专题03 一元二次方程-实际应用-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题03 一元二次方程—实际应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一 传播问题 题型二 单双循环问题 题型三 平均增长率（下降率）问题 题型四 销售利润问题 题型五 几何图形问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 传播问题 ⭐技巧积累与运用 运用固定公式建立方程解方程即可。若病源数量为a，每次能传播数量为b，传播轮数时c轮，则c轮过后的总感染数量为d：则固定公式为，通常传播轮数为2轮。 1．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 2．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　） A．1轮后有（x+1）个人患了流感 B．第2轮又增加x（x+1）个人患流感 C．依题意可以列方程（x+1）2＝36 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？ 单双循环问题 ⭐技巧积累与运用 运用固定公式建立方程解方程即可。若有a各队伍参加比赛，单循环赛制下的总比赛场数为n，双循环赛制下的比赛总场数为m，则固定公式为： 单循环：； 双循环：。 1．我县某校为增强学生的身体素质，特在全校开展“青春杯”足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C． D． 2．在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（　　） A．9 B．10 C．19 D．20 3．在一次聚会时，参加聚会的每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会，下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝20 C．x（x+1）＝20 D． 4．九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 平均增长率（下降率）问题 ⭐技巧积累与运用 运用固定公式建立方程解方程即可。若起始量为a，终止量为b，n为增长（下降）的次数，当平均增长率为x时，则固定公式为：；当平均下降率为x时，公式为：。 1．开州区政府一直致力于推销开州土特产，每年都取得了骄人的成绩，为老百姓谋福利、做实事，其中开州冰薄月饼在2023年中秋节期间成交额达到了1500万元，创下了历年来最好成绩，在区政府每年的助推下，开州冰薄作为开州特产之一，取得了看得见的成果，预计到2025年，冰薄月饼成交额将达到3000万元，设平均每年的成交额增长率为x，可列方程为（　　） A．1500（1+x%）2＝3000 B．1500（1﹣x%）2＝3000 C．1500（1+x）2＝3000 D．1500（1﹣x）2＝3000 2．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2018年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2020年底贫困人口减少至1万人．设2018年底至2020年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A．9（1﹣2x）2＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）2＝1 D．9（1+x）2＝1 3．某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 4．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． （1）求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ （2）若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 销售利润问题 ⭐技巧积累与运用 在商品销售利润问题中，基本等量关系有：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣=进价×（1＋利润率）；利润率＝（利润÷进行）×100%，总利润＝总售价－总进价＝单利润×数量。 在“每每问题中”： 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）； 现数量＝原数量－（原数量＋）。 1．某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件78元出售，每月可销售300件．经调发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件，当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（　　） A．（78﹣x）（300﹣20x）＝8000 B．（78﹣50﹣x）（300﹣20x）＝8000 C．（78﹣x）（300+20x）＝8000 D．（78﹣50﹣x）（300+20x）＝8000 2．粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆，设每盆降价x元． （1）降价后平均每天卖出 　 　盆；（用含x的代数式表示） （2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 3．水果店老板以每千克2元的价格购进香蕉若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，每千克香蕉的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出280千克，老板决定降价销售． （1）若每千克售价降低0.5元，则每天的销售量是 　 千克． （2）若每千克售价降低x元，则每天的销售量是 　 　千克（用含x的代数式表示，需要化简）． （3）水果店老板要想通过销售香蕉每天盈利300元，需将每千克香蕉的售价定为多少元？ 几何图形问题 ⭐技巧积累与运用 在解决几何问题中，若图形时规则的图形，则可利用规则图形的面积，体积，周长等公式以及图形中满足的勾股定理等知识建立方程求解。 若图形不规则，则可以用割补法，平移法，旋转法等将其转化为规则图形然后在根据规则图形求解。 1．如图，现将一幅长60cm，宽50cm的照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，均为x cm，已知矩形衬纸的面积为420cm2，则下列方程正确的是（　　） A．（50+2x）（60+2x）＝420 B．2（50+2x）（60+2x）＝420 C．（50+x）（60+x）＝420 D．2（50+x）（60+x）＝420 2．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 3．