期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练 （北师大版)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正切、正弦、余弦概念辨析 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 3．（23-24九年级下·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 易错必刷题二、求角的正切、正弦、余弦值 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．直线与相交于点D，连接，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，则 ； ； 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，求，，的值． 易错必刷题三、三角函数的定义求边长 1．（23-24九年级下·江苏无锡·期末）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·陕西咸阳·期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示） 3．（2024·山东菏泽·一模）如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，． (1)求的值； (2)连接，求的面积． 易错必刷题四、30°、45°、60°角三角函数值 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·陕西咸阳·期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示） 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 易错必刷题五、三角函数的计算 1．（23-24九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 3．（24-25九年级下·内蒙古包头·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 易错必刷题六、解直角三角形 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    3．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，为了测量山坡的护坡石坝的高，小明把一根竹竿斜靠在石坝旁，底部与石坝的底部相距4米，量出竿上长为1米时，它离地面的高度为，石坝与地面的倾斜角为，请你帮小明计算石坝顶部距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 易错必刷题七、三角函数综合 1．（23-24九年级下·河北沧州·期末）如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河北邢台·开学考试）小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．    （1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ； （2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）走进南泥湾党徽广场，迎面而来的是一个巨大的党徽雕塑，党徽雕塑传承红色精神。如图①是雕塑的实物图，图②是其测量示意图，首先点C处用测倾器测得雕塑顶端A点的仰角为60°，然后在另一侧D点用测倾器测得雕塑顶端A点的仰角为37°，已知A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，E，F两点间的距离为22.9m，测倾器的高度CE=DF=1.8m，求该雕塑的高度AB.（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73） 易错必刷题八、三角函数的应用 1．（2024·山东日照·模拟预测）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架，米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面EF的距离为（    ）米． A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 3．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 易错必刷题九、利用三角函数测高 1．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 2．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 3．（2024·山东淄博·二模）如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16） （1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）； （2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）． 易错必刷题十、二次函数的概念 1．（23-24九年级下·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 2．（23-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ． 3．（23-24九年级下·山东日照·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 易错必刷题十一、二次函数的图象和性质 1．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 3．（24-25九年级下·四川内江·期中）一元二次方程中，根的判别式，通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当x为何值时，y取最小值，最小值是多少？ 解答：已知函数， ∴，（把y当作参数，将函数转化为关于x的一元二次方程） ∵，即，，（当y为何值时，存在相应的x与之对应，即方程有根） 因此y的最小值为，此时， 解得，符合题意，所以当时， (1)已知函数，y的最大值是多少？ (2)已知函数，y最小值是多少？ (3)如图，已知、，D是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 易错必刷题十二、二次函数图象与各项系数符号 1．（23-24九年级下·四川泸州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中错误结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是 ． 3．（23-24九年级下·贵州黔南·阶段练习）（1）如图所示是二次函数的图像． 用“＜”或“＞”填空：a______0，c______0； （2）在本学期我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①；②；③；④． 易错必刷题十三、二次函数图象综合判断 1．（23-24九年级下·贵州黔南·开学考试）已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏苏州·期末）“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 3．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 易错必刷题十四、二次函数图象的平移 1．（23-24九年级下·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象与轴交于点，已知点的坐标为，点在轴的正半轴，平移后的图象的顶点为点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)求与的面积之比． 易错必刷题十五、待定系数法求二次函数解析式 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（  ）    A． B．顶点坐标为 C．对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 2．（23-24九年级下·甘肃白银·期末）如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线)的薄壳屋顶，它的拱宽为，拱高为．如图建立坐标系，则模板的轮廓线所在的抛物线的表达式为 ． 3．（24-25九年级下·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 易错必刷题十六、二次函数（销售、增长、图形）问题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 2．（24-25九年级下·全国·期末）老李将自己新捕捞的150千克活海鲜贩运到内地某市销售，老李一到该市，了解到可靠信息：这种活海鲜当日一次性成交价为每千克80元，临近春节10天，一次性成交价会每过一天，每千克涨两元，老李想待价而沽，但又考虑到：他在该市每多住一夜，要多开支200元，而且这种海鲜，每过一夜会坏死1千克，坏死的海鲜必须扔掉，而且至少要留两天返程时间回家过年，怎么办？你能告诉老李住几个晚上后，第二天早上卖掉海鲜回家，即使除去开支，收入也是最好，而且不耽误回家过年？ 解：设老李住了x个晚上后，第二天早上就把活海鲜一次性卖掉，除去开支后的收入为y元．可用含x的式子表示：海鲜一次性成交价为每千克 元，一次性成交的海鲜重为 千克，一次性成交金额为 元，多开支费用为 元，除去开支后的收入为 元．（请继续完成分析计算过程，并算出最好的收入y的值） 3．（23-24九年级下·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 易错必刷题十七、二次函数（拱桥、喷水、投球）问题 1．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 2．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）根据材料提供的信息，解决下面问题． 