16．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 题型七、特殊三角形的三角函数 19．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 21．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 题型八、特殊角三角函数值的混合运算 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算：． 23．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 24．（23-24九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 题型九、根据特殊角三角函数值求角的度数 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，、都是锐角，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 26．（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 题型十、三角函数综合 28．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 30．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 题型十一、解直角三角形的相关计 算 31．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. (1)求的值； (2)如果，，，求四边形的面积. 32．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 33．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 题型十二、仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 34．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 35．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 36．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 题型十三、方位角问题（解直角三角形的应用） 37．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离 海里（结果保留根号）． 38．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里． 39．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 海里． 题型十四、坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 40．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了米，那么高度下降了 米． 41．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 42．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米． 十五、其他问题（解直角三角形的应用） 43．（23-24九年级上·上海金山·期末）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 44．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 45．（23-24九年级上·上海宝山·期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 锐角的三角比章末重点题型复习 题型一、求角的正弦值 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知在中，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数，勾股定理的计算，根据题意可求出的值，再根据正余弦、正余切值的计算方法即可求解，掌握三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴A、，正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．将图像画出，设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则，即可求解． 【详解】解：设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则， ； ； ； ． 故选C． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键． （1）证明是的中线，是的中线即可得到结论． （2）根据重心的性质得到，求出的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中线， ， ， 是的中线， 点是的重心； （2）解：点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 题型二、已知正弦值求边长 4．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正弦和正切的知识，熟练掌握正弦和正切的定义是解题关键．由题意可知，，可设，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意可知，， 设，则， ∴． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：画图如下： A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项正确，符合题意；     C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、求角的余弦值 7．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知等腰三角形的腰与底边之比为，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、余弦函数的定义．从顶点向底边作高，构造直角三角形，可得底角的余弦值． 【详解】解：设等腰三角形的腰为，底边为， ， 如图，即，， 过作，交于点， ，， 在中，， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，，，连接，，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求角的余弦值．勾股定理求出的值，再利用余弦等于邻边比斜边，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵，是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形面积的比为， 故选B． 题型四、已知余弦求边长 10．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知是等边三角形，，是边上一动点（不与、点重合），垂直平分，分别交、于点、，设，．    (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)过点作，垂足为点，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的长为2或 【分析】（1）由已知可得，从而得到，再由可得，从而得到； （2）根据及已知条件 可得，再根据 及比例的性质可以得到解答； （3）分在上和在上两种情况讨论． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，． 又 ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 整理得：． （3）①如图，在线段上时，      在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． ②在线段上时，    在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 解得：或， ∵， ∴． 综上，的长为2或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，列函数关系式，余弦的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，相似的判定与性质、垂直平分线的性质是解题关键 ． 11．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，等式的性质等知识点，牢记余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 故选：． 题型五、求角的正切值 13．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求锐角的正切值；画出图形，过A作轴于B，则由点A的坐标可得，由正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过A作轴于B， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 14．（23-24九年级上·上海金山·期末）在直角坐标平面的第一象限内有一点，如果射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，过点作轴于点，则，，再由正切的定义得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选A． 15．（23-24九年级上·上海青浦·期末）在中，，，．点D、E分别在边、上，连接，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点E与点C重合，时，与相交于点O，求的值； (2)如图2，如果，当点A、E、F在一条直线上时，求长； (3)如图3，当，时，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据勾股定理得出，根据，求出，进而得出，根据旋转的性质得出，，则，通过证明，即可求解； （2）过点D作于点H，求出，进而得出，，设，则，通过证明，得出，求出x 的值即可； （3）以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点F作y轴的垂线，垂足为点Q，则，，，用待定系数法求出的函数解析式为，通过证明，得出，再用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：过点D作于点H， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，则， 解得：， ∴，， 设，则， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴或； （3）解：以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点F作y轴的垂线，垂足为点Q， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立： 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型六、已知正切值求边长 16．