人工智能（AI）是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握AI技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的AI技术人才，某校开设了AI兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形AI兴趣教育基地ABCD，如图． （1）请你求出该矩形基地的长和宽； （2）为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？ 1．A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张A4纸的面积为623.7cm2，长比宽多8.7cm．设它的宽为x cm，则可得方程为（　　） A．2[x+（x﹣8.7）]＝623.7 B．2[x+（x+8.7）]＝623.7 C．x（x﹣8.7）＝623.7 D．x（x+8.7）＝623.7 2．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（　　） A．x2﹣3x﹣10＝0 B．x2+2x﹣8＝0 C．x2+4x﹣12＝0 D．x2+5x﹣6＝0 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝3cm，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以2cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1cm/s的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是5cm时，P、Q两点出发了（　　）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2 5．清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如x2+10x＝56的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为56+25＝81，则原方程的正数解为9﹣5＝4”．小聪按此方法解关于y的方程y2+20y+m＝0时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（　　） A．6 B．8 C．16 D． 6．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．我校徐老师家表弟住在农村，为了发家致富，聪明的表弟知道除勤劳耕种之外，还要注意农商结合，今年农忙之余，表弟用3600元购进翠冠梨，7200元购进良种李子，结果购进的翠冠梨比李子多300斤，且翠冠梨的单价比李子便宜5元/斤． （1）求表弟购进翠冠梨和李子的进价． （2）表弟在销售过程中发现，当李子的售价为15元/斤，翠冠梨5元/斤时，平均每天可售出150斤李子，300斤翠冠梨，同时发现，李子每降价1元平均每天可多售出10斤，表弟思考在翠冠梨售价不变且不考虑其他因素的情况下，想平均每天获得的总利润为1450元，则表弟应将李子的售价定为多少元？ 8．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 9．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　 　cm，宽为 　 　cm； （2）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 1．（2024•南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　） A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200 2．（2024•西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．x2﹣41x+180＝0 B．x2﹣41x+225＝0 C．x2﹣41x+30＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 3．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 4．（2024•牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 5．（2024•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　 　， 6．（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　 　m． 7．（2024•重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 ． 8．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 9．（2024•辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 10．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程—实际应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一 传播问题 题型二 单双循环问题 题型三 平均增长率（下降率）问题 题型四 销售利润问题 题型五 几何图形问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 传播问题 ⭐技巧积累与运用 运用固定公式建立方程解方程即可。若病源数量为a，每次能传播数量为b，传播轮数时c轮，则c轮过后的总感染数量为d：则固定公式为，通常传播轮数为2轮。 1．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（　　） A．x（x+1）＝81 B．x+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：D． 2．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（　　） A．1轮后有（x+1）个人患了流感 B．第2轮又增加x（x+1）个人患流感 C．依题意可以列方程（x+1）2＝36 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染 【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染，进而可得出1轮后有（x+1）个人患了流感，第2轮又增加x（x+1）个人患流感，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值，代入36（1+x）中即可求出经过三轮传染后的患病人数． 【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染， ∴1轮后有（x+1）个人患了流感，第2轮又增加x（x+1）个人患流感， ∴根据题意得可列出方程1+x+x（x+1）＝36，即（x+1）2＝36， 解得：x1＝5，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴36（1+x）＝36×（1+5）＝216（人）， ∴按照这样的传播速度，三轮后一共会有216人感染． 故选：D． 3．