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 如图4，安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．    (1)在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式； (2)若喷泉跨度的最小值为，求喷水管高度的最大值； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道的宽度？ 3．（2024九年级下·辽宁·学业考试）在学习“二次函数的图像和性质”时，王老师带领同学探究“二次函数中k的值与图像和x轴两个交点之间的距离s的数量关系（）”经实际的操作测量数据小明绘制出了如下表格 ： k 1 2 3 4 5 6 7 s 2 2 2 2 2 2 2 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对的点，得到图2．小明根据图二中点的分布情况得到了 的结论．将该图像起外号为“躺平的抛物线”． 【发现问题】 课后小明在抛掷一个乒乓球时，发现其运动轨迹与水平距离,最大高度有一定的规律和联系，于是使用频闪相机进行探究． 【提出问题】 每次该球反弹的最大高度有什么规律?如何求得乒乓球的大致水平与动距离? 【得到规律】 多次实验后，小明发现，该球的运动轨迹可以用二次函数来刻画，近似看作如图3 所示 的图象，每次反弹后的最大高度是上一次的 ． 【分析思路】 认真思考后，小明很快想到了计算方法．以地面为x轴，抛出点到地面垂直距离左在直线为y轴，小球运动方向和地面上方分析为两轴正方向（小球的体积，半径忽略不计）．利用公式， 可求出s值，如图3所示． 【解决问题】小明抛出乒乓球后，该球在距抛出点水平距离m处到达最大高度2m．该球在第五次触地后不再反弹，滚动2m后停止运动． (1)设第一段抛物线为，直接写出 的函数表达式． (2)求该球停止运动时距抛出点的水平距离． 易错必刷题十八、二次函数（周长、面积、角度）问题 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 2．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴的交点为（点在点的左边），且点的坐标为与轴交于点，该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接求的面积． 3．（23-24九年级下·广东江门·期中）图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． (1)求直线BC的函数表达式； (2)求出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）； (3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与F的坐标；若不存在，请说明理由． 易错必刷题十九、二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为 ． 3．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图像直接写出当x为何值时？ (3)当时，求y的取值范围． 易错必刷题二十、圆 1．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·安徽六安·期末）在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 易错必刷题二十一、圆的对称性 1．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 3．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 易错必刷题二十二、垂径定理的实际应用 1．（23-24九年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ． 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 易错必刷题二十三、圆周角定理 1．（2024·吉林·模拟预测）如图，和内接于，若，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 2．（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ． 3．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期中）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 易错必刷题二十四、已知圆内接四边形求角度 1．（23-24九年级下·山东济宁·期中）如图，A，B，C，D在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为 ． 3．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）【问题原型】 如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 易错必刷题二十四、确定圆的条件 1．（23-24九年级下·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 2．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 3．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 易错必刷题二十五、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级下·广东惠州·期中）如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 3．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 易错必刷题二十六、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 3．（2024·福建莆田·二模）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点P．AB是的切线，B是切点，连接BP并延长，交直线l于点C． (1)求证：； (2)若，求PB的长． 易错必刷题二十七、证明某直线是圆的切线 1．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 易错必刷题二十八、切线的性质定理 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，是直径，与相切于点，与相交于点，连结，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江台州·期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，，，则 cm． 3．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，，连结，． (1)求的度数． (2)若，求的长 易错必刷题二十九、切线的性质和判定的综合应用 1．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝ ． 3．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 易错必刷题三十、圆的综合问题 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 2．（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 3．（24-25九年级下·山东德州·期末）学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 易错必刷题三十一、切线长定理 1．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，从外一点引的两条切线，切点分别为．若，，则的周长是（    ）    A．16 B．24 C． D． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 易错必刷题三十二、圆内接正多边形 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    3．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 易错必刷题三十三、弧长及扇形的面积 1．（2024九年级下·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留） 2．（23-24九年级下·吉林·期末）如图，在正方形中，，连接、以点C为圆心、长为半径画弧，点E在的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长．（结果保留） 易错必刷题三十四、求圆锥侧面积及圆锥的高 1．（23-24九年级下·河北邢台·期中）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 2．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·内蒙古·阶段练习）把抛物线向上平移2个单位再向左平移3个单位后，抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西南宁·二模）如图，二次函数与一次函数的图象交于、两点，则一元二次方程的解为（    ）    A．， B． C．， D． 5．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 6．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知α为锐角，且，则α等于 ． 7．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）将抛物线向左平移4个单位长度后，所得的抛物线对应的函数解析式是 ． 8．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．    9．