精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高一上学期第二次学情检测（12月）数学试题

实验中学高一年级第二次学情检测 数学 2024.12.12 命题：杨兴红 校对：解祥峰 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义运算即可. 【详解】因为或，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知函数，其中为常数，若，则（ ） A. B. 7 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断奇偶性并求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令， 则，所以是奇函数， 因此，而， 所以. 故选：A. 3. 函数的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B． 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析即可. 【详解】函数的定义域为， 因为函数和在均单调递增， 所以在单调递增， 所以函数在至多有一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数的零点所在区间是. 故选：C. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由的值，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D； 又，故排除C. 故选：A 6. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A. 5.8min B. 6.0min C. 6.2min D. 6.4min 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出，，从而求得，代入，即可利用公式求解； 【详解】由题意可知，， 当时，，于是， 整理得， 当，于是， 所以，故， 将代入可得，故， 故. 故选：B 7. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数、均为上的增函数， 则，即. 故选：B. 8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时，不等式恒成立， 得当时，恒成立，且当时，恒成立， 即当时，恒成立，且当时，恒成立， 因此且，则，即， 于是，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：C 【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】取值代入可判断A；利用不等式的性质可判断B；利用作差法可判断C和D. 【详解】对于A，取，，，， 则，，此时，故A错误； 对于B，由，，则， 则有，即，故B正确； 对于C，由，，则， 所以，即，故C正确； 对于D，由，， 所以， 即，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复合函数的性质即可根据求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解 D. 【详解】对于A，根据题意可得，解得，所以的定义域为，故A正确， 对于B, 对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误， 对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确， 对于D, 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误， 故选：AC 11. 已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D. 【详解】函数的定义域为且， 对于A，取，则，故A正确； 对于B，且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D，由选项C知，， 则，， 所以不等式等价于， 因为函数在上单调递增， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. “”是“”的__________.（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义推断即可. 【详解】若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 若，例如满足，但，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 13. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 14. 已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，确定偶函数在上单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】由任意，均有成立，得在上单调递减， 又函数为上偶函数，则在上单调递增， 不等式 ，则， 即或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则. 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）求实数的取值范围，使__________成立. 从①，②，③中选择一个填入横线处并解答. 【答案】（1） （2）选择条件，答案见解析 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合A，B，结合并集的概念和运算求解即得. （2）由（1）求出和，选择条件，利用集合间的包含关系和交并补的运算求出参数范围. 【小问1详解】 依题意，， ， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 则有或，或， 选①，，则或，解得或， 所以的取值范围为或； 选②，，则或，解得或， 所以的取值范围为或； 选③，，则，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数取值范围． 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解， （2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断， （3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， 【小问3详解】 由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）万件，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解； （2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 依题意得：当时，， 则，所以， 因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元， 依题意得：当时， ， 当时， ， 所以. 小问2详解】 当时， 所以当时，取最大值10万元； 当时，. 当且仅当即时，取最大值14万元 因为，所以当时，取最大值14万元， 所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 18. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． （1）求函数，的解析式； （2）若在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，解方程组即可； （2）首先求出解析式，再令，则，令，，问题转化为在上的最大值为，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足， 所以，即， 解得， 【小问2详解】 因为，所以， ， 则 ， 令，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 所以，， 所以， 令，， 依题意可得在上的最大值为， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 综上可得. 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. 【小问2详解】 因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得， 若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. 【小问3详解】 若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，所以，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验中学高一年级第二次学情检测 数学 2024.12.12 命题：杨兴红 校对：解祥峰 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. 或 C D. 2. 已知函数，其中为常数，若，则（ ） A. B. 7 C. D. 4 3. 函数的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 函数的零点所在区间是（ ） A B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，，） A. 5.8min B. 6.0min C. 6.2min D. 6.4min 7. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A B. C. 8 D. 9 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 11. 已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. “”是“”的__________.（选“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空） 13. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 14. 已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为____________． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知集合，. （1）若，求； （2）求实数的取值范围，使__________成立. 从①，②，③中选择一个填入横线处并解答. 16. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求a、b的值； （2）判断的单调性并证明； （3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． （1）求函数，的解析式； （2）若在区间上的最大值为，求实数的值． 19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． （1）判断否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$