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？ 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x＝81，再解方程求出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可． 【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x＝81 即（1+x）2＝81 解得x1＝8，x2＝﹣10（不合舍去）， 所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8＝729台﹣ 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台． 单双循环问题 ⭐技巧积累与运用 运用固定公式建立方程解方程即可。若有a各队伍参加比赛，单循环赛制下的总比赛场数为n，双循环赛制下的比赛总场数为m，则固定公式为： 单循环：； 双循环：。 1．我县某校为增强学生的身体素质，特在全校开展“青春杯”足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C． D． 【分析】设应邀参加的足球队有x个，则比赛场次为，由此即可求出答案． 【解答】解：根据题意，可列方程为． 故选：D． 2．在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（　　） A．9 B．10 C．19 D．20 【分析】设参加聚会的有x人，利用握手的总次数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设参加聚会的有x人， 由题意得：x（x﹣1）＝45 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， 即参加聚会的有10人． 故选：B． 3．在一次聚会时，参加聚会的每两人都互相赠送礼物，共赠送礼物20件，设有x人参加聚会，下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝20 C．x（x+1）＝20 D． 【分析】设有x人参加聚会，根据共赠送礼物20件列方程即可． 【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物， ∴x（x﹣1）＝20， 故选：B． 4．九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？ 【分析】设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言，利用全班写祝福留言的总条数＝全班人数×（全班人数﹣1），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设九年级（1）班共有x名学生，则每名学生需写（x﹣1）条祝福留言， 根据题意得：x（x﹣1）＝1640， 整理得：x2﹣x﹣1640＝0， 解得：x1＝41，x2＝﹣40（不符合题意，舍去）． 答：九年级（1）班共有41名学生． 平均增长率（下降率）问题 ⭐技巧积累与运用 运用固定公式建立方程解方程即可。若起始量为a，终止量为b，n为增长（下降）的次数，当平均增长率为x时，则固定公式为：；当平均下降率为x时，公式为：。 1．开州区政府一直致力于推销开州土特产，每年都取得了骄人的成绩，为老百姓谋福利、做实事，其中开州冰薄月饼在2023年中秋节期间成交额达到了1500万元，创下了历年来最好成绩，在区政府每年的助推下，开州冰薄作为开州特产之一，取得了看得见的成果，预计到2025年，冰薄月饼成交额将达到3000万元，设平均每年的成交额增长率为x，可列方程为（　　） A．1500（1+x%）2＝3000 B．1500（1﹣x%）2＝3000 C．1500（1+x）2＝3000 D．1500（1﹣x）2＝3000 【分析】对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2＝b（a＞b）．根据题意得出2024年成交额达到了1500（1+x）台，2025年为1500（1+x）2台，列出方程即可． 【解答】解：根据题意：列方程为1500（1+x）2＝3000； 故选：C． 2．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2018年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2020年底贫困人口减少至1万人．设2018年底至2020年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A．9（1﹣2x）2＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）2＝1 D．9（1+x）2＝1 【分析】等量关系为：2018年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2020年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：根据题意得：9（1﹣x）2＝1， 故选：B． 3．某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 【分析】（1）直接代入增长率模型公式即可求解； （2）将9月份的量代入公式计算即可． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x， 2500（1﹣x）2＝1600， 解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）， ∴x1＝0.2＝20%， 答：每次下降的百分率为20%． （2）1600×（1﹣20%）＝1280（元）， 答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元． 4．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． （1）求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ （2）若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 【分析】（1）如果设平均每月增长的百分率是x，那么2月份的利润是2500（1+x）元，3月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，列出方程求解； （2）该商店4月份的利润是3600（1+x），代入求值即可． 【解答】解：（1）设平均每月增长的百分率是x，则2月份的利润是2500（1+x）元，3月份的利润是2500（1+x）2元， 依题意可得：2500（1+x）2＝3600， 解这个方程得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，应舍去）． 故这个百分率为20%． （2）该商店4月份的利润是3600×（1+0.2）＝4320元． 销售利润问题 ⭐技巧积累与运用 在商品销售利润问题中，基本等量关系有：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣=进价×（1＋利润率）；利润率＝（利润÷进行）×100%，总利润＝总售价－总进价＝单利润×数量。 