（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒． 10．（24-25九年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，点，以为直径作． （1）如图①，C是内一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ； （2）如图②，C是上一点，坐标为，点D在圆上，则的最大值为 ； （3）如图③，C是外一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ，的最大值为 ． 11．（24-25九年级下·山西·阶段练习）计算与解方程： (1)计算：． (2)解方程：． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为，面积为．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出面积． 15．（24-25九年级下·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、正切、正弦、余弦概念辨析 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级下·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 易错必刷题二、求角的正切、正弦、余弦值 1．（2024·辽宁大连·一模）如图，在中，．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．直线与相交于点D，连接，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作垂直平分线，等角对等边，求正弦，掌握基本作图以及正弦的定义是解题的关键．根据垂直平分线的性质得出，继而得出，根据，得出，进而得出，求得，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线， ， ， 在中，． ， ， ， ， ， 又， ． 故选：B 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，则 ； ； 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理，可得与的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】∵ ∴， ，，， 故答案为：，，． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】， ， 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的知识；根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ，． 易错必刷题三、三角函数的定义求边长 1．（23-24九年级下·江苏无锡·期末）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的正切值．设，根据正弦值，求出的长，再利用，进行求解即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：设， 在中：， ∴， 在中：； 故选：B． 2．（23-24九年级下·陕西咸阳·期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值． 【详解】解：在中，， ，海里， （海里）， 故答案为：． 3．（2024·山东菏泽·一模）如图，点在第一象限，轴，垂足为点，，反比例函数的图象经过的中点，与相交于点，． (1)求的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了反比例函数综合题，用到了锐角三角函数、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键 （1）先利用求出，再利用勾股定理求出，可得到点C的坐标；求出，代入函数解析式即可得答案； （2）求出，直接利用三角形面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∵B是的中点， ∴， 将代入， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵． 易错必刷题四、30°、45°、60°角三角函数值 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用正弦函数即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故A正确． 故选：A． 2．（23-24九年级下·陕西咸阳·期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值． 【详解】解：在中，， ，海里， （海里）， 故答案为：． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质． 易错必刷题五、三角函数的计算 1．（23-24九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴用科学计算器求的长的按键顺序为： ； 故选D． 2．（23-24九年级下·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 3．（24-25九年级下·内蒙古包头·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再运用因式分解法解方程即可； （3）先代入特殊角三角函数值，再利用实数运算法则计算结果； （4）首先对特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】（1）， ， ， 或， 解得． （2）， ， ， ， 或， 解得． （3） ． （4） ． 易错必刷题六、解直角三角形 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作于D，证明，可得，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选D． 2．（23-24九年级下·重庆渝中·期中）如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/76度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 先求出，根据折叠的性质得到，由平行的性质得到，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，为了测量山坡的护坡石坝的高，小明把一根竹竿斜靠在石坝旁，底部与石坝的底部相距4米，量出竿上长为1米时，它离地面的高度为，石坝与地面的倾斜角为，请你帮小明计算石坝顶部距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】石坝顶部距地面的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得，则，在中，，则，根据，由此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，米，米，由勾股定理得：（米）， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴石坝顶部距地面的高度为米． 易错必刷题七、三角函数综合 1．（23-24九年级下·河北沧州·期末）如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查三角函数求值，勾股定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴，故A选项不正确； ∴，故B选项不正确； ∴，故C选项不正确； ∴，故D选项正确， 故选：D． 2．（23-24九年级下·河北邢台·开学考试）小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．    （1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ； （2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ． 【答案】 /0.8 1.7 / 【分析】（1）根据正弦值的定义及勾股定理即可求解； （2）先求出，即，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ 设 ∴ 故 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为： （2）∵水的折射率为，即 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用．掌握锐角三角函数的定义是关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）走进南泥湾党徽广场，迎面而来的是一个巨大的党徽雕塑，党徽雕塑传承红色精神。如图①是雕塑的实物图，图②是其测量示意图，首先点C处用测倾器测得雕塑顶端A点的仰角为60°，然后在另一侧D点用测倾器测得雕塑顶端A点的仰角为37°，已知A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，E，F两点间的距离为22.9m，测倾器的高度CE=DF=1.8m，求该雕塑的高度AB.（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73） 【答案】13.8m 【分析】利用已知的角的三角函数，找到AG与EG的关系、AG与GF的关系，在利用EF=EG+GF 已知，即可求出AG，再加上BG 即可求出高度． 【详解】如图，可知EF=22.9m，∠AEG=60°，∠AFG=37°，AG⊥EF，CE=DF=BG=1.8m， ∴在Rt△AGE中，有， ∴在Rt△AGF中，有 又∵EF=EG+GF=22.9 ∴，即有， 则总高度AB=AG+BG=12.0+1.8=13.8(m)． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、仰角俯角、锐角三角函数等问题，正确理解图形的含义是解答本题的关键． 易错必刷题八、三角函数的应用 1．