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切的定义，正切等于对边比邻边，先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 则，即， 解得， 故选：A． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知为锐角，且，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．由题意设，则，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴的余弦值为， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．过，设与交于，根据折叠的性质得垂直平分，再由菱形的性质得，再根据正切函数的定义得出，设则，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】过，设与交于， 有折叠可知，垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， ， ， ， 故答案为：． 题型七、特殊三角形的三角函数 19．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，根据特殊角的正弦值以及正弦函数的增减性即可解答；掌握正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴． 故选：C． 20．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可；牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 21．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 题型八、特殊角三角函数值的混合运算 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】 23．（23-24九年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；利用特殊角三角函数化简即可． 【详解】解：原式 ． 24．（23-24九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型九、根据特殊角三角函数值求角的度数 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，、都是锐角，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质可得∴，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴是等腰三角形， 故选：C． 26．（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 27．（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 题型十、三角函数综合 28．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ，，， ， ，故A错误； ，故B错误； ；故错误； ，故D正确； 故选：D． 29．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 30．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 题型十一、解直角三角形的相关计 算 31．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. (1)求的值； (2)如果，，，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的判定与性质得到，根据比例的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据锐角三角函数定义求出，则，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的面积． 32．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）先证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作，交于点，证明，得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式； （3）由，分两种情况分别讨论，，，在中，根据三角函数的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作，交于点 又∵， ∴， ∴ ∴， 由，,则，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴. （3）①， ②如果， 由，，可得 设，则， 在中，， ∴，. ③如果， 由，，可得， 设，， 在中，， ∴，. 所以，当是直角三角形时，的长为或. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 33．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知和是矩形的两条对角线，将沿直线翻折后，点D落在点E处，三角形与矩形的重叠部分是三角形，连接，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论，根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，，设，则，根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出，则，或，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，交于点O，，， ∵四边形是矩形， .∴，， ， 根据折叠的性质得，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 即的正切值是； 如图，交于点O，，， 同理得， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的正切值是； 综上，的正切值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型十二、仰角俯角问题（解直角三角形的应用） 34．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 35．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)树的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 36．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 【答案】(1)， (2)80米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）根据俯角的定义标出、，再利用计算器求、的大小； （2）作于点F，则，，利用锐角三角函数解和即可． 【详解】（1）解：、如图所示， 计算器求得，， 故答案为：，； （2）解：如图，作于点F， 则，， ，， ，， ，， ， ， ， 解得， （米）， 即热气球上升的垂直高度为80米． 题型十三、方位角问题（解直角三角形的应用） 37．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离 海里（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，由题意，，利用速度乘以时间求出的长，利用锐角三角函数，求出的长即可． 【详解】解：连接如图， 由题意，得：， ∴在中，； 故答案为：． 38．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔25海里的A处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B处，那么此时轮船与灯塔P的距离为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意，利用余弦函数即可求解． 【详解】解：∵轮船位于灯塔P的南偏东方向， ∴， 在中，（海里）； 即此时轮船与灯塔P的距离为海里． 故答案为：． 39．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处 海里． 【答案】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，（海里），（海里），进而得出（海里），计算即可．此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数解答． 【详解】解：如图 根据题意，得，海里， ∴（海里），（海里）， （海里）， （海里）， 故答案为：． 题型十四、坡度坡比问题（解直角三角形的应用） 40．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了米，那么高度下降了 米． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，设垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握坡度坡角的定义． 【详解】∵坡度为， ∴设高度下降了米，则水平前进了米， 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 41．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，斜坡，坡顶B离地面的高度为，如果坡比，那么这个斜坡的长度 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键． 根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得的长，再由勾股定理，进行求解即可． 【详解】坡顶B离地面的高度为，坡比， ， 由勾股定理得 ． 故答案为：． 42．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米． 【答案】 【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理； 根据题意画图，过点作于，由坡度得到，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意得米， ∵坡度， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴他距离地面的垂直高度升高了米， 故答案为：． 十五、其他问题（解直角三角形的应用） 43．（23-24九年级上·上海金山·期末）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于点，于点，则四边形是矩形，据此可得，解得到，，进而求出，再解得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影的长为． 44．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值． 【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 由已知可得，米，，，米， (米)，(米)， 米，米， ，， (米) 故答案为：． 45．（23-24九年级上·上海宝山·期末）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵， 米， 故选：A． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$