期末重难点真题特训之压轴满分题型（87题25个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练 （北师大版)

期末重难点真题特训之压轴满分题型（87题25个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、三角函数的定义求边长 1．（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为 ． 3．（24-25九年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 压轴满分题二、解直角三角形的相关计算 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点F，交的延长线于点D，交的延长线于点E，于点G．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段的延长线交于点．若，，，则的长为 ． 3．（24-25九年级下·河北承德·期中）在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h． (1)①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）； ②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）； (2)请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边． 压轴满分题三、三角函数综合 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 3．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 压轴满分题四、三角函数的应用 1．（23-24九年级·重庆·自主招生）如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：） 2．（23-24九年级下·河南安阳·阶段练习）安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 3．（24-25九年级下·山西长治·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 (1)利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． (3)利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 压轴满分题五、二次函数的图象 1．（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，把一段抛物线记为抛物线，它与轴交于点、两点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ） A．16 B．18 C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 压轴满分题六、函数图象综合判断 1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是 ． 3．（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 压轴满分题七、二次函数图象的平移 1．（24-25九年级下·广东惠州·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系．       压轴满分题八、图象法解一元二次不等式 1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）对于，，有以下两个结论： ①当时，；②当时，；③当时，；④时，，其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 2．（2024九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 3．（23-24九年级下·安徽阜阳·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 压轴满分题九、利用不等式求自变量或函数值的范围 1．（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级下·北京朝阳·期中）已知二次函数． (1)把这个二次函数化成的形式； (2)画出这个二次函数的图像，并利用图像写出当x为何值时，． 压轴满分题十、待定系数法求二次函数解析式 1．（24-25九年级下·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 压轴满分题十一、二次函数的应用（销售、增长率、图形运动）问题 1．（23-24九年级下·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 2．（24-25九年级下·广东中山·期中）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 3．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）随着国家乡村振兴政策的推进、风威村农产品越来越丰富、为增加该村村民收入，把该土特产（每袋成本元）进行天销售，日销量 (袋)与每袋售价（元）记录如下： 时间 第一史 襄二灵 第三天 第四支 元 袋 若试销售和正常销售期间日销量y与每袋售价的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量关于每袋售价的函数关系式： (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种上特产每日销售的利润最大？并求出最大利润（利润销售额成本）． 压轴满分题十二、二次函数的应用（投球、拱桥、喷水）问题 1．（24-25九年级下·云南昆明·期中）2024年9月20日消息，上海女足获得2024第三届中国青少年足球联赛（女子高中年龄段组）冠军在一次足球训练中，运动员张洁从球门正前方的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？ 2．（2025九年级下·全国·专题练习）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 3．（24-25九年级下·山东日照·期中）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 压轴满分题十三、二次函数的综合应用（三角形、面积、周长）问题 1．（24-25九年级下·河北张家口·阶段练习）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 2．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 压轴满分题十四、二次函数与一元二次方程 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级下·云南昆明·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； 压轴满分题十五、判断点与圆的位置关系 1．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为 ．    3．（23-24九年级下·北京·开学考试）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，完成下面的问题； ①当，时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是_________； ②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是_________． (2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值； (3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为．直接写出点随线段BC运动所走过的路径长． 压轴满分题十六、利用弧、弦、圆心角的关系求解及求证 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 压轴满分题十七、垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级下·全国·期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． (1)求的长； (2)求的长． 3．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 压轴满分题十八、已知圆内接四边形求角度 1．（2024·山东青岛·一模）如图，四边形是的内接四边形，BE是的直径，连结，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·广西柳州·专题练习）已知是半径为1的圆的一条弦，以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点的一点，且（其中为常数，且），的延长线交圆于点，则的长为 .    3．（24-25九年级下·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 压轴满分题十九、确定圆的条件 1．（2024·河北秦皇岛·一模）在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 2．