（2024·山东日照·模拟预测）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架，米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面EF的距离为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴； ∴， 在中，，， ∴； ∴（米）； 故选：A． 2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 【答案】船C离海岸线l的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，则为等腰直角三角形，则，解得，由线段和差得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 在中，∵， ， ∴， 在中，∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 答：船C离海岸线l的距离为 易错必刷题九、利用三角函数测高 1．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，根据角的正切值的计算即可求解； （2）在中，，，根据正弦值的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的长约为． （2）解：由题意得，在中，，， ， 旗杆的高约为． 2．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． (1)求的长； (2)求塔的高度．（，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． （2）解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 3．（2024·山东淄博·二模）如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16） （1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）； （2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）． 【答案】（1）10；（2）瀑布的落差约为411米． 【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°． （2）作CF⊥AB于F，构造矩形CEBF．由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度，最后通过解直角△ACF求得答案． 【详解】（1）∵tan∠CDE＝ ∴CD＝3CE． 又CD＝100米， ∴100＝ ∴CE＝10 ． 故答案是：10． （2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形． ∴CE＝BF＝10，CF＝BE． 在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米． ∵＝ ， ∴DE＝30． 在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF 解得x≈411． 答：瀑布的落差约为411米． 【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型． 易错必刷题十、二次函数的概念 1．（23-24九年级下·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵和时，多项式的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴当时， ． 故选：C． 2．（23-24九年级下·辽宁大连·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案． 【详解】解：∵BD=1，AD=y， ∴AB=y+1， ∵AB=AC， ∴AC=y+1， 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1， 在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1， ∴2y+1=x2-1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式． 3．（23-24九年级下·山东日照·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 (3)该函数图像始终过定点 【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键． （1）用根的判别式即可解答． （2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可； （3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是原方程的两根， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 的值为1； （3）解：． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以， 解得， 当时，， 所以该函数图像始终过定点． 易错必刷题十一、二次函数的图象和性质 1．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线的对称轴为，则抛物线与轴另一个交点为，再根据图象即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴抛物线的对称轴为， 由图象可知抛物线与轴的一个交点为， ∴关于对称的点为，即抛物线与轴另一个交点为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川内江·期中）一元二次方程中，根的判别式，通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当x为何值时，y取最小值，最小值是多少？ 解答：已知函数， ∴，（把y当作参数，将函数转化为关于x的一元二次方程） ∵，即，，（当y为何值时，存在相应的x与之对应，即方程有根） 因此y的最小值为，此时， 解得，符合题意，所以当时， (1)已知函数，y的最大值是多少？ (2)已知函数，y最小值是多少？ (3)如图，已知、，D是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，取最小值，最小值为 【分析】本题考查了二次函数综合应用，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． （1）由题意可得，根据得出，计算即可得解； （2）由题意可得，根据得出，求解即可； （3）设，，由勾股定理可得，即可得出，变形整理得，结合，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为； （3）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 变形整理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 此时， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，取最小值，最小值为． 易错必刷题十二、二次函数图象与各项系数符号 1．（23-24九年级下·四川泸州·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中错误结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线可知：，， 对称轴， ∴， ∴，故①正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ∴， 即， ∴，故②正确； ③关于的对称点为， ∴时，； ④当时，y的最小值为， ∴时，， ∴， 即，故④错误； 故选：A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：由抛物线开口方向得到，然后利用抛物线与轴的交点得到，由对称轴在右侧得对称轴为直线，则，再结合图象与轴交于和，可判断②，可得对称轴为直线，则，根据当时，当时，求得的值即可判断③④． 【详解】解：∵函数图象开口向上，交轴负半轴，且对称轴在右侧， ∴，，对称轴为直线，则， ∴，故①正确； 由函数图象可知，图象与轴交于和，则对称轴为直线， ∴方程的解为，， 即一元二次方程的解为，，故②正确； 由图象可知，当时，， 即：，故③不正确； ∵对称轴为直线， ∴， 当时，， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 3．（23-24九年级下·贵州黔南·阶段练习）（1）如图所示是二次函数的图像． 用“＜”或“＞”填空：a______0，c______0； （2）在本学期我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①；②；③；④． 【答案】（1），；（2）①；②，；③，；④， 【分析】（1）根据函数图像可知抛物线开口向上，与轴交于负半轴，据此解答即可； （2）①根据因式分解法解一元二次方程即可； ②根据公式法解一元二次方程即可； ③根据配方法解一元二次方程即可； ④根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴， 故答案为：，； （2）①，解得； ②化成一般形式为， 则，，， ∵， 所以， 所以方程的解为，； ③∵， ∴，即， 则， ∴，； ④， ， ，即， 或， 或， 故方程的解为，． 【点睛】本题考查了二次函数图像与解析式系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质以及一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 易错必刷题十三、二次函数图象综合判断 1．（23-24九年级下·贵州黔南·开学考试）已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查考查二次函数和反比例函数与系数的关系，正确判断函数的图像和系数的关系是解题的关键；根据二次项系数决定抛物线的开口方向，，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置，根据反比例函数图像判断系数即可求解； 【详解】解：根据二次函数图像可知：，，则，二次函数交轴正半轴，故， 反比例函数过二，四象限，故； 则一次函数，， ，则 故一次函数过一，二，三象限； 故选：C 2．