在“每每问题中”： 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）； 现数量＝原数量－（原数量＋）。 1．某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件78元出售，每月可销售300件．经调发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件，当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（　　） A．（78﹣x）（300﹣20x）＝8000 B．（78﹣50﹣x）（300﹣20x）＝8000 C．（78﹣x）（300+20x）＝8000 D．（78﹣50﹣x）（300+20x）＝8000 【分析】当每件男士短袖降价x元时，每件男士短袖的销售利润为（78﹣50﹣x）元，月销售量为（300+20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当每件男士短袖降价x元时，每件男士短袖的销售利润为（78﹣50﹣x）元，月销售量为（300+20x）件， 根据题意，得（78﹣50﹣x）（300+20x）＝8000． 故选：D． 2．粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆，设每盆降价x元． （1）降价后平均每天卖出 　（20+2x ）　盆；（用含x的代数式表示） （2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【分析】（1）根据花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆，列出代数式即可； （2）根据供应商想要达到每天750元的盈利，列出一元二次方程，解之可得出x的值，再结合让购买者得到实惠，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知，降价后每天卖出20+×6＝（20+2x）（盆）， 故答案为：（20+2x）； （2）由题意可知，降价后每盆的利润是60﹣x﹣30＝（30﹣x）（元）， 由题意得：（30﹣x）（20+2x）＝750， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 又∵让购买者得到实惠， ∴x＝15． 答：每盆应降价15元． 3．水果店老板以每千克2元的价格购进香蕉若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克．通过调查发现，每千克香蕉的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出280千克，老板决定降价销售． （1）若每千克售价降低0.5元，则每天的销售量是 　200　千克． （2）若每千克售价降低x元，则每天的销售量是 　（100+200x）　千克（用含x的代数式表示，需要化简）． （3）水果店老板要想通过销售香蕉每天盈利300元，需将每千克香蕉的售价定为多少元？ 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列式即可； （3）设每千克售价降低y元，则每千克的销售利润为（4﹣y﹣2）元，每天的销售量是（100+200y）千克，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）若每千克售价降低0.5元，则每天的销售量是（4﹣2）×100＝200（千克）， 故答案为：200； （2）若每千克售价降低x元，则每天的销售量是（100+200x ）千克； 故答案为：（100+200x ）； （3）设每千克售价降低y元，则每千克的销售利润为（4﹣y﹣2）元，每天的销售量是（100+200y）千克， 依题意得，（4﹣y﹣2）（100+200y）＝300 解得y1＝0.5，y2＝1， 当y＝0.5时，100+200y＝100+200×0.5＝200＜280，不合题意，舍去； 当y＝1时，100+200y＝100+200×1＝300＞280，符合题意，此时4﹣y＝4﹣1＝3， 所以需将每千克香蕉的售价定为3元． 几何图形问题 ⭐技巧积累与运用 在解决几何问题中，若图形时规则的图形，则可利用规则图形的面积，体积，周长等公式以及图形中满足的勾股定理等知识建立方程求解。 若图形不规则，则可以用割补法，平移法，旋转法等将其转化为规则图形然后在根据规则图形求解。 1．如图，现将一幅长60cm，宽50cm的照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，均为x cm，已知矩形衬纸的面积为420cm2，则下列方程正确的是（　　） A．（50+2x）（60+2x）＝420 B．2（50+2x）（60+2x）＝420 C．（50+x）（60+x）＝420 D．2（50+x）（60+x）＝420 【分析】根据题意可得衬纸的长为（60+2x）cm，宽为（50+2x）cm，再根据面积等于420列出方程即可． 【解答】解：矩形衬纸的面积为420cm2，则： （50+2x）（60+2x）＝420， 故选：A． 2．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 3．人工智能（AI）是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握AI技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的AI技术人才，某校开设了AI兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形AI兴趣教育基地ABCD，如图． （1）请你求出该矩形基地的长和宽； （2）为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？ 【分析】（1）设宽为x米，则长为米，根据面积为500平方米列出方程计算即可； （2）设每条作品展示长廊的宽为y米，根据剩余部分的面积恰好为300平方米列方程求解即可． 【解答】解：（1）设宽为x米，则长为米． ， x2﹣45x+500＝0， 解得x1＝20，x2＝25． 当x＝20时，， 当x＝25时，，不合题意，舍去． ∴该矩形基地的长为25米，宽为20米． （2）设每条作品展示长廊的宽为y米， 由题意可得：（25﹣y）（20﹣y）＝300， y2﹣45y+200＝0， 解得y1＝40，y2＝5， ∵该矩形基地的长为25米，宽为20米， ∴y＝5， ∴宽为5米． 1．A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张A4纸的面积为623.7cm2，长比宽多8.7cm．设它的宽为x cm，则可得方程为（　　） A．2[x+（x﹣8.7）]＝623.7 B．2[x+（x+8.7）]＝623.7 C．x（x﹣8.7）＝623.7 D．x（x+8.7）＝623.7 【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为（x+8.7）cm，结合一张A4纸的面积为623.7cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长比宽多8.7cm，设它的宽为x cm， ∴长为（x+8.7）cm． 