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，点D、E分别为边中点，点P为直线上一动点，连接，当为直角三角形时，的长度为 ． 3．（2024·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 压轴满分题二十、直线和圆的位置关系的压轴 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图所示，正方形的边长为，和相交于点，过作，交于，交于，则以点为圆心，为半径的圆与直线，的位置关系分别是什么？ 2．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 3．（23-24九年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式． (3)在坐标平面内，动点在直线上，当为直角三角形且恰好存在两个点时，求的取值或取值范围． 压轴满分题二十一、切线的性质和判定的综合应用 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． (1)的长为__________； (2)试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 3．（2024·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 压轴满分题二十二、圆的综合问题压轴 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，与相交于点D．下面是两位同学的对话： (1)选择其中一位同学的说法并进行证明； (2)在（1）的条件下，过点A作的切线交的延长线于E，若，的半径为5，求的值． 2．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 压轴满分题二十三、切线长定理 1．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知的边和与圆O相切于C、B两点，经过圆心O，交圆O于A、B两点，点C为弧上靠近点A的三等分点，若，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 3．（24-25九年级下·云南昆明·期中）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 压轴满分题二十四、正多边形和圆的综合 1．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4） 该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 压轴满分题二十五、弧长及扇形的面积压轴 1．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）如图中，，平分，交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 1．（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·一模）在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 4．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（24-25九年级下·河南驻马店·开学考试）将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第 象限． 6．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 ． 7．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上，则； ④若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是 ． 8．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，是的中点，于点，交于点，交于点，下列结论一定正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）． ①，②，③，④若，则． 9．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）解决下面问题 (1)解方程：； (2)计算：． 10．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线的对称轴与交于点D，连接，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（87题25个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、三角函数的定义求边长 1．（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知，则Q点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由正六边形，可得，，则是等边三角形，，则，，，进而可得Q点坐标． 【详解】解：如图， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标等知识．熟练掌握正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标是解题的关键． 2．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为 ． 【答案】 【分析】由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴，， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，余弦，正弦，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 3．（24-25九年级下·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 压轴满分题二、解直角三角形的相关计算 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点F，交的延长线于点D，交的延长线于点E，于点G．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 易得，通过证明，得出，再证明，得出，即可判断A；过点F作于点H，设，则，通过证明，得出，则，在得出，根据正切的定义，即可判断B；易得，则，即可推出，即可判断C；过点C作于点P，易得四边形为矩形，则，通过证明，得出，进而求证，得出，即可判断D． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，故A错误，符合题意； 过点F作于点H， 设，则， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； 过点C作于点P， ∵，，， ∴四边形为矩形，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A．    2．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段的延长线交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，一次函数综合，勾股定理等等，先解直角三角形得到，设，由勾股定理得到，解方程可得；再由平行四边形的性质得到，则，如图所示，以点E为圆心，直线和直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，证明，得到，解方程得到，求出直线解析式为，直线解析式为，联立，解得，则，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图所示，以点E为圆心，直线和直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可知直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·河北承德·期中）在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h． (1)①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）； ②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）； (2)请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边． 【答案】(1)①和；② (2)见解析 【分析】（1）①解直角三角形即可求解； ②由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （2）根据题意画出图形即可； 【详解】（1）解：①如图1，为等腰直角三角形，， 则； 如图2，为含的直角三角形， ，，， 则，． 综上，等腰直角三角形直角边长为，含的直角三角形直角边长分别为和． ②如图3，由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，， ， ∴ （2）如图4，即为所作图形． 