（23-24九年级下·江苏苏州·期末）“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论． 【详解】解：∵方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标， 的一个解为一次函数与直线交点的横坐标， 如图所示： 由图象可知：． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 易错必刷题十四、二次函数图象的平移 1．（23-24九年级下·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 2．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象与轴交于点，已知点的坐标为，点在轴的正半轴，平移后的图象的顶点为点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)求与的面积之比． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，求二次函数的解析式、平移规律，相似三角形的判定与性质、综合性较强，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移规律得出平移后的函数解析式为再把的坐标为代入，即可作答． （2）先根据对称性质，得点，从而证明，再列式作答即可． 【详解】（1）解：∵将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象 ∴平移后的函数解析式为 点的坐标为， ， 解得， ， 顶点． （2）解：点， 平移后的对称轴为直线 ∴点， ， ． 易错必刷题十五、待定系数法求二次函数解析式 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于，下列说法正确的是（  ）    A． B．顶点坐标为 C．对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用二次函数的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于， ， ． 选项的结论不正确，不符合题意； ， 该抛物线的顶点坐标为， 选项的结论不正确，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线， 选项的结论正确，符合题意； 由图象知：当时，随的增大而减小， 选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C 2．（23-24九年级下·甘肃白银·期末）如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线)的薄壳屋顶，它的拱宽为，拱高为．如图建立坐标系，则模板的轮廓线所在的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，设解析式为，由题知，，，构建方程组求解． 【详解】解：设解析式为， 由题知，，， 则，解得， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级下·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，然后代入一次函数解析式可求解． 【详解】（1）解：令的，则，令，则． ，． 把，代入得： ，解方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：由 二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为． 易错必刷题十六、二次函数（销售、增长、图形）问题 1．（2024九年级下·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 2．（24-25九年级下·全国·期末）老李将自己新捕捞的150千克活海鲜贩运到内地某市销售，老李一到该市，了解到可靠信息：这种活海鲜当日一次性成交价为每千克80元，临近春节10天，一次性成交价会每过一天，每千克涨两元，老李想待价而沽，但又考虑到：他在该市每多住一夜，要多开支200元，而且这种海鲜，每过一夜会坏死1千克，坏死的海鲜必须扔掉，而且至少要留两天返程时间回家过年，怎么办？你能告诉老李住几个晚上后，第二天早上卖掉海鲜回家，即使除去开支，收入也是最好，而且不耽误回家过年？ 解：设老李住了x个晚上后，第二天早上就把活海鲜一次性卖掉，除去开支后的收入为y元．可用含x的式子表示：海鲜一次性成交价为每千克 元，一次性成交的海鲜重为 千克，一次性成交金额为 元，多开支费用为 元，除去开支后的收入为 元．（请继续完成分析计算过程，并算出最好的收入y的值） 【答案】；；；；；最好的收入y的值为12050元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，列代数式，解题的关键是列出代数式和函数关系式．根据题意列出代数式，得出除去开支后的收入，然后求出最大值即可． 【详解】解：设老李住了x个晚上后，第二天早上就把活海鲜一次性卖掉，除去开支后的收入为y元，可用含x的式子表示：海鲜一次性成交价为每千克元，一次性成交的海鲜重为千克，则一次性成交金额为： 元， 由于多开支费用为元， 除去开支后的收入为： ， 所以当时，最好的收入为12050元． 3．（23-24九年级下·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)或2 (2)当为时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： （1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵两点的距离为， ∴， 解得：或2； （2）解：设的面积为，根据题意得： ， ∴当时，S取得最大值，最大值为9， 即当为时，的面积最大，最大面积为． 易错必刷题十七、二次函数（拱桥、喷水、投球）问题 1．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)m (3)这辆货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，根据题中信息可知点，代入即可求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可得解； （3）根据题意可以求得当时的得值，然后与比较，即可解答本题； 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，令， 得到， 解得：， ， 故在距离地面高处，隧道的宽度是； （3）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 2．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）根据材料提供的信息，解决下面问题． 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 如图4，安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．    (1)在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式； (2)若喷泉跨度的最小值为，求喷水管高度的最大值； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道的宽度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为． (2)喷水管的高度最大值为； (3)此时安全通道的宽度为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，代入即可求解； （2）设抛物线解析式为：，代入时，，即可求抛物线解析式，从而求的值； （3）求出当时，点落在上，点落在上时两个点的横坐标即可求解． 【详解】（1）解：点坐标为，点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的最高点为3， 顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为过点， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同， 设喷泉跨度的最小值为时，抛物线的函数表达式为，， 当时，，得，解得：或（舍去）， 则， 由，得， 即：喷水管的高度最大值为； （3）解：由题意得：当点落在上， 当时，， 解得：或（舍去）， 当点落在上时， 当时，， 解得：或（舍去）， 则，． 即：此时安全通道的宽度为． 3．（2024九年级下·辽宁·学业考试）在学习“二次函数的图像和性质”时，王老师带领同学探究“二次函数中k的值与图像和x轴两个交点之间的距离s的数量关系（）”经实际的操作测量数据小明绘制出了如下表格 ： k 1 2 3 4 5 6 7 s 2 2 2 2 2 2 2 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对的点，得到图2．小明根据图二中点的分布情况得到了 的结论．将该图像起外号为“躺平的抛物线”． 【发现问题】 课后小明在抛掷一个乒乓球时，发现其运动轨迹与水平距离,最大高度有一定的规律和联系，于是使用频闪相机进行探究． 【提出问题】 每次该球反弹的最大高度有什么规律?如何求得乒乓球的大致水平与动距离? 【得到规律】 多次实验后，小明发现，该球的运动轨迹可以用二次函数来刻画，近似看作如图3 所示 的图象，每次反弹后的最大高度是上一次的 ． 【分析思路】 认真思考后，小明很快想到了计算方法．以地面为x轴，抛出点到地面垂直距离左在直线为y轴，小球运动方向和地面上方分析为两轴正方向（小球的体积，半径忽略不计）．利用公式， 可求出s值，如图3所示． 【解决问题】小明抛出乒乓球后，该球在距抛出点水平距离m处到达最大高度2m．该球在第五次触地后不再反弹，滚动2m后停止运动． (1)设第一段抛物线为，直接写出 的函数表达式． (2)求该球停止运动时距抛出点的水平距离． 