根据题意得：x（x+8.7）＝623.7． 故选：D． 2．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（　　） A．x2﹣3x﹣10＝0 B．x2+2x﹣8＝0 C．x2+4x﹣12＝0 D．x2+5x﹣6＝0 【分析】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得出答案． 【解答】解：中间小正方形边长为（x+4）﹣x＝4，其面积为42＝16， 大正方形面积为（x+x+4）2＝4x（x+4）+16＝4×12+16＝64，边长为8， ∴图2为：x（x+4）＝12， 即x2+4x﹣12＝0的几何解法， 故选：C． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝3cm，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以2cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1cm/s的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是5cm时，P、Q两点出发了（　　）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P运动到点B所需时间，过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE是矩形，当运动时间为t秒时，AP＝2t，CQ＝BE＝t，结合PE＝|AB﹣AP﹣BE|，可得出PE＝|8﹣3t|，根据PE2+EQ2＝PQ2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：8÷2＝4（秒）. 过点Q作QE⊥AB于点E，则四边形BCQE是矩形，如图所示． 当运动时间为t秒时，AP＝2t，CQ＝BE＝t， ∴PE＝|AB﹣AP﹣BE|＝|8﹣2t﹣t|＝|8﹣3t|． 根据题意得：PE2+EQ2＝PQ2， 即（8﹣3t）2+32＝52， 整理得：3t2﹣16t+16＝0， 解得：t1＝，t2＝4， ∴当点P和点Q的距离是5cm时，P、Q两点出发了或4秒． 故选：B． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2 【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x﹣1）尺，根据勾股定理可得方程（x﹣1）2+52＝x2． 【解答】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，设芦苇长x尺， ∴（x﹣1）2+52＝x2， 故选：B． 5．清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后由中国近代数学家李善兰改译为《代数学》．该书中记载，形如x2+10x＝56的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为的矩形，则大正方形的面积为56+25＝81，则原方程的正数解为9﹣5＝4”．小聪按此方法解关于y的方程y2+20y+m＝0时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为156，则该方程的正数解为（　　） A．6 B．8 C．16 D． 【分析】先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，利用大正方形的面积＝阴影部分的面积+4×小正方形的面积，可得出大正方形的面积，再利用该方程的正数解＝大正方形的边长﹣2×小正方形的边长，即可得出结论． 【解答】解：先构造一个面积为y2的正方形，再以该正方形的边长为一边向外构造四个面积均为5y的矩形， ∵阴影部分的面积为156， ∴y2+4×5y＝y2+20y＝156， ∴大正方形的面积＝156+4×52＝256， ∴大正方形的边长＝＝16， ∴方程y2+20y+m＝0的正数解为16﹣2×5＝16﹣10＝6， 故选：A． 6．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】参照已知方法，求得大正方形的边长为10，得到n＝4x﹣10，再根据小正方形的边长和面积，求出x＝4，即可得到n的值． 【解答】解：由题意可知，将四个长为3x﹣n，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是3x﹣n+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵x（3x﹣n）＝24，小正方形的面积为4， ∴大正方形的面积为4×24+4＝100， ∴大正方形的边长为10， ∴3x﹣n+x＝4x﹣n＝10， ∴n＝4x﹣10， ∵小正方形的边长为3x﹣n﹣x，即10﹣2x， ∴（10﹣2x）2＝4， ∴10﹣2x＝±2， ∵10﹣2x＞0，∴x＝4， ∴n＝4×4﹣10＝6， 故选：C． 7．我校徐老师家表弟住在农村，为了发家致富，聪明的表弟知道除勤劳耕种之外，还要注意农商结合，今年农忙之余，表弟用3600元购进翠冠梨，7200元购进良种李子，结果购进的翠冠梨比李子多300斤，且翠冠梨的单价比李子便宜5元/斤． （1）求表弟购进翠冠梨和李子的进价． （2）表弟在销售过程中发现，当李子的售价为15元/斤，翠冠梨5元/斤时，平均每天可售出150斤李子，300斤翠冠梨，同时发现，李子每降价1元平均每天可多售出10斤，表弟思考在翠冠梨售价不变且不考虑其他因素的情况下，想平均每天获得的总利润为1450元，则表弟应将李子的售价定为多少元？ 【分析】（1）设翠冠梨每斤的进价为x元，则李子每斤的进价为（x+5）元，根据“用3600元购进翠冠梨，7200元购进良种李子，结果购进的翠冠梨比李子多300斤”列出分式方程，解方程即可； （2）设李子的售价应定为每斤m元，根据平均每天获得的总利润为1450元，列出一元二次方程，求解方程即可． 【解答】解：（1）设翠冠梨每斤的进价为x元，则李子每斤的进价为（x+5）元， ， 整理得，x2+17x﹣60＝0， 解得，x1＝3，x2＝﹣20， 经检验，x1＝3，x2＝﹣20均为原方程的解，x2＝﹣20不合题意，舍去， ∴x＝3，x+5＝8， 答：翠冠梨每斤的进价为3元，则李子每斤的进价为8元； （2）设李子的售价应定为每斤m元， （5﹣3）×300+（x﹣8）[（15﹣x）×10+150]＝1450， ∴x2﹣38x+325＝0， ∴x1＝13，x2＝25＞15（舍去）， 答：售价定为每斤13元． 8．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为（1560﹣20y）件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为256（1+m）2， 根据题意得：256（1+m）2＝400， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）（件）， 根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400， 整理得：y2﹣113y+3150＝0， 解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 9．