【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 压轴满分题三、三角函数综合 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知． (1)求证：四边形是菱形； (2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分、， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接， 由（1）知，， ， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，外接于锐角，为边的中点，连接并延长交于点，过作的垂线交于点，点为上一点，已知平分且． (1)试求的度数． (2)①证明：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据同弧圆周角相等得，然后利用直角三角形两个锐角互余，以及等量代换，即可解决问题； （2）①结合等腰三角形性质，证明，即可解决问题； ②过点C作于点H，设，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题 【详解】（1）解： 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：，D为中点 ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：如图，过点C作于点H， 根据题意设， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的值为 【点睛】本题考查同圆中同弧圆周角相等，直角三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 3．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 压轴满分题四、三角函数的应用 1．（23-24九年级·重庆·自主招生）如图，公路为东西走向，村庄M在点A北偏东方向，且距离A点5千米处，村庄N与村庄M之间的距离为千米，且．求N、A之间的距离．（参考数据：） 【答案】N、A之间的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．过点M作于C，过N作于E，过M作于D，求出，，由，得到，设，则，求出，，根据勾股定理得，即可解答． 【详解】解：过点M作于C，过N作于E，过M作于D，如图， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵，， 设，则， ∴，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∴N、A之间的距离为． 2．（23-24九年级下·河南安阳·阶段练习）安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号） 【答案】飞机距离地面的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．过点作于点，先根据坡比的概念得到米，然后证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， ，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 3．（24-25九年级下·山西长治·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 (1)利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． (3)利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 【答案】(1)米； (2)米； (3)米． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． 首先根据、，可以证明，根据相似三角形对应边成比例可求旗杆的高度； 根据，，均垂直于地面，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程可求的高度，加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度； 利用、，可得，解方程求出的高度，用加上即可求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为米； （2）解：，，均垂直于地面， ， ， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：旗杆的高度为米； （3）解：由题意可得，， 由题意得：，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：旗杆的高度为米． 压轴满分题五、二次函数的图象 1．（2024九年级下·河南周口·专题练习）如图，把一段抛物线记为抛物线，它与轴交于点、两点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的基本规律，根据确定，，图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，只需确定的解析式即可． 【详解】解：根据， ∴，， ∴的解析式为 根据题意，得函数图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等 ∵， ∴m与时的函数值相等， 时，， 故选：C． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则； ∴的值是或 故答案为：或 3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 压轴满分题六、函数图象综合判断 1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 2．（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，由直线应经过一、三、四象限，故直线不经过第二象限． 故答案为：第二象限． 3．（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 压轴满分题七、二次函数图象的平移 1．（24-25九年级下·广东惠州·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为， 故选：． 2．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律． 根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由二次函数平移“左加右减，上加下减”的原则可知：抛物线的解析式是． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴．       ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，       ∴二次函数的表达式是； （2）解：抛物线可化为．       ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是．       ∴， ∴． 压轴满分题八、图象法解一元二次不等式 1．（2024·江苏宿迁·模拟预测）对于，，有以下两个结论： ①当时，；②当时，；③当时，；④时，，其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】令，则，令，解得，，则二次函数的图象开口向上，与轴的交点的横坐标为和，根据当时，和当时，并判断当、时的的取值范围，即可得出答案． 【详解】解∶令，则， ∴， ∵令，解得，， ∴的图象开口向上，与轴的交点的横坐标为和，如图：    ∴当时，即时，， 当时，即时，或， ∴①②④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用二次函数的图象判断一元二次不等式的解集的问题，令，并根据二次函数的图象判断当、时的的取值范围是解答本题的关键． 2．（2024九年级·山东泰安·学业考试）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线经过，，可得，，的值，从而判断③④．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：由抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点为可得，，， ，①正确． 抛物线与轴有2个不同交点， ，②错误． 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线经过， ， ， ，③正确． 由整理得， ， ， ， ， 抛物线开口向下，与轴交点坐标为，， 时，， 即不等式的解集为，④错误． 故答案为：①③． 3．（23-24九年级下·安徽阜阳·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的知识，熟练掌握描点法绘制函数图象是解题关键． （1）完成表格，用描点法画出函数图象即可； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 表格如下， …… 0 1 2 3 …… …… 0 3 4 3 0 …… 根据列表，画出这个二次函数的图象如下图： （2）由函数图象可知，当时，的取值范围为． 故答案为：． 压轴满分题九、利用不等式求自变量或函数值的范围 1．（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 【详解】解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 2．