【答案】(1) (2)m 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，掌握数学建模思想是解题关键． （1）由题意得顶点坐标为，据此即可求解； （2）令，求出第一次触地时球距抛出点的水平距离；再分别求出第一次至第四次触地反弹后球距抛出点的水平距离即可求解； 【详解】（1）解：∵该球在距抛出点水平距离m处到达最大高度2m． ∴ （2）解：令，解得：（舍）； ∵每次反弹后的最大高度是上一次的， ∴第一次触地反弹后的最大高度为：m，； 第二次触地反弹后的最大高度为：m，； 第三次触地反弹后的最大高度为：m，； 第四次触地反弹后的最大高度为：m，； ∴该球停止运动时距抛出点的水平距离为： m 易错必刷题十八、二次函数（周长、面积、角度）问题 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 2．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴的交点为（点在点的左边），且点的坐标为与轴交于点，该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接求的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与面积问题； （1）将点代入计算即可； （2）先求出、坐标，再求面积即可． 【详解】（1）将点代入 得， ， ． （2）将配方，得 点的坐标为 抛物线的对称轴为 点的坐标为 ． 3．（23-24九年级下·广东江门·期中）图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． (1)求直线BC的函数表达式； (2)求出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）； (3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，t=3，，理由见解析 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点P作PG⊥x轴于点G，解直角三角形可得∠CAO=60°，从而得到，，可得到，再由DQ⊥x轴，BQ=2t，可得OQ= 9-2t，再代入二次函数解析形式，即可求解； （3）根据中点公式可得点F的坐标，再代入直线BC的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：令y=0，则， 解得：， ∴点B（9，0）， 令x=0，则， ∴点， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为； （2）：过点P作PG⊥x轴于点G， ∵点A（-3，0），， ∴ ∴ ∴∠CAO=60°， ∵AP=t， ∴，， ∴， ∴， ∵DQ⊥x轴，BQ=2t， ∴OQ=OB-BQ=9-2t， 把x=9-2t代入得： ， ∴； （3）解：存在，t=3，，理由如下： ∵点F是PD的中点， ∴点F的横坐标为，点F的纵坐标为， ∴点， ∵点F在直线上， ∴， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，中点坐标公式，方程的解法，正确的作出辅助线是解题的关键． 易错必刷题十九、二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仔细看表，可发现的值和0.09最接近0，再看对应的的值即可得．本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 【详解】解：由表可以看出，∵当时，；当时，； ∴当取3.25与3.26之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 3．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A坐标为． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图像直接写出当x为何值时？ (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)；当或时 (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标； （2）把代入，求出，，求出点B的坐标即可；根据函数图象得出当或时，函数图象在x轴的上方，即可求出结果即可； （3）根据二次函数的性质求出y的取值的范围即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点D的坐标为； （2）解：把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， 根据函数图象可知：当或时，函数图象在x轴的上方， ∴当或时； （3）解：∵， ∴当时，取最小值， 把代入得： ， 把代入得： ， ∴当时，． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，根据交点求不等式的解集．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的数学思想方法是解题的关键． 易错必刷题二十、圆 1．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可． 【详解】如图，延长，分别交于M，N， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 2．（23-24九年级下·安徽六安·期末）在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点在圆外， 故答案为：圆外． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 易错必刷题二十一、圆的对称性 1．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题二十二、垂径定理的实际应用 1．（23-24九年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，设的半径为，先根据垂径定理得到，，再在中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，连接，设的半径为，则， ∵C是中弦的中点，经过圆心O交于点D， ∴，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 解得， 即的半径为， 故选：A． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ． 【答案】 8 32 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离，掌握垂径定理是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点到距离的最大值为8， ∴面积的最大值为． 故答案为：8，32． 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 易错必刷题二十三、圆周角定理 1．（2024·吉林·模拟预测）如图，和内接于，若，，则的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 2．（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中、三条劣弧、、的长都相等，弦与相交于点，弦与的延长线相交于点，且，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据弧相等，得到，设出，根据外角的性质得出，进而利用三角形的内角和求出即可解答． 【详解】解：连接，如图所示：   弧、、的长相等， ， 设， ， ， ， 在中，， 解得， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·浙江嘉兴·期中）如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的三线合一性质得到，进而可得结论； （2）连接，根据圆周角定理求得，进而求得可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， ∵是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 易错必刷题二十四、已知圆内接四边形求角度 1．（23-24九年级下·山东济宁·期中）如图，A，B，C，D在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，根据三角形内角和定理计算出，则根据圆周角定理得，然后根据圆内接四边形的性质求解．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：连接、． ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，在中，若，则弦所对的弧的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、，利用圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、，在劣弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴弦所对的弧的度数为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）【问题原型】 如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 【答案】[问题原型]直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 [逆向思考] [模型应用] 【分析】本题考查了圆周角定理，特殊角的三角函数值，圆内接四边形的性质，熟练掌握这些性质，并掌握题中给出的方法是解题的关键． [问题原型]根据题中推理写出根据即可； [逆向思考]连结并延长交于点，连结，利用题中方法求解即可； [模型应用]设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，利用题中方法得出和直径的关系，再求出的最小值即可求解． 