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　26　cm，宽为 　12　cm； （2）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【分析】（1）由题意列式计算即可； （2）设剪去的正方形的边长为x cm，根据纸盒的底面积为240cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设剪去的正方形的边长为y cm，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，30﹣2﹣2＝26（cm），16﹣2﹣2＝12（cm）， 即纸盒底面长方形的长为26cm，宽为12cm， 故答案为：26，12； （2）设剪去的正方形的边长为x cm， 根据题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240， 解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝3， 答：剪去的正方形的边长为3cm； （3）设剪去的正方形的边长为y cm， 根据题意得：， 解得：y1＝﹣17（不符合题意，舍去），y2＝2， 答：剪去的正方形的边长为2cm． 1．（2024•南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　） A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 7200（1+x）2＝8450， 故选：A． 2．（2024•西宁）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是（　　） A．x2﹣41x+180＝0 B．x2﹣41x+225＝0 C．x2﹣41x+30＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形场地ABCD的长为60m，宽为22m，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形． 根据题意，得（60﹣2x）（22﹣2x）＝600， 化简，得x2﹣41x+180＝0． 故选：A． 3．（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 【分析】设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 4．（2024•牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 【分析】设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得： 48（1﹣x）2＝27， 解得：（舍去）； 故选：C． 5．（2024•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　10%　， 【分析】4月份价格从500×（1+20%）元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程500（1+20%）（1﹣r）2＝486，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍． 【解答】解：根据题意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486， 解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为10%．即r＝10%． 故答案为：10%． 6．（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　2　m． 【分析】设小路宽为x m，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：（16﹣2x）（12﹣2x）＝×12×16，即可解得答案． 【解答】解：设小路宽为x m， 根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）＝×12×16， 解得x＝2或x＝12（舍去）， ∴小路宽为2m； 故答案为：2． 7．（2024•重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　200（1+x）2＝401　． 【分析】利用预计今年第三季度低空飞行航线安全运行的架次数＝今年第一季度低空飞行航线安全运行的架次数×（1+第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：200（1+x）2＝401． 故答案为：200（1+x）2＝401． 8．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可； （2）由题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 答：商场投入资金的月平均增长率为10%； （2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）． 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元． 9．（2024•辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），可得，求出k，b即可得解； （2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2600元，从而可得x2﹣100x+2600＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2600＝﹣400＜0，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b， 又结合表格数据图象过（45，55），（55，45）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣x+100． （2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x， 又销售额是2600元， ∴2600＝﹣x2+100x． ∴x2﹣100x+2600＝0． ∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600 ＝10000﹣10400 ＝﹣400＜0． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 10．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：m（1600﹣×40）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300， 当m＝200时，1600﹣×40＝1600﹣400＝1200＞1000，符合题意； 当m＝300时，1600﹣×40＝1600﹣800＝800＜1000，不符合题意，舍去； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 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