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（23-24九年级下·北京朝阳·期中）已知二次函数． (1)把这个二次函数化成的形式； (2)画出这个二次函数的图像，并利用图像写出当x为何值时，． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用配方法进行解答即可； （2）先画出函数图像，然后根据函数图像直接写出答案即可． 【详解】（1）解：， 即． （2）解：函数的图像如图所示： 由函数图像可得：当 或时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、画二次函数图像、根据二次函数确定不等式的解集等知识点，正确画出函数解析式成为解答本题的关键． 压轴满分题十、待定系数法求二次函数解析式 1．（24-25九年级下·吉林·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，， 故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，， 故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ， 故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期中）如图，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，当时，y有最小值，当时，的值为1，从而可得结论． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，y有最小值， 当时，的值为1， ∴当时，y的取值范围． 压轴满分题十一、二次函数的应用（销售、增长率、图形运动）问题 1．（23-24九年级下·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 2．（24-25九年级下·广东中山·期中）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程即可； （2）由题意可得：，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，且， ∴， ∴， 解得：或； ∴当或3时，的面积为． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值． 3．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）随着国家乡村振兴政策的推进、风威村农产品越来越丰富、为增加该村村民收入，把该土特产（每袋成本元）进行天销售，日销量 (袋)与每袋售价（元）记录如下： 时间 第一史 襄二灵 第三天 第四支 元 袋 若试销售和正常销售期间日销量y与每袋售价的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量关于每袋售价的函数关系式： (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种上特产每日销售的利润最大？并求出最大利润（利润销售额成本）． 【答案】(1) (2)每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设日销售量 (袋)与销售价(元)的函数关系式为，代入数据，利用待定系数法即可求解； （2）设利润为元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据，设日销售量(袋)与销售价(元)的函数关系式为， 则， 解得：， 日销售量 (袋)与销售价 (元)的函数关系式为； （2）设利润为元， 则， 配方得：， ， 当时，取得最大值，最大值为， 要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元． 压轴满分题十二、二次函数的应用（投球、拱桥、喷水）问题 1．（24-25九年级下·云南昆明·期中）2024年9月20日消息，上海女足获得2024第三届中国青少年足球联赛（女子高中年龄段组）冠军在一次足球训练中，运动员张洁从球门正前方的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？ 【答案】(1) (2)能进球，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． （1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值即可求得抛物线解析式． （2）把代入求出y值与比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点为， ∴设抛物线为． ∵抛物线过， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为，即． （2）解：能进球，理由如下： 当时，， ∵， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】(1) (2)5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设顶点式，利用待定系数法求解； （2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 3．（24-25九年级下·山东日照·期中）打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【答案】(1) (2)水漂能不能飞过8米宽的河面 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的突破点；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． （1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为，由经过点，求出，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起． 设水漂第一次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得， 水漂第一次飞越时的函数解析式为 水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． 设水漂第二次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得或（舍去）， 水漂第二次飞越时的函数解析式为； （2）解：飞越两次，飞越距离， ， ， 总共飞越距离为， ， 水漂能不能飞过8米宽的河面． 压轴满分题十三、二次函数的综合应用（三角形、面积、周长）问题 1．（24-25九年级下·河北张家口·阶段练习）如图，直线与x轴、y 轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)2.25， 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得：，求出直线的解析式为，得出与轴的交点的横坐标，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：由（1）可得：， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可； （2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时 ， 故点 当时，有 解得： 设直线的表达式为：； 将代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 同理可得：直线的表达式为：； （2）解：①存在：设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 3．（23-24九年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)2 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值； （3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为， 直线轴，， ，， ， ， ，，， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， 的值为2； （3）解：，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与相似，且， 在的右侧，且或， 设， 由（2）知，，，， ，，，， 当时，如图： ， 解得或（此时在左侧，舍去）， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，如图： ， 解得（舍去）或， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 压轴满分题十四、二次函数与一元二次方程 1．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级下·云南昆明·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长． 