【详解】[问题原型] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ，（同弧所对的圆周角相等） 在中，， ， ， ， ， ， 即的半径长为2； 故答案为：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等； [逆向思考] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ∵， ， 即； [模型应用] 解：设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，如图， ∵，， ∴， ∴， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ， ∴当最小时，最小， ∵为边上一点， ∴当时，最小， 此时，由， ∴， ∴， 故答案为：． 易错必刷题二十四、确定圆的条件 1．（23-24九年级下·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 2．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【答案】120 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用除以3计算即可得解． 【详解】解：∵O为为外接圆圆心，， ∴点O是的中心， ∵， ∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合． 故答案为：120． 3．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． (1)请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； (2)求的半径； (3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2) (3)点E在内部 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【详解】（1）解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2）解：由勾股定理得半径为：； （3）解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 易错必刷题二十五、判断直线和圆的位置关系 1．（24-25九年级下·广东惠州·期中）如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握切线的判定，是解题的关键．先证明为直角三角形，，得出，即可证明与相切． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵A是上一点， ∴与相切． 故选：B． 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 3．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 【答案】(1)相离 (2)相切 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据等边三角形的性质求出点到直线的距离是解题的关键 （1）根据等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，然后与半径比较即可； （2）根据（1）中结果，与半径比较即可． 【详解】（1）解：∵等边中，D为边上一点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相离； （2）当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相切． 易错必刷题二十六、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 过点作于点， ∴， ∴， ∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 3．（2024·福建莆田·二模）如图，已知直线l与相离，于点A，交于点P．AB是的切线，B是切点，连接BP并延长，交直线l于点C． (1)求证：； (2)若，求PB的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得，再由，可得．然后根据，可得，即可求证； （2）根据，可得AC=2AP，从而得到AP=1，AB=AC=2，过A点作，根据，可得，再由等腰三角形的性质可得．即可求解． 【详解】（1）证明：连接OB， 直线AB与相切于点B， ， ， ． ， ， ． ， ． 又， ， ． （2）解∶ 在中，， ∴AC=2AP， ∵，， ∴ ． ∴， 过A点作， ∵， ∴， ∵， ． ， ． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 易错必刷题二十七、证明某直线是圆的切线 1．（23-24九年级下·浙江宁波·期末）如图，点P为外一点，连结，作以为直径的圆，两圆交于点Q，连接，可得是的切线，则判定其为切线的依据是（    ） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 【答案】A 【分析】连接，即可证得，即可证得是的切线，由此可得依据． 【详解】解：如图：连接， 作以为直径的圆，两圆交于点Q， ， 又是的半径， 是的切线，依据是：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，熟练掌握和运用切线的判定定理是解决本题的关键． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 易错必刷题二十八、切线的性质定理 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，是直径，与相切于点，与相交于点，连结，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理．根据切线的性质定理得到，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：是直径，与相切于点， ， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25九年级下·浙江台州·期中）如图，是的直径，是的切线，交于点C，，，则 cm． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质．根据切线的性质得到，由勾股定理求出，再根据三角形面积求出即可． 【详解】解：是的直径，是的切线， ，， 在中，，， ， ， ， 即， 故答案为：． 3．（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，，连结，． (1)求的度数． (2)若，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，求弧长； （1）根据切线的性质得出，进而得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵的切线交直径的延长线于点，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∴的长为 易错必刷题二十九、切线的性质和判定的综合应用 1．（23-24九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】腰与相切，设切点为，连接，，过O点作，如图，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵腰与相切，设切点为， ∴为⊙O的半径， ， 连接，，过O点作，如图， ∵O是等腰的底边的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∴与相切． 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝ ． 【答案】100° 【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出与β的关系式．进而可求出β的度数． 【详解】连结OC，OD， ∵PC、PD均与圆相切， ∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°， ∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°， ∴∠CPD+∠COD＝180°， ∵OB＝OC，OD＝OA， ∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A， ∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°， ∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°． ∴∠CPD＝100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 3．（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 易错必刷题三十、圆的综合问题 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． (1)求证∶． (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 2．（23-24九年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 3．（24-25九年级下·山东德州·期末）学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②； 【分析】由圆周角定理可得出答案； 取的中点，连接、由直角三角形的性质证明点A、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； 在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、由圆周角定理及勾股定理可得出答案； 【详解】解：是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； 如图，取的中点，连接、， ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ， 故答案为：； 在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、， ，， ， 在中，， ，为圆心， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 易错必刷题三十一、切线长定理 1．