【详解】解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点，以及二次函数的图像和性质,相似三角形的判定以及性质等知识． （1）令和，解方程可求解； （2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； 【详解】（1）解：对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； （2）解：过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为； 压轴满分题十五、判断点与圆的位置关系 1．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键； 连接，，，，由线段垂直平分线的性质可得出，据此即可得出结论． 【详解】解：连接，，，     作，的垂直平分线，两直线交于点O， ， 点P，Q， N在点O为圆心，长为半径的圆上，与的大小关系不能确定， 点M不一定在圆上， 故选：C． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】45 【分析】因为，点G为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以G是以B为圆心，以5为半径的圆弧上的点，作C关于的对称点，连接，交于H，交以B为圆心，以5为半径的圆于G，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：连接，    ∵矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以圆心，5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动， 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以5为半径的圆于， 由两点之间线段最短，此时的值最小， ∴最小值为， 即：的最小值为， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 3．（23-24九年级下·北京·开学考试）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，完成下面的问题； ①当，时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是_________； ②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是_________． (2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为的圆上，当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值； (3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为．直接写出点随线段BC运动所走过的路径长． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）过点作于，根据定义求得的最小值即可； （3）根据定义作出图形，点随线段BC运动所走过的路径长等于点走过的路程，即半径为的圆周加上2的长加上的长． 【详解】（1）解：① ，， 当，， , 根据定义可知，的长即为线段BC与线段OA的“冰雪距离” 故答案为： ②当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是， 由①可知到线段的距离为 的最小值为的纵坐标减2，最大值为的纵坐标 故答案为： （2）根据题意，点B落在圆心为A，半径为的圆上 当时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d， 根据图象可知点在的上半圆运动，过点作于，根据定义可知，当点在线段上时，，当不在线段上时， 则当位于与轴的切点位置时，最小，如图， 最小值为 即的最小值为1 （3）依题意，的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，依题意，的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，如图 线段BC的中点为．点随线段BC运动所走过的路径长等于点走过的路程， 即， 即半径为的圆周加上2的长加上2OA． 【点睛】本题考查了新定义，点到直线的距离，平面直角坐标系中两点距离，勾股定理，理解题意是解题的关键． 压轴满分题十六、利用弧、弦、圆心角的关系求解及求证 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断、选项，根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断选项，可利用垂径定理及全等三角形的性质判断；要判断选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意在中，，，， ∴根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”可得：，，， ∴、、正确，错误， 故选：． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有 ，与相等的弧有 ． 【答案】 ，，，， ， 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，， ∴； 又∵， ∴，，是全等的等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：，，，，；，． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了弦、弧、圆心角的关系、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，延长交于点H．由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得到直线垂直平分，则、，再证可得，即可证明结论； （2）根据三角形中位线的性质可得，设，则，然后根据勾股定理列方程求得R，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接，延长交于点H． 是优弧的中点， ， ， ， 直线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ， . （2）解：由（1）知， ∴， ． 设，则， ， （舍去）， ． 压轴满分题十七、垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级下·全国·期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)AO的长是 (2) 【分析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设交于点、交于点，根据垂径定理求出；设，用含的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于的方程并求解即可； （2）连接，根据题意可知，求出，从而求出，在中利用勾股定理求出，再利用垂径定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，设交于点、交于点． 根据题意，得， ， ， 设， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 的长是； （2）解：如上图，连接． ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 3．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 压轴满分题十八、已知圆内接四边形求角度 1．（2024·山东青岛·一模）如图，四边形是的内接四边形，BE是的直径，连结，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出即可． 【详解】四边形是的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：A． 2．（2024九年级·广西柳州·专题练习）已知是半径为1的圆的一条弦，以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点的一点，且（其中为常数，且），的延长线交圆于点，则的长为 .    【答案】1 【分析】由等边 和圆的内接四边形可推导，然后通过得出，最后证明和全等即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、、 是等边三角形 ， 即： 为等腰三角形， 为等腰三角形 在 和中， ， ， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了圆的内接四边形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理；其中熟练运用圆的内接四边形对角互补来倒角，是解决此题的关键． 3．（24-25九年级下·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 压轴满分题十九、确定圆的条件 1．（2024·河北秦皇岛·一模）在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键． 根据题意画出图形，使，，点在射线上，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的长，再由和的长作比较即可判断甲乙；由和的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙． 