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，从外一点引的两条切线，切点分别为．若，，则的周长是（    ）    A．16 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，等边三角形的性质与判定，先由切线长定理得到，进而证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选B． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【答案】(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 易错必刷题三十二、圆内接正多边形 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 3．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 易错必刷题三十三、弧长及扇形的面积 1．（2024九年级下·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式．根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可． 【详解】解：． 2．（23-24九年级下·吉林·期末）如图，在正方形中，，连接、以点C为圆心、长为半径画弧，点E在的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质和扇形面积公式，计算扇形面积时，应该先求出弧所在圆的半径以及弧所对的圆心角的度数．求出的度数，利用计算即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，． ∵点E在的延长线上， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）证即可； （2）根据题意求出即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为： 易错必刷题三十四、求圆锥侧面积及圆锥的高 1．（23-24九年级下·河北邢台·期中）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 2．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【分析】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 3．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级下·内蒙古·阶段练习）把抛物线向上平移2个单位再向左平移3个单位后，抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图形平移的问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移2个单位再向左平移3个单位后，抛物线的解析式为， 故选：D． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理．先求得，得到，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·广西南宁·二模）如图，二次函数与一次函数的图象交于、两点，则一元二次方程的解为（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握方程的根是所对应两函数图象的交点横轴坐标是解题的关键．由题意原问题转化为求二次函数与一次函数 的图象交点的横坐标，结合函数图象进行分析即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的解即为二次函数与一次函数的图象交点的横坐标， ∵二次函数：与一次函数：的图象交于A，B两点， ∴由图像可得一元二次方程的解为：，． 故选：A． 5．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 6．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知α为锐角，且，则α等于 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）将抛物线向左平移4个单位长度后，所得的抛物线对应的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据平移的原则：上加下减左加右减，即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移4个单位长度后，那么所得新抛物线的表达式是，即． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的平面直角坐标系中，对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为 ．    【答案】16 【分析】本题考查二次函数的应用．正确理解题意是关键；根据抛物线的对称性及解析式求解． 【详解】解：依题意，设点坐标为， 代入抛物线解析式得：， 即水面到桥拱顶点的距离为16米． 故答案为：16． 9．（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒． 【答案】 【分析】作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：作于点． 在中，， ∴ （米），（米）， 同理，（米）． 则（米）． 则平均速度是（米秒）， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，点，以为直径作． （1）如图①，C是内一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ； （2）如图②，C是上一点，坐标为，点D在圆上，则的最大值为 ； （3）如图③，C是外一点，坐标为，点D在圆上，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，圆的性质，勾股定理． （1）过点C作半径，当点D为半径的端点时，有最小值，据此求解即可； （2）当为的直径时，有最大值，据此求解即可； （3）过点C作射线交于点和，当点D与重合时，有最小值， 当点D与重合时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴， ∴的直径为，半径为， ∵的直径为， ∴点， （1）过点C作半径，当点D为半径的端点时，有最小值， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵C是上一点，点D在上， ∴当为的直径时，有最大值，最大值为； 故答案为：； （3）过点C作射线交于点和， 当点D与重合时，有最小值， 当点D与重合时，有最大值， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：，． 11．（24-25九年级下·山西·阶段练习）计算与解方程： (1)计算：． (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，解一元二次方程等知识点． （1）先根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值进行计算，再算加减即可； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）， 整理得， 配方得，即， ∴， 解得：，． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为），用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为，面积为．写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围． 【答案】，自变量x的取值范围是 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，读懂题意列出式子是解题的关键．用含x的式子表示出，再根据矩形的面积公式写出y关于x的函数关系式，根据墙的长度及篱笆的长可求得自变量x的取值范围． 【详解】花圃的宽为，则长为， ∴， ∵墙的最大可用长度为， ∴， ∴， ∵篱笆长为， ∴， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    【答案】渔船航行的速度为每小时40海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题．理解题意，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 过点作于点，设海里，用表示，，，根据列出关于的方程，解出，再求出，进而求出，由此即可求出该渔船的航行速度． 【详解】解：过点作于点，    由题意可得：，，， 设海里， 在中， 海里， 在中， ， ， ， 解得：， 即海里，海里， ， ， 又， 海里， 海里， 该渔船航行的速度为（海里/小时） 答：渔船航行的速度为每小时40海里． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知：关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)有一个点从点出发，以每秒个单位的速度在上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出面积． 【答案】(1) (2)当、或时，面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）代入和，解方程组即可； （2）设运动时间为，则，得，运用二次函数的顶点坐标解决问题． 【详解】（1）解：把和代入， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）如图2， 设运动时间为，由，得，则， ， 当 时，最大，最大面积为 ； 即当、或时，面积最大，最大面积是． 15．（24-25九年级下·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：， ， ，即． （2）解：①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$