【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点， ， ， 不存在的，故甲不符合题意； ，，， 而， 存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意； ，， 当的外接圆半径为4时， 如图， ， ， ， ， 存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意； 综上所述，只有乙符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，点D、E分别为边中点，点P为直线上一动点，连接，当为直角三角形时，的长度为 ． 【答案】或或6或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等，注意分类讨论是解题的关键． 分情况讨论：内接于，的长就是半径，是中位线，当P在D点右侧时，根据即可求得的长度，当P在D点左侧时，根据 即可求得的长度；利用可得 求得的长度， 即可求得的长度；利用可得即可求得的长度． 【详解】解： 如图，内接于， ∵是的中位线， ∵点D、E分别为边中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴ 综上，或或6或4． 3．（2024·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键． （1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是以为直径的圆．先作出的垂直平分线，得出的中点，再以为半径作圆即可； （2）连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图，是这个三角形的最小覆盖圆． （2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆 连接、，过O作于点H ， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 故的最小覆盖圆的半径为2． 压轴满分题二十、直线和圆的位置关系的压轴 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图所示，正方形的边长为，和相交于点，过作，交于，交于，则以点为圆心，为半径的圆与直线，的位置关系分别是什么？ 【答案】直线与相切，直线与相交，理由见解析． 【分析】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，求点到的距离，即，可知与的半径相等，故圆与直线相切，点到的距离，小于的半径，故圆与直线相交，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】由题中已知条件，得，， 即点到的距离为，与的半径相等， ∴直线与相切， ∵，， ∴，垂足为，且， ∴直线与相交． 2．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）（1）如图，已知中，是上一点．求作，使得过点，且与相切． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （2）如图，在中，是边上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在不同的点分别和点、构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】（1）图见解析（2）见解析 【分析】（1）根据题意，确定圆心的位置，再以为半径画圆即可； （2）当以为直径的圆与相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）作的角平分线，交于点，过点作，交于点，以为圆心，以为半径画圆，即为所求，如图： （2）当以为直径的圆与相切时：如图 ∵， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当存在1个点时，此时与相离，或B、D两点重合，， 当存在2个点时，此时与相切，， 当存在3个点时，此时与相交，， 【点睛】本题考查复杂作图—作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（23-24九年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式． (3)在坐标平面内，动点在直线上，当为直角三角形且恰好存在两个点时，求的取值或取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得当时，有最大值4 ，然后分两种情况：当，即时；当，时，即可得到答案； （3）以为直径作，过点作直线，过点作直线，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得，    解得，    二次函数的表达式为； （2）解： 顶点坐标为，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值4    当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 ∵， ∴， ∴当时，有最大值4 ， 当时， 当，即时，最小值为， ∴ ； 当，时，最小值为3， ∴， 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：以为直径作，过点作直线，过点作直线 情况1：如图2，当直线过点时，此时， 此时直线与有交于点和，且与直线交于点， 则和恰好是直角三角形； 情况2：如图2，当直线过点时，此时，    此时直线与有交于点和，且与直线交于点， 则和恰好是直角三角形； 情况3，如图3，设直线与相切于点和，    点和点， ，， 的半径 ，或， 当点到直线的距离大于的半径时，如图4，    即，此时直线分别与直线，直线交于点和，则和恰好是直角三角形， 或，此时直线分别与直线，直线交于点和，则和恰好是直角三角形， 综上，或或或，则为直角三角形且恰好存在两个点 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 压轴满分题二十一、切线的性质和判定的综合应用 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在同心，大的直径交小于、，大的两弦、交于，且，，弦与小切于，过作于．小的半径为． (1)的长为__________； (2)试问弦与小是什么位置关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)相切，证明见解析 【分析】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得，证明四边形是矩形，即得得解； （2）过作于，连接，根据垂径定理得出，证明，即可证明为小的半径，证出与小相切． 【详解】（1）解：连接， ∵弦与小切于，小的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：； （2）解：相切． 证明：过作于，连接， ∵，，， ， ， ， ∴， 即为小的半径， ∴与小相切． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到，结合，推出，再根据是的直径，得到，进而得到，即可推出，从而得到，即可证明结论； （2）由，可得，易证是等边三角形，根据，求出，利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 是的直径， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，勾股定理．灵活掌握切线的判定定理是解题的关键． 压轴满分题二十二、圆的综合问题压轴 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，与相交于点D．下面是两位同学的对话： (1)选择其中一位同学的说法并进行证明； (2)在（1）的条件下，过点A作的切线交的延长线于E，若，的半径为5，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到，由线段垂直平分线的性质推出； （2）过作于，连接，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，由勾股定理得到，即可求出，由平行线的性质推出，于是得到． 【详解】（1）解：选择小杰的说法，证明如下： 连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ； （2）解：过作于， 是的直径， ， ， ， 的半径是5， ， ， 的面积， ， ， ， ， 切于， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，关键是由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长． 2．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 3．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，，求的半径； (3)在（2）的条件下，求的长。 (4)试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 (3) (4) 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 【详解】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴满分题二十三、切线长定理 1．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知的边和与圆O相切于C、B两点，经过圆心O，交圆O于A、B两点，点C为弧上靠近点A的三等分点，若，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，解直角三角形等知识，先求出，然后证明是等边三角形，得出，，在中，利用正切求出，在中，利用余弦求出，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是直径， ∴是度数为，， ∵点C为弧上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴和与圆O相切于C、B两点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 3．（24-25九年级下·云南昆明·期中）如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，根据等边对等角得出，结合已知可得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据切线的判定和切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴是的切线， 又是的切线， ∴， 在中，，，， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， 即． 压轴满分题二十四、正多边形和圆的综合 1．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4） 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得： （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 压轴满分题二十五、弧长及扇形的面积压轴 1．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积， 则阴影部分的面积是：， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·山东德州·阶段练习）如图中，，平分，交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平分，可知，易证，所以，所以，由于，所以，从而可证直线是的切线； （2）根据含30度角的直角三角形性质可求出的长度，然后求出的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线； （2）解：由，，， 得：，，， ， ， ， ， 由，得， ． 【点睛】本题考查圆的切线的判定，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识． 1．（23-24九年级下·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 2．（2024·山东青岛·一模）在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为，根据二次函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，交于轴的负半轴，与图象相符，故选项正确； B．由函数的图象可知，且与交轴的交点为，即函数开口方向朝下，经过点，则， 所以， 所以函数， 所以函数与轴有一个交点，与图象不符，故选项错误． C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，交于轴的正半轴，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数交于轴的负半轴，与图象不符，故选项错误； 故选：A． 3．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 4．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 5．（24-25九年级下·河南驻马店·开学考试）将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，根据函数解析式确定出顶点坐标与对称轴解析式是解题的关键．根据顶点坐标与对称轴确定出函数图象经过第一四象限，根据与轴的交点求出函数图象经过第三象限，从而可以确定不经过的象限． 【详解】解：， 顶点坐标为，对称轴为直线， 函数图象经过第一四象限， 令，则， 所以，函数图象与轴的交点坐标为， 所以，函数图象经过第三象限， 所以，该函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 6．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在矩形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其他线段．当图中存在角时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质，解题的关键是分类讨论．根据题意分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用锐角三角函数、勾股定理以及直角三角形的性质可求线段的长． 【详解】解：分三种情况：①当时， 在中，，即， 可得； ②当时， 在中，，即， 可得； ③当时， 如图，由折叠性质可得， ， ， 在 中，作交于点， 则， 设，则， ， ， 解得：， ， 的长为或或． 故答案为：或或 7．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上，则； ④若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故正确； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点， ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 8．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在中，是直径，是弦，是的中点，于点，交于点，交于点，下列结论一定正确的是 （把所有正确结论的序号都填上）． ①，②，③，④若，则． 【答案】②③ 【分析】①假设，则，再根据点是弧的中点得，则，即点，将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点，将半圆三等分，由此可对结论①进行判断；②延长交于，连接，根据垂径定理得，则，即，据此可对结论②进行判断；③由得，则，再根据垂径定理得，据此可对结论③进行判断；④连接，在中由，设，，则，由结论②正确得，则，进而得，证明得，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①假设， 则， 点是的中点， ， ， 点，将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点，将半圆三等分， 假设是错误的，故结论①不正确； ②延长交于，连接，如图1所示： 为直径，， ， 又， ， ， 即， ，故结论②正确； ③， ， ， 为直径，， ， ，故结论③正确； ④连接，如图2所示： 在中，， 可设，， 由勾股定理得：， 由结论②正确得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，是直径， ， ， ， ，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是②③， 故答案为：②③． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 9．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）解决下面问题 (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用绝对值的代数意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：原式． 10．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线的对称轴与交于点D，连接，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，①当以为平行四边形的一边时，②当以为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 抛物线的对称轴为直线，点， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴点为的坐标为， 当以为平行四边形的一边时，此时，即轴， 过点作轴，交抛物线于点， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 当以为平行四边形的对角线时，此时也为平行四边形的对角线， 设点的坐标为，点的坐标为， ， 解得：或， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． (1)求圆弧型桥拱所在圆的半径； (2)如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】(1)圆弧型桥拱所在圆的半径为